Investigación de Operaciones II
|
|
- Valentín Miguélez Ponce
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Investigación de Operaciones II Árbol de Decisión Teoría de Decisión B Probabilidad A priori A Caso de Estudio C Probabilidad A posteriori Sin información perfecta D E Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés. Con información perfecta
2 INTRODUCCION Toma de decisiones sin experimentación Toma de decisiones con experimentación
3 TOMA DE DECISIONES SIN EXPERIMENTACIÓN
4 ESQUEMA ALTERNATIVAS FACTIBLES (Estrategias del tomador de decisiones. Selecciona sólo una) VS ESTADO DE LA NATURALEZA (Estrategias de la naturaleza. Sucesos inciertos, se conocen o se tiene idea de sus probabilidades)
5 MARCO CONCEPTUAL El tomador de decisiones necesita elegir una de las alternativas posibles. La naturaleza elegirá uno de los estados de la naturaleza. Cada combinación de una acción y un estado de la naturaleza da como resultado un pago, que se da por medio de una tabla de pagos. La tabla de pagos se usa para encontrar una acción óptima para el tomador de decisiones según un criterio adecuado.
6 MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA EL ANÁLISIS DE DECISIONES ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS N1 N2 Nn A1 Q11 Q12 Q1n A2 Q21 Q22 Q2n Am Qm1 Qm2 Qmn
7 NOTA: El tomador de decisiones elige su estrategia para promover su propio beneficio. Por el contrario la naturaleza es un jugador pasivo que elige sus estrategias de manera aleatoria. El tomador de decisiones tiene información para tener en cuenta sobre la posibilidad de los estados de la naturaleza. Esta información se traduce en una distribución de probabilidad. El estado de la naturaleza es una variable aleatoria (distribución a priori).
8 MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA EL ANÁLISIS DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A PRIORI ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS N1 N2 Nn A1 Q11 Q12 Q1n A2 Q21 Q22 Q2n Am Qm1 Qm2 Qmn PROB. A PRIORI P1 P2 Pn n i 1 P i 1
9 DOS CONCEPTOS IMPORTANTES A priori: independiente de la experiencia, es decir, que ésta supone pero no puede explicar, aunque sea necesario a la posibilidad de la experiencia; a priori no designa, pues, una anterioridad psicológica, sino una anterioridad lógica o de validez. En la filosofía escolástica, [razonamiento] que desciende de la causa al efecto, o de la esencia de una cosa a sus propiedades.
10 A posteriori Que proviene o depende de la experiencia. En la filosofía escolástica, [razonamiento] que asciende del efecto a la causa o de las propiedades de una cosa a su esencia.
11 FORMULEMOS UN EJEMPLO Un ingenio es dueño de unos terrenos en los que puede haber petróleo. Un geólogo consultor ha informado que piensa que existe una posibilidad entre cuatro de encontrar petróleo. Otra posibilidad es sembrar caña en estos terrenos. El costo de la perforación es de dólares. Si encuentra petróleo el ingreso esperado será de dólares. Si no se encuentra petróleo se incurre en una pérdida de dólares. Por otro lado la caña producirá un ingreso de dólares.
12 TABLA DE PAGOS PARA EL ANALISIS DE DECISION DEL PROBLEMA DEL INGENIO (Ganancia o pérdida) ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVA Petróleo Seco Perforar Sembrar caña Probabilidad a priori
13 Árbol de decisión con probabilidad a priori
14 CRITERIO DEL PAGO MÁXIMO Para cada acción posible, encuentre el pago mínimo sobre todos los estados de la naturaleza. Después encuentre el máximo de estos pagos mínimos. Elija la acción cuyo pago mínimo corresponde a este máximo.
15 EXPLICACIÓN Este criterio elige la acción que proporciona el mejor pago para el peor estado de la naturaleza. Proporciona la mejor garantía del pago que se obtendrá. Sin importar cual sea el estado de la naturaleza el pago por vender el terreno no puede ser menor que 90.
16 Este razonamiento es válido cuando se está compitiendo con un oponente racional. Este criterio casi no se usa contra la naturaleza.
17 CRITERIO DE LA MÁXIMA POSIBILIDAD Identifique el estado más probable de la naturaleza (aquel que tenga la probabilidad a priori más grande). Para este estado de la naturaleza, encuentre la acción con máximo pago.
18 En nuestro ejemplo, el estado seco tiene la mayor probabilidad a priori. En la columna seco el pago máximo corresponde a la siembra de caña.
19 EXPLICACIÓN La acción elegida es la mejor para el estado más importante de la naturaleza. Desventaja: Ignora otra información. No considera otro u otros estados de la naturaleza distintos al más probable.
20 REGLA DE DECISIÓN DE BAYES Usando las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza (en este caso las probabilidades a priori), se calcula el valor esperado del pago de cada acción posible. Se elige la acción con máximo pago esperado.
21 Para nuestro ejemplo VME[pago (perforar)] = 0.25* *(-100) = 100 VME[pago (sembrar)] = 0.25* *(90) = 90 Como 100 > 90, la decisión es perforar. Por ser el mayor VME.
22 RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL CRITERIO DE BAYES ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO VME (ESPERANZA) PERFORAR MAX SEMBRAR C MIN PROB. A PRIORI
23 EXPLICACIÓN La mayor ventaja de este criterio es que incorpora toda la información disponible (pagos, estimaciones de las probabilidades de los estados de la naturaleza). La mayor crítica es que las probabilidades a priori no dejan de ser subjetivas.
24 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Nos centraremos en el análisis de sensibilidad sobre las probabilidades a priori. Queremos saber cómo cambia nuestra decisión al cambiar las probabilidades a priori. Supongamos que sabemos con buena certeza que 0.15 < P(petróleo) < Esto implica que 0.65 < P(seco) < Comenzamos el A. de S. aplicando el criterio de Bayes para los dos casos extremos.
25 ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA PERFORAR MIN SEMBRAR C MAX PROB. A PRIORI VME 700*0.15 ( 100)* VME 90* *
26 ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA PERFORAR MAX SEMBRAR C MIN PROB. A PRIORI VME 700*0.35 ( 100)* VME 90* *
27 Conclusión: La decisión es muy sensible a la probabilidad a priori de encontrar petróleo. Lo cual nos dice que debemos de hacer algo más para tomar nuestra decisión.
28 CAMBIO DEL PAGO ESPERADO EN FUNCIÓN DE LA PROBABILIDAD A PRIORI Si p es la probabilidad a priori de encontrar petróleo entonces el pago esperado por perforar será: VME(pago perforar) = 700p 100(1-p) = 800p - 100
29 GRÁFICA DEL CAMBIO DEL PAGO ESPERADO
30 PUNTO DE CRUCE VME(pago perforar) = VME(pago caña) 800p 100 = 90 p = 190/800 = Se debe cultivar caña si p < Se debe perforar en busca de petróleo si p >
31 GENERALIZACIONES
32 MAS DE DOS ALTERNATIVAS Si se tiene más de dos alternativas entonces habrá más de dos rectas. Las partes superiores (para cualquier valor de la probabilidad a priori) seguirán indicando que alternativa debe elegirse. Los puntos de corte indica en donde la decisión cambia de una alternativa a otra.
33 MAS DE DOS ESTADOS DE NATURALEZA Se centra el análisis de sensibilidad en dos estados de la naturaleza. Esto significa investigar que pasa cuando la probabilidad a priori de un estado aumenta mientras la del otro disminuye en la misma cantidad y se mantienen fijas las probabilidades a priori de los estados restantes. Este procedimiento se repite para los pares de estados que se deseen.
34 TOMA DE DECISIONES CON EXPERIMENTACIÓN
35 INFORMACION COMPLEMENTARIA PARA TOMAR UNA DECISIÓN Una exploración sismológica obtiene sondeos sísmicos que indican si la estructura geológica es favorable o no a la presencia de petróleo. Con esto mejoramos la estimación de la probabilidad de que haya petróleo. Supongamos que el costo de este estudio es de dólares.
36 RESULTADOS DE LA EXPLORACIÓN DOS RESULTADOS POSIBLES: Es poco probable encontrar petróleo SSD (Sondeo sísmico desfavorable) Es bastante probable encontrar petróleo SSF (Sondeo sísmico favorable)
37 Por experiencia (datos históricos) tenemos las siguientes probabilidades condicionales: P(SSD estado = petróleo) = 0.4 P(SSF estado = petróleo) = = 0.6 P(SSD estado = seco) = 0.8 P(SSF estado = seco) = = 0.2
38 PROBABILIDADES A POSTERIORI Quisiéramos saber más bien las siguientes probabilidades, llamadas probabilidades a posteriori (Seguramente son más útiles que las anteriores) P(estado = petróleo resultado = SSD) P(estado = seco resultado = SSD) P(estado = petróleo resultado = SSF) P(estado = seco resultado = SSF)
39 EL TEOREMA DE BAYES NOS PERMITE CALCULAR ESTAS PROBABILIDADES Definición: Si A y B son eventos en un espacio de probabilidad la probabilidad condicional de A dado B denotada por P[A B] se define mediante la relación: P[A B] P[B] P[A B] =, con P[B] 0 Definición: Dos eventos A y B en un espacio de probabilidad son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye en el valor de la probabilidad del otro. Esto se expresa escribiendo: P[A B] = P[A] De lo anterior se deduce que P[A B] = P[A].P[B] si A y B son independientes.
40 Una fórmula que se deriva de la definición de probabilidad condicional es la siguiente: P[A B] = P[A]P[B A] = P[B]P[A B] y relaciona las probabilidades condicionales en términos de las probabilidades no condicionales P[A] y P[B]. Probabilidad total: Sea S un espacio muestral y B1, B2,...,Bn, eventos tales que definen una partición (*) en S y A cualquier evento en Fs entonces: P[A] = n i 1 P[A Bi ]P[Bi]
41 Teorema de Bayes: Sea S un espacio muestral y B1, B2,...,Bn, eventos tales que definen una partición en S y A cualquier evento en Fs entonces se cumple la relación: P[B k A] = n i P[A B 1 k P[A B ]P[B i k ] ]P[B ] i
42 TEOREMA DE BAYES COMO HERRAMIENTA EN LA TOMA DE DECISIONES P(estado i resultado j) n k 1 P(resultado j estado i) *P(estado i) P(resultado j estado k)*p(estado k)
43 CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI
44 P(estado = petróleo resultado = SSD) 0.4* * * P(estado = seco resultado = SSD) 0.8* * * o también
45 P(estado = petróleo resultado = SSF) 0.6* * * P(estado = seco resultado = SSF) 0.2* * * o también
46 DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA EL CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI
47 probabilidades independientes P(SSF) P(resultado) P(SSD)
48 CÁLCULO DEL PAGO ESPERADO TENIENDO EN CUENTA LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI
49 Pago esperado si el resultado es un sondeo desfavorable E(pago[perforar SSD]) 1 7 * *( 100) E(pago[s. caña SSD]) * *
50 RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL CRITERIO DE BAYES (SSD) ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA PERFORAR SEMBRAR C PROBABILIDAD A POSTERIORI (SSD) 1/7 6/7
51 Pago esperado si el resultado es un sondeo favorable E(pago[perforar SSF]) 1 2 * *( 100) E(pago[s. caña SSF]) * *
52 RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL CRITERIO DE BAYES (SSF) ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA PERFORAR SEMBRAR C PROBABILIDAD A POSTERIORI (SSF) 1/2 1/2
53 DECISIÓN, BAJO EXPERIMENTACIÓN, CON LA REGLA DE BAYES DESFAVORABLE (SD) SEMBRAR CAÑA FAVORABLE (SF) PERFORAR POR PETROLEO
54 VALOR DE LA EXPERIMENTACION Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valor potencial. Veremos dos métodos para evaluar este potencial, a saber: Valor esperado de la información perfecta. Valor esperado de la experimentación.
55 VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA (VEIP) Aquí se supone que la experimentación elimina toda incertidumbre sobre cual es el estado verdadero de la naturaleza y se hace un cálculo sobre cual sería la mejora en el pago esperado. Esta cantidad se llama valor esperado de la información perfecta. (cota superior para el valor del experimento) Pago esperado con información perfecta = 0.25* *90 = VEIP = PECIP pago esperado sin experim. VEIP = = 142.5
56 VEIP continuación Si el VEIP fuera menor que 30 entonces no se llevaría a cabo la experimentación. En nuestro caso el VEIP > 30, lo cual indica que puede valer la pena llevar a cabo la experimentación. Entramos a confirmar esto estudiando un segundo método: Valor Esperado de la Experimentación = VEE
57 VALOR ESPERADO DE LA EXPERIMENTACIÓN (VEE) En este caso no se calcula una cota superior para el incremento del pago esperado. Se calcula de manera directa este incremento esperado: Pago esperado de la experimentación = P(resultado j)*e(pago resultado j), j En esta expresión el cálculo de las esperanzas debe hacerse con las probabilidades a posteriori
58 VEE continuación De los cálculos anteriores sabemos que los valores de P(resultado j) son: P(SSD) = 0.7 y P(SSF) = 0.3 Así mismo los valores de E(pago resultado j), que se calcularon teniendo en cuenta las probabilidades a posteriori, son: E(pago resultado = SSD) = 90 E(pago resultado = SSF) = 300
59 VEE continuación El pago esperado con experimentación = 0.7* *300 = 153 El VEE será entonces: VEE = El pago esperado con experimentación - El pago esperado sin experimentación = = 53 > 30 Como este valor excede a entonces debe llevarse a cabo el sondeo de sismología
60 ÁRBOL DE DECISIÓN Es una manera de visualizar un problema de decisión mediante un esquema de árbol (red sin ciclos). Su objetivo es facilitar la comprensión del problema y los cálculos.
61 CONSTRUCCIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN
62
63 Los arcos = Ramas ELEMENTOS DEL ÁRBOL Puntos de ramificación = Nodos Nodo de decisión = Indica que debe tomarse una decisión (cuadrado) Nodo de probabilidad = Indica que ocurre un evento aleatorio (círculo)
64 CÁLCULOS, PRIMERA ETAPA
65 LOS NÚMEROS EN EL ÁRBOL Números debajo de ramas = Flujos de efectivo Números arriba de las ramas = Probabilidad (después de un nodo de probabilidad) (a priori o a posteriori) Números en cada nodo = Pagos esperados (Surgen del procedimiento de análisis)
66 CÁLCULOS, SEGUNDA ETAPA
67 ANÁLISIS Una vez calculado el árbol se hace el siguiente procedimiento de análisis 1. Iniciar en el lado derecho, moverse a la izquierda una columna a la vez, realizar el paso 2 o el 3 según los nodos sean de probabilidad (NP) o de decisión (ND). 2. Para cada NP calcular su pago esperado -PE- [(pago de c/rama) * (probabilidad de c/rama)] 3. Para cada ND, compare los PE de sus ramas y seleccione la alternativa cuya rama tenga mayor pago esperado.
68 BIBLIOGRAFÍA H. TAHA, Investigación de Operaciones, Ed. Alfaomega, México F. HELLIER, G. LIEBERMAN, Introducción a la investigación de operaciones, Ed. McGraw-Hill F. HILLIER, G. LIEBERMAN, MARK HILLIER. Métodos cuantitativos para administración, McGraw-Hill SCHEAFFER y MCCLAVE. (1993) "Probabilidad y Estadística para Ingeniería". México: Grupo Editorial Iberoamérica.
69 Árboles de decisión: Tarea en clase Un fabricante está considerando la producción de un nuevo producto. La utilidad incremental es de $10 por unidad y la inversión necesaria en equipo es de $ El estimado de la demanda es como sigue: Unidades Probabilidad
70 Árboles de decisión: ejemplo (continuación): Tiene la opción de seguir con el producto actual que le representa ventas de unidades con una utilidad de $5.5/unidad sin publicidad, con la opción de que si destina $ en publicidad podría, con una probabilidad de 80% conseguir ventas de unidades y de un 20% de que éstas sean de unidades Construya el árbol de decisión y determine la decisión óptima
71 Problemas para hacer en casa Del libro Métodos cuantitativos para administración. Frederck y Mark Hiller y Lieberman. McGraw-Hiil 2001 Página , los ejercicios 2,3, 5,6,7,8,10
UNLPam - Fac. Cs. Econ. y Jur.
Bibliografía Anderson, Sweeney y Williams; Introducción a los modelos cuantitativos para Administración. Grupo Editorial Iberoamérica. Eppen, Gould, Schmidt, Moore, Weatherford; Investigación de Operaciones
Más detallesProyecto de fin de Máster: Transformación de riesgos en oportunidades de negocio
Proyecto de fin de Máster: Transformación de riesgos en oportunidades de negocio Máster de Calidad y Excelencia Empresarial Año de realización: 2010-2011 TUTOR: Mariano Prieto Corcova ALUMNOS Irene Monasterio
Más detallesInvestigación Operativa
Investigación Operativa Unidad: Teoría de decisiones y modelos de programación lineal Docente: Johnny. Pacheco Contreras Unidad Teoría de decisiones y modelos de programación lineal. Logro Al finalizar
Más detallesFacultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA Ingenierías RH-Amb-Ag TEORÍA
Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA Ingenierías RH-Amb-Ag TEORÍA UNIDAD I Probabilidad QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? La Estadística se ocupa de los métodos
Más detallesTEORIA DE DECISIONES
TEORIA DE DECISIONES En economía y administración existen ciertos tipos de problemas en los que no es posible obtener muestras(información objetiva) para estimar ciertas características de la población.
Más detallesArboles de decisión. Area de Computación e Inteligencia Artificial
Arboles de decisión 1 Teoría de la decisión Hemos estudiado las redes bayesianas como instrumento para el diagnóstico en presencia de incertidumbre. La idea ahora es aprovechas ese diagnóstico para decidir
Más detallesBloque I: Estadística y Probabilidad
Bloque I: Estadística y Probabilidad 1. Probabilidad 1. Teoría de la probabilidad 2. Probabilidad condicionada 3. Dependencia e independencia de sucesos 4. Técnicas de recuento: diagramas de árbol, tablas
Más detallesUniversidad Mariano Gálvez Estadística y probabilidad para Ingeniería Sección B. UNIDAD 2 PROBABILIDAD
Universidad Mariano Gálvez Estadística y probabilidad para Ingeniería Sección B. UNIDAD 2 PROBABILIDAD PRESENTA DRA. EN ING. RITA VICTORIA DE LEÓN ARDÓN 2.Trabajo en equipo 3. Estudio independiente 1.
Más detallesEL VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA. M. En C. Eduardo Bustos Farías
EL VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 MODELO DE DECISION CON INCERTIDUMBRE CON PROBABILIDADES Los estados de la naturaleza tienen distinta probabilidad de ocurrencia
Más detallesincertidumbre y riesgo Begoña Vitoriano Villanueva
Teoría de la Decisión: Decisión con incertidumbre y riesgo Begoña Vitoriano Villanueva Teoría de la decisión: Introducción Decisión: elegir lo mejor entre lo posible Definir lo mejor y lo posible Lo mejor:
Más detallesArboles de decisión. Area de Computación e Inteligencia Artificial
Arboles de decisión Teoría de la decisión Hemos estudiado las redes bayesianas como instrumento para el diagnóstico en presencia de incertidumbre. La idea ahora es aprovechar ese diagnóstico para decidir
Más detallesExperimento Aleatorio o ensayo
Clase 5 1 Experimento Aleatorio o ensayo Es un proceso o acción cuyo resultado es incierto, es decir no es predecible. Es factible de ser repetido infinitas veces, sin modificar las condiciones. Repetición
Más detallesDar una introducción sobre la asignatura IO Familiarizar al estudiante con las características y aplicación del modelo de matriz de decisiones
I Unidad: Introducción a al Investigación de Operaciones. Contenidos: 1. Breve reseña histórica de la l. De O. 2. Concepto de la l. De O. 3. Objeto de Estudio de la l. De O. 4. Introducción a la teoría
Más detallesIntroducción. Proceso de toma de decisión: Elegir lo mejor entre lo posible. Decisión multicriterio Teoría de juegos
Teoría de la Decisión Introducción Proceso de toma de decisión: Elegir lo mejor entre lo posible Decisión con incertidumbre o riesgo Decisión multicriterio Teoría de juegos Decisión en una etapa E={E 1...E
Más detallesExperimentos aleatorios Es posible repetir cada experimento indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones Aunque en general no podemos ind
Notas de clase Este material está sujeto a correcciones, comentarios y demostraciones adicionales durante el dictado de las clases, no se recomienda su uso a aquellos alumnos que no concurran a las mismas
Más detallesANÁLISIS DE DECISIONES. M. En C. Eduardo Bustos Farías 1
ANÁLISIS DE DECISIONES M. En C. Eduardo Bustos Farías M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 HERRAMIENTAS PARA LA TOMA DE DECISIONES TABLAS DE DECISION O MATRIZ DE PAGOS M. En C. Eduardo Bustos Farías 2 Matriz
Más detallesMétodos Estadísticos Capítulo II
Métodos Estadísticos Capítulo II Dr. Gabriel Arcos Espinosa Contenidos El campo de la probabilidad y estadística Conceptos básicos Enfoque para asignar probabilidades Contenidos Reglas de probabilidad
Más detallesIndependencia de Sucesos
Independencia de Sucesos 2do C. 2018 Clase Nº 2 Mg. Stella Figueroa Independencia de Sucesos Dos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia de A no tiene influencia en la ocurrencia de B. Dos
Más detallesBases Formales de la Computación: Sesión 1. Probabilidad Discreta
Bases Formales de la Computación: Sesión 1. Probabilidad Discreta Prof. Gloria Inés Alvarez V. Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación Pontificia Universidad Javeriana Cali 11 de abril
Más detallesPROBABILIDAD ALGUNAS DEFINICIONES
PROBABILIDAD La probabilidad es la rama de la matemática que mide la incertidumbre. Si bien es cierto que surgió de los juegos de azar, en la actualidad tiene variadas aplicaciones. Para calcular el tamaño
Más detallesEl Valor esperado de la información n perfecta
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO El Valor esperado de la información n perfecta M. En C. Eduardo Bustos Farías as 1 MODELO DE DECISION CON INCERTIDUMBRE CON PROBABILIDADES Los
Más detallesPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Pablo Torres Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniera y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario Unidad 2: Probabilidad INTRODUCCIÓN Al lanzar un dado muchas veces veremos
Más detallesMétodos de Inteligencia Artificial
Métodos de Inteligencia Artificial L. Enrique Sucar (INAOE) esucar@inaoep.mx ccc.inaoep.mx/esucar Tecnologías de Información UPAEP Agentes que razonan bajo incertidumbre Introducción Repaso de probabilidad
Más detallesCualquier problema de decisión, tiene ciertas características que describe su naturaleza y además pueden proporcionar alternativas para su solución.
TOMA DE DECISIONES INTRODUCCION Para una persona que toma decisiones, es difícil tener en cuenta todos los factores que inciden en la decisión, por tanto, es indispensable encontrar alguna manera de descomponer
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA INGENIERÍA DE SISTEMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA INGENIERÍA DE SISTEMAS M.I. JUAN ANTONIO DEL VALLE FLORES TEORÍA DE DECISIONES: BUSQUEDA DE AGREGADOS
Más detallesAXIOMAS DE PROBABILIDAD: REGLA DE LA ADICIÓN
AXIOMAS DE PROBABILIDAD: REGLA DE LA ADICIÓN Conocida ahora la probabilidad de un evento, se pueden reunir ciertas características conocidas como axiomas de probabilidad que satisfacen la probabilidad
Más detallesEn el resultado de los experimentos aleatorios interviene el azar, cuando ésto no ocurre así, hablaríamos de sucesos deterministas.
1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y SUCESOS Un experimento aleatorio es aquel que cumple las siguientes condiciones: Se conocen todos sus posibles resultados No se puede conocer el resultado que se obtendrá
Más detallesMaestría en Bioinformática Probabilidad y Estadística: Clase 1
Maestría en Bioinformática Probabilidad y Estadística: Clase 1 Gustavo Guerberoff gguerber@fing.edu.uy Facultad de Ingeniería Universidad de la República Abril de 2010 Contenidos 1 Introducción 2 Teoría
Más detallesPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Universidad de la República Facultad de Ingeniería PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Curso 2018 - Primer Semestre Práctico 2: Definición axiomática y probabilidad condicional. SOLUCIÓN Ejercicio 1 Un dado cargado
Más detallesANÁLISIS DE DECISIONES
ANÁLISIS DE DECISIONES M. En C. Eduardo Bustos Farías M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 Matriz de Pagos Una matriz de pagos muestra los resultados correspondientes a todas las combinaciones de alternativas
Más detallesAsignaturas antecedentes y subsecuentes
PROGRAMA DE ESTUDIOS PROBABILIDAD Área a la que pertenece: Área Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Créditos: 8 Clave: F0056 Asignaturas antecedentes y subsecuentes PRESENTACIÓN
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE TAMAULIPAS FACULTAD DE INGENIERÍA ARTURO NARRO SILLER
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE TAMAULIPAS FACULTAD DE INGENIERÍA ARTURO NARRO SILLER CARTA DESCRIPTIVA Carrera: INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES. Materia:. Titular: Correo electrónico: NUMERO DE UNIDAD:
Más detallesProbabilidades. Gerardo Arroyo Brenes
Probabilidades Gerardo Arroyo Brenes Teoría de las Probabilidades Experimento: Es toda acción o proceso que produce resultados bien definidos. Ejemplos: Experimento Resultado: Lanzar una moneda Cara o
Más detallesFecha de elaboración: 2003 Fecha de última actualización: F1232 Probabilidad y Estadística 1/9
Programa elaborado por: PROGRAMA DE ESTUDIO PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Programa Educativo: Área de Formación : Licenciatura en Física Integral Profesional Horas teóricas: 4 Horas prácticas: 0 Total de
Más detallesGestión de los Riesgos del Proyecto basado en los estándares del PMI. Ing. Osvaldo Martínez Gómez, MSc, MAP
Gestión de los Riesgos del Proyecto basado en los estándares del PMI Ing. Osvaldo Martínez Gómez, MSc, MAP San José, Costa Rica - 2012 1 Análisis Cualitativo de los Riesgos Evaluación de la Probabilidad
Más detallesAnálisis de decisión
Universidad del CEMA Evaluación de Riesgo Agropecuario Arboles de Decisión Ariadna Berger Análisis de decisión El análisis de decisión se puede usar para seleccionar una estrategia cuando quien tiene que
Más detallesEnseñanza de la Probabilidad: Perspectivas para el aprendizaje de la probabilidad
Enseñanza de la Probabilidad: Perspectivas para el aprendizaje de la probabilidad Soledad Estrella IV Simposio Estadística y Probabilidad en el aula escolar IMA - PUCV diciembre- 2017 Proyecto Fondecyt
Más detallesAnálisis de. Análisis de. Decisiones:
Análisis de : Tablas de Pagos y Árboles de Decisión Fragoso Iñiguez I Marisol Salazar Rosales Leandro Julián Noviembre, 06 Tablas de Pagos Una situación de decisión en condiciones de incertidumbre puede
Más detallesCálculo de probabilidad. Tema 1: Combinatoria y probabilidad
Cálculo de probabilidad Tema 1: Combinatoria y probabilidad Guión Guión 1.1. Análisis combinatorio Regla de multiplicación Este es el método de conteo más sencillo que existe. Supongamos que realizamos
Más detallesTema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto
Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Octubre 2010 Contenidos...............................................................
Más detallesTeoría de la Decisión: Decisión con incertidumbre y riesgo. Begoña Vitoriano Villanueva
Teoría de la Decisión: Decisión con incertidumbre y riesgo Begoña Vitoriano Villanueva Teoría de la decisión: Introducción Decisión: elegir lo mejor entre lo posible Definir lo mejor y lo posible Lo mejor:
Más detallesPROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
UNIDAD 1 PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Datos numéricos o mero azar? 1 Datos numéricos o mero azar? Datos numéricos o mero azar? Gerentes o administradores
Más detallesVALOR DE LA INFORMACION EN LAS DECISIONES
VALOR DE LA INFORMACION EN LAS DECISIONES JUAN ANTONIO DEL VALLE F. Existen algunos problemas de decisiones bajo riesgo que son susceptibles de agregarles información útil que describa mejor el problema
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS FACULTAD DE INGENIERÍA CAMPUS I PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS FACULTAD DE INGENIERÍA CAMPUS I PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA NIVEL: LICENCIATURA CRÉDITOS: 9 CLAVE: ICAD24.500919 HORAS TEORÍA: 4.5 SEMESTRE: CUARTO HORAS PRÁCTICA: 0 REQUISITOS:
Más detallesTema 3: PROBABILIDAD - III
Tema 3: PROBABILIDAD - III Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes. Tablas de contingencia y el lenguaje de las pruebas diagnósticas. Odds (probabilidades). Biología sanitaria 2017/18. Universidad
Más detallesEstadística I Tema 4: Probabilidad
Estadística I Tema 4: Probabilidad Tema 4. Probabilidad Contenidos Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Definición de probabilidad. Propiedades. Probabilidad condicionada
Más detallesUnidad 1: Probabilidad
Cuál es la probabilidad de aprobar Introducción a la Probabilidad y Estadística? - - Introducción a la Probabilidad y Estadística Unidad 1: Probabilidad Cuál es la probabilidad de no encontrarme un embotellamiento
Más detallesCÁLCULO DE PROBABILIDADES. Prof. Eliana Guzmán U.
UNIDAD II. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015 Tema 1. Conceptos Básicos de Probabilidades bilid d Introducción: los fenómenos que, generalmente son objeto
Más detallesFACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN LICENCIATURA EN CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRACIÓN PÚBLICA PROGRAMA DE ASIGNATURA
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN LICENCIATURA EN CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRACIÓN PÚBLICA PROGRAMA DE ASIGNATURA CLAVE 5º SEMESTRE MÉTODOS PARA LA TOMA
Más detallesTAREA 1: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES III CUATRIMESTRE
TAREA 1: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES III CUATRIMESTRE 2015 Profesor: Ing. Julio Rito Vargas 1. Resuelva el problema de flujo de costo mínimo de la gráfica, haga uso de software. Las cantidades sin paréntesis
Más detallesLa asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades:
La asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades: Intelectuales, como: El razonamiento lógico y flexible, la imaginación, la inteligencia espacial, el cálculo mental, la creatividad,
Más detalles( ) Nueva creación ( x ) Reestructuración ( ) Ajuste. ( x ) Obligatoria ( ) Electiva u optativa ( ) Complementaria ( ) otra.
A) NOMBRE DEL CURSO: ESTADÍSTICA APLICADA A NEGOCIOS B) DATOS BÁSICOS DEL CURSO Tipo de propuesta curricular: Tipo de materia: Materia compartida con otro PE o entidad académica Semestre Horas de teoría
Más detallesEXPERIMENTO ALEATORIO
EXPERIMENTO ALEATORIO En concepto de la probabilidad, un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, en otras palabras,
Más detallesESTADISTICA GENERAL. PROBABILIDADES Profesor: Celso Celso Gonzales
ESTADISTICA GENERAL PROBABILIDADES Profesor: Celso Celso Gonzales OBJETIVOS Desarrollar la comprensión de los conceptos básicos de probabilidad. Definir que es probabilidad Definir los enfoques clasico,
Más detallesFecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010
PROGRAMA DE ESTUDIO Programa Educativo: Área de Formación : Licenciatura en Ciencias Computacionales Integral Profesional Programa elaborado por: Probabilidad Horas teóricas: 2 Horas prácticas: 2 Total
Más detallesToma de decisiones con riesgo
Toma de decisiones con riesgo 1.4. Toma de decisiones con riesgo Es una situación en la cual podrán presentarse varios posibles estados de la naturaleza, y se conocen las probabilidades de todos ellos.
Más detallesUNIVERSIDAD DE COSTA RICA XS0111 Estadística Introductoria I Prof. Olman Ramírez Moreira
UNIVERSIDAD DE COSTA RICA XS0111 Estadística Introductoria I Prof. Olman Ramírez Moreira Levin & Rubin. Estadística para Administradores Gómez Barrantes, Miguel. Elementos de estadística descriptiva 1
Más detalles1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1.1 EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS 1.1.1 Definiciones Experiencia aleatoria: experiencia o experimento cuyo resultado depende del azar. Suceso aleatorio: acontecimiento que
Más detallesSistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad
Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad Indice 1) Sucesos Aleatorios. 2) Espacio Muestral. 3) Operaciones con Sucesos. 4) Enfoques de la Probabilidad.
Más detallesCarrera: INGENIERIA ZOOTECNISTA E S T A D I S T I C A
Carrera: INGENIERIA ZOOTECNISTA E S T A D I S T I C A ESTADÍSTICA INFERENCIAL Cuando no se puede estudiar a todos los miembros de una población y se debe recurrir a una muestra, haciendo uso de las técnicas
Más detallesEL RIESGO Y LA INCERTIDUMBRE
INTRODUCCIÓN Nos enfrentamos ante una situación de riesgo e incertidumbre cuando nuestras proyecciones realizadas en el flujo de caja son inciertas, con lo cual se corre el peligro de que si las condiciones
Más detallesUNIDAD Nº2. Licenciatura en Enseñanza de la Matemática Mg. Lucía C. Sacco
UNIDAD Nº2 Unidad Nº2 Unidad Nº2: Introducción a la probabilidad. Espacios muestrales finitos. Probabilidad condicional. Modelos matemáticos. Modelos determinísticos versus métodos probabilísticos o aleatorios.
Más detallesRESUMEN CONTENIDOS TERCERA EVALUACIÓN PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL
RESUMEN CONTENIDOS TERCERA EVALUACIÓN PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL 1) PROBABILIDAD Experimentos aleatorios. Concepto de espacio muestral y de suceso elemental. Operaciones con
Más detallesTEORIA CLASICA DE DECISIÓN. Agradecimiento al profesor Juan Jose Bravo, Msc
TEORIA CLASICA DE DECISIÓN Agradecimiento al profesor Juan Jose Bravo, Msc ELEMENTOS DE DECISIÓN Y MATRICES DE PAGO ANÁLISIS DE DECISIONES Herramientas de representación de decisiones secuenciales con
Más detallesFundamentos de Teoría de la Decisión Modelos y Herramientas de Decisión Máster Universitario de Ingeniería de Organización - ETSEIB
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA BARCELONATECH OPE ORGANIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y DE EMPRESA (ASPECTOS TÉCNICOS, JURÍDICOS Y ECONÓMICOS EN PRODUCCIÓN ) Fundamentos de Teoría de la Decisión Modelos
Más detallesUINIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACION DE PRE-GRADO PROYECTO DE CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL
UINIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACION DE PRE-GRADO PROYECTO DE CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL PROGRAMA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CÓDIGO ASIGNATURA:
Más detallesUNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA HIDROMETEOROLÓGICA LABORATORIO:
17 o 1765 5 FUNDAMENTACION En un sentido general la estadística es la ciencia que se ocupa de la colección, clasificación, análisis e interpretación de hechos o datos numéricos. Esta ciencia puede aplicarse
Más detallesMATEMÁTICAS II PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL
MATEMÁTICAS II PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL 1) PROBABILIDAD Experimentos aleatorios. Concepto de espacio muestral y de suceso elemental. Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan.
Más detallesValor esperado: ejemplo
Simulación de Negocios Internacionales Teoría de la Decisión Valor esperado: ejemplo. International Negotiation CARLOS MARIO CALDERÓN OSSA INGENIERO DE SISTEMAS. ESPECIALISTA EN MERCADEO ESPECIALISTA GERENCIA
Más detallesESTADÍSTICA INFERENCIAL
ESTADÍSTICA INFERENCIAL ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 Sesión No. 2 Nombre: Probabilidad Contextualización En la sesión anterior analizamos cómo a largo plazo un fenómeno aleatorio o probabilístico posee un
Más detallesINGENIERÍA INFORMÁTICA DE GESTIÓN Junio 2005
INGENIERÍA INFORMÁTICA DE GESTIÓN Junio 2005 1. En una pequeña empresa con 60 empleados, 25 son personal de fábrica y están cobrando unos sueldos semanales (en euros) en función a su antigüedad de: 300
Más detallesMétodos de Optimización para la toma de decisiones
Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencias de la Ingeniería Magíster en Logística y Gestión de Operaciones Métodos de Optimización para la toma de decisiones MLG-521 Programación Entera 1º Semestre
Más detallesPROBABILIDAD CONDICIONAL
PROBABILIDAD CONDICIONAL M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Si en el experimento de lanzar un dado tenemos: Entonces:
Más detallesSesión 14: Redes de Decisión
Modelos Gráficos Probabilistas L. Enrique Sucar INAOE Sesión 14: Redes de Decisión un agente racional ideal es aquel que, para cada posible secuencia de percepciones, realiza la acción que maximiza su
Más detallesEstadística aplicada a los Negocios
Estadística aplicada a los Negocios SEMESTRE Y CARRERA PROGRAMA REVISADO POR: CRÉDITOS 7 créditos TIPO DE MATERIA MATERIA COMPARTIDA CON OTRO PE OBLIGATORIA NO TIEMPO PRESENCIAL TIEMPO INDEPENDIENTE 5
Más detallesSon los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Probabilidad Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplo Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a
Más detallesTipos de fenómenos. Deterministas: Previsibles de antemano sin recurrir a la observación. Aleatorios: Inciertosw.
Tipos de fenómenos Deterministas: Previsibles de antemano sin recurrir a la observación. Aleatorios: Inciertosw. Variable aleatoria: Tiene comportamiento incierto. Aleatoriedad =incertidumbre Aleatoriedad
Más detallesRepaso Probabilidad Matemáticas II 2º Bachillerato Wikipedia. Leyes de Mendel (CC0)
Repaso Probabilidad Repaso Probabilidad Repaso Probabilidad Matemáticas II 2º Bachillerato Wikipedia. Leyes de Mendel (CC0) Introducción La probabilidad estudia la posibilidad de que ocurra un hecho, es
Más detallesINDICE Parte Uno Técnicas Básicas de Evaluación de Proyectos de Capital 1. Introducción y Conceptos de Costos 2. Cálculos que implica interés
INDICE Prefacio XIX Parte Uno Técnicas Básicas de Evaluación de Proyectos de Capital 1. Introducción y Conceptos de Costos 1 1.1. Reconocimiento de una oportunidad o problema 1 1.2. Análisis de sistemas
Más detallesUNIDAD 4: PROBABILIDAD
UNIDAD 4: PROBABILIDAD La probabilidad se corresponde con la Frecuencia relativa. Es decir cuantas veces aparece un dato respecto del total de datos. Establece la probabilidad de que una variable tome
Más detallesMétodos de Búsqueda para juegos humano-maquina. PROF: Lic. Ana María Huayna D.
Métodos de Búsqueda para juegos humano-maquina PROF: Lic. Ana María Huayna D. Tópicos 1. Introducción 2. Juegos 3. Estrategias de Juego 4. Algoritmo Minimax 5. Algoritmo Poda Alfa-Beta 1.- Introducción
Más detallesM.C. Francisco Alberto Hernandez de la Rosa Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010
PROGRAMA DE ESTUDIO Probabilidad Programa Educativo: Licenciatura en Actuaría Área de Formación : Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave:
Más detallesII. PROBABILIDAD MTRO. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA
II. PROBABILIDAD MTRO. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA PROBABILIDAD Es una medida numérica que refleja la posibilidad de que ocurra un evento. Permite obtener conclusiones sobre las características de la variable
Más detallesMétodo secuencial de toma de decisiones en ambiente de riesgo (se conocen los estados posibles de la naturaleza, así como las probabilidades de éstos)
Método secuencial de toma de decisiones en ambiente de riesgo (se conocen los estados posibles de la naturaleza, así como las probabilidades de éstos) Un árbol de decisión es una forma gráfica y analítica
Más detallesESTADÍSTICA INFERENCIAL. Sesión 2: Probabilidad
ESTADÍSTICA INFERENCIAL Sesión 2: Probabilidad Contextualización En la sesión anterior analizamos cómo a largo plazo un fenómeno aleatorio o probabilístico posee un patrón de comportamiento. Es decir,
Más detallesDar una introducción sobre la asignatura IO Familiarizar al estudiante con las características y aplicación del modelo de matriz de decisiones
I Unidad: Introducción a al Investigación de Operaciones. Contenidos: 1. Breve reseña histórica de la l. De O. 2. Concepto de la l. De O. 3. Objeto de Estudio de la l. De O. 4. Introducción a la teoría
Más detallesUNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS SECRETARÍA ACADÉMICA DIVISIÓN DE INGENIERÍAS DIVISIÓN DE INGENIERÍAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ACADEMIA DE:
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A CCSS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A CCSS II CONTENIDOS TEMA 1: Matrices, determinantes y sistemas. Concepto de matriz o tabla. Operaciones con matrices. Matriz identidad. Matriz inversa. Determinantes de orden 2 y
Más detallesProbabilidad Condicional. Dr. José Dionicio Zacarias Flores
Probabilidad Condicional Dr. José Dionicio Zacarias Flores Introducción Sea E un experimento aleatorio con espacio de probabilidad (Ω,F,P). Algunas veces podemos poseer información incompleta sobre el
Más detallesAnálisis de Datos y Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones 7ma versión MGM
Universidad Católica del Norte Escuela de Negocios Mineros Magíster en Gestión Minera Análisis de Datos y Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones 7ma versión MGM Antofagasta, Junio de 2014 Freddy
Más detallesTema 3: Probabilidad Teorema de Bayes y Prueba diagnóstica
ema 3: Probabilidad eorema de Bayes y Prueba diagnóstica eorema de Bayes A 1 A 2 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces
Más detalles1. PROBABILIDAD SIMPLE
0. INTRODUCCIÓN Muchos aspectos de nuestra vida están influidos por el azar. Por ejemplo: Lloverá mañana?, quién ganará la liga de fútbol?, Si nos vamos ahora del colegio, se dará cuenta alguien? Cada
Más detallesSÍLABO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II ÁREA CURRICULAR: PRODUCCIÓN E INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA PROFESIONAL:. INGENIERÍA INDUSTRIAL. INGENIERÍA DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS SÍLABO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II ÁREA CURRICULAR: PRODUCCIÓN E INGENIERÍA INDUSTRIAL CICLO: VII Ing. Industrial SEMESTRE
Más detalles