ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS

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1 ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS Métodos Numéricos /Aálisis Numérico/ Cálculo Numérico Objetivo: Resolució de sistems de ecucioes lieles homogées por métodos proimdos. SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEAS Se cosiderrá l solució de ecucioes lgebrics lieles simultáes HOMOGÉNEAS, que tiee l form:... m m... m m m m (6.) El sistem puede ser escrito e otció mtricil: A. X (6.)

2 Geerliddes U cojuto de ecucioes homogées como el (6.) tiee siempre u solució, y que l mtri mplid y l del sistem preset, el mismo rgo. Si el rgo r de l mtri de los coeficietes del cojuto de ecucioes es igul l orde, el sistem tiee u úic solució, que es l deomid SOLUCIÓN TRIVIAL (... ). Pr este cojuto de ecucioes, tods ls ecucioes del sistem so lielmete idepedietes -> Det A. Geerliddes () Eiste solucioes NO TRIVIALES si, y solo si, r <. Etoces Det A, r : ro de ec. Lielmete idepedietes -r: Ec. Lielmete depedietes Pr este tipo de solucioes, o se ecuetr vlores úicos pr ls icógits. Se estblece relcioes etre ls icógits. Culquier combició de vlores de que stisfce ests relcioes costituye u solució. Los problems más importtes que se plte e l plicció de ecucioes homogées so quellos deomidos de VALORES CARACTERÍSTICOS

3 Geerliddes () Ls ecucioes puede escribirse, de mer crtesi, e l form: ( ) ( ) ( ) (6.) dode, los ij so reles, ls i so ls vribles del sistem y lmbd es u prámetro prticulr del sistem que tiee vlores, e geerl, descoocidos. E l otció mtricil ( A - I ) X (6.) Geerliddes () Dode l icorporr l mtri idetidd I, se puede utilir ( A - I ) como mtri de coeficietes. L mtri colum X recibe el ombre de VECTOR CARACTERÍSTICO ó AUTOVECTOR ó EIGENVECTOR; siedo ls i ls compoetes de dicho vector crcterístico. Los vlores que se obtiee pr lmbd se cooce como VALORES CARACTERÍSTICOS ó AUTOVALORES ó EIGENVALORES de l mtri A.

4 Geerliddes (5) Ddo que lmbd prece como icógit, es posible, hcer que el determite de dich mtri se igul cero y, llmdo D este, result: (6.) D A -I [ ] y ecotrdo vlores pr lmbd que hg D, se tedrá l solució. El desrrollo lgebrico del determite D produce u poliomio de grdo, de l form: (6.5) p p p Geerliddes (6) Este poliomio recibe el ombre de POLINOMIO CARACTERÍSTICO ó ECUACIÓN CARACTERÍSTICA Es ecesrio resolver el POLINOMIO y obteer los lmbd que hce D. Ls ríces recibe el ombre AUTOVALORES o VALORES CARACTERISTICOS. Los vlores crcterísticos, se sustituye, uo l ve, e el cojuto origil de ecucioes pr obteer u sistem correspodiete de relcioes etre ls icógits pr cd sustitució.

5 Geerliddes (7) Ls relcioes depederá del r de l mtri ( A - I ). Si es r -, ls relcioes será tles que l hipótesis de u vlor pr u icógit, producirá u vlor correspodiete pr c/u de ls ecucioes resttes; si r -, ls relcioes será tles que se tedrá que supoer los vlores de dos icógits pr poder obteer u vlor correspodiete c/u de ls icógits resttes. Geerliddes () Cudo es reltivmete pequeño ( ó ), el desrrollo de determites por meores pr obteer el poliomio crcterístico es secillo; y l posterior determició de ríces o preset grdes dificultdes. Pr clculr el determite de u mtri de *, se requiere de o (!) multipliccioes/divisioes y sums/rests. Icluso co vlores de reltivmete pequeños, l ctidd de cálculos se tor imejble. Cudo es grde ést determició se vuelve muy difícil, sio imposible y se debe pelr, lgú procedimieto umérico tl como lguo de los estudidos e el cpítulo correspodiete. 5

6 Método de FADDEEV-LEVERRIER Este método costituye u técic eficiete pr geerr los coeficietes p i del poliomio crcterístico (6.5), tto, cudo l mtri A de los coeficietes es simétric, como cudo o lo es. Tiee l vetj diciol de que se obtiee utomáticmete, l filir el proceso, l mtri ivers del sistem A -. TRAZA de u mtri: L tr de u mtri, que será desigd medite " tr A " es: (6.6) tr A... Método de FADEEV-LEVERRIER () Geer e su procedimieto, u sucesió de mtrices B ; B ;...; B de ls que se obtiee u serie de vlores, que se deomirá b k (k ; ;...;) que sustituidos e el POLINOMIO DE FADDEEV-LEVERRIER: ( ) ( b b b ) (6.7) d como resultdo los coeficietes p k El fctor (-) se utili pr dr los térmios los sigos que tedrí el poliomio crcterístico si hubiese sido geerdo desrrolldo el determite correspodiete. 6

7 Método de FADDEEV-LEVERRIER () Los vlores de b k se obtiee sí: B A ; b tr B B A ( B - b I ) ; b / tr B (6.).. B A ( B - - b - I ) ; b / tr B Puede demostrrse que l ivers de l mtri A, cuyos vlores crcterísticos se dese hllr, se determi prtir de l ecució: (6.9) A - /b ( B - - b - I ) Método de FADDEEV-LEVERRIER () Ejemplo: supógse que se h obteido, como modelo mtemático de lgú problem determido, el siguiete sistem liel homogéeo de ecucioes: () () () 7

8 Método de FADDEEV-LEVERRIER () Se debe geerr ls mtrices Bk prtir de l mtri A del sistem. Siedo: Etoces: A 6 trb b B De l mism mer Método de FADDEEV-LEVERRIER (5) 5 ) ( * * ) * *( trb b I b B A B

9 9 Método de FADDEEV-LEVERRIER (6) Sustituyedo los vlores de los bk e el poliomio de FADDEEV-LEVERRIER, se obtiee: ) ( * * ) * *( trb b I b B A B ) 5 6 *( ) ( Método de FADDEEV-LEVERRIER (7) Del cul result: O, multiplicdo por - Que es el poliomio crcterístico. Obteiedo l ríces de l ecució dd medite culquier método, result los vlores propios ; ;

10 Método de FADDEEV-LEVERRIER () Los que, sustituidos de uo por ve e el sistem, permite el clculo de ls compoetes j (j; ; ) de los vectores crcterísticos o utovectores. Filmete, pr hllr l mtri ivers del sistem, se debe hcer 7 5* * A Método de ls POTENCIAS El método de ls POTENCIAS es u método itertivo. Utilido e quellos csos e que solmete se dese coocer el utovlor más pequeño y/o más grde, jutmete co sus utovectores socidos. U vetj diciol de este método es que los utovlores se obtiee simultáemete co sus respectivos utovectores.

11 Método de ls POTENCIAS () Pr determir el utovlor más grde, supógse que tto los elemetos de l mtri como del utovlor so reles. Se el sistem: ( AI) X (6.) dode, relido el producto idicdo por el prétesis, se obtiee: AX IX AX X y trspoiedo térmios: AX X (6.9) Método de ls POTENCIAS () Hciedo uso sistemático de est últim ecució (6.9) y relido los siguietes psos: I.- Asigr vlores rbitrrios ls compoetes de X, y desigádolo co X se sustituye e el er. Miembro de A X X, co lo cul se obtiee l primer proimció del do. miembro. E geerl, result stisfctorio tomr los vlores pr i AX X ; ;... ;. II.- Dividir los elemetos del vector X por, pr que l primer compoete se reduc l uidd.

12 Método de ls POTENCIAS () III.- Se utili ls compoetes del vector obteido como vlores mejordos de X, sustituyédolos e el primer miembro de (6.9) pr volver obteer sí, u mejor proimció e u siguiete pso. IV.- Se repite los psos II y III hst que l epresió (6.9) quede esecilmete stisfech. Es decir se cumpl co l ctidd E fijd de temo. Al iterr se coform u sucesió: A X ; A X ;... ; A k X, X : vector rbitrrio supuesto iicilmete. Ls potecis de l mtri A que compoe l sucesió, so ls que le d el ombre l método. Método de ls POTENCIAS (5) Como determir el utovlor más pequeño y su utovector socido.? Es ecesrio premultiplicr por l ivers de A, resultdo: AX X A - A X A - X A - X X

13 Método de ls POTENCIAS (6) Dividiedo est últim epresió por el vlor de, y permutdo mbos miembros, result: A X X (6.6) L que producirá u covergeci l vlor más pequeño del utovlor lmbd. Método de ls POTENCIAS (7) CONCLUSIONES Covergeci puede resultr let: Si los utovlores máimo e imeditmete meor tiee vlores similres; o, si otro tto ocurre co el míimo e imeditmete myor. L covergeci es hci el utovlor máimo: Si el utovlor máimo tiee multiplicidd dos, pero, ls compoetes del utovector coverge culquier de los dos que está socidos quel; depediedo esto, del vector X supuesto iicilmete.

14 Método de ls POTENCIAS () E cso que el vector supuesto iicilmete se ortogol co el utovector socido l utovlor máimo de l mtri trspuest, covergirá l utovlor que le sigue e mgitud e lugr de hcerlo l máimo. Como los utovlores so ctiddes que hce que el determite de l mtri de coeficietes (A -I) se cero, el rgo r de l mtri de los coeficietes debe ser ecesrimete meor que el orde de l mtri Método de ls POTENCIAS (9) Si el rgo de l mtri de coeficietes es u uidd meor que el orde, el sistem de ecucioes homogées que se v resolver cotiee - ecucioes idepedietes pr determir los compoetes de los utovectores.

15 Método de ls POTENCIAS () Si el rgo de l mtri de coeficietes es dos uiddes meor que el orde, es ecesrio supoer vlores pr dos compoetes del utovector pr hllr vlores pr otrs compoetes. Hbrá solo - ecucioes idepedietes e el sistem. Se dice que el espcio de solucioes es bidimesiol. Si -r, se debe supoer tres compoetes del utovector, y el espcio de solucioes será tridimesiol. El romieto es idético cudo el grdo de idetermició es myor. ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS ORTOGONALES Se preset métodos especiles destidos específicmete l resolució de ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS ORTOGONALES. Importci: fcilidd y rpide co que estos sistems puede ser resueltos. Posibilidd de covertir u sistem culquier e ortogol. 5

16 Itroducció U sistem de ecucioes lieles simultáes de l form: (6.) A X C ; A [ i j ] dode, A es u mtri cudrd de orde, que recibe l deomició de ORTOGONAL si stisfce l codició: (6.) r i j jr ; j i Si l sum de los productos de coeficietes homólogos de dos fils diferetes del sistem, es ulo. L epresió terior recibe el ombre de CONDICIÓN DE ORTOGONALIDAD. Itroducció () Cosiderdo los coeficietes de cd fil de l mtri A como compoetes de u vector A i, l codició de ortogolidd de estos vectores es precismete l ecució (6.). E geerl: ( ;A ) ; i A j (6.5) i j r ir jr lo que epres que, si el producto esclr de dos vectores A i ; A j es ulo, estos so ortogoles. 6

17 7 El Método ANALITICO El sistem represetdo por A X C, puede ser escrito e form crtesi: c c c (6.6) L solució de este sistem, puede ecotrrse fácilmete evitdo l plicció de métodos etesos y complejos Método ANALITICO () Se trsform ls icógits ; ;...;, e otrs ; ;...;,medite l relció: Z A X T que, e form crtesi se epres: (6.7)

18 Método ANALITICO () Estos vlores de i reempldos e l epresió (6.6), d como resultdo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c ) ( ) ( ) ( Método ANALITICO () Ests últims epresioes se puede order e fució de ls icógits defiids i, resultdo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c

19 Método ANALITICO (5) Cosiderdo l codició de ortogolidd i j jr ; j i se preci r que, los prétesis que ecierr sums de productos se ul, queddo solmete quellos que ecierr sums de cudrdos, sí: ( ) ( ) c (6.) c ( ) c Método ANALITICO (6) Medite ests últims epresioes es posible obteer, de mer direct, todos los vlores de ls i luego, hciedo uso de ls ecucioes (6.7), se clcul los vlores de ls i. E el cso que l precisió lcd o fuer stisfctori, los resultdos obteidos so susceptibles de ser refidos medite el método de ls ecucioes de error. 9

20 EJEMPLO Ddo el siguietes sistem, verificr su codició de ortogolidd y resolver propidmete. 7 y y y w w w EJEMPLO Solució: Pr verificr l codició de ortogolidd, se debe relir los productos esclres etre ecucioes, resultdo de est mer: (A ; A)*7(-)*(-)*(-)7- (A ; A)*(-)**- (A ; A)7*(-)*(-)*--6

21 EJEMPLO Aplicdo l sistem ddo, l formul resolvete de l epresió ( ) ( ) c (6.) c ( ) c Se obtiee: 6*- ; 66* ; 76*- EJEMPLO Vle decir: -/6 ; /66 ; -/76. Y filmete reempldo estos vlores e ls epresioes, result X- ; y-5 ; w-6