Noviembre 2006, Versión 1.1. Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias. 1. 4y 00 + y 0 =0. 2. y 00 y 0 6y =0.
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- Veronica Molina Coronel
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1 E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 8 EDOs de orden superior Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 006/07 Noviembre 006, Versión 1.1 Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 1. 4y 00 + y 0 =0.. y 00 y 0 6y =0.. y 00 +8y 0 +16y = y 00 5y 0 y =0. 5. y 00 +9y =0. 6. y 00 4y 0 +5y =0. 7. y 00 +y 0 + y =0. (1.1) 4y 00 + y 0 =0. 4m + m = 0, m (4m +1) = 0, raíces soluciones m =0, m = 1/4, y 1 = e 0x =1, y = e 1 4 x. (1.) y = c 1 + c e 1 4 x, c 1,c R. y 00 y 0 6y =0. m m 6=0, 1
2 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior m = 1 ± 1+4 (1.) = 1 ± 5 y 1 = e x, y = e x. ( 6 = =, 4 =. y = c 1 e x + c e x, c 1,c R. y 00 +8y 0 +16y =0. m +8m +16=0, m = 8 ± = 8 = 4 (doble). (1.4) y 1 = e 4x, y = xe 4x. y = c 1 e 4x + c xe 4x, c 1,c R. 1y 00 5y 0 y =0. 1m 5m =0, m = 5 ± = 5 ± 11 4 (1.5) = 5 ± 11 4 y 1 = e x, y = e 1 4 x. = 5 ± ( = =, 6 4 = 1/4. y = c 1 e x + c e 1 4 x, c 1,c R. y 00 +9y =0. m +9=0, m = 9,
3 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior m = ± 9=±i. Tenemos dos raíces complejas conjugadas (simples) z = α ± βi, con α =0y β =. Lassolucionessondeltipo (1.6) y 1 = e αx cos βx, y = e αx sin βx. y = e αx (c 1 cos βx + c sin βx), y = c 1 cos x + c sin x, c 1,c R. y 00 4y 0 +5y =0. m 4m +5=0, m = 4 ± 16 0 = 4 ± 4 = 4 ± i =± i. y 1 = e x cos x, y = e x sin x. y = e x (c 1 cos x + c sin x), c 1,c R. (1.7) y 00 +y 0 + y =0. m +m +1=0, m = ± = ± i 6 = ± 8 6 = 1 ± i.! Ã y 1 = e x cos x, Ã! y = e x sin x.
4 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 4 " Ã! Ã!# y = e x c 1 cos x + c sin x, c 1,c R. Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 1. y 000 4y 00 5y 0 =0.. y 000 5y 00 +y 0 +9y =0. d u. dt + d u u =0. dt 4. y 000 +y 00 +y 0 + y =0. 5. y (4) + y y 00 = d4 y y dx 4 +4d4 +9y =0. dx4 7. d 5 u u dr 5 +5d4 dr 4 u d dr u 10d dr + du +5u =0. dr (.1) y 000 4y 00 +5y 0 =0. m 4m 5m =0, m m 4m 5 =0, m =0, m 4m 5=0, m 4m 5=0, m = 4 ± = 4 ± ( 6 = 4 ± 6 10 = =5, = 1. Raíces m =0, m =5, m = 1. y 1 = e 0x =1, y = e 5x, y = e x. y = c 1 + c e 5x + c e x, c 1,c,c R. (.) y 000 5y 00 +y 0 +9y =0.
5 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 5 m 5m +m +9=0. Intentamos con los divisores del término independiente Para m = 1, obtenemos ±1, ±, ±9. ( 1) 5( 1) +( 1) + 9 = =0. Descomponemos usando la regla de Ruffini ) m 5m +m +9=(m +1) m 6m +9. Resolvemos m 6m +9=0, m = 6 ± 6 6 = 6 = (doble). (.) y 1 = e x, y = e x, y = xe x. y = c 1 e x + c e x + c xe x, c 1,c,c R. d u dt + d u u =0, dt u u 00 u =0. m + m =0. Observamos que m =1es solución. Descomponemos usando la regla de Ruffini ) Resolvemos m + m =(m 1) m +m +. m +m +=0,
6 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 6 m = ± 4 8 = ± 4 = Raíces de la ecuación característica m =1, m = 1 ± i. y 1 = e t, y = e t cos t, y = e t sin t. ± i = 1 ± i. y = c 1 e t + e t (c cos t + c sin t), c 1,c,c R. (.4) y 000 +y 00 +y 0 + y =0. m +m +m +1=0, (m +1) =0. Raíces m = 1, (triple). y 1 = e x, y = xe x, y = x e x. y = c 1 e x + c xe x + c x e x, c 1,c,c R. (.5) Resolvemos y (4) + y y 00 =0. m 4 + m + m =0, m m + m +1 =0. m + m +1=0, m = 1 ± 1 4 = 1 ± i = 1 ± = 1 ± i.
7 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 7 Raíces de la ecuación característica m = 0 (doble), m = 1 ± i (complejas conjugadas, simples). y = c 1 + c x + e 1 x Ãc cos (.6) y 1 = e 0 =1, y = xe 0 = x, Ã! y = e 1 x cos x, Ã! y 4 = e 1 x sin x. Ã! Ã!! x + c 4 sin x, c 1,c,c,c 4 R. 16 d4 y y dx 4 +4d +9y =0, dx 16y (4) +4y () +9y =0. 16m 4 +4m +9=0. Se trata de una ecuación bicuadrada, realizamos el cambio t = m 16t +4t +9=0, t = 4 ± = 4 = = 4 m = ± m = 4, m = ± y 1 = cos r = 4 ± (doble). 4, i (dobles). Ã! x,
8 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 8 Ã! y = x cos x, Ã! y = sin x, Ã! y 4 = x sin x. Ã! Ã! Ã! Ã! y = c 1 cos x + c x cos x + c sin x + c 4 sin x,c j R. (.7) d 5 u dr 5 + 5d4 u dr 4 u d dr u 10d dr + du +5u =0. dr m 5 +5m 4 m 10m + m +5=0. Descomponemos usando la regla de Ruffini ) ) ) ) Raíces m =1 (doble), m = 1 (doble), m = 5. y 1 = e r, y = re r, y = e r, y 4 = re r, y 5 = e 5r. y = c 1 e r + c re r + c e r + c 4 re r + c 5 e 5r, c j R. Ejercicio Resuelve el problema de valor inicial y y =0, y(0) =, y 0 (0) =.
9 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 9 Se trata de una EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. m +16=0, m = 16, m = 16 = ±4i. y = c 1 cos 4x + c sin 4x. Imponemos las condiciones iniciales y 0 = 4c 1 sin 4x +4c cos 4x, de obtenemos y(0) =, c 1 cos 0 + c sin 0 =, c 1 =. De la condición obtenemos y 0 (0) =, 4c 1 sin 0 + 4c cos 0 =, 4c =, c = 1/. Solución del problema de valor inicial y =cos4x 1 sin 4x. Ejercicio 4 Resuelve el problema de valor inicial d y dy 4 5y =0, dx dx y(1) = 0, y 0 (1) =. EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. m 4m 5=0, m = 4 ± = 4 ± 6 = 4 ± 6 ( 10 = =5, = 1.
10 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 10 y = c 1 e 5t + c e t. Imponemos las condiciones iniciales y 0 =5c 1 e 5t c e t, de obtenemos De resulta y(1) = 0, c 1 e 5 + c e 1 =0. y 0 (1) =, 5c 1 e 5 c e 1 =. Tenemos el sistema ½ c1 e 5 + c e 1 =0, 5c 1 e 5 c e 1 =. Sumamos las ecuaciones y resulta 6c 1 e 5 =, Sustituimos en y obtenemos c 1 = 6e 5 = 1 e 5. c 1 e 5 + c e 1 =0 1 e 5 e5 + c e 1 =0, Solución del problema de valor inicial c e 1 = 1, c = 1 e. y = 1 e 5 e5t 1 e e t. Podemos reescribir la solución en la forma y = 1 e5t 5 1 e t+1, y = 1 e5(t 1) 1 e (t 1). Ejercicio 5 Resuelve el problema de valor inicial ½ y 00 + y 0 +y =0, y(0) = y 00 (0) = 0.
11 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 11 EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. m + m +=0, m = 1 ± 1 8 " y = e x c 1 cos De = 1 ± 7 = 1 ± 7 i. Ã! Ã!# 7 7 x + c sin x. y(0) = 0, obtenemos e 0 (c 1 cos 0 + c sin 0) = 0 c 1 =0. Como c 1 =0, sabemos que la solución es de la forma Ã! y = e x 7 c sin x. de la condición obtenemos y 0 = 1 e x/ c sin Ã! Ã! x + e x/ c cos x, y 0 (0) = 0, 1 7 e0 c sin 0 + e 0 c cos 0 = 0, c =0. La solución es y(x) =0. Este resultado puede deducirse sin realizar ningún cálculo, ya que y =0es solución ( y es única). Ejercicio 6 Resuelve el problema de valor inicial y y 00 +6y 0 =0, y(0) = 0, y 0 (0) = 1, y 00 (0) = 7.
12 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 1 EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. m +1m +6m =0, m m +1m +6 =0, m +1m +6=(m +6). Raíces de la ecuación característica m =0, m = 6 (doble). y = c 1 + c e 6x + c xe 6x. Imponemos las condiciones iniciales. De y(0) = 0, obtenemos De la condición resulta c 1 + c e 0 + c 0 e 0 =0, c 1 + c =0. y 0 = 6c e 6x + c e 6x 6c xe 6x. y 0 (0) = 1, 6c + c =1. De la condición resulta y 00 = 6c e 6x 6c e 6x 6c e 6x +6c xe 6x = 6c e 6x 1c e 6x +6c xe 6x. y 00 (0) = 7, 6c 1c = 7. Tenemos el sistema c 1 + c =0, 6c + c =1, 6c 1c = 7. Multiplicamos la a ecuación por 6 ylasumamosala a c 1 + c =0, 6c + c =1, 6c = 1, resulta c = 1 6.
13 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 1 Sustituimos en la a 6c =1, 6c =1 1 6 = 5 6, c = 5 6. Sustituimos en la 1 a c 1 = c = 5 6. Solución del problema de valor inicial y = e 6x xe 6x. Ejercicio 7 Resuelve el problema de condiciones de contorno y 00 10y 0 +5y =0, y(0) = 1, y(1) = 0. EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. m 10m +5=0, m = 10 ± =5 (doble). y = c 1 e 5x + c xe 5x. Imponemos las condiciones de contorno ½ y(0) = 1, y(1) = 0. y obtenemos el sistema ½ c1 =1, c 1 e 5 + c e 5 =0, ½ c1 =1, c 1 + c =0, c 1 =1, c = 1. Solución y = e 5x xe 5x. = e 5x (1 x). Ejercicio 8 Resuelve el problema de condiciones de contorno y 00 + y =0, y 0 (0) = 0, y 0 ( π )=.
14 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 14 raíces m +1=0, m = 1, m = ± 1=±i. y = e 0x (c 1 cos x + c sin x), y = c 1 cos x + c sin x. y 0 y 0 = c 1 sin x + c cos x e imponemos las condiciones de contorno ½ y 0 (0) = 0, y 0 ( π )=. Obtenemos ½ c1 0+c 1=0, c 1 1+c 0=, ½ c =0, c 1 =, ½ c1 =, c =0. La solución es y = cosx. Ejercicio 9 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales 1. y 00 + y =secx.. y 00 + y =cos x.. y 00 y =coshx. 4. y 00 +y 0 +y = 1 1+e x. 5. y 00 +y 0 +y =sin(e x ). 6. y 00 +y 0 + y = e t ln t. 7. y 00 6y 0 +6y = e x sec x.
15 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 15 (9.1) Homogénea asociada ecuación característica y 00 + y =secx. y 00 + y =0, m +1=0, m = 1, m = ± 1=±i. y 1 = cosx, y = sinx. Solución de la EDO homogénea y h = c 1 cos x + c sin x. Solución particular y p = u 1 y 1 + u y, que verifica ½ y1 u y u 0 =0, y1 0 u0 1 + y0 u0 = f(x) =secx. u 0 1 = W 1 W, u0 = W W. W = y1 y y1 0 y 0 = cos x sin x sin x cos x =cos x +sin x =1. W 1 = 0 y f(x) y 0 = 0 sinx sec x cos x = 0 sinx 1 cos x cos x = sin x cos x. W = y1 0 y1 0 f(x) = cos x 0 1 sin x =1. cos x Determinamos u 1 (x) u 0 1 = W 1 W = sin x cos x, sin x u 1 = dx =ln cos x. cos x Determinamos u (x) u 0 = W W =1, u = dx = x.
16 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 16 y p =cosxln cos x + x sin x. de la EDO completa y = c 1 cos x + c sin x +cosxln cos x + x sin x, c 1,c R. (9.) y 00 + y =cos x. EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y 00 + y =0, ecuación característica m +1=0, m = 1, m = ± 1=±i. y 1 = cosx, y = sinx. de la EDO homogénea asociada y h = c 1 cos x + c sin x, c 1,c R. y p = u 1 y 1 + u y que verifica ½ y1 u y u 0 =0, y1u yu 0 0 =cos x. Wronskiano W = y1 y y1 0 y 0 = cos x sin x sin x cos x =cos x +sin x =1, W 1 = 0 y f(x) y 0 = 0 sinx cos x cos x = sin x cos x, determinamos u 1 W = y1 0 f(x) = y 0 1 cos x 0 sin x cos x =cos x, u 0 1 = W 1 W = sin x cos x = sin x cos x, 1
17 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 17 u 1 = sin x cos xdx= cos x( sin x) dx = 1 cos x. Determinamos u u 0 =cos x, u = cos xdx= cos x cos xdx = = 1 sin x cos xdx cos xdx sin x cos xdx = sinx 1 sin x. µ 1 y p = cos x cos x + = 1 cos4 x +sin x 1 sin4 x. de la EDO completa µ sin x 1 sin x sin x y = y h + y p = c 1 cos x + c sin x + 1 cos4 x +sin x 1 sin4 x, c 1,c R. Podemos simplificar 1 cos4 x +sin x 1 sin4 x = 1 cos 4 x sin 4 x +sin x Finalmente = 1 cos x +sin x cos x sin x +sin x {z } {z } =1 = 1 cos x +sin x = 1 = 1 1 cos x. 6 cos x + 1 cos x cos x = cos x 1 cos x y = c 1 cos x + c sin x cos x, c 1,c R. (9.) y 00 y =coshx.
18 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 18 EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y 00 y =0, ecuación característica m 1=0, raíces m = ±1, sistema fundamental de soluciones Solución de la EDO homogénea y 1 = e x, y = e x. y h = c 1 e x + c e x, c 1,c R. y p = u 1 y 1 + u y con y 1 u y u 0 =0, y1u yu 0 0 =coshx = ex + e x. u 0 1 = W 1 W, u0 = W W. Wronskiano W = y1 y y1 0 y 0 = ex e x e x e x = ex e x e x e x = 1 1=. W 1 = Determinamos u 1 0 y f(x) y 0 = = e x ex + e x u 0 1 = W 1 W = u 1 = 1 4 ³ 0 e x cosh x e x = 1+e x. 1+ex = 1+e x, 4 1+e x dx = 1 4 x 1 8 e x. = e x cosh x W = y1 0 y1 0 f(x) = ex 0 e x cosh x = e x cosh x = e x ex + e x = ex +1,
19 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 19 determinamos u u 0 = W W = ³ e x +1 = 1 e x +1, 4 u = µ 1 e x +1 dx = 1 µ ex + x = 1 8 ex 1 4 x. µ 1 y p = 4 x 1 8 e x e x + = 1 4 xex 1 8 e x 1 8 ex x 4 e x. µ 1 8 ex x e x 4 de la EDO completa y = c 1 e x + c e x x e x e x 1 e x + e x, c 1,c R. 8 Como sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x, la solución puede reescribirse en la forma y = c 1 e x + c e x + 1 x sinh x 1 cosh x. 4 (9.4) y 00 +y 0 +y = 1 1+e x. EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y 00 +y 0 +y =0, ecuación característica raíces m = ± 9 8 m +m +=0, = ± 1 = +1 = 1, 1 =. y 1 = e x, y = e x. de la EDO homogénea y h = c 1 e x + c e x, c 1,c R.
20 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 0 y p = u 1 y 1 + u y, que verifica Wronskiano ( y1 u y u 0 =0, y 0 1u y 0 u 0 = f(x) = 1 1+e x. W = y1 y y1 0 y 0 = e x e x e x e x = e x ( )e x + e x e x = e x + e x = e x. También puede calcularse como sigue W = e x e x e x e x = e x e x = e x = e x ( +1) W 1 = 0 y f(x) y 0 = e x 1+e x, = 0 e x 1 1+e x e x determinamos u 1 u 0 1 = W 1 W = W = ³ e x 1+e x = u 1 = = y 0 1 e x ex (1 + e x = ) e x 1+e x, e x 1+e x dx =ln(1+ex ). y1 0 f(x) = e x e x +1, e x 0 e x 1 1+e x determinamos u u 0 = W W = ³ = ex e x +1. u = e x e x +1 e x = 1 e x (e x +1) e x e x +1 dx.
21 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 1 Realizamos el cambio de variable e x = t dt = e x dx dx = 1 t dt e x e x +1 dx = t t +1 1 t dt tdt t +1 1 = t +1 = dt t +1 µ = 1 1 dt = t +ln(t +1) t +1 = e x +ln(e x +1). y p = e x ln (1 + e x )+e x ( e x +ln(e x +1)) = e x ln (1 + e x ) e x + e x ln (e x +1) = e x + e x + e x ln (e x +1). de la EDO completa y = c 1 e x + c e x e x + e x + e x ln (e x +1), c 1,c R. Podemos reescribir la solución en la forma y = e x (c 1 1) + c e x + e x + e x ln (e x +1) = c 0 1e x + c e x + e x + e x ln (e x +1). c 0 1 =(c 1 1). (9.5) y 00 +y 0 +y =sin(e x ). EDO lineal completa con coeficientes constantes. EDO homogénea asociada ecuación característica raíces m = ± 9 8 y 00 +y 0 +y =0, m +m +=0, = ± 1 = y 1 = e x, y = e x. de la EDO homogénea +1 = 1, 1 = 4 =. y h = c 1 e x + c e x, c 1,c R.
22 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior y p = u 1 y 1 + u y, que verifica ½ y1 u y u 0 =0, y1u yu 0 0 = f(x) =sin(e x ). Wronskiano W = y1 y y1 0 y 0 = e x e x = e x + e x = e x. e x e x W 1 = determinamos u 1 0 y f(x) y 0 = 0 e x sin e x e x = e x sin (e x ), u 0 1 = W 1 W = e x sin (e x ) e x = sin (ex ) e x = sin(e x ) e x, u 1 = sin (e x ) e x dx. Con el cambio ½ t = e x, dt = e x dx, resulta u 1 = sin tdt= cos t, u 1 = cos (e x ). W = y1 0 f(x) y 0 1 = e x 0 e x sin (e x ) = e x sin (e x ), determinamos u u 0 = W W = e x sin (e x ) e x = sin (ex ) e x, u 0 = e x sin (e x ), u = e x sin (e x ) dx. Con el cambio ½ t = e x, dt = e x dx,
23 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior resulta u = µ t sin tdt= t cos t + cos tdt, deshacemos el cambio u = ( t cos t +sint), = t cos t sin t, u = e x cos (e x ) sin (e x ). La solución particular de la EDO completa es y p = (cos e x ) e x +(e x cos (e x ) sin (e x )) e x = e x cos (e x )+e x cos (e x ) e x sin (e x ) = e x sin (e x ). de la EDO completa y = c 1 e x + c e x e x sin (e x ), c 1,c R. (9.6) y 00 +y 0 + y = e t ln t. EDO lineal completa con coeficientes constantes. La EDO homogénea asociada es y 00 +y 0 + y =0, ecuación característica m +m +1=0, raíces m = ± 4 4 = 1 (doble). y 1 = e t, y = te t. de la EDO homogénea asociada y h = c 1 e t + c te t. c 1,c R. y p = u 1 y 1 + u y, que verifica ½ y1 u y u 0 =0, y1 0 u0 1 + y0 u0 = f(t) =e t ln t. Wronskiano W = y1 y y1 0 y 0 = e t te t e t e t te t = e t (e t te t )+te t = e t te t + te t = e t.
24 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 4 W 1 = 0 y f(t) y 0 = = e t ln t te t = e t t ln t. 0 te t e t ln t (1 t)e t Determinamos u 1 u 0 1 = W 1 W = e t t ln t e t = t ln t, µ t 1 u 1 = ( t ln t) dt = ln t t 1 t dt µ t = ln t 1 tdt = t ln t t. Determinamos u W = y1 0 f(t) y 0 1 = e t ln t. = e t 0 e t e t ln t u 0 = W W = e t ln t e t =lnt, u = ln tdt= t ln t t 1 t dt = t ln t dt = t ln t t. µ y p = e t t ln t t + te t (t ln t t) µ = e t t ln t t + t ln t t = e t µ t ln t 4 t de la EDO completa µ t y = c 1 e t + c te t + e t ln t 4 t, c 1,c R. (9.7) y 00 6y 0 +6y = e x sec x. EDO lineal completa con coeficientes constantes, la forma estándar es. y 00 y 0 +y = 1 ex sec x.
25 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 5 Ecuación homogénea asociada ecuación característica raíces m = ± 4 8 m = 1± i. y 00 y 0 +y =0, m m +=0, = ± 4 = ± i, Tenemos un par de raíces complejas conjugadas, el sistema fundamental de soluciones es y 1 = e x cos x, y = e x sin x. de la EDO homogénea y = c 1 e x cos x + c e x sin x, c 1,c R. y p = u 1 y 1 + u y, que verifica ½ y1 u y u 0 =0, y1u yu 0 0 = f(x) = 1 ex sec x. Wronskiano W = y1 y y1 0 y 0 = e x cos x e x sin x e x cos x e x sin x e x sin x + e x cos x = e x cos x sin x +cos x e x cos x sin x sin x = e x cos x sin x +cos x cos x sin x +sin x = e x sin x +cos x = e x. W 1 = 0 y f(x) y 0 = 0 e x sin x 1 ex sec x e x (sin x +cosx) = 1 ex sin x sec x = 1 ex sin x 1 cos x = 1 sin x ex cos x, determinamos u 1 u 0 1 = W 1 W = 1 sin x ex cos x e x = 1 sin x cos x u 1 = 1 sin x cos x dx = 1 ln cos x.
26 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 6 W = Determinamos u y1 0 y1 0 f(x) = e x cos x 0 e x 1 (cos x sin x) ex sec x = 1 ex cos x sec x = 1 ex cos x 1 cos x = 1 ex. u 0 = W 1 W = ex =1/, ex u = 1 dx = x/. µ 1 y p = ln cos x e x cos x + x ex sin x. de la EDO completa y = c 1 e x cos x + c e x sin x + 1 ex cos x ln cos x + 1 xex sin x, c 1,c R. Ejercicio 10 Resuelve el problema de valor inicial 4y 00 y = xe x/, y(0) = 1, y 0 (0) = 0. Se trata de una EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes constantes, escribimos la ecuación en forma estándar y y = 1 4 xex/. Homogénea asociada ecuación característica raíces y y =0, m 1 4 =0, m = 1 4, m = ± 1. y 1 = e 1 x, y = e x/.
27 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 7 de la EDO homogénea y = c 1 e x/ + c e x/, c 1,c R. y p = u 1 y 1 + u y, que verifica ½ y1 u y u 0 =0, y1 0 u0 1 + y0 u0 = f(x) = 1 4 xex/. Wronskiano W = y1 y y1 0 y 0 = = 1 1 = 1. e x/ e x/ 1 ex/ 1 e x/ W 1 = 0 y f(x) y 0 = = 1 4 xex/ e x/ = 1 4 x. 0 e x/ 1 4 xex/ 1 e x/ Determinamos u 1 u 0 1 = W 1 W = 1 4 x ( 1) = 1 4 x, 1 u 1 = 4 xdx= 1 8 x. W = y1 0 f(x) = y 0 1 = e x/ 1 4 xex/ = 1 4 xex. e x/ 0 1 ex/ 1 4 xex/ Determinamos u u 0 = W 1 W = 4 xex 1 = 1 4 xex, u = µ 14 xex dx = 1 4 xe x dx = 1 4 (x 1) ex. µ 1 y p = 8 x e x/ (1 x) + e x e x/ 4 µ 1 = 8 x x e x/. 4
28 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 8 de la EDO completa µ 1 y = c 1 e x/ + c e x/ + 8 x x e x/, c 1,c R. 4 Imponemos las condiciones iniciales ½ y(0) = 1, y 0 (0) = 0. De la condición resulta y(0) = 1 c 1 + c =1, y 0 = 1 c 1e x/ 1 c e x/ + c 1 + c =/4. µ 1 4 x 1 µ 1 e x/ x x ex/ e imponemos la condición resulta y 0 (0) = 0, 1 c 1 1 c =0, 1 c 1 1 c 1 8 =0, c 1 c = 1 4. Resolvemos el sistema ½ c1 + c =/4, c 1 c =1/4. Sumando, resulta c 1 = 1, c 1 = 1/. Restando, la a ecuación a la 1 a, obtenemos c = 1/, c = 1/4. La solución del problema de valor inicial es y = 1 ex/ + 1 µ 1 4 e x/ + 8 x x = 4 ex/ + 1 µ 1 4 e x/ + 8 x x 4 e x/ e x/.
29 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 9 Ejercicio 11 Resuelve el problema de valor inicial y 00 +y 0 8y =e x e x, y(0) = 1, y 0 (0) = 0. La ho- EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes constantes. mogénea asociada es y 00 +y 0 8y =0. m +m 8=0, raíces m = ± 4+ = ± 6 +6 =, = 6 = 4. y 1 = e x, y = e 4x. de la EDO homogénea y = c 1 e x + c e 4x, c 1,c R. y p = u 1 y 1 + u y, que verifica ½ y1 u y u 0 =0, y1u yu 0 0 = f(x) =e x e x. Wronskiano W = y1 y y1 0 y 0 = e x e 4x e x 4e 4x = 4e x e x = 6e x. W 1 = 0 y f(x) y 0 = = e 4x e x e x. 0 e 4x e x e x 4e 4x Determinamos u 1 u 0 1 = W 1 W = e 4x e x e x 6e x = 1 6 e x e x e x = 1 e 4x e x = 1 6 e 4x 1 6 e x.
30 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 0 u 1 = µ 1 e 4x 1 6 e x dx = 1 1 e 4x e x. W = y1 0 y1 0 f(x) = e x 0 e x e x e x = e x e x e x = e x, y determinamos u u 0 = W W = ex 6e x = = 1 e x e x 6 = 1 ex ex, µ 1 e x ( e x ) 6 u = µ 1 ex + 16 ex dx, u = 1 6 ex ex. y p = µ 11 e 4x e x e x + = 1 1 e x e x 1 6 e x e x = 1 e x + 18 e x = 1 4 e x e x. de la EDO completa y = c 1 e x + c e 4x 1 4 e x e x. µ 16 ex ex e 4x Imponemos la condición yresulta y(0) = 1 c 1 + c =1, c 1 + c =1, 6 c 1 + c 5 6 =1, c 1 + c = = 41 6.
31 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior 1 y 0 =c 1 e x 4c e 4x + 1 e x 1 9 e x e imponemos la condición resulta y 0 (0) = 0, c 1 4c =0, c 1 4c =0, c 1 4c =0, c 1 4c = 7/18, c 1 c = 7 6. Resolvemos el sistema ( c1 + c = 41 6, c 1 c = 7 6. Restamos la a ecuaciónala1 a c = c = 4 9. Sustituimos en la 1 a ecuación = 48 6 = = 4, c = 41 6, c 1 = = 9 6 Solución del problema de valor inicial = 5 6. y = 5 6 ex e 4x 1 4 e x e x. Ejercicio 1 Resuelve la EDO y y 0 =tanx. EDO lineal completa de tercer orden con coeficientes constantes. La EDO homogénea asociada es y y 0 =0. m + m =0, m m +1 =0,
32 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior raíces m =0, m = ±i. y 1 = 1, y = cosx, y = sinx. de la EDO homogénea y h = c 1 + c cos x + c sin x, c 1,c,c R. y p = u 1 y 1 + u y + u y, que verifica y 1 u y u 0 + y u 0 =0, y1 0 u0 1 + y0 u0 + y0 u0 =0, y1 00 u y 00 u 0 + y 00 u 0 = f(x) =tanx. Wronskiano y 1 y y y1 0 y 0 y 0 y1 00 y 00 y 00 = 1 cosx sin x 0 sin x cos x 0 cos x sin x = sin x cos x cos x sin x, W =sin x +cos x =1. 0 y y W 1 = 0 y 0 y 0 f(x) y 00 y 00 = 0 cosx sin x 0 sin x cos x tan x cos x sin x = tanx cos x sin x sin x cos x =tanx cos x +sin x = tanx. Determinamos u 1 u 0 1 =tanx, sin x u 1 = dx = ln cos x. cos x y 1 0 y W = y1 0 0 y 0 y1 00 f(x) y 00 = 1 0 sinx 0 0 cosx 0 tanx sin x = 0 cosx tan x sin x = tan x cos x = sin x. Determinamos u u 0 = W = sin x, W
33 Ejercicios resueltos: EDO s de orden superior u = W y 1 y 0 W = y1 0 y 0 0 y1 00 y 00 f(x) = sin x cos x. ( sin x) dx =cosx. = 1 cosx 0 0 sin x 0 0 cos x tan x = sin x tan x u 0 = W W = sin x cos x Determinamos u u = sin x cos x dx = = ( sin x)tanxdx. Integramos por partes u =tanx dv = sin xdx du =sec xdx v =cosx u = cosx tan x cos x sec xdx = 1 sinx dx =sinx cos x sec xdx = sinx ln sec x +tanx. Recordamos el cálculo de la primitiva de sec x sec x +tanx sec xdx = sec x sec x +tanx dx sec x +secxtan x = dx, sec x +tanx como resulta d d sec x =secxtan x, dx dx tan x =sec x, sec xdx=ln sec x +tanx. Finalmente, la solución particular de la EDO completa es y p = ln cos x 1+cosx cos x +(sinx ln sec x +tanx )sinx = ln cos x +cos x +sin x sin x ln sec x +tanx = 1 ln cos x sin x ln sec x tan x. de la EDO completa y = c 1 + c cos x + c sin x +1 ln cos x sin x ln sec x tan x. Finalmente, podemos incluir el 1 con la constante c 1 y = c c cos x + c sin x +ln cos x sin x ln sec x tan x.
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