Tema 6. Planos y rectas en el espacio. Problemas métricos (Ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías, distancias )

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1 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 7 Tema 6 Planos rectas en el espacio Problemas métricos (Ángulos, paralelismo perpendicularidad, simetrías, distancias ) Ángulos entre rectas planos en el espacio Ángulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas es el determinado por sus respectivos vectores de dirección Este ángulo no depende de que las rectas se corten o no Su valor se obtiene aplicando el producto escalar Si las rectas son: r a λvr s b λvs ángulo (r, s) ángulo ( v r, vs ) En consecuencia: vr vs cos (r, s) cos( vr, vs ) vr vs Observaciones: ) Suele elegirse siempre el valor del ángulo agudo; por tanto, si cos( v r, v se tomará en valor absoluto v w ) Recuérdese: v w v w cos( v, w) cos( v, w) v w Si v ( a, a, a) w ( b, b, b ) v w a b a b a b ; v a a ; w b b a b s ) fuese negativo 4t El ángulo que forman las rectas r : s : 5t es el que forman los vectores v r (,, ) v s (4, 5, ): vr vs cos (r, s) cos( vr, vs ) α arccos 8,8º vr vs Observación: Se toma el ángulo más pequeño, el agudo, con signo positivo Ángulo entre dos planos El ángulo entre dos planos es el determinado por sus vectores característicos Si los planos son: π : a b c d π : a b c d ángulo (π, π ) ángulo ( v π, v π ) En consecuencia: vπ vπ a a b b c c cos( π, π ) cos( v π, vπ ) vπ v π á b c a b c José María Martíne Mediano

2 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 8 Ejemplos: a) El ángulo que forman los planos π : π : es el formado por los vectores normales: v π (,, ) v π (,, ) Luego, cos( v π, vπ ) ángulo (π, π ) arccos / 7,5º b) El ángulo que determinan los planos: π : π : es de 9º, pues: cos( v π, vπ ) (,, )(,, ) ángulo (π, π ) 9º ( ) 6 Por tanto, ambos planos son perpendiculares Ángulo entre una recta un plano Es el menor de los ángulos entre la recta r cualquier recta contenida en el plano π; coincide con el ángulo entre r r, siendo r la proección de r sobre π Su valor es complementario del ángulo formado por el vector de dirección de la recta el vector característico del plano Esto es, ángulo (r, π) 9º ángulo ( vπ, vr ) En consecuencia, vπ vr sen (r, π) cos ( v π, v r ) vπ vr Recuérdese que sen α cos (9º α) Si α º, la recta es paralela o está contenida en el plano; si α 9º, la recta el plano son perpendiculares Ejemplos: a) El ángulo que forma la recta r : con el plano π : es el complementario del formado por los vectores v r (,, ) v π (,, ) Luego, sen (r, π) cos ( v r, v π ),86 (se tomará su valor absoluto) 4 4 ángulo ( v r, v π ) arccos (,86) 7,º ángulo (r, π) 7,97º t b) El ángulo que determina la recta: r : con el plano π : es el t complementario del determinado por los vectores: v r (,, ) v π (,, ) Luego, (,,) (,, ) sen (r, π) ángulo (r, π) π/4 45º José María Martíne Mediano

3 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 9 Paralelismo perpendicularidad entre rectas planos en el espacio Paralelismo entre rectas planos Rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando tienen el mismo vector de dirección (o cuando son proporcionales: v kv, k ) Las rectas r : a λ v s : b tv son paralelas s r Ejemplos: t t a) Las rectas r : t s : t son paralelas 7 t 5 t b) La paralela a las rectas anteriores que pasa por el punto que P (,, ) es t s : t t Planos paralelos Dos planos son paralelos cuando tienen el mismo vector característico (o cuando sus componentes son proporcionales: v kv π π, k ) Los planos π : a b c d π : a b c d son paralelos: sus ecuaciones se diferencian en el término independiente Ejemplos: a) Los planos π : 4 π : 4 5 son paralelos b) El plano paralelo a los anteriores que pasa por el punto que P(,, ) tiene por ecuación ( ) ( ) 4( ) En particular, el plano paralelo a π que contiene a P(,, ) es: 4 4 ( ) ( ) ( ) Recta plano paralelos Una recta es paralela a un plano cuando el vector de dirección de la recta, v r, es perpendicular al característico del plano, v π En consecuencia, v r v π La recta r es paralela al plano π : 4, pues los vectores v r (,, ) v π (,, 4) son perpendiculares En efecto: v r v π 4 Eisten infinitas rectas paralelas a un plano dado Y recíprocamente, eisten infinitos planos paralelos a una recta dada Por tanto, para la determinación de un elemento a partir de otro habrá que añadir las condiciones necesarias A continuación se ven dos casos concretos Plano paralelo a dos rectas que se cruan Un plano paralelo a dos rectas debe contener a los vectores de dirección de cada una de ellas Para determinarlo es necesario, además, conocer uno de sus puntos José María Martíne Mediano

4 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos Para hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(,, ) es paralelo a las dos rectas siguientes: 5 r : r : ) Se observa que el plano pedido estará determinado por el punto P (,, ) por los vectores de dirección de las rectas dadas, v r v r El vector v r (,, ) Para obtener v r se epresa r en forma paramétrica Para ello basta con despejar en la primera ecuación sustituir en la segunda Así: r : r : r : (5 ) 5 5 t r : r : t Por tanto, v r (,, ) t ) La ecuación del plano (que queda definido P(,, ), v r (,, ) v r (,, )), será: λ µ π : λ µ π : π: 7 6( ) 5( ) λ µ π: Recta paralela a dos planos que se cortan El vector de dirección de la recta paralela a dos planos es perpendicular a cada uno de los vectores característicos de los planos dados Por tanto, puede obtenerse multiplicando vectorialmente dichos vectores Para determinar una recta concreta será necesario, además, conocer uno de sus puntos Para hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,, ) que es paralela a los planos de ecuación π : π : 5 ) Se halla su vector de dirección, que es: v r v π v π Como v π (,, ) v u u u π (,, ) se tiene que: v π v π,, 6 ) Como contiene al punto P (,, ), su ecuación será: ( ) t r : t 6t José María Martíne Mediano

5 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos Perpendicularidad entre rectas planos Recta plano perpendiculares Una recta un plano son perpendiculares v cuando el vector de dirección de la recta, r, es paralelo al característico del plano, v π En consecuencia, k v v r π Eisten infinitas rectas perpendiculares a un plano dado Y recíprocamente, eisten infinitos planos perpendiculares a una recta dada Por tanto, para la determinación de una recta concreta a partir de un plano, o de un plano a partir de una recta, habrá que añadir las condiciones necesarias; por ejemplo, un punto Ejemplos: t a) La recta r : t es perpendicular al plano π :, pues los vectores 7 t v r v π son iguales: v r v π (,, ) a t b) Las rectas de ecuaciones r : a t los planos de ecuación π : d a t son perpendiculares Para determinar una recta o un plano concreto bastará con dar un punto t c) La recta perpendicular a π que pasa por P(,, ) es r : t En particular, si P (,, 5) la recta será t r : t 5 t d) El plano perpendicular a r que pase por el punto Q(,, ) es π : ( ) ( ) ( ) En particular, si Q (,, 6) el plano es: π : ( ) ( ) ( 6) π : 7 Obsérvese que en todos los casos v (,, ) v r π t Perpendicularidad entre dos rectas Dos rectas son perpendiculares cuando lo son sus respectivos vectores de dirección Eisten infinitas rectas perpendiculares a una dada En particular, son perpendiculares a r todas las rectas contenidas en un plano π perpendicular a r Por tanto, para la determinación una recta concreta habrá que añadir las condiciones necesarias; por ejemplo, un punto, una dirección, indicar que deben cortarse José María Martíne Mediano

6 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos Ejemplos: a) Las rectas λ r : λ 5 λ v r (,, ) v s (,, ) lo son: v r s s : t son perpendiculares, pues los vectores t v (,, ) (,, ) λ b) Para hallar la recta perpendicular a r : λ que pase por el punto P(,, ) que λ además corte a r, puede hacerse lo siguiente: ) Hallar el plano π perpendicular a r que contenga a P Como su vector característico, v π, debe ser igual a v r (,, ), además, contener a P, su ecuación es: π : ( ) ( ) π : 4 ) Hallar el punto Q, intersección de r π Para ello se sustituen las ecuaciones de la recta en la del plano: λ λ λ 4 λ Q (,, ) ( ) ( ) ) La perpendicular pedida es la que pasa por los puntos P Q Su ecuación es: Perpendicularidad entre dos planos Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus respectivos vectores característicos Eisten infinitos planos perpendiculares a uno dado Por tanto, para la determinación uno concreto habrá que añadir las condiciones necesarias; por ejemplo, que contenga a un punto, que sea paralelo a una recta o que la contenga (Recuérdese que un plano queda definido por un punto dos vectores; en este caso, al ser perpendiculares al plano π, sólo se conoce uno de esos dos vectores, que es v π ) t p : t t Ejemplos: a) Los planos π : 4 π : son perpendiculares pues los vectores v π (,, ) v π (,, ) lo son: v π v π (,, ) (,, ) b) La ecuación del plano π perpendicular a π 6 que λ contiene a la recta r, viene determinada por el punto λ P(,, ) los vectores v r (,, ) v π (,, ) λ µ Su ecuación es: π µ π π 5 4 λ µ 4 José María Martíne Mediano

7 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos Perpendicular común a dos rectas Eisten infinitas rectas perpendiculares a dos dadas El vector de dirección de las perpendiculares se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores de dirección de las rectas dadas; esto es: v p vr vs La recta perpendicular común que suele interesar (la que se busca) es la que corta a ambas rectas Perpendicular común a dos rectas que se cortan Viene definida por el punto P de corte por el vector v problema sencillo) p v v (Se trata, pues, de un r s t λ Para determinar la perpendicular común, p, a las rectas r t s λ, que t λ se cortan en el punto P(,, ), basta con calcular el vector v p vr vs Como v u u u t r v ( ) s,, p t t Perpendicular común a dos rectas que se cruan Ha dos maneras de calcularla: Primer método: A partir de dos puntos genéricos Se toman dos puntos genéricos, uno de cada una de las rectas dadas, R r S s, se impone la condición de que el vector RS (o SR) sea perpendicular a los de dirección de las rectas, v r v s RS vr Se obtiene así el sistema: RS v Se resuelve el sistema para obtener los puntos R S concretos La recta p queda definida por el punto R (o S) el vector RS s Para hallar la recta perpendicular común a las retas r s, de ecuaciones: : r s : 4 ) Se toman puntos genéricos de r s: R ( h, h, 4h), S ( t, t, t) El vector SR ( h t, h t, 4h t), que indica la dirección de la recta perpendicular común a r s, debe ser perpendicular a los de dirección de r s: v r (,, 4) v s (,, ) ) Se multiplica escalarmente (SR v r, SR v s ), se obtiene el sistema: 4h 8t 4 8 h t 8h t José María Martíne Mediano

8 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 4 Con esto: R,,,,, S,, RS,, (, 5, 4) ) La recta perpendicular común, que pasa por R lleva la dirección de RS es: / 5 t p : 47 / 5 5t 6 / 5 4t Segundo método: A partir de dos planos La perpendicular común puede obtenerse mediante la intersección de los planos πr π s El plano πr viene determinado por la recta r, a la que contiene, por el vector v v r s El plano π s viene determinado por la recta s, a la que contiene, por el vector v v r s Para las rectas: como sigue: ) Se halla v r v u s ) Se hallan π r π s : πr λ r λ λ u, determinado por r v r s µ s µ, la perpendicular común puede obtenerse u (,, ) v π r : π s, determinado por s v r v s π r π λ h : λ h λ h µ t µ t t s π s : 5 ) Por tanto, la perpendicular común es: λ ( λ) p λ 5 5 λ Observación: El lector interesado debería hacer cada uno de estos ejemplos mediante el método alternativo; comprobar que la solución es la misma José María Martíne Mediano

9 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 5 Proecciones en el espacio Proección de un punto sobre un plano La proección de un punto P sobre un plano π es el punto P del plano tal que el vector PP es perpendicular al plano; P es el punto más cercano de π a P Se puede encontrar hallando intersección de la recta r, perpendicular a π por P, con el plano π Ejemplos: a) Para hallar la proección de P(,, ) sobre el plano π : 7 : t ) Se halla la recta perpendicular a π que contiene a P r : t t ) Se halla el corte entre r π π : ( t ) ( t) ( t) 7 t 9 / 4 Por tanto, el punto P ( /4, /4, 8/4) b) La proección de un punto cualquiera sobre los planos cartesianos es inmediata Basta con hacer la coordenada correspondiente Así, por ejemplo, la proección de P(,, ) sobre el plano es P (,, ); sobre el plano es P (,, );, por último, sobre el plano es P (,, ) Proección de una recta sobre un plano La proección de una recta r sobre un plano π es la recta que se obtiene al proectar dos puntos de r sobre π También se puede encontrar hallando la intersección de los planos π π, siendo π el plano perpendicular a π que contiene a r (Este plano π está determinado por la recta r por el vector v π ; esto es, por un punto A r por los vectores v r v π ) Ejemplos: a) Para hallar la proección de la recta π : 7 : r : sobre el plano ) Se halla el plano π determinado por A(,, ) r, v r (,, ) v π (,, ) t h Su ecuación es π : t h π : π : t h ) Las ecuaciones de la recta proectada son: / 6 λ /8 7 r : En forma paramétrica: r : 9 / 6 λ / 6 λ José María Martíne Mediano

10 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 6 Observación: El lector interesado debería comprobar que se obtiene el mismo resultado proectando dos puntos de r sobre π; por ejemplo, los puntos P(,, ) Q(,, ) b) La proección de una recta cualquiera sobre los planos cartesianos es algo más sencilla Basta con hacer la coordenada correspondiente t Así, por ejemplo, la proección de la recta r : t sobre el plano se halla t proectando, por ejemplo, los puntos P(,, ) Q(4,, ) de ella, obteniéndose los puntos P (,, ) Q (4,, ), respectivamente t La recta proectada es: r : t (Obsérvese que basta con hacer la componente ) t Igualmente, la proección de r : t sobre el plano será t (En este caso se hace la componente ) r : t t Y sobre el plano será t r : t Proección de un punto sobre una recta La proección de un punto P sobre una recta r es el punto P de la recta tal que el vector PP es perpendicular a ella; el punto P es el más cercano de r a P El punto P se puede encontrar hallando la intersección del plano π, perpendicular a r por P, con la recta r t Para hallar la proección de P(,, ) sobre la recta r : t : ) Se halla el plano perpendicular a r que contiene a P π : d Como debe contener a P(,, ) d d El plano es π : ) Se halla el corte entre r π π : ( ) ( t) Por tanto, el punto P ( /5, /5, ) t t /5 José María Martíne Mediano

11 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 7 4 Simetrías en el espacio 4 Simetría de un punto respecto de otro Dado un punto P, su simétrico respecto de M, es otro punto P tal que el punto medio entre P P es el punto M Como P M son conocidos, suponiendo que P (,, ) e imponiendo que las coordenadas de M sean las del punto medio, se deducen, Si P (,, 7) M (,, 5), suponiendo que el simétrico es P (,, ), el punto 7 medio entre P P será: M,, Como M (,, 5) (,, 5) 7,, ; 5 ; 7 5 Por tanto, P (, 5, ) 4 Simetría de un punto respecto de un plano Dado un punto P, su simétrico respecto de un plano π, es otro punto P tal que el punto medio entre P P es el punto M π,, además, el vector PP es perpendicular al plano Por tanto, el punto P, simétrico de P respecto del plano π, es el simétrico de P respecto de M, siendo M la intersección del plano π con la recta que pasa por P es perpendicular al plano Para hallar el punto simétrico de P (,, ) respecto de π :, se puede hacer lo siguiente: ) Se calcula el punto M: es el de corte de la recta r, perpendicular a π por P, con dicho plano Como v λ π (,, ), se deduce que r : λ λ Corte de la recta r con plano π: λ ( λ) ( λ) λ M (,, ) ) Suponiendo que el simétrico es P (,, ), el punto medio de P P es: M,, Como M (,, ) (,, ),, ; ; Por tanto, el punto simétrico de P respecto de π es P (,, ) José María Martíne Mediano

12 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 8 4 Simetría de un punto respecto de una recta Dado un punto P, su simétrico respecto de una recta r es otro punto P, que cumple: ) El punto medio, M, entre P P debe ser de la recta ) El vector PM debe ser perpendicular al vector v r de dirección de la recta Esto es, debe cumplirse que v r PM (El punto M puede determinarse mediante el corte de r con el plano π, que contiene a P es perpendicular a r) Ejemplos: a) Para hallar el punto simétrico de P (,, 9) respecto de la recta t r : t, puede hacerse lo siguiente: 4t ) Sea M un punto genérico de la recta: M (t, t, 4t) Por tanto: PM (t, t, 4t) (,, 9) (t, t, 4t 9); v r (,, 4) Como debe cumplirse que v r PM, entonces: (,, 4) (t, t, 4t 9) t t 6t 6 8t 6 t Luego, M (, 5, 8) a b c 9 ) Si P (a, b, c), el punto medio entre P P será: M,, Como M (, 5, 8), igualando las coordenadas de ambos M se tiene: a b c 9 a ; 5 b 8; 8 c 7 Luego, el punto el punto simétrico de P respecto de r es: P (, 8, 7) b) Como se ha dicho arriba, un método alternativo para calcular M consiste en hallar el punto de intersección entre la recta su plano perpendicular Así, si P (,, ) la recta r, para hallar su simétrico P se procede como sigue: t ) Se hallan unas ecuaciones paramétricas de la recta: r t Por tanto, el plano π, perpendicular a r es π : d ; como contiene P (,, ), se tendrá que 4 d d 4 Luego, π : 4 ) Se calcula ahora el punto M, intersección de π con r: ( t ) t 4 5t 4 t 4/5 Luego, M (8/5, 4/5, ) ) Una alternativa a imponer que M sea el punto medio entre P P es eigir que los vectores PM MP sean iguales José María Martíne Mediano

13 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 9 Si P (a, b, c) se cumple: PM MP 4 PM (8/5, 4/5, ) (,, ),, MP (a, b, c) (8/5, 4/5, ) a, b, c 5 5 Luego, a a ; b b ; c c El punto buscado es P,, Distancias en el espacio 5 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A B, d(a, B), es igual al módulo del vector AB Si las coordenadas de esos puntos fuesen A ( a, a, a) B ( b, b, b ), entonces AB b a, b a, b ) ( a d(a, B ) AB ( b a ) ( b a ) ( b ) a Si A (,, ) B (,, 4), la distancia, d(a, B) ( ) ( ( )) (4 ) Observa que coincide con el módulo del vector: AB b a (,, 4) (,, ) (,, 4) 4 AB Observa también que: d(a, B) d(b, A) BA ( ) ( ( )) ( 4) 5 Distancia de un punto a un plano La distancia de un punto P a un plano π es la distancia entre P su proección P sobre π Es la menor de las distancias entre P cualquiera de los puntos de π Se puede determinar proectando el punto sobre el plano, para calcular después la distancia entre ambos puntos Eiste una fórmula que facilita su cálculo, que es: a b c d d( P (,, ), π : a b c d ) a b c Obtención de esta fórmula Sea P (,, ) P (,, ) su proectado sobre el plano π : a b c d Se cumple que los vectores P P v π (a, b, c) son paralelos Por consiguiente: P P v π P P v π cosº P P v π P P v P P vπ π d( P, π) P P (*) v π José María Martíne Mediano

14 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos Como P P (,, ) (,, (,, ) P P v a( ) b( ) c( ) a b c ( a b c ) π ), el producto escalar P P vπ a b c d, pues de b c d Por otra parte, v r a b c Luego, sustituendo en (*), queda: d ( P (,, ), π : a b c d ) a ( a b c ) d a b c d a b c La distancia del punto P (,, 4) al plano π : 5 7 es: ( (,, 4), : 5 7 ) d P π ( ) ( 5) Distancia entre dos planos paralelos La distancia entre dos planos paralelos π π' es igual a la distancia de cualquier punto de π al plano π : d ( π, π ) d( P, π ), P π La distancia entre los planos π : 5 7 π : 5 es igual a la distancia del punto P(,, ) π al plano π Vale: (, ) d P π 7 ( 5) 5 Plano bisector de dos planos dados que se cortan Dados dos planos π π que se cortan en una recta, el plano bisector de ellos es el que divide el ángulo diedro que determinan en dos ángulos iguales (Es el concepto análogo a la bisectri de un ángulo determinado por dos rectas) Propiedad Todos los puntos del plano bisector están a la misma distancia de los planos dados Esto es, si el punto P(,, ) pertenece al plano bisector π, se cumple que d ( P, π ) d( P, π ) Por tanto, si los planos dados son: π : a b c d π : a b c d, La ecuación del plano bisector será: a b c d a b c d a b c ± a b c El signo ± advierte que ha dos soluciones José María Martíne Mediano

15 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos El plano bisector de los planos π : 4 6 π :, viene dado por la ecuación: ( 4) ± ( ) 5 ± Los planos bisectores son: π : ( 4 6) 5( ) π : 5 π : ( 4 6) 5( ) π : 9 5 Observación: Puede verse que los planos bisectores son perpendiculares 54 Plano mediador de dos puntos (de un segmento) Dados dos puntos A B, el plano mediador del segmento AB es el plano perpendicular al segmento que contiene a su punto medio M (Es el concepto análogo al de mediatri de un segmento) Propiedad Todos los puntos del plano mediador están a la misma distancia de los etremos del segmento Esto es, si el punto P(,, ) pertenece al plano mediador π, se cumple que d ( P, A) d( P, B) La ecuación del plano mediador se halla fácilmente si se tiene en cuenta que su vector director es AB que contiene al punto M Dados los puntos A(,, ) B(,, ), el plano mediador del segmento AB tiene por vector director a v π AB (,, 4) (,, ) (4, 4, ) Por tanto, su ecuación será: π : 4 4 d Como contiene al punto M,, (,, ), debe cumplirse que d Luego, el plano mediador es π : 4 4 π : d P, A d P, B, suponiendo que P(,, ), se tendrá: Si se aplica la propiedad ( ) ( ) d ( P, A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d( P, B) Elevando al cuadrado se obtiene la misma ecuación: π : 55 Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto P a una recta r es la distancia entre P su proección P sobre r Es la menor de las distancias entre P cualquiera de los puntos de π Se puede determinar proectando el punto sobre la recta, para calcular después la distancia entre ambos puntos Eiste una fórmula que facilita su cálculo, que es: AP vr d( P, r) vr Obtención de esta fórmula En la figura de la derecha se ha sombreado el triángulo determinado por los vectores AP v r, A r La superficie, S, del triángulo puede determinarse de dos formas: mediante el producto José María Martíne Mediano

16 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos vectorial; o a partir de su base su altura, que es la distancia de P a r base altura v r d( P, r) Esto es: S AP vr S Igualando despejando se obtiene: AP v v d( P, r) r r AP v AP vr vr d( P, r) d( P, r) v t La distancia entre el punto P (,, ) la recta r t se calcula como sigue: t ) Se determina el vector AP, con A (,, ) el producto vectorial AP v r : AP (,, ) (,, ) (,, ) Como v r (,, ): AP v u u u r ( 6, 9, ) Se tiene que AP v ( 6) 9 ( ) 8 ; v ( ) 4 r ) Se aplica la fórmula: AP vr 8 59 d( P, r) vr 4 7 Observación: Es más intuitivo, alguna ve más rápido, determinar esa distancia calculando el punto, P, de corte del plano perpendicular a r que contiene a P d P, r d P, P 56 Distancia entre dos rectas Distancia entre dos rectas paralelas La distancia entre dos rectas paralelos r s es igual a la distancia de cualquier punto de r a la recta s: d ( r, s) d( P, s), P r r r r ( ) ( ) t t La distancia entre las rectas paralelas r t s t, se calcula como t t sigue: ) Se halla el plano perpendicular a las rectas por el punto P(,, ) de r: su vector característico es vπ vr (,, ); su ecuación: π : ( ) ( ) ( ) π : ) Se calcula el punto de corte, P, de ese plano con la recta s: t t t t P (,, ) ( ) ( ) ( ) ) La distancia d ( r, s) d( P, s) d( P, P ) ( 4) José María Martíne Mediano

17 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos Distancia entre dos rectas que se cruan La distancia ente dos rectas, r s, es la menor de las distancias posibles Es la distancia de un punto cualquiera de r al plano paralelo a ella que contiene a s: d ( r, s) d( P, π), P r π plano paralelo a r que contiene a s t La distancia entre las rectas que se cruan r t t ) Se halla el plano π, paralelo a r que contiene a s Su ecuación, que viene determinada por s por v r (,, ), es: t λ π : t λ t λ t t, se calcula así: s t π: 7 5 ) d ( r, s) d( P, π), P(,, ) r Luego, 7 ( ) ( ) 5 d ( r, s) ( 7) ( ) ( ) 7 Observación: La distancia entre dos rectas también puede obtenerse a partir del producto mito Recuérdese que el volumen de un paralelepípedo, que es igual al área de una de sus bases por la altura correspondiente, se halla también mediante el producto mito de tres vectores que parten de un vértice siguen la dirección de sus aristas; por otra parte, el área de una de sus bases se obtiene multiplicando vectorialmente los dos vectores que la determinan Esto es: V [ v, v, SR] v v d r s r s [ v, v, SR] r s Despejando d d( r, s), se obtiene: d( r, s), v v r s siendo SR un vector que va de r a s: R r S s Para las rectas del ejemplo anterior: v r (,, ), v s (,, ) SR (,, ) (,, ) (,, ) El producto mito vale: u u u El producto vectorial, v r vs (7,, ) v r v s 7 [ v, v, SR] r s En consecuencia, d( r, s) v v 7 7 r s José María Martíne Mediano

18 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 4 Ángulos entre rectas planos Problemas propuestos Dadas las rectas r s de ecuaciones: r ; a) Comprueba que se cortan halla su punto de corte b) Determina el ángulo que forman r s c) Halla la ecuación del plano que contiene a r s s (Propuesto en Selectividad en, Murcia) Calcula el ángulo que forman la recta r el plano π, siendo: r : π : 4 Halla el ángulo que forma el plano π : con la recta de ecuaciones r : 4 Halla el ángulo que forma la recta r con el plano π 5 Determina el ángulo que forman los planos: π : π : 5 6 Halla el ángulo que forman los planos π : π : Paralelismo perpendicularidad 5 7 Sea el punto P (,, ) la recta r : a) Halla la ecuación del plano π que pasa por P es perpendicular a la recta r b) Halla el punto de corte entre la recta r el plano π 8 (Propuesto en Selectividad en, Asturias) 5 Se considera la recta r : a) Determina el plano π que contiene a r pasa por el origen de coordenadas b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el punto (,, ) 4λ 9 Sea α un número real, las rectas de ecuaciones: r ; s λ α λ Determina el valor de α para el que r s son paralelas En ese caso, halla la ecuación general del plano que las contiene José María Martíne Mediano

19 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 5 José María Martíne Mediano Dadas las rectas de ecuaciones: : r ; : b a r a) Qué relación debe eistir entre a b para que r r sean paralelas? b) Y para que sean perpendiculares? Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,, ) que sea paralela a los planos: : π : π Halla la ecuación del un plano perpendicular a los planos π π, del problema anterior, que pase por el punto Q(,, ) Dadas las rectas: 4 7 r, s a) Comprueba que se cortan perpendicularmente b) Halla la ecuación del plano que las contiene c) Halla la recta perpendicular común a r s 4 Dadas las rectas: λ λ λ r ; µ µ s a) Estudia la posición relativa de las rectas r s b) Halla la ecuación de una recta que sea perpendicular simultáneamente a r s 5 Se consideran las rectas r s de ecuaciones respectivas, r s a) Estudia la posición relativa de r s b) Determina la recta que corta perpendicularmente a r s c) Halla la distancia ente r s 6 Sean las rectas de ecuaciones 7 4 r 5 s a) Comprueba que se cruan en el espacio b) Halla un punto de r otro de s tales que el vector con origen en uno etremo en el otro sea perpendicular a ambas rectas Halla la recta perpendicular común a r a s 7 Halla las ecuaciones de la recta perpendicular común a r s que corta a ambas, siendo: r, s Proecciones en el espacio 8 Halla la proección de P(,, ) sobre el plano 7 : π :

20 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 6 9 Halla la proección ortogonal de de la recta r sobre el plano π Obtén la solución de las dos formas posibles: ) Mediante el corte de dos planos; ) Proectando dos puntos de r sobre el plano Halla la proección del punto P(,, ) sobre la recta Simetrías Halla las coordenadas del punto P simétrico de P(,, ) respecto de la recta r (Propuesto en Selectividad en, Islas Baleares) Dados el punto A (,, ) el plano π :, determina las coordenadas del punto A, simétrico del punto A respecto del plano π Calcula la distancia de A al plano π Distancias Halla la distancia del punto P a la recta r en los siguientes casos: a) P(,, ); r λ 7 b) P(,, ); r : λ c) P(6,, ) ; r, λ 4 4 Halla el punto de la recta λ r λ cua distancia al punto P(,, ) sea 5 λ 5 Dados la recta r el plano π 4 a) Comprueba que la recta es paralela al plano b) Halla la distancia de r a π 6 Halla la distancia entre la recta determinada por el punto S(,, ) el vector v (,, ) el plano π 7 Halla los dos puntos de la recta π 5 r que están a distancia del plano José María Martíne Mediano

21 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 7 José María Martíne Mediano 8 Halla la distancia entre las rectas r s de ecuaciones: a) t t t r 4 ; 4 5 h h s b) k k k r ; k k k s 4 9 Halla la ecuación del plano π que es paralelo equidistante a las rectas r s de ecuaciones: t t t r 4 ; 4 5 h h s Observación: Estas son las rectas del apartado a) del problema anterior Halla la distancia entre las rectas r s de ecuaciones: a) r ; 4 s b) t t t r ; s Plano bisector plano mediador Halla el plano bisector de los planos π 6 π Comprueba para los planos del ejercicio anterior: a) Que el plano π forma con cada uno de los dos iniciales, π π, un ángulo que es la mitad que el que determinan los planos π π b) Que los planos bisectores son perpendiculares Halla el plano mediador de los puntos P(,, ) Q(,, ) 4 Dados los puntos del espacio P(,, ) Q(,, ), halla la condición que debe cumplir un punto de coordenadas A(,, ) para que esté a la misma distancia de P Q Otros problemas 5 a) Halla la recta r que pasa por el punto P(,, ) es perpendicular al plano 6 π b) Halla la ecuación de la recta s que pasa por los puntos A(,, ) B(,, 4) c) Estudia la posición relativa de r s Si se cortan, calcula el punto de corte d) Calcula la distancia del punto A(,, ) al plano π que pasa por el punto P(,, ) es paralelo a π 6 Dado el punto P(, 8, ) la recta 7 s a) Halla la ecuación del plano que contiene a P a la recta s b) Calcula la ecuación de la recta r, perpendicular al plano hallado que contiene a P

22 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 8 7 Encuentra los puntos de la recta r : π 4 π 4 que equidisten de los planos 8 Dadas las rectas de ecuaciones: r s a) Estudia su posición relativa b) Si se cruan, calcula la distancia mínima entre ellas 9 a) Sea π el plano determinado por el punto P(,, ) los vectores u (,, ) v (,, ) Calcula el ángulo que forma el plano π con la recta que pasa por los puntos O(,, ) Q(,, ) b) Calcula el punto simétrico de O(,, ) respecto del plano 4 (Propuesto en Selectividad en 6, Madrid) Sean las rectas: r s 4 a) Halla la ecuación de la recta t que pasa por el origen corta a las dos rectas anteriores b) Halla la recta perpendicular común a las retas r s 4 Considera la recta el plano siguientes: 5 r : π : a) Comprueba que la recta r el plano π son paralelos b) Calcula la distancia entre el plano π la recta r c) Calcula la ecuación implícita del plano π que es perpendicular a π contiene a r 4 (Propuesto en Selectividad en, Castilla León) Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(,, ) Q(,, ); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R( 4, 7, 6) a) Calcula la ecuación de la recta r (,5 puntos) b) Calcula la ecuación general del plano que contiene al cuadrado ( punto) c) Halla las coordenadas de uno de los otros vértices (,5 puntos) 4 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones: π 4 5 π 9 Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos? 44 (Propuesto en Selectividad en 9, Navarra) Dado el punto R(,, ), encuentra los puntos P Q de la recta 4 r 6 tales que PQR sea un triángulo equilátero José María Martíne Mediano

23 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 9 45 Los puntos P(,, ) Q(,, ) son dos vértices opuestos de un cuadrado que está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación a) Determina los otros dos vértices b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por los vértices obtenidos en a) c) Calcula el perímetro del cuadrado construido 46 Los puntos P (,, ) P (,, ) son vértices de un cuadrado Halla los otros dos vértices de ese cuadrado sabiendo que están en la recta r Soluciones a) P(,, ) b) 9,47º c) π º 9,47º 4 º 5 75,88º 6 6º 7 a) π 5 b) Q (,, 4) λ 8 a) π : 5 b) s : λ 5λ 9 ; π 7 a) a b, ambos distintos de b) a b t t 5t π : 5 9 / λ 8 5 a) Se cortan en P,, b) c) p 8 / 7 λ / 7 λ t 4 Se cruan b) p t 5 a) Se cruan b) c) t 5 λ 6 a) Se cruan b) R(5,, ); S(, 5, ) ; p 6λ 5/4 7 4 /4 p /4 p 8 P ( /4, /4, 8/4) 5λ r 4 λ P,, λ P,, A (,, ); 6 José María Martíne Mediano

24 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 4 a) b) c) 4 (,, ) 7 5 a) Lo es b) 6 7 P (,, ); P (,, 4) 8 a) b) 9 π : a) b) π : 9 π : a) Si b) Si 4 Pertenecer al plano 4 5 t h 5 a) r : t b) s : h c) Se cortan en C(,, 4) d) t 4h λ 6 a) π : 4 b) r 8 λ λ P,, ; P,, a) Se cruan b) 9 a) La recta es perpendicular al plano b) O (4/, 4/, 4/) / 5 t 4 4 a) t : b) 47 / 5 5t / 5 4t 5 4 Lo son b) c) t 4 a) r 7 t b) π : 6 t 4 5 ; P(,, ); Q(,, ) 45 a),, ; 46 P (,, ) (, ) c) (,, ) P 8 4 (, 5, ) (, /, ),, b) P 4, t r t c) 4 6 José María Martíne Mediano