Modelización por medio de sistemas

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Modelización por medio de sistemas d y dy Ecuaciones autónomas de segundo orden: = f ( y, ) Una variable independiente. Una variable dependiente. La variable independiente no aparece en el lado derecho de la EDO. Ejemplo. Sistema masa-muelle Segunda ley de Newton: F=ma Ley de Hooke: La fuerza de recuperación de un muelle es proporcional al desplazamiento de su posición de equilibrio. Ejemplo. Sistema depredador-presa: dc dz = = ac cz bcz + dcz. Teorema. El origen es siempre un punto de equilibrio de un sistema lineal. Es el único punto de equilibrio si y solo si det A 0. Principio de superposición. Consideramos el sistema Y =AY. Si Y(t) es una solución y k es cualquier constante, entonces ky(t) también es una solución. Si Y 1 (t) e Y (t) son dos soluciones, entonces Y 1 (t)+ Y (t) también es una solución. Soluciones rectas Cómo encontramos dos soluciones linealmente independientes? Ejemplo. La solución general del sistema Y (t)= Y, Y(0)=, 1 está dada por una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes: Y(t)=k 1 e -t k e t. 0 1

2 Qué tienen de especial las dos soluciones linealmente independientes de este ejemplo? Para un sistema lineal general de la forma Y =AY, qué propiedad geométrica del campo de vectores garantiza la existencia de soluciones rectas? Soluciones rectas. Supongamos que AY 0 = λ Y 0 para algún vector Y 0 distinto de cero y algún escalar λ. Entonces la función Y(t)= e λt Y 0 es una solución de la ecuación diferencial Y =AY. Queremos condiciones iniciales Y 0 (vectores) tales que A Y 0 = λ Y 0 para algún escalar λ. Terminología. El escalar λ recibe el nombre de autovalor de la matriz A y el vector Y 0 recibe el nombre de autovector asociado al autovalor λ. Repaso de la teoría de ecuaciones lineales algebraicas Para qué matrices B tiene el sistema BY=0 soluciones no triviales? Matrices singulares. El sistema BY=0 tiene soluciones no triviales si y sólo si det B=0. Dada una matriz A de dimensión x: La ecuación característica puede tener dos raíces reales, una raíz real de multiplicidad dos o dos raíces complejas conjugadas. Dado un autovector Y 0 asociado a un autovalor λ, cualquier multiplo escalar no nulo de Y 0 es también un autovector asociado a λ. Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes.

3 Autovalores reales distintos Supongamos que A es una matriz con dos autovalores distintos λ 1 y λ, λ 1< λ. Sea v 1 un autovector asociado a λ 1 y v un autovector asociado a λ. La solución general de Y =AY es Y(t)=k 1 Caso 1: λ 1< λ <0 (sumidero). t e 1 e λ v 1 + k λ t v. Ejemplo. Y (t)= Y 0 Caso : λ 1<0< λ (silla). Ejemplo. Y (t)= 4 5 Y 1 Caso 3: 0< λ 1 < λ (fuente). Ejemplo. Y (t)= 3 1 Y 1 0 Resumen para autovalores reales y distintos (y distintos de cero) sumidero ( λ 1 < λ <0) silla ( λ 1 <0< λ ) fuente (0< λ 1 < λ ) Autovalores complejos Teorema. Consideramos Y =AY, donde A es una matriz con entradas reales. Si Y c (t) es una solución con valores complejos, entonces Re Y c (t) y Im Y c (t) son soluciones con valores reales, que además son linealmente independientes.

4 3 Ejemplo. Y = 1 Y, Y c (t)=e (-+i)t 1 1+ i Posibles geometrías 0 1 Ejemplo 1. Y = AY, donde A=. 1 0 El polinomio característico de A es λ + 1, de forma que los autovalores son λ = ± i. Un autovector asociado al autovalor λ = i es Y 0 = i. 1 Solución general: Ejemplo. Y = BY, donde B= 4. El polinomio característico de B es λ + 4, de forma que los autovalores son λ = ±i. Un autovector asociado al autovalor λ = i es 1+ i Y 0 =.

5 Resumen. sistemas lineales con autovalores complejos posibles planos de fase son: λ = a ±bi. Los sumidero espiral (a<0) foco (a=0) fuent espiral (a>0) Qué información se puede extraer mirando sólo los autovalores (complejos)? Recordemos el Ejemplo. Los autovalores son λ = ±i. Aquí están las gráficas de las componentes de dos soluciones típicas: En el Ejemplo 3 los autovalores son λ = 0.1+ las componentes de dos soluciones típicas: i. Aquí están las gráficas de

6 Las soluciones de este último ejemplo no son periódicas en sentido estricto. No hay un tiempo T tal que x(t+t)=x(t), y(t+t)=y(t) para todo t. Sine embargo, hay un periodo (periodo natural) asociado a estas soluciones. Conviene verlas como soluciones oscilatorias cuya amplitud decae con el tiempo. Autovalores repetidos o nulos Autovalor doble 3 Ejemplo. Y = AY, donde A= 0. 3 El polinomio característico de A es autovalor, λ = 3. ( λ 3), de forma que sólo hay un x( t) Solución general: Y(t)= = y( t) 3t x0e + y 3t y0e 0 t e 3t. Escribimos la solución general como: Y(t)= e 3t x y t te 3 y 0 0. No está escrita como combinación lineal de soluciones. Todas las soluciones no triviales contienen el primer término y la mayoría de las soluciones contienen ambos términos. Usamos este resultado para motivar una técnica diferente para resolver sistemas con autovalores repetidos. Conjeturamos una solución de la forma Y(t)= e λt v 0 + te λt v 1 El dato inicial para esta solución es v 0. Resultado de álgebra lineal. Si A es una matriz x con autovalor λ y v 0 es cualquier vector, entonces se da una de estas dos posibilidades:

7 (A- λ I) v 0 =0 (v 0 es una autovector); v 1 =(A- λ I) v 0 es un autovector de A. 0 1 Ejemplo. Y = AY, donde A=. 4 4 El polinomio característico de A es λ + 4λ + 4, de forma que λ =- es un autovalor repetido. Cuál es el comportamiento para tiempos grandes de un sistema con un autovalor repetido negativo? Este es un caso crítico, en la frontera entre fuentes y fuentes espirales. Un autovalor nulo 1 Ejemplo. Y = Y. El polinomio característico de la matriz del 1 sistema es λ + 3λ, de forma que los autovalores son λ =-3 y λ =0 (si un sistema tiene un autovalor 0, se dice que es degenerado). En este caso la matriz de coeficientes es singular.

8 El plano traza-determinante Hay un objeto geométrico llamado plano traza-determinante que permite clasificar de forma elegante los distintos tipos de sistemas lineales x. Consideramos la matriz x a b A =. c d Calculamos su polinomio característico. Los autovalores de cualquier matriz x están determinados por su traza y por su determinante: T ± T 4D λ =. Resumen de planos de fase Supongamos que det A 0. Entonces cero no es un autovalor de A. 1. Autovalores reales distintos (a) sumidero (b) silla (c) fuente. Autovalores complejos (a) sumidero espiral (b) centro (c) fuente espiral 3. Autovalores reales repetidos (a) sumidero con una única recta de autovectores en el plano de fases

9 fases recta recta (b) fuente con una única recta de autovectores en el plano de (c) sumidero en el que toda solución es una solución de linea (d) fuente en la que toda solución es una solución de linea Ecuaciones lineales de segundo orden Usamos la técnica de conjetura afortunada para encontrar dos soluciones distintas de cero y 1 (t) e y (t) que no son múltiplos una de la otra. Podemos determinar la solución general de un ecuación lineal homogénea de segundo orden a + b + cy = 0 inmediatamente a partir de la ecuación característica aλ + bλ + c = 0. Así como podemos escribir el sistema correspondiente con su ecuación característica dy = v dv = c a y b a v λ 1 det c b = 0. λ a a 1 Observación útil: Si λ es un autovalor, el vector Y 0 = es siempre un λ autovector asociado. Tres casos: 1. Dos autovalores reales distintos y no nulos, λ1 y λ.. Un par de autovalores complejos conjugados, λ = α ± iβ, con β Un autovalor real no nulo de multiplicidad dos. Aplicación: Oscilador armónico amortiguado: m + b + ky = 0. En este caso estamos suponiendo que los parámetros m y k son positivos y que b 0. La ecuación característica mλ + bλ + k = 0 tiene autovalores b ± b 4mk. m

10 Hay tres casos, dependiendo del valor del discriminante b 4mk. 1. b 4mk < 0. b 4mk = 0 3. b 4mk > 0 Osciladores armónicos forzados Oscilador armónico estándar. Sistema masa muelle en el que las únicas fuerzas que actúan son la fuerza de recuperación del muelle y el amortiguamiento del medio: m + b + ky = 0. Oscilador armónico forzado. Además se tiene una fuerza externa (distinta de la fuerza de recuperación del muelle y de la amortiguación), f (t): m + b + ky = f ( t). Si la fuerza externa depende del tiempo, la ecuación resultante es no autónoma. Principio de linearidad extendido. Consideramos una ecuación lineal no homogénea (forzada) con coeficientes constantes (esto último no es imprescindible) a + b + cy = g( t) y la ecuación homogénea correspondiente a + b + cy = 0. Si y p (t) es una solución particular de la ecuación no homogénea e (t) es una solución de la correspondiente ecuación homogénea, entonces yh ( t) + y p ( t) es también solución de la ecuacion no homogénea. Si y p (t) e y q (t) son dos soluciones de la ecuación no homogénea, entonces y p ( t) yq ( t) es una solución de la ecuación homogénea asociada. Si k 1 y1( t) + k y ( t) es la solución general de la ecuación homogénea, entonces k y t) + k y ( t) + y ( ) 1 1( p t es la solución general de la ecuación no homogénea. y h

11 Ya sabemos cómo encontrar la solución general de la ecuación homogénea asociada; así que sólo queda encontrar una solución de la ecuación original. En ocasiones esto se puede hacer por el método de la conjetura afortunada. Forzamiento sinusoidal Vamos a estudiar ecuaciones forzadas en las que la fuerza externa es sinusoidal (seno o coseno). Ejemplo. Vamos a calcular la solución general de + + y = cos t. Veamos las gráficas de tres soluciones: Aquí está la gráfica de la solución estacionaria: Terminología ingenieril: Respuesta forzada: cualquier solución de la ecuación forzada. Respuesta estacionaria: comportamiento de la respuesta estacionaria a largo plazo. Respuesta natural (o libre): cualquier solución del problema homogéneo asociado. Por qué son las condiciones iniciales esencialmente irrelevantes?

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