LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS.

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1 160 LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS. JUSTIFICACIÓN En esta lección centraremos nuestro estudio en aquellas ecuaciones diferenciales homogéneas mediante la aplicación de operaciones elementales y ciertos cambios de variable, en cuyo caso se dirá que son ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas. Dichas ecuaciones diferenciales tienen la forma: (a 1 x + b 1 y + c 1 ) dx + (a x + b y + c ) dy = 0 donde a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 y a x + b y + c = 0 son rectas. Con base en la posición relativa de dos rectas en el plano se estudiarán dos casos, cuando las rectas se cortan (tienen un punto en común) y cuando las rectas son paralelas. OBJETIVOS: El estudiante podrá: 1- Identificar si la ecuación diferencial es reducible a homogénea. homogénea. - Transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial

2 161 homogéneas. 3- Obtener la solución general de ecuaciones diferenciales reducibles a PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE INTRODUCCIÓN: En la Lección 6 Qué estudiamos? Estudiamos las funciones homogéneas. Pueden decirme cuál es el criterio por medio del cual se establece que una función dada es homogénea con grado n de homogeneidad? Una función F(x,y) será homogénea de grado n de homogeneidad si se satisface la igualdad F(λx, λy) = λ n F(x,y). Muy bien Qué más estudiamos? Estudiamos una proposición que cumple toda función homogénea, la cual dice que si F(x,y) es una función homogénea con grado n de homogeneidad entonces F(x,y) = x n f y x Podrían darme un ejemplo de una función homogénea e indicar el grado de homogeneidad?

3 16 Por ejemplo, F(x,y) = x 3 y 3x y xy 3, es una función homogénea de grado 4 de homogeneidad. se transforma? Muy bien. Si le aplican la proposición a la función F(x, y) del ejemplo Cómo Se transforma en: F(x, y) = x 4 y y 3 x x y x 3 Correcto Qué otro aspecto estudiamos? Estudiamos la definición de ecuación diferencial homogénea. Exacto Qué característica dijimos que debían tener las funciones P(x,y) y Q(x,y) para que la ecuación diferencial fuese homogénea? Dijimos que para que la ecuación diferencial P(x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 fuese homogénea, las funciones P(x,y), Q(x,y) debían ser homogéneas con igual grado de homogeneidad. homogénea? Muy bien. Podrían darme algún ejemplo de una ecuación diferencial

4 163 Por ejemplo, (3x y + y 3 ) dx + (5yx 4x 3 ) dy = 0 es una ecuación diferencial homogénea, ya que P(x,y) = 3x y + y 3, Q(x 1 y) = 5y x 4x 3 son ambas funciones homogéneas con grado 3 de homogeneidad. Excelente Qué otro aspecto tratamos? Vimos cuales eran los pasos que debían seguirse para obtener la solución general de una ecuación diferencial homogénea. Exactamente. Podrían enumerarme esos pasos? Para obtener la solución general de la ecuación diferencial P(x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 1- Se debe chequear que las funciones P(x, y), Q(x,y) son homogéneas con igual grado de homogeneidad. - Si el grado de homogeneidad de ambas funciones es n, se aplica la proposición, es decir se saca factor común x n (o y n ) 1 3- Se multiplica la ecuación por n x y y p dx + q dy = 0 x x 1 o también obteniéndose: n y x p dx + q y x y dy = 0 y 4- Ya que p y q quedan dependiendo de x de variable x o de se efectúa el cambio y

5 164 resultando y v = y = vx x dy = xdv + vdx x v = x = vy y dx = ydv + vdy p(v) dx + q(v) (xdv + vdx) = 0 (o p(v) (ydv + vdy) + q(v) dy = 0) 5- Sacamos factor común dx (o dy) [p(v) + v q(v)] dx + x q(v) dv = 0 (o [vp(v) + q(v)] dy + y p(v) dv = 0 6- Se multiplica la ecuación por el factor para obtener 1 x[p(v) + v q(v)] o 1 y[vp(v) + q(v)] dx q(v) dy + dv = 0 x p(v) + vq(v) + p(v) o dv = y vp(v) + q(v) 0 que es una ecuación diferencial de variables separadas. paso Se integra cada término de la ecuación de variables separadas obtenida en el 8- Se resuelven las integrales. 9- Se devuelven los cambios de variables efectuados. 10- De ser posible se despeja y. Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden reducible a homogénea

6 165 Consideren la ecuación diferencial (x + 5y + 1) dx (4x + y 1) dy = 0 Qué tipo de lugar geométrico representan las ecuaciones x + 5y + 1 = 0 y 4x + y 1 = 0 Son rectas en el plano. Correcto. Qué necesitan identificar en cada recta para poder establecer la posición relativa entre ellas? Necesitamos conocer la pendiente de las rectas, sus vectores directores o sus vectores normales. las obtienen? Exacto. Cuál es la pendiente para cada una de las rectas del ejemplo? Cómo Las pendientes las obtenemos despejando y en cada ecuación. Así: y = - 5 x y = - 4x + 1 Por lo tanto, la pendiente de la primera recta, llamémosla m 1, es m 1 = - 5 ; la pendiente de la segunda recta, llamémosla m, es m = - 4. Bien. Cuál será el vector normal y el vector director en cada una de ellas? El vector normal es el que tiene por coordenadas los coeficientes de x e y respectivamente. Así, el vector normal para la primera recta, llamémoslo N 1 es,

7 166 N 1 = (,5); el vector normal para la segunda recta, llamémoslo N, es N = (4,1). Respectivamente los vectores directores serán, L 1 = (5, - ) y L = (1, - 4). Muy bien. Con toda esa información Cuál es entonces la posición relativa entre las dos rectas y por qué? Las rectas no son paralelas, se cortan, ya que sus pendientes son distintas y sus vectores normales y directores no son proporcionales entre sí. Exactamente. Qué significa que las rectas se cortan? Significa que existe un punto de coordenadas (h, k) por donde pasan ambas rectas, es decir, el punto (h,k) es el punto de intersección de las dos rectas. hacemos? Correcto. Debemos determinar las coordenadas de dicho punto Cómo lo Ya que el punto (h, k) es común a ambas rectas, satisface sus ecuaciones, es decir, h +5k + 1 = 0 y 4h + k 1 = 0. Por lo tanto, para obtener los valores de h y k bastará con resolver el sistema de ecuaciones. h + 5k + 1 = 0 4h + k 1 = 0 Exacto. Cómo resuelven el sistema? Si la segunda ecuación la multiplicamos por (-5) y sumamos con la primera ecuación.

8 167 h + 5k 1 = 0 0h 5k + 5 = 0-18h + 6 = 0 h = 1/3 el valor obtenido de h se sustituye en la ecuación 4h + k 1 = 0 y se despeja k, obteniéndose k = = Muy bien. Cuáles son entonces las coordenadas del punto de intersección? Las coordenadas del punto de intersección son (h,k) = 1 1, 3 3 Lo que plantea ahora es realizar una traslación de ejes al punto Recuerdan cómo debe hacerse eso? 1 1, 3 3 Se hace a través del cambio de variables x = u + h y = v + k 1 x = u y = v 3 dx = du dy = dv diferencial? Correcto. Con este cambio de variable Cómo se transforma la ecuación La ecuación diferencial se transforma en: u v + 1 du u v 1 dv = esto es, (u + 5v) du (4u + v) dv = 0

9 168 La ecuación diferencial obtenida De cuál de los tipos de ecuaciones diferenciales estudiadas, es y por qué? La ecuación diferencial obtenida es una ecuación diferencial homogénea, ya que las funciones F(u,v) = u + 5v G(u,v) = 4u + v son homogéneas con grado 1 de homogeneidad. Excelente. Qué paso deberán seguir ahora? Aplicarles la proposición a las funciones F(u,v) y G(u,v). Esto es, 5v v F(u,v) = u + G(u,v) = u 4 + u u Si sustituyen este resultado en la ecuación diferencial Qué obtienen? Al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos: Qué paso sigue? 5v v u + du u 4 + dv = 0 u u Multiplicar por u 1 (u 0), para obtener 5v v + du u 4 + dv = 0 u u Qué hacen ahora? Ahora debemos realizar el cambio de variable.

10 169 v z = u v = zu dv = u dz + z du Cómo se transforma la ecuación diferencial con este cambio? La ecuación diferencial queda: ( + 5z) du (4 + z) (udz + zdu) = 0 Qué deben hacer ahora? Debemos sacar su factor común, resultando: [ + 5z (4 + z) z] du u (4 + z) dz = 0 o equivalentemente (- z + z +) du u (4 + z) dz = 0 Qué deben hacer a continuación? Debemos separar las variables, multiplicando por el factor u(- z 1 + z + ) obteniendo: du 4 + z + dz = 0 u (z z - ) Muy bien. Qué tipo de ecuación obtuvieron? Obtuvimos una ecuación diferencial de variables separadas. Exacto. Cuál es el siguiente paso?

11 170 El siguiente paso es integrar cada término du 4 + z + dz = C u (#) z z du Cómo resuelven? u Es inmediata, du = ln u u Correcto. Cómo resuelven 4 + z dz? z z Factorizamos el polinomio - z + z + = (z ) (z + 1) y aplicamos el método de descomposición en fracciones parciales, esto es: A y B constantes a determinar z 4 + z A B = + z z z + 1 Qué paso sigue? Multiplicamos a ambos lados por (z ) (z + 1) obteniendo: 4 + z = (z + 1) A + (z ) B 4 + z = (A + B) z + (A B). Qué deben hacer ahora? Se deben comparar los coeficientes de los términos a ambos lados de la igualdad, resultando que:

12 171 A + B = 1 (1) A B = 4 () Restando (1) y () queda 3B = -3, es decir, B = -1. De (1) despejamos A, obteniendo A = 1 B, por lo tanto, A =. Qué hacen ahora con los valores que obtuvieron para A y B? Lo sustituimos en la descomposición en fracciones parciales, quedando: z 4 + z 1 = + z z z + 1 Muy bien. Cuál es el siguiente paso? Integrar cada término respecto de x: 4 + z dz dz dz = z z z z + 1 Cómo resuelven las integrales? Son inmediatas, ya que: dz d(z ) = = ln z z z dz d(z + 1) z + 1 z + 1 = = ln z + 1 Cuál es entones el resultado de 4 + z dz? z z

13 17 El resultado es 4 + z dz z z = ln z - ln z + 1 Muy bien. Qué deben hacer ahora? Sumar los resultados de las integrales e igualar a la constante C (es decir, sustituir en (#)) ln u + ln z - ln z + 1 = C Es esta la solución de la ecuación diferencial que estamos resolviendo? No. Hay que devolver los cambios de variables. Correcto. Hagámoslo Quién es u y quién es z en función de x e y? En el primer cambio de variable 1 x = u y = v 3 1 3x 1 u = x = v + 1 v = y + = 3 3 en el segundo cambio de variable z = u v z = 1 y x 3 = 3y + 1 3x 1 Por lo tanto, el resultado queda

14 173 ln 3x 1 3 3y ln 3x 1 3y ln + 1 3x 1 = C o equivalentemente ln 3x ln 3y + 6x + 3 3x 1 - ln 3y + 3x1 3x 1 = C Podrá simplificarse más esta solución? Cómo lo harían? Si se puede simplificar más, aplicando las propiedades de logaritmo, es decir, ln aplicando "e" a ambos lados: 3x 1 3y + 6x + 3 3x 1 3y + 3x 3x 1 3 = C 3x 1 3 ( y + x + 1) 3 (3x 1) (3x 1) 3( y + x) = e C simplificando, resulta: esto es, (y + x + 1) = k y + x ( y + x + 1) y + x = k Qué concluyen entonces? Concluimos que (y + x + 1) = k y + x es la solución general de la ecuación diferencial (x + 5y + 1) dx (4x + y 1) dy = 0

15 174 Abran sus guías en la página 9 y leamos la información que allí aparece. CASO 1: LA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIENE LA FORMA (a 1 x + b 1 y + c 1 ) dx + (a x + b y + c ) dy = 0 CON a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a x + b y + c = 0 RECTAS QUE SE CORTAN, Este tipo de ecuación diferencial es reducible a homogénea. Para transformar dicha ecuación en una ecuación diferencial homogénea se deben realizar los siguientes pasos: 1- Obtener las coordenadas del punto (h,k) de intersección entre las dos rectas, es decir, resolver el sistema de ecuaciones a a 1 h + b h + b 1 k + c 1 k + c = 0 = 0 - Realizar el cambio de variables x = u + h dx = du y = v + k dy = dv 3- Resolver la ecuación diferencial homogénea que resulta luego de realizado el cambio de variables 4- Devolver los cambios de variables 5- De ser posible despejar "y" Ahora van a disponer de diez minutos para resolver el Problema 1 que aparece en sus guías en la página 9 PROBLEMA 1: Obtenga la solución general de la ecuación diferencial:

16 175 dy dx x + 3y + 1 = 3x y 5 Revisemos que procedimientos utilizaron para resolver el Problema 1. Qué es lo primero que deben hacer? Escribir la ecuación diferencial de la forma: (a 1 x + b 1y + c 1 ) dx + (a x + b y + c )= 0 Muy bien Cómo queda entonces la ecuación diferencial? La ecuación diferencial queda de la forma: (x + 3y + 1) dx + (y 3x + 5) dy = 0 Correcto. Cuál es el siguiente paso? Determinar la posición relativa entre las rectas x + 3y + 1 = 0 y 3x + 5 = 0 Cómo determinar la posición relativa? Buscando las pendientes o los vectores normales. Cómo hayan las pendientes de las rectas? Despejando y en cada una de las ecuaciones, obteniendo

17 176 y = y = 3 x - 5 así la pendiente de la primera recta es m 1 = - 3 y la pendiente de la segunda recta es m = 3 Qué conclusión obtienen sobre la posición relativa de las rectas? Que como m 1 m, entonces las rectas se cortan. Muy bien. Qué deberán hacer a continuación? Debemos buscar las coordenadas (h,k) del punto de intersección entre las dos rectas, para lo cual resolvemos el sistema de ecuaciones: h + 3k + 1 = 0 3h + k + 5 = 0 (1) () Cómo resuelven el sistema? La ecuación (1) la multiplicamos por 3 y la ecuación () la multiplicamos por, luego sumamos las dos ecuaciones que resultan: 6h + 9k + 3 = 0 6h + 4k + 10 = 0 13k +13 = 0 k = 1 Lograron obtener el valor de k, Cómo obtienen el valor de h? Despejando h de la ecuación (1). Así,

18 177 h = 1 3k Sustituyendo el valor de k = -1, resulta h = 1. Muy bien. Luego que ya han conseguido las coordenadas del punto de intersección Qué deberán hacer? Debemos realizar un cambio de variables x = u + h y = v + k x = u + 1 y = v 1 dx = du dy = dv Cómo les queda la ecuación diferencial al sustituir el cambio de variables? La ecuación diferencial queda: [(u + 1) + 3(v 1) + 1] du + [(v - 1) + 3(u + 1) + 5] dv = 0 o equivalentemente: (u + 3v) du + (v - 3u) dv = 0 Esa última ecuación diferencial obtenida de qué tipo es? Es una ecuación diferencial homogénea. Por qué? Porque las funciones (u + 3v) y (v 3u) son homogéneas con grado 1 de homogeneidad. Exactamente. Qué hacen ahora?

19 178 Aplicamos la proposición a ambas funciones, resultando: u 3v v + du + u 3 u u dv = 0 (u 0) Cuál es el siguiente paso? Multiplicar la ecuación diferencial por u 1 (u 0) para obtener 3v v + du + 3 u u dv = 0 diferencial? De quién dependen ahora las funciones que aparecen en la ecuación Ambas dependen de u v Qué se sugiere hacer? Se sugiere hacer el cambio de variables v z = v = zu u dv = u dz + z du diferencial? Al sustituir este nuevo cambio de variables cómo se transforma la ecuación La ecuación diferencial se transforma en:

20 179 ( + 3z) du + (z 3) (udz + zdu) = 0 Bien. Qué deberán hacer ahora? Debemos sacar factor común du [ + 3z + z (z 3)] du + u (z 3) dz = 0 o equivalentemente: (z + ) du + u (z 3) dz = 0 Qué tipo de ecuación diferencial obtuvieron? Obtuvimos una ecuación diferencial de variable separable. Cómo separan las variables? Multiplicando por el factor u(- z 1 + z + ) Exacto. Cómo les queda la ecuación? La ecuación queda du z 3 + dz u z + que es la ecuación de variables separadas. = 0 Luego de separadas las variables Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es integrar cada término du z 3 + u dz = C (#) z +

21 180 du Cómo resuelven? u du Esa integral es inmediata: = ln u u z 3 Cómo resuelven dz = 0 z + Separamos en dos integrales: z 3 z dz dz = z + dz - (z + 1) (z + 1) 1 d(z + 1) = (z + 1) 1 dz - z +1 = 1 ln z arctg z Resueltas las integrales Qué deben hacer? Debemos sustituir los resultados de las integrales en (#), obteniendo: ln u + 1 ln z arctg z = C Correcto. Qué les falta ahora? Falta devolver los cambios de variables. x = u + 1 u = x 1 y = v 1 v = y + 1 v y + 1 z = = u x 1

22 181 sustituyendo queda: 1 y + 1 ln x -1 + ln + 1 x 1 1 y arctg x 1 = C Será posible simplificar ésta última ecuación? Si. Multiplicando por y luego aplicando propiedades de logaritmo resulta: ln ( 1) ( y + 1) + ( x 1) y + 1 x = C + arctg (x 1) x 1 simplificando y aplicando "e" a ambos lados y + x + y x + = k y+ 1 arctg x 1 e Qué concluyen entonces? Concluimos que la función y + x + y x + = k diferencial dy dx x + 3y + 1 = 3x y 5 y+ 1 arctg x 1 e es la solución El Problema que aparece en sus guías, les queda como ejercicio a fin de que refuercen los conocimientos, acerca de los aspectos tratados hasta el momento. PROBLEMA : diferenciales: Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones 1- (3x y + a) y 1 = 10 - x + y

23 18 - (x + 3y + 4) dx = (x + y 1) dy 3- (x + y) dx = (4x + 6y + 1) dy 4- dy dx = x 3y 5 x + y 1 5- (3x + y + 1) y 1 = x + 3y dy dx dy dx = = x y 3 x + y + 1 x + y 6 x y 8- (x - 5y + 3) dx - (x + 4y 6) dy = 0 9- (x y 1) + (4y + x 1) y 1 = (x + y) dx + (x y) dy = 0