RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD

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1 RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción ral d variabl ral s una aplicación d un subconjunto D d los númros rals n un subconjunto I d los númros rals, tal qu, a cada lmnto dl conjunto D, qu notarmos gnéricamnt, variabl indpndint, l hac corrspondr un único lmnto d I, qu notarmos y o () llamado variabl dpndint. : D I dond D R, I R y ( ) Si corrspond a la gráica d una unción. No corrspond a la gráica d una unción. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONJUNTO IMAGEN D R / Im y R / D / y D R\ D R Im 5, Im, 4, COMPOSICIÓN DE FUNCIONES San y g dos uncions rals d variabl ral, la unción compusta como g g D g Dg / ( g ( )) FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA San una unción ral d variabl ral, la unción rcíproca d, y s scrib tal qu g s din El dominio d dinición d la unción pasa a sr l rcorrido d la rcíproca rcorrido d la dircta pasa a sr l dominio d dinición d la rcíproca., s y l

2 No ist la rcíproca d una unción si para un valor d la variabl y istn dos valors para la variabl. Esto s, para qu una unción tnga rcíproca a un valor d la imagn no pudn corrspondrls dos valors distintos d : Para un valor d y hay varios valors d tal () = y. No tin rcíproca. Para un valor d y hay un único valor d tal () = y. Tin rcíproca. Como un punto (a, b) d l corrspondría l punto (b, a) n, ntoncs s tndrá qu la graica d la unción dircta y la d su rcíproca son simétricas rspcto d la bisctriz primr-trcr cuadrant MONOTONÍA S dic qu la unción s monótona crcint n l intrvalo [a, b] si s vriica, 2 a, b / 2 Si la dsigualdad 2 s stricta s dic qu s strictamnt crcint. S dic qu la unción s monótona dcrcint n l intrvalo [a, b] si s vriica, 2 a, b / 2 2 Si la dsigualdad 2 s stricta s dic qu s strictamnt dcrcint. TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO [a, b] S din la Tasa d Variación Mdia d la unción n un intrvalo [a, b] como: ( b) ( a) TVM ( ),[ a, b] b a rprsnta l valor d la pndint d la rcta qu un los puntos P = [a, (a)] y Q = [b, (b)], 2 2

3 sto s, l valor d la tangnt dl ángulo qu orma la rcta con j OX +. TVM ( ),[ a, b ] Dsd l punto d vista ísico la rprsnta lo qu ha variado la unción n mdia n l intrvalo [a, b]. SIMETRÍA Función Par Una unción s dic par o simétrica rspcto dl j OX (abcisas) cuando ( ) ( ) Ejmplo: Comprobar qu la unción ( ) ( ) s par. En cto: Función Impar Una unción s dic impar o simétrica rspcto dl orign O d coordnadas cuando ( ) ( ) Ejmplo: Comprobar qu la unción ( ) 3 3 SIGNO DE UNA FUNCIÓN 3 ( ) s impar. En cto: Una unción s dinida positiva n un intrvalo [a, b] si para todo d dicho intrvalo s vriica qu () s mayor o igual a : ( ) dinida positiva n [ a, b] si [ a, b], ( ) Una unción s dinida ngativa n un intrvalo [a, b] si para todo d dicho intrvalo s vriica qu () s mnor o igual a : ( ) dinida ngativa n [ a, b] si [ a, b], ( ) PERIODICIDAD Una unción s T-priódica si para todo d su campo d istncia s tin qu: ( ) ( T) ( 2T )... ( kt) con T R Ejmplo: la unción ( ) sn s priódica d priodo T 2 pusto qu: ( 2 ) sn ( 2 ) sn ( ) ACOTACIÓN K s cotasuprior d ( ) D s ( ) K Cualquir nº mayor qu una cota suprior también s una cota suprior. A la mnor d las cotas supriors s l dnomina suprmo. Si la unción alcanza, para algún valor d, l valor dl suprmo, ntoncs s l dnomina máimo absoluto. 3

4 Ejmplo: considrmos la unción ( ) sn, obsrvamos qu alcanza un máimo absoluto para los puntos d la orma 2 2 K s cota inrior d ( ) D s ( ) K Cualquir nº mnor qu una cota inrior también s una cota inrior. A la mayor d las cotas inriors s l dnomina ínimo. Si la unción alcanza, para algún valor d, l valor dl ínimo, ntoncs s l dnomina mínimo absoluto. Ejmplo: considrmos la unción ( ) sn, obsrvamos qu alcanza un mínimo 3 absoluto para los puntos d la orma 2 2 Si ist cota suprior s dic ntoncs qu la unción stá acotada supriormnt, si ist cota inrior s dic qu stá acotada inriormnt y si stén ambas s dic ntoncs qu stá acotada. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO S dic qu límit cuando tind al valor a d () s L si cuando los valors d abcisas s aproiman al valor a ntoncs las rspctivas ordnadas tindn a aproimars al valor L, s scrib: lim ( ) L a LIMITE EN EL INFINITO Dirmos qu l límit cuando tind a + d () s L si cuando los valors d abcisas s hac cada vz más grands a + ntoncs las rspctivas ordnadas tindn a aproimars al valor L, s scrib: lim ( ) L análogamnt lim ( ) L Dirmos qu l límit cuando tind a d () s si cuando los valors d abcisas tindn a ntoncs las rspctivas ordnadas tindn a, sto s, s hacn cada vz más grands (positivas o ngativas), s scrib: lim ( ) 4

5 CASOS DE INDETERMINACIÓN,,,,,, RESOLUCIÓN: p( ). INDETERMINACIÓN (cocint d uncions polinómicas) lim a q ( ) S divid l numrador y l dnominador por a aplicando Ruini. Tnr n cunta los casos n los qu hay qu distinguir límits latrals porqu sal K (signo signo? p( ) 2. INDETERMINACIÓN (cocint d unc polinómicas) lim q ( ) Para rsolvr la indtrminación s divid l numrador y l dnominador por la potncia d d mayor grado. Rgla: Cuando l grado dl numrador s mayor qu l dl dnominador l límit s más o mnos ininito, sgún l signo dl cocint + o d los términos dirctors dl numrador/dnominador. Si son d igual grado, l límit s l cocint ntr los coicints d los términos dirctors. Cuando l grado dl numrador s inrior al dl dnominador, l límit s. p( ) 3. INDETERMINACIÓN (con prsions radicals) lim a q ( ) Para rsolvr la indtrminación s multiplica y s divid por la prsión radical conjugada. 4. INDETERMINACIÓN (dirncia d ininitos dl mismo signo con prsions radicals) Para rsolvr la indtrminación s multiplica y s divid por la prsión radical conjugada. Si postriormnt quda una indtrminación ntoncs s divid num- rador y dnominador por la mayor potncia. 5. INDETERMINACIÓN S rsulv, tnindo n cunta qu lim n n n La indtrminación la rsolvrmos d la siguint orma: lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) g g 5

6 CONTINUIDAD S dic qu una unción s continua n l punto = a, cuando al pasar por las inmdiacions d a, no s lvanta l trazo dl papl. (a), sto s, la unción stá dinida n = a lim ( ) l a ( a) l C lim ( ) ( a) a Las uncions polinomicas son continuas n todo su dominio. Las uncions racionals son continuas n todos los puntos cpto n aqullos qu anulan al dnominador. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO [a, b] Una unción s continua n un intrvalo crrado [a, b] cuando:. Es continua n l abirto (a, b): ( ) Ca, b 2. En l trmo = a s continua por la drcha: ( ) Ca, sto s: lim ( ) ( a) a 3. En l trmo = b s continua por la izquirda: ( ) Cb sto s: lim ( ) ( b) b TIPOS DE DISCONTINUIDAD Rcordamos qu ( ) C lim ( ) ( a) a DISCONTINUIDAD EVITABLE a lim ( ) l pro l ( a) S dnomina vitabl porqu s pud dinir una unción qu sa continua n = a asignándol l valor l n = a: ( ) si a g( ) l si a DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO lim ( ) l lim ( ) l pro l l a a Salto l l 6

7 DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO Al mnos, uno d los límits latrals s ininito. lim ( ) o lim ( ) a a DISCONTINUIDAD ESENCIAL Dirmos qu una unción tin una discontinuidad d tipo sncial n = a, si alguno d los límits latrals no ist (no s inito ni ininito), indpndintmnt d qu la unción sté dinida o no n s punto. NO EXISTE EL lim ( ) lim sn RESULTADO Qurmos obtnr l lim ( ) g y s tal qu lim ( ) y no ist lim g( ) pro la unción g() prmanc acotada n un ntorno d a, ntoncs s vriica qu: lim ( ) g a a a a sn 3 Ejrcicio: Estudia la continuidad d la unción dinida por: 3 º) R / sn La unción no stá dinida n = por tanto Estudimos l límit cuando 3 3 lim sn lim lim sn m Tinda No ist l limit, pro stá acotada - m 3 lim ( ) lim sn 3 3 lim sn lim lim sn m Tinda No ist l limit, pro stá acotada - m En la unción prsnta una discontinuidad d tipovitabl dinindo () Ejrcicio: Estudia la continuidad d la unción dinida por: 7

8 stá bin dinida Vamos sisanula l dnominador C por star bin dinida la unción y sr continua n su campo d istncia. Vamos si s continua la unción n = : lim lim lim lim lim Por tanto no ist l lim ( ), C, prsnta n = una discontinuidad d salto inito: s 2 Ejrcicio: Estudia la continuidad d la unción dinida por: sn stá bin dinida Vamos sisanula l dnominador pro no s posibl pus Lugo 8

9 Por lo tanto, s tin qu C continua n su campo d istncia. Vamos si s continua la unción n = : lim por star bin dinida la unción y sr sn sn lim lim lim lim sn m No ist l limit pro Tinda stá acotada - m ( ) m m m m sn lim lim lim sn m No ist l lim it No ist l limit pro Tinda stá acotada - m Por tanto no ist l lim ( ) sncial TEOREMA DE BOLZANO, C, prsnta n = una discontinuidad Sa una unción continua n un intrvalo crrado a, b y tal qu n los trmos toma valors d signos opustos, sto s a b, ntoncs ist al mnos un a, b n l qu la unción s anula: punto Ca b / a b a, b /, Ejrcicio: Dmostrar qu la cuación tin una solución n l intrvalo, Considramos la unción,, tnmos qu: n l intrvalo 9

10 Hipótsisdl Torma C d Bolzano : Por lo tantoquda dmostrado qu la tin solución l l intrvalo,, / cuación sto s : TEOREMA DE DARBOUX Sa una unción continua n un intrvalo crrado a, b (supongamos qu a b ) y sa R tal qu a b, a, b ntoncs ist al mnos un punto tal qu : Ca, b, R / a b a, b / TEOREMA Sa una unción continua n un intrvalo crrado a, b ntoncs la unción stá acotada n dicho intrvalo: C a, b stá acotada n dicho intrvalo TEOREMA DE BOLZANO-WEIRSTRASS Toda unción continua n un intrvalo crrado a, b alcanza l valor máimo y l valor absoluto n dicho intrvalo: C a, b alcanza n a, b l M y l m a a M absoluto M m absoluto absoluto m absoluto Dónd pud alcanzar la unción l valor máimo y mínimo absolutos?. En los trmos dl intrvalo, para llo, valuarmos (a) y (b).

11 2. En puntos dl intrior dl intrvalo n dond s drivabl, starán, d ntr los puntos qu anulan a la primra drivada. Evaluarmos la unción n sos puntos. 3. En puntos dl intrior dl intrvalo n dond no s drivabl, con drivadas latrals d signos contrarios. Evaluarmos la unción n sos puntos. 4. D la valuación d todos los candidatos antriors dducirmos n qué puntos lo alcanza.