Aplicaciones del cálculo integral

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1 Aplicciones del cálculo integrl

2 Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos: 1. Si f(x) es un función positiv en el intervlo [, ], entonces el áre que encierr est función y el eje X, dentro del intervlo [,] es igul : A = f ( x ) dx. Si f(x) es un función negtiv en el intervlo [,], entonces el áre que encierr est función y el eje X, dentro del intervlo [, ] es igul : A = f ( x ) dx. Si f(x) es un función culquier, su áre entre los límites y dee clculrse prtir de l integrl definid del vlor soluto de l función: A = f ( x) dx cso 1 cso cso 4. Pr clculr el áre que se encierr entre dos funciones f(x) y g(x) culesquier en un intervlo [,], se dee clculr l integrl definid del vlor soluto de l diferenci de ls funciones en dicho intervlo: A = f ( x) g( x) dx

3 Volumen de un figur de revolución L integrl definid permite encontrr el volumen de un figur de revolución cuy genertriz se un función positiv. Y f(x) X Si f es un función positiv en un intervlo [,], el volumen de l figur que se otiene l girr sore el eje de sciss est función, es decir, l figur de revolución que tiene por genertriz l función f, es igul : ( ( )) V = π f x dx En el cso de ls figurs de revolución conocids: Volumen de un cilindro: Y f(x) = r h X h ( ) h h ( ) V = π f x dx = π r dx = πr x = πr h

4 Volumen de un cono: Y f(x) = rx/h h X h h h rx πr x πr h 1 ( ). h h h ( ) V = π f x dx = π dx = = = πr h Volumen de un esfer: Y y = r x r r X r r x V = π y dx = π ( r x ) dx π r x r = = r r r 4 = π r r + = πr r r Volumen de un figur de revolución generd por el áre encerrd por dos funciones Pr clculr el volumen de un figur de revolución generd por el áre encerrd por dos funciones, f(x) y g(x), en el intervlo [,] de mner que en este intervlo f(x) g(x), tn sólo es necesrio clculr el volumen de l figur de revolución generd por f(x) y restrle el volumen de l figur de revolución generd por g(x). V = π ( f ( x) ) dx π ( g( x) ) dx π ( f ( x) ) ( g( x) ) dx = En generl, pr clculr el volumen de un figur de revolución generd por el áre encerrd por dos funciones culesquier, f(x) y g(x), positivs en el intervlo [,], se dee clculr l integrl: V = π f ( x) g( x) dx ( ) ( )

5 Cómo se clcul el áre que encierr un función positiv con el eje X? Pr clculr el áre que encierr un función f(x) positiv en un intervlo [,] con el eje X, sólo es necesrio clculr l integrl definid de dich función en dicho intervlo: A = f ( x ) dx Si f(x) es un función positiv en el intervlo [,], entonces el áre que encierr est función y el eje X, dentro del intervlo [, ], es igul : A = f ( x ) dx como se desprende de mner inmedit de l definición de integrl. Por ejemplo, el áre de l función f(x) = x + x 6x en el intervlo [ 4, ] es igul : 4 x x x A = f ( x) dx = + 6 = y que l función f(x), en el intervlo [ 4, ] es positiv, tl como puede precirse en este gráfico: 4 Cómo se clcul el áre que encierr un función negtiv con el eje X? Pr clculr el áre que encierr un función f(x) negtiv en un intervlo [,] con el eje X, sólo es necesrio clculr l integrl definid de dich función en dicho intervlo y cmir el signo l resultdo: A = f ( x ) dx Si f(x) es un función negtiv en el intervlo [,], entonces el áre que encierr est función y el eje X, dentro del intervlo [,], es igul : A = f ( x ) dx como se desprende de mner inmedit de l definición de integrl. Por ejemplo, el áre de l función f(x) = x + x 6x en el intervlo [1,] es igul : 4 x x x A = f ( x) dx = + 6 = y que l función f(x), en el intervlo [1,] es negtiv, tl como puede precirse en este gráfico:

6 1 Cómo se clcul el áre que encierr un función culquier con el eje X? Pr clculr el áre que encierr un función f(x) culquier en un intervlo [,] con el eje X, sólo es necesrio clculr l integrl definid del vlor soluto de dich función en dicho intervlo: A = f ( x) dx, es decir, dee convertirse l función, cundo se negtiv, en l mism función pero positiv. Hst el momento se h clculdo el áre de un función positiv o un función negtiv, en un intervlo [,]; pr encontrr el áre que se form con el eje, de culquier función f(x), teng ést vlores positivos o negtivos, entre los límites y, dee clculrse l integrl definid del vlor soluto de l función pr que todos los vlores sen positivos. A = f ( x) dx De lo contrrio, el áre de ls prtes de l función que quedsen jo el eje X serí negtiv. Pr evitrlo, se convierten ests prtes negtivs en positivs. Por ejemplo, el áre de l función f(x) = x + x 6x en el intervlo [ 4,] es igul : A = f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx = x x x x x x = = = , 5 = 18, 5 y que l función f(x), en el intervlo [ 4,] es positiv, y en el intervlo [,] es negtiv y, por lo tnto, dee convertirse en positiv, tl como puede precirse en estos gráficos: 4 4 Vemos otro ejemplo: clculr el áre de l función

7 f(x) = 4x 5 + x x + 4x + en el intervlo [ 1,1]. L gráfic de dich función y el áre ocupd es l siguiente:,5 se dee prtir l integrl en dos prtes: un hst,5 y el resto hst 1. L primer dee cmirse de signo (porque l función en el intervlo [ 1,,5] es negtiv); en cmio, en l segund prte, como todos los vlores de l función son positivos, no dee cmirse de signo; es decir: A =,5 1 f ( x) dx + f ( x) dx (,918) + 4,918 = 5,846 1,5 Como vemos, en muchos csos, el áre l ser un número irrcionl sólo puede clculrse de mner proximd. En el cso de l función g(x) = sen x, y semos que es positiv entre y π, y negtiv entre π y π; sí pues, el áre entre [,π], tl como podemos oservr en est ilustrción, dee clculrse de est mner: π π π π A = xdx xdx x ( x) sen sen = cos cos = ( ) = 4 π π Cómo se clcul el áre que se encierr entre dos funciones en cierto intervlo? Pr clculr el áre que se encierr entre dos funciones f(x) y g(x) culesquier en un intervlo [,], sólo es necesrio clculr l integrl definid del vlor soluto de l diferenci de ls funciones en dicho intervlo: A = f ( x) g( x) dx Tmién se puede utilizr l integrción definid pr clculr el áre comprendid entre dos funciones, f(x) y g(x) en un intervlo [,]. Dich áre es igul l integrl definid del vlor soluto de l diferenci de ms funciones: A = f ( x) g( x) dx Por ejemplo, ests son ls gráfics de ls funciones f(x) = 4x 5 + x x + 4x + y g(x) = x, representds conjuntmente:

8 Por consiguiente, el áre que encierrn entre los puntos de intersección de ms funciones: Los puntos de intersección son (,475,,17951) y (1,15, 1,67898). Pr clculr el áre encerrd entre ests dos gráfics sólo es necesrio clculr el áre de l que se encuentr encim, y restrle l que se encuentr jo, tl como muestr est dole ilustrción: Es decir, pr hllr el áre entre ms funciones, dee restrse el áre de l derech l de l izquierd: 1,15 1,15 A f ( x) dx g( x) dx 5,1489, 4845 = 4, 6644,475,475 Cómo se clcul el volumen de un figur de revolución generd por un función positiv? Pr hllr el volumen de un figur de revolución generd prtir del giro de un función positiv lrededor del eje X, en el intervlo [,], dee relizrse est integrl: V = π ( f ( x) ) dx. Pr llegr dich fórmul se dee comprr el volumen de l figur con el volumen de un cono. Si f es un función positiv en un intervlo [,], el cálculo del volumen de l figur que se otiene l girr sore el eje de sciss est función, es decir, l figur de revolución que tiene por genertriz l función f, requiere el cálculo integrl. Vemos un ejemplo sencillo de esto, si f(x) = 1, un función constnte, en el intervlo [1,], ést es l figur resultnte:

9 Evidentemente, l figur resultnte es igul un cilindro de rdio 1 y de ltur 1; por lo tnto, su volumen será: V = πr h = π Vemos que este resultdo puede otenerse con est fórmul: V = π f ( x) dx = π 1 dx = π x = π ( ) Vemos que esto se cumple pr culquier función positiv, f(x), en un intervlo [,]. Se trt de clculr el volumen del cuerpo de revolución que se gener l girr dich función sore el eje X, tl como muestr est gráfic: Y f(x) X Se V(t) el volumen de l figur engendrd l girr el trozo de función entre y t; por lo tnto, V(t + h) V(t) represent el volumen engendrdo por el trozo de función entre f(t + h) y f(t). Supongmos que f(t + h) > f(t). Así pues, el volumen V(t + h) V(t) es myor que el volumen del cilindro cuyo rdio de l se es f(t) y ltur h, y es menor que el volumen del cilindro cuyo rdio de l se es f(t + h) y ltur h: π(f(t)) h V(t + h) V(t) π(f(t + h)) h Si dividimos todo entre h, se otiene: Vt ( + h) Vt () lim π( f( t) ) lim lim π( f( t + h) ) h h h h los límites de mos extremos son igules y, por lo tnto, el límite que se encuentr en el centro tmién h de ser igul dicho resultdo: Vt ( + h) Vt () lim = π ( f( t) ) h h Por lo tnto, l función V es un primitiv de l función π(f(t)), y que l derivd de quéll es igul ést. En otrs plrs: V = π ( f ( x) ) dx Tl y como se hí firmdo en un principio. Cómo se clcul l fórmul del volumen de ls figurs de revolución ásics? Ls fórmuls de ls figurs de revolución ásics pueden explicrse prtir del cálculo del volumen con l yud de l integrl indefinid. En el cso del cilindro, l función genertriz

10 es un rect que ps por el origen; en el cso de l esfer, l función genertriz es l ecución de un circunferenci. Si l genertriz es l rect f(x) = x, estndo l x entre [,], l figur resultnte es el siguiente cono: En su momento se vnzó que su áre es igul si se plic l fórmul generl del volumen: rh 6 π = π = π x V = π ( f ( x) ) dx = π ( x) dx 4π 4π 6π = = = el resultdo es, pues, el mismo. En el cso más generl, si se dese uscr el volumen de un cono de ltur h, y rdio de l se r, l genertriz, f(x), dee cumplir que: f() = f(h) = r por lo tnto, l función linel genertriz es f(x) = rx/h. Pr hllr su volumen, dee integrrse de h: h h h rx π r x π 1 r h h h h ( ( )) V = π f x dx = π dx = = = πr h como puede verse, l fórmul coincide con l y conocid. Lo mismo puede hcerse con el volumen de un esfer. Por ejemplo, si un esfer está generd por un circunferenci de rdio, semos que su volumen es: 4 4 π V = πr = π = Utilicemos l fórmul del volumen pr comprorlo: l ecución de l genertriz de un esfer de rdio, es l siguiente circunferenci: x + y = por lo tnto, y = 4 x

11 En consecuenci, su volumen es: x V = π ( f ( x) ) dx = π ( 4 x ) dx π 4x = = ( ) π = π 4 4 ( ) = Tl como se hí firmdo nteriormente. Hllemos hor el volumen de un esfer de rdio r, siendo que un ecución de l circunferenci de este rdio es x + y = r si despejmos l y y = r x por lo tnto, r r x V = π y dx = π ( r x ) dx π r x r = = r r r 4 = π r r + = πr tl como y símos. Finlmente, pr hllr el volumen de un figur de revolución generd prtir del giro de un función culquier lrededor del eje X, puede utilizrse l mism integrl que en el cso de un función positiv: 1 V = π f ( x) dx. Esto es sí porque un vez elevdo l cudrdo el vlor de l función, el signo ( ) negtivo desprece. r r Cómo se clcul el volumen de un figur de revolución generd por el áre encerrd por dos funciones? Pr clculr el volumen de un figur de revolución generd por el áre encerrd por dos funciones culesquier, f(x) y g(x), positivs en el intervlo [,], sólo es necesrio clculr l integrl V = π ( f ( x) ) ( g( x) ) dx Pr clculr el volumen de un figur de revolución generd por el áre encerrd por dos funciones, f(x) y g(x), en el intervlo [,] de mner que en este intervlo f(x) g(x), sólo es necesrio clculr el volumen de l figur de revolución generd por f(x) y restrle el volumen de l figur de revolución generd por g(x). V = π ( f ( x) ) dx π ( g( x) ) dx π ( f ( x) ) ( g( x) ) dx = Por ejemplo, si se dese clculr el volumen de un figur de revolución generd por el áre limitd entre l rect y = x + y l práol y = x x + 1, tl como se oserv en este gráfico:

12 Evidentemente, deen restrse los volúmenes generdos por l rotción de cd un de ls funciones en el intervlo [,], teniendo en cuent que l función myor es l rect: V = π ( f ( x) ) ( g( x) ) dx π ( x ) ( x x 1) = + + dx = = 4 8π π x + 4x 5x + 1x + 8 dx = 5 De mner generl, pr clculr el volumen de un figur de revolución generd por el áre encerrd por dos funciones culesquier, f(x) y g(x), positivs en el intervlo [,], sólo es necesrio clculr l siguiente integrl: V = π f ( x) g( x) dx ( ) ( ) y que con ello nos segurmos que siempre se rest el vlor myor del vlor menor de ls funciones. Así, por ejemplo, pr clculr el volumen de un figur de revolución generd por el áre limitd entre l práol y = x + y l función y = x + x x + 1, en el intervlo [ 1,], áre representd en este gráfico: y = x + x x + y = x + 1 dee relizrse el siguiente cálculo:

13 ( ( )) ( ( )) V = π f x g x dx = π = π ( x + ) ( x + x x + 1) dx = y que se trt de girr sore el eje X el áre cerrd por ests dos funciones. En generl, ls funciones deen ser positivs, y que, en cso contrrio, si un es positiv y otr negtiv, el áre encerrd entre ms funciones, l girr, generrí solmente el volumen de l función myor en vlor soluto, tl como puede oservrse en este gráfico: Se trt de ls funciones y = x +, e y = x x +x 1. Puede deducirse fácilmente que l girr est áre lrededor del eje X, en l prte en l que ms funciones tienen signo diferente, se producirí un superposición de volúmenes, con lo cul, l plicción de l fórmul del volumen drí un resultdo incorrecto.

14 Ejercicios 1. Dd l función f(x) = x 4, clcul el áre que cierr est función con el eje X pr cd uno de estos intervlos de l x:. [-5, -]. [-4,4]. Clcul el áre encerrd entre ls gráfics de y = x - x + 1, y l rect y = x + 5, siendo que ests son sus gráfics:. Clcul el áre que se form entre ls gráfics de ls funciones: f( x) = x y g(x) = x entre x = y x = 1. L representción de ms es (siendo f(x) l roj):

15 Soluciones 1. Lo primero que dee hcerse es compror cundo es negtiv y cundo, positiv, pr no restrls. L función f(x) es negtiv solo entre (- i ). Por lo tnto, pr clculr el áre en n intervlo ddo, dee restrse l prte que correspond l intervlo (-, ). De est form:. A = 5 x 4 ( x 4) dx, cálculo que podéis hcer fácilmente.. A = 4) dx ( x 4) dx + ( ( x 4) dx, que fácilmente podéis hcer prtir x de l integrl ( x 4) dx = 4x + C. En primer lugr, deemos clculr los puntos en los que se cortn ms funciones:. x - x + 1 = x + 5 x - x - 4 = por lo tnto, x = 4 y x = -1. Los puntos de corte son: (-1,4), (4,9) 4 Además, l rect siempre es myor que l práol en este intervlo. Por lo tnto, el áre será igul l integrl definid de l rect entre mos puntos, menos l integrl de l práol entre mos puntos: x x 15 x + 5 ( x x + 1) dx = x + x + 4dx = + + 4x = L función g(x) es menor l función f(x) en el intervlo [,1] y que:

16 x = x si elevmos l cudrdo x = x 4 x - x 4 = x(1 - x ) = Es decir, f(x) = g(x) cundo x = 1, x =. Cundo x < 1 Cundo x > 1 f(x) > g(x) f(x) < g(x) por lo tnto, el áre en el intervlo [,1] es igul : A = f ( x) dx ( ) g x dx = =

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