4.1 De nici on de aplicaci on lineal,ejemplos y propiedades 4.2 N ucleo e imagen de una aplicaci on lineal

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1 52 Tema 4. APLICACIONES LINEALES 4.1 De nici on de aplicaci on lineal,ejemplos y propiedades 4.2 N ucleo e imagen de una aplicaci on lineal 4.3Operacioneselementalesconaplicacioneslineales 4.4Matricesasociadasaunaaplicaci onlineal 4.5Cambiodebase

2 Matem aticas Aplicaciones lineales 53 4 APLICACIONESLINEALES 4.1 DEFINICI ONDEAPLICACI ONLINEAL,EJEMPLOSY PROPIEDADES NOTA: Se considerar an unicamente espacios vectoriales nitamente generados DEFINICI ON Sean U;V espaciosvectoriales sobre un cuerpo IK yf : U! V unaaplicaci on. f esuna aplicaci on lineal si ys olo si: ² 8u;v 2 U f(u+v)=f(u)+f(v). ² 8u 2 U 8 2IK f( u)= f(u) PROPOSICI ON Si U; VsonespaciosvectorialessobreuncuerpoIKyf : U! V unaaplicaci on,entonces: f lineal () 8u;v 2 U 8 ;¹ 2IK f( u+¹v)= f(u)+¹f(v): PROPOSICI ON Si U; VsonespaciosvectorialessobreuncuerpoIKyf : U! V una aplicaci on,entonces la imagenpor fde cualquier combinaci on

3 Matem aticas Aplicaciones lineales 54 lineal de vectores esla combinaci onlineal de lasim agenes: X 8n 2IN 8u 1 ;:::;u n 2 U 8 1;:::; n 2IK f( n X iu i )= n if(u i ): i=1 i= DEFINICI ON Sean U;V espaciosvectoriales sobre un cuerpo IK yf : U! V unaaplicaci onlineal. 1.f esunmonomor smosi ys olosi f esinyectiva. 2.f esunepimor smosi ys olo si f essuprayectiva. 3.f esunisomor smosi ys olosi f esbiyectiva. 4.f esun endomor smosiys olosi U= V. 5.f es un automor smosi y s olo si f es un endomor smo biyectivo EJEMPLOS 1.Laaplicaci onidentidad id U : U! U u 7! u esunautomor smo. 2.Laaplicaci onnula f : U! U esunendomor smo. u 7! 0 U

4 Matem aticas Aplicaciones lineales 55 3.Laaplicaci onproyecci oni- esima esunepimor smo. p i : IR n! IR (x 1 ;:::;x n ) 7! x i 4.Si UesunespaciovectorialsobreuncuerpoIKcondimU=n y Besunabasede U,entonceslaaplicaci onqueacadavector dex2uleasociaelvectordeik n cuyascomponentessonlas coordenadasdexenlabase B=fu 1 ;:::;u n g esunisomor smo. f : U! IK n x 7! x B NOTA: x B =(x 1 ;:::;x n ) () x=x 1 u 1 + x n u n. 5.Sea IK un cuerpo. La aplicaci on que a cada vector de IK n le asocia lamatriz columna formada por las componentesde dichovector esunisomor smo. f : IK n! M n 1 (IK) 0 1 x 1 (x 1 ;:::;x n ) 7! B. A x n NOTA: EstehechodapieaquelosvectoresdeIK n serepresentencomomatricescolumna.

5 Matem aticas Aplicaciones lineales PROPIEDADES Sean U;V espaciosvectoriales sobre un cuerpo IK yf : U! V unaaplicaci onlineal. Se veri ca: 1.f(0 U )=0 V. 2. 8u 2 U f( u)= f(u). 3. 8u;v 2 U f(u v)=f(u) f(v). 4.Si u 1 ;:::;u n 2 U son linealmente dependientes, entonces f(u 1 );:::;f(u n )sonlinealmentedependientes. 5.Siu 1 ;:::;u n 2 U,f esinyectivayu 1 ;:::;u n sonlinealmente independientes,entoncesf(u 1 );:::;f(u n )sonlinealmenteindependientes. 4.2 N UCLEOEIMAGENDEUNAAPLICACI ONLINEAL DEFINICI ON Sean U;V espaciosvectoriales sobre un cuerpo IK yf : U! V unaaplicaci onlineal. ²Sedenomina imagen def alconjunto Imf =f(u)=fv 2 V j 9u 2 U v=f(u)g: ²Sedenomina n ucleo def alconjunto Kerf =f 1 (f0 V g)=fu 2 U jf(u)=0 V g:

6 Matem aticas Aplicaciones lineales PROPIEDADES Sean U;V espaciosvectoriales sobre un cuerpo IK yf : U! V unaaplicaci onlineal. 1.Si S es un subespacio vectorial de U, entonces f(s) es un subespaciovectorial de V. 2.Si S esunsubespaciovectorialde V,entoncesf 1 (S)esun subespaciovectorial de U. 3.Los conjuntos Ker f y Imf son subespacios vectoriales de U y V,respectivamente. 4.Laimagendeunsistemageneradorde U esunsistemageneradordeimf. 5.Sif esunisomor smoyb=fu 1 ;:::;u n gesunabasede U, entonces ff(u 1 );:::;f(u n )gesunabasede V. 6.f esinyectivasiys olosikerf = f0 U g TEOREMA Sean U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y una base B = fu 1 ;:::;u n gde U. Dadosv 1 ;:::;v n 2 V,existeunaaplicaci onlinealf : U! V,ys olouna,quecumple 8i 2 f1;:::;ng f(u i )=v i : Estaaplicaci onvienede nidaporf(x)=x 1 v 1 + +x n v n,donde x=x 1 u 1 + +x n u n. Adem as,

7 Matem aticas Aplicaciones lineales 58 1.f inyectiva ()v 1 ;:::;v n linealmenteindependientes. 2.f suprayectiva () fv 1 ;:::;v n gsistemageneradorde V. 3.f isomor smo () fv 1 ;:::;v n gbasede V DEFINICI ON SeanU; V espacios vectoriales sobre uncuerpo IKy f : U! V una aplicaci on lineal. Se denomina rango def, y se denota por rgf,ala dimensi ondel subespacio imagen,es decir, rgf =dimimf: TEOREMA Si U;VsonespaciosvectorialessobreuncuerpoIKy f : U! V unaaplicaci onlineal,entonces dimu=dimkerf+dimimf: COROLARIO Sean U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK,con dimu =n ydimv=m,y f : U! V unaaplicaci onlineal. Severi ca: 1.f inyectiva () rgf =n. 2.f suprayectiva () rgf =m. 3.f isomor smo () rgf =n=m.

8 Matem aticas Aplicaciones lineales OPERACIONES ELEMENTALES CONAPLICACIONES LINEALES DEFINICI ON Sean U;V espaciosvectoriales sobre uncuerpoik. Se de ne: ²Conjuntodeaplicacioneslinealesde U en V L(U; V)=ff : U! V jfaplicaci onlinealg: ²Conjuntodeendomor smosde U End(U)=ff : U! U jfaplicaci onlinealg: Enel conjuntol(u; V) se de nendosoperaciones: ²Suma: f+g:u! V deformaque L(U;V) L(U;V) +! L(U; V) (f;g) 7! f+g 8u 2 U (f+g)(u)=f(u)+g(u): ²Productoporunelementodelcuerpo: f : U! V deformaque IK L(U;V) ²! L(U;V) ( ;f) 7! f 8u 2 U ( f)(u)= f(u):

9 Matem aticas Aplicaciones lineales PROPOSICI ON (L(U;V);+; ) es un espacio vectorial sobre IK PROPOSICI ON Sean U; V;W espaciosvectoriales sobre uncuerpo IK. Si f 2 L(U; V)yg2L(V;W),entoncesg ±f 2 L(U; W) PROPOSICI ON SeanU; V espacios vectorialessobre uncuerpoikyf 2 L(U;V). Sif esbiyectiva,entoncesf 1 2 L(V; U). 4.4 MATRICES ASOCIADAS A UNA APLICACI ON LINEAL Sean U;V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, B = fu 1 ;:::;u n g, B 0 = fv 1 ;:::;v m g bases de U y V, respectivamente,yf 2 L(U; V). Porser B 0 basede Vyf(u 1 );:::;f(u n ) 2 V,existena ij 2IKcon i 2 f1;:::;mg,j 2 f1;:::;ngtalesque f(u 1 )=a 11 v 1 + +a m1 v m... f(u n )=a 1n v 1 + +a mn v m :

10 Matem aticas Aplicaciones lineales 61 Portanto,suscomponentesocoordenadasenlabase B 0 son: f(u 1 ) B 0=(a 11 ;:::;a m1 )... f(u n ) B 0=(a 1n ;:::;a mn ): Seax2Uconcoordenadasenlabase B,x B =(x 1 ;:::;x n );como f(x) 2 Vy B 0 esbasede V,existeny 1 ;:::;y m 2IKdeformaque f(x) B 0=(y 1 ;:::;y m ). Entonces Luego Enformamatricial: f(x) = f(x 1 u 1 + +x n u n ) = x 1 f(u 1 )+ +x n f(u n ) = x 1 (a 11 v 1 + +a m1 v m )+ + x n (a 1n v 1 + +a mn v m ) = (x 1 a x n a 1n )v (x 1 a m1 + +x n a mn )v m : y 1 =x 1 a 11 +x 2 a x n a 1n y m =x 1 a m1 +x 2 a m2 + +x n a mn : 0 y 1. y m 1 C A = 0 a 11 a 1n... a m1 a mn 1 0 C B x 1. x n 1 C A :

11 Matem aticas Aplicaciones lineales 62 Denotaremospor M(f;B;B 0 )alamatrizde M m n (IK)obtenida enla expresi on anterior.esta matriz recibe el nombre de matriz asociada af en las bases B y B 0. NOTA: M(f; B; B 0 )= µ f(u 1 ) B 0j jf(u n ) B 0 : f(x) B 0= M(f;B;B 0 )x B : TEOREMA Sean U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, dimu = n, dimv=myb;b 0 basesde Uy V,respectivamente.Laaplicaci on esunisomor smo. L(U;V)! M m n (IK) f 7! M(f; B;B 0 ) TEOREMA Sean U; V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y B;B 0, B 00 bases de U; V y W, respectivamente, con dimu = n. Si f 2 L(U; V)yg2L(V;W),entonces: 1. M(g ±f; B; B 00 )=M(g;B 0 ; B 00 )M(f; B;B 0 ). 2. M(id U ;B;B)=I n. 3.f isomor smo ) M(f 1 ;B 0 ; B)=M(f;B; B 0 ) 1.

12 Matem aticas Aplicaciones lineales PROPOSICI ON Sean U, V espaciosvectorialessobreuncuerpoikyb, B 0 bases de U y V,respectivamente. Sif 2 L(U;V),entonces rgf =rg(m(f; B; B 0 )): 4.5 CAMBIODE BASE Sean UunespaciovectorialsobreuncuerpoIK, B=fu 1 ;:::;u n g, B 0 = fu 0 1;:::;u 0 ngbasesde U yx2u concoordenadasendichas bases: x B =(x 1 ;:::;x n )yx B 0=(x 0 1;:::;x 0 n). Podemos obtener la relaci on existente entre las coordenadas de x en estas dos bases a partir de las matrices asociadas a la aplicaci on id U endichasbases: x B 0=id U (x) B 0= M(id U ;B;B 0 )x B x B =id U (x) B = M(id U ; B 0 ;B)x B 0 NOTA: M(id U ;B 0 ; B)=M(id U ; B; B 0 ) CAMBIODEBASEENMATRICESDEAPLICACIONESLINEALES SeanU, V espaciosvectorialessobre uncuerpoik, B, Cbasesde U y B 0 ;C 0 basesde V. Sif 2 L(U;V),entonces: f! V B 0 B U # id U id V " C U f! V C 0 M(f; B; B 0 )=M(id V ;C 0 ;B 0 )M(f;C; C 0 )M(id U ; B;C):

13 Matem aticas Aplicaciones lineales 64 NOTA: Si U= V, B= B 0 y C= C 0,entonces: f! U B B U # id U id U " C U f! U C M(f;B;B)=M(id U ;B; C) 1 M(f; C;C)M(id U ;B;C): DEFINICI ON Sean IK un cuerpo y M;N 2 M n n (IK). Se dice que M es semejante a N si y s olo si existe P 2 M n n (IK) inversible tal quem=p 1 NP. NOTA: La relaci on de semejanza de matrices es de equivalencia (re exiva,sim etricaytransitiva) PROPOSICI ON SeanIKuncuerpoyM;N 2 M n n (IK).SiMyNsonsemejantes entre s ³,entonces: 1.detM=detN. 2.trM =trn. 3.rgM=rgN.

14 Matem aticas Aplicaciones lineales PROPOSICI ON Si U es un espacio vectorial, B, B 0 bases de U y f 2 End(U), entonces M(f; B;B)yM(f;B 0 ;B 0 )sonsemejantesentres ³ COROLARIO Si U es un espacio vectorial, B, B 0 bases de U y f 2 End(U), entonces: 1.det M(f;B; B)=detM(f;B 0 ;B 0 ). 2.trM(f; B;B)=trM(f; B 0 ;B 0 ). 3.rg M(f;B; B)=rg M(f; B 0 ;B 0 )=rgf.

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