Llamamos ángulo plano convexo abc y se simboliza

Transcripción

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2 1. SISTEMA DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS 1.1.Ángulo plno onvexo Segurmente reordrás que en ursos nteriores hrás prendido un definiión de ángulo plno onvexo. En est oportunidd te rindremos un nuev definiión que te resultrá muy útil pr el tem que iremos desrrollndo. Definiión: Llmmos ángulo plno onvexo y se simoliz l onjunto de puntos del plno rridos por l semirret l psr de su posiión iniil P un posiión finl P, desriiendo el punto un ro de irunfereni menor o igul que un semiirunfereni o igul un irunfereni Gráfimente : P Simólimente: P' Clsifiión de los ángulos onvexos Según el ro de irunfereni que desrie, podemos lsifir los ángulos en : Ángulo Reto Es todo ángulo uyo ro orrespondiente es l urt prte de un irunfereni. Gráfimente: Simólimente: P Rˆ P' P O L I T E C N I C O 1

3 Reliones Métris Mtemáti Ángulo llno Es todo ángulo uyo ro orrespondiente es l mitd de un irunfereni. Gráfimente: Simólimente: Lˆ P P' Ángulo de un vuelt Es todo ángulo uyo ro orrespondiente es un irunfereni. Gráfimente: Simólimente: P' P Vˆ Ángulo nulo Es todo ángulo uyo ro orrespondiente es un ro nulo. Gráfimente: Simólimente: ۰ ۰ P Nˆ Sís que... Llmmos ángulo plno ónvo y se simoliz ónvo l onjunto de puntos del plno rridos P por l semirret l psr de un posiión iniil P un posiión finl P, desriiendo un ro myor que un semiirunfereni y menor que un irunfereni. P' 2 P O L I T E C N I C O

4 1.2. UNIDADES CONVENCIONALES Y hemos nlizdo el onepto de medir segmentos y ángulos. A prtir de ess ides se estleió l neesidd de utilizr un segmento o un ángulo que se dopt omo unidd y que permite medir. L neesidd de trjr en form orgnizd d lugr l eleión de segmentos y ángulos doptdos omo unidd en form generlizd. Surgen sí, el Sistem Internionl de uniddes (SI) y en prtiulr el que nosotros nos oup que es el SIMELA (Sistem Métrio Legl Argentino). Según este sistem doptmos omo segmento unidd el metro, unidd on l que y estás fmilirizdo y hs trjdo on múltiplos y sumúltiplos de él. Del mismo modo que pr medir segmentos, d vez que medimos un ángulo utilizmos un unidd de medid onveniente, l trnsportmos sore el ángulo tnts vees omo se onveniente y otenemos l medid de diho ángulo. Est unidd es elegid dentro de ls uniddes onvenionles dndo lugr diversos sistems de mediión de ángulos. Nosotros desrrollremos el sistem sexgesiml Sistem sexgesiml El sistem sexgesiml de mediión de ángulos dt de l ntigu Biloni donde los hitntes onsiderron que el ño tení 360 dís y tomron omo unidd de medid ngulr el reorrido dirio del Sol lrededor de l Tierr y, por lo tnto, doptron omo unidd de medid un sumúltiplo del ángulo de un vuelt, más extmente omo: 1 de Vˆ 360 Así otenemos el ángulo llmdo de un grdo sexgesiml uy simologí es: 1º De est definiión resultrá pr los ángulos lsifidos nteriormente: Vˆ 3601º 360º Lˆ 1801º 180º Rˆ 90 1º 90º Nˆ 0 1º 0º P O L I T E C N I C O 3

5 Reliones Métris Mtemáti Algunos sumúltiplos del grdo reien nomres prtiulres, ellos son: minuto 1' 1º 60 1 segundo 1' ' 1' º En l práti tmién se utilizn omo sumúltiplos ls friones deimles del grdo, minuto o segundo. Resultn sí expresiones deimles del tipo: ˆ 3º,573 ˆ 12',54 ˆ 7' ',3 A modo de ejemplo, otenemos nlítimente l expresión del ángulo ˆ en grdos, minutos y segundos: (1) 60' 3º,573 3º 0º,573 3º 0º,573 1º (3) (2) 3º 34',38 3º 34' 0',38 60'' 3º 34' 0',38 1' 3º 34' 22'',8 3º34'22'',8 Verifi los resultdos otenidos utilizndo tu luldor ientífi, l ul oper en este sistem en el modo DEG (DEGREE) Prolems de Apliión 1) Clul el vlor de ˆ, expresdo en grdos, minutos y segundos: ) ˆ 2,8 1735' ) 5ˆ 83' 25, 4 2 2) ) Reliz el gráfio que orrespond l siguiente desripión: d interior l que es reto, e d e, d e 1Reto ) Clul l medid de d y e 4 P O L I T E C N I C O

6 3) Determin el vlor del ángulo uyo dole es igul su omplementrio disminuido en 20. 4) L sum entre el triple de l medid de un ángulo y l medid del suplemento del mismo es 210. Hllr l medid del mismo. Reuerd: Ángulos omplementrios: dos ángulos son omplementrios undo l sum de sus medids es l medid de un ángulo reto. Ángulos suplementrios: dos ángulos son suplementrios undo l sum de sus medids es l medid de un ángulo llno. 5) Clul l medid de los ángulos omplementrios, siendo que uno de ellos es l mitd del otro. 6) Hll l medid de y, teniendo en uent que son omplementrios y que l medid de es igul l urt prte de l medid de. 7) Si 72º 33' y el omplemento de es 57º 44' 42' ',lul 8) Si el ángulo mide 24 10, lul el triple de 1 siendo 3010'. 2 9) Si ' 59' ' y 30 10' 20' ' ; lul: ) El omplemento de más el suplemento de. ) L mitd de menos l quint prte de. PROPIEDAD Los ángulos onjugdos internos (externos) determindos por dos rets prlels ortds por un terer son suplementrios. Dtos o hipótesis: H) A //B y C trnsversl α y β son onjugdos internos C A B Pr relizr l demostrión prtimos de iertos dtos o informión (HIPÓTESIS) que se onsidern verdderos y llegmos un resultdo o onlusión (TESIS) medinte el rzonmiento (DEMOSTRACIÓN) P O L I T E C N I C O 5

7 Reliones Métris Mtemáti Tesis: T) 2R Demostrión: D) Considermos un ángulo uxilir δ dyente l ángulo α Complet : AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES (1).... (2)... pues... pues son.entre A //B/`/ C sustituimos en (1) por (2) Con lo que qued demostrd l propiedd pr ángulos onjugdos internos. Te proponemos que relies l demostrión pr los ángulos onjugdos externos 10) Si y son ángulos onjugdos internos entre rets prlels interseds por 2 un terer y. Clul l medid de los ángulos y. 3 11) Los ángulos y son onjugdos externos entre prlels y l medid de es l urt prte de l medid de. Clul y. 12) Siendo A // B C, en d prtdo, lulr l medids de los ángulos de l figur. B ) ˆ = 2( ,7) ) ˆ = 3 ˆ 1 ) ˆ = ˆ 6 d) ˆ = 3 x y ˆ = 12 x A C 6 P O L I T E C N I C O

8 13) En l figur d // d Clul en d prtdo, según los dtos, l medid de los ángulos interiores del ) ˆ = ,7 isetriz de d ) ˆ = 2x + 30 ˆ = 6x ˆ = 5x 14) Siendo que y d y Demostrr que: ) // d e ) e // f f d P O L I T E C N I C O 7

9 Reliones Métris Mtemáti 2. SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO TEOREMA: L sum de los ángulos interiores de un triángulo es un llno, o se 2 R Dtos o hipótesis: H) Conlusión o tesis: T) â ˆ ĉ 2R Demostrión: D) S Considermos un ret S prlel l ldo opuesto que pse por un vértie. Quedn determindos dos ángulos onseutivos l ˆ que llmremos ˆ yˆ. Complet pr otener l demostrión AFIRMACIONES (1)... JUSTIFICACIONES pues.... son son lternos internos entre // S /`/ sustituimos en (1) por y por on lo que qued demostrdo el teorem. Oservión: omo hrás notdo, l demostrión de este teorem supone l eptión del quinto postuldo de Eulides: por un punto exterior un ret ps un y solo un prlel dih ret 8 P O L I T E C N I C O

10 TEOREMA DEL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO Todo ángulo exterior de un triángulo es ongruente on l sum de los dos ángulos interiores no dyentes y myor que ulquier de ellos H) T) y ; ángulo exterior : de Demostrión: (1) 2R porque. (2) 2R Igulndo ls expresiones (1) y (2) result porque.. Oservmos que mos miemros está sumndo el mismo ángulo por lo tnto Además el resultdo de un sum es myor que d sumndo por lo tnto y 3. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Contest ls siguientes propuests justifindo tu respuest: En el triángulo qué lse de ángulos serán y si es reto u otuso? si es reto qué puedes deir de y? L respuest ests uestiones onstituye l demostrión de los orolrios del teorem que ontinuión enunimos. P O L I T E C N I C O 9

11 Reliones Métris Mtemáti Sólo un ángulo de un triángulo puede ser reto u otuso Si un ángulo de un triángulo es reto, los otros dos son omplementrios 3.1 Según sus ángulos Ests propieddes permiten efetur un lsifiión de los triángulos tendiendo sus ángulos. Podemos definir: Todo triángulo on un ángulo reto se denomin retángulo A los ldos del ángulo reto se los denomin tetos, l ldo opuesto l ángulo reto, hipotenus Triángulo otusángulo es el que posee un ángulo otuso Result, de uerdo on uno de los orolrios nteriores que el triángulo otusángulo posee dos ángulos gudos. Triángulo utángulo es el que posee los tres ángulos gudos 10 P O L I T E C N I C O

12 En se ests definiiones, en el onjunto de los triángulos pueden distinguirse los siguientes suonjuntos no víos. T = triángulos T O R A O = triángulos otusángulos R = triángulos retángulos A = triángulos utángulos Oserv que: O R R A O A O R A T O, R y A determinn un prtiión de T en 3 suonjuntos 3.2 Según sus ldos Teniendo en uent l lsifiión de los triángulos según sus ldos, surge: Todo triángulo que posee sus tres ldos ongruentes se denomin equilátero Todo triángulo que posee l menos dos de sus ldos ongruentes se denomin isóseles r rp rq El ldo pq es se En un triángulo isóseles l ldo desigul se lo llm se p q Todo triángulo que no posee ningún pr de ldos ongruentes se denomin esleno m h t P O L I T E C N I C O 11

13 Reliones Métris Mtemáti Simolizmos los onjuntos I = { triángulos isóseles} E = { triángulos eslenos} Q = { triángulos equiláteros } De l definiión, es inmedito que : Q I I E I E T En un mismo digrm se muestr l prtiión de T (según sus ángulos) en 3 suonjuntos, en form vertil, y su prtiión en 2 suonjuntos (según sus ldos), en form horizontl; uindo el onjunto de los triángulos equiláteros inluido en A I T I O R A Q E Justifi por qué Q A I En el digrm de lsifiión de los triángulos, mr omo se te indi, dónde se enuentr un triángulo on ls rterístis siguientes: Retángulo isóseles, on un º Retángulo esleno, on un Otusángulo isóseles, on un Otusángulo esleno, on un Isóseles equiángulo, on un * 12 P O L I T E C N I C O

14 4. PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES: L isetriz del ángulo opuesto l se del triángulo isóseles está inluid en l meditriz de l se. Se un triángulo en el ul, o se isóseles y onsideremos l SE tl que el eje E inluy l isetriz del Entones y omo por dto ˆ s E (1) (1) se() se() (*) E (1) por P5 Si S E entones E es l meditriz de Si llmmos on m l punto de interseión de l se on l isetriz del ángulo opuesto l mism, lo nterior lo podemos simolizr sí: m m m isetriz de ˆ m y m m demás se por (*) por (*) por perteneer l eje (3) â ĉ â ĉ ( * *) (3) por definiión de ongrueni por l onlusión ( **) podemos firmr que Los ángulos dyentes l se de un triángulo isóseles son ongruentes P O L I T E C N I C O 13

15 Reliones Métris Mtemáti Se puede justifir tmién que: Es sufiiente que un triángulo pose dos ángulos ongruentes pr segurr que es isóseles Ls dos últims propieddes pueden reunirse estleiendo que: En todo triángulo ángulos ongruentes se le oponen ldos ongruentes y reípromente Demuestr que todo triángulo equilátero es equiángulo Prolems de pliión En lo suesivo, enontrrás prolems uyo enunido se individuliz on el símolo (). Esto signifi que es un propiedd muy importnte en l resoluión de futuros prolems 15) Indi ls rterístis geométris de los triángulos perteneientes d uno de los siguientes onjuntos: ) O I ) I A e) R E ) R I d) E A f) Q A 16) Estlee l flsedd o veridd de d un de ls siguientes expresiones, justifindo tu respuest ) equilátero isóseles ) isóseles equilátero ) equilátero equiángulo d) Cd ángulo de un triángulo equilátero mide 60º 17) Ddo, onstruye un triángulo isóseles de se Es únio? 14 P O L I T E C N I C O

16 18) Clul l medid de los ángulos de ulquier triángulo retángulo isóseles. 19) () Demuestr que si los ángulos onjugdos internos (externos) entre 2 rets oplnres interseds por un terer son suplementrios, dihs rets son prlels. 20) Demuestr que ls isetries de los ángulos onjugdos internos entre prlels son perpendiulres. 21) En l figur 40º y 26º d es retángulo en d, Hll l medid de, y. Justifi los psos que reliz 22) x z y t Si z punto medio de xt y zt 1 demuestr que x y z t 2 zy 23) En l figur es isetriz de d, e isetriz de e d, d 32 Clul l medid de d y d 51 d P O L I T E C N I C O 15

17 Reliones Métris Mtemáti 24) Clul l medid de los ángulos interiores del qsh 81º y pst 34º.Justifi el proedimiento que relizs rst,siendo que rt // sp, 25) Si es isóseles on y 68º 20' 12" ) lul l medids de y. ) determin l medid del ángulo exterior orrespondiente l 26) En un triángulo mn p los ángulos del triángulo. es 2 m p y 3 p n. Determin ls medids de d uno de 27) Siendo que y = 102º,6; lul d uno de los ángulos del triángulo. 28) En un triángulo, un ángulo interior es de 35º 40 y un ángulo exterior no dyente él es de 150º 10. Determin l medid de los otros dos ángulos interiores. 29) Clul l medid de los ángulos interiores del triángulo uidos según muestr el gráfio, pr d so: rsty del ángulo exterior ) r 2x 14º s 5x 3º t 6x 13º ) ) 3 x 46º 145 º t 6x 28º r 2 x r s s 2r s ω t r 16 P O L I T E C N I C O

18 30) En un triángulo retángulo uno de los ángulos gudos es el uádruplo del otro. Cuál es l medid de d uno de ellos? 31) () Demuestr que l sum de los ángulos interiores de un udrilátero es ) Si n// y n ise t demuestr que es isóseles t n 33) Si el ángulo opuesto l se de un triángulo isóseles es de 114º, lul los ángulos de l se. 34) Si â 4822'32'' ; ˆ 3â 9035'. Clul: ˆ ; ˆ y ĉ. P O L I T E C N I C O 17

19 Reliones Métris Mtemáti 5. ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN POLÍGONO CONVEXO 5.1 Sum de los ángulos interiores de un polígono Diuj un udrilátero, un pentágono, un hexágono y un otógono, tom en d uno de ellos un punto interior y únelo on segmentos sus vérties Cuántos triángulos quedn determindos?... Qué regulridd desures? Consideremos un polígono onvexo ulquier de n ldos, se oserv que l trzr todos los segmentos desde un punto interior del mismo, qued desompuesto en n triángulos. L sum de los ángulos interiores de dihos triángulos será 2R n. Entones l sum de los ángulos interiores del Polígono de n ldos, que simolizmos on Sn result: e d f o g h Sn = d e... 2Rn 4R (4R es l sum de los ángulos de vértie o) Expresndo 4 R = 2. 2R Sn = 2Rn 2.2R = 2R.(n - 2) (Por Propiedd distriutiv) Sn = 2 R (n 2 ) 5.2 Sum de los ángulos exteriores de un polígono L sum de los ángulos exteriores de un polígono onvexo es de 4 R Completndo ests proposiiones demostrrás est propiedd 18 P O L I T E C N I C O

20 d e i e En d vértie un ángulo interior ( i ) y su exterior orrespondiente ( e ) sumn... o se i + e =... (*) En un polígono de n ldos, hy... vérties, en d vértie existe un ángulo interior y uno exterior que verifin (*) por lo ul l sum de todos los ángulos interiores (Sn) y l de todos los exteriores (Se) es..., o se Sn + Se = 2 R. n (1) y omo se se que Sn = 2 R.n - 4R reemplzndo en (1) result : 2R.n - 4R + Se = 2Rn Se = 2R n - 2R n + 4R o se : Se = 4R Prolems de pliión 35) En un udrilátero d es 2, d 3. Determin l medid de d uno de los ángulos del udrilátero.(sugereni : plnte l euión en funión del ) 36) En un hexágono tres de sus ángulos interiores sum 427º Los otros tres ángulos son ongruentes. Cuál es l medid de d uno de esos ángulos? 37) En qué polígono l sum de sus ángulos interiores es de 1080º? 38) Complet l siguiente tl n Sn º º R P O L I T E C N I C O 19

21 Reliones Métris Mtemáti 39) Si reordmos que Un polígono es regulr si y solo si sus ldos y ángulos son ongruentes determin l medid de un ángulo interior de ) un pentágono regulr ) un heptágono regulr 40) En qué polígono regulr el ángulo exterior es 5 1 del ángulo interior dyente él? 41) Si ontests firmtivmente ls siguientes pregunts, greg uántos ldos tiene el polígono regulr en ese so: ) Puede ser 45º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? ) Puede ser 100º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? ) Puede ser 140º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? d) Puede ser 60º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? e) Puede ser 135º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? f) Puede ser 156º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? t 42) Se el hexágono regulr e d de l figur def. Demuestr que x y t es equilátero. x f y 43) Demuestr que el udrilátero d, l sum de los ángulos igul l ángulo onvexo ˆd., y es d 20 P O L I T E C N I C O

22 L revisión y tulizión de este punte estuvo rgo de los profesores: Veróni Filotti y Mrí del Luján Mrtínez Biliogrfí : GEOMETRÍA METRICA- RELACIONES MÉTRICAS de Susn S. de Hinrihsen, Noemí B. de González Beltrán y Lilin L de Cttneo TRIGONOMETRÍA de Jun Crlos Bue, Dniel Cndio, Veróni Filotti, Noemí Lgre y M. del Luján Mrtínez. Impreso por Reursos del IPS TRIGONOMETRÍA de : A. Nssini,L de Cttneo y N. Bushizzo. MATEMATICA 1 (9º Ediión) de An M. Bogni, Els Di Estévez y Mry G. Ohrriz. Editoril Plus Ultr. Año 1995 Crpet de Mtemáti 8 (1º ediión)de Grvent, Legoruru, Rods y Turno. Editoril Aique. Año 2001 P O L I T E C N I C O 21