5.1. Soluciones de EDP s de coeficientes constantes

Transcripción

1 Práctica 5 Ecuaciones en derivadas parciaes En esta práctica veremos cómo es posibe utiizar e programa Mathematica para resover agunos tipos de ecuaciones en derivadas parciaes. Revisaremos también agunas cuestiones reacionadas con a soución mediante funciones anaíticas de probemas de contorno y su impementación en e Mathematica, tanto para obtener souciones aproximadas de estos probemas como para visuaizaros Souciones de EDP s de coeficientes constantes reducibes. Recordemos que una EDP inea se dice que es reducibe si e operador de primer miembro puede descomponerse en factores ineaes, es decir en factores donde sóo aparezcan derivadas de primer orden. Una EDP inea de coeficientes constantes Φ(D x,d y z = f(x, y, es reducibe si se puede escribir de a forma ϕ 1 (D x,d y ϕ 2 (D x,d y ϕ n (D x,d y z = f(x, y, siendo ϕ i (D x,d y =a i D x + b i D y + c i,i=1, 2,...,n. (5.1 Si f(x, y =, a ecuación se amará homogénea y en caso contrario no homogénea. Para resover este tipo de ecuación hemos de tener en cuenta que a soución genera de una ecuación diferencia inea no homogénea se puede obtener como a suma de a soución genera de a ecuación homogénea más una soución particuar de a ecuaciónn no homogénea. 9

2 Consideremos una ecuación homogénea y reducibe, ϕ 1 (D x,d y ϕ 2 (D x,d y ϕ n (D x,d y z =. (5.2 Si z i son soución de a ecuación (a i D x + b i D y + c i z i =, i =1, 2,...n, (5.3 a soución genera de (5.2 será de a forma z = n z i. i=1 Como sabemos, dada a ecuación su ecuación característica viene dada por (ad x + bd y + c z = f(x, y, (5.4 dx a = dy b = Por tanto, para resover a ecuación (5.3 diferencia característico dx a i = dy b i La resoución de sistema es a siguiente dx = dy a i b i dx a i = dz c i z y a soución genera viene dada por dz f(x, y cz. (5.5 consideraremos e sistema = dz c i z. (5.6 a i y b i x = C 1 ze c i x a i = C 2 (5.7 z i = e c i x a i ψ i (a i y b i x, (5.8 con ψ i, i =1, 2,... nfunciones arbitrarias. La soución genera de a ecuación homogénea (5.2 es de a forma z = n i=1 e c i x a i ψ i (a i y b i x. (5.9 1

3 Hemos de tener en cuenta que si ad x + bd y + c es un factor de mutipicidad k, entonces a correspondiente soución es k 1 x i φ i (ay bx e cx a, i= con φ i, i =1, 2,... n funciones arbitrarias. La soución genera de a ecuación competa se obtiene como a suma de a soución de a homogénea más una soución particuar de a ecuación ho homogénea. Para obtener una soución particuar buscaremos un conjunto de funciones de forma anidada. Es decir, ϕ 1 (D x,d y u 1 = f(x, y ϕ 2 (D x,d y u 2 = u 1. Para resover e sistema se procede de a siguiente forma: en primer ugar resovemos a ecuación, ϕ 1 u 1 = f(x, y, obteniendo u 1 (x, y como suución, y que es utiizada en a ecuación ϕ 2 u 2 = u 1, para obtener u 2 (x, y. Ejempo Resover a EDP 2 z x 2 2 z 2 x y + 2 z y 2 z 2 x +2 z y =4xe 2y. (5.1 Soución: Utiizando operadores derivada, a ecuación diferencia anterior se escribe ( D 2 x 2D x D y + Dy 2 2D x +2D y z =4xe 2y. (5.11 Consideremos a ecuación homogénea ( D 2 x 2D x D y + D 2 y 2D x +2D y z =. Utiizando a función Factor[] tenemos In[]:= Factor[Dx^2-2Dx*Dy + Dy^2-2Dx + 2Dy] Out[]=(-2 + Dx - Dy (Dx - Dy La soución de a ecuación (D x D y 2 z 1 =, es de a forma z 1 = e 2x ψ 1 (x + y. 11

4 La soución de a ecuación es de a forma (D x D y z 2 =, z 2 = ψ 2 (x + y. Así a soución genera de a ecuación homogénea es z h = e 2x ψ 1 (x + y+ψ 2 (x + y. Para obtener una soución particuar tenemos que resover e sistema (D x D y u = 4e 2y x (5.12 (D x D y 2 z = u. (5.13 Para resover (5.12 consideraremos e sistema característico o sea, e sistema dy dx = 1, Utiizando e Mathematica dx = dy = du 4xe 2y, dy dx = 1 du 4xe 2y dx. In[]:=DSove[{y [x] == -1, y [x]==-u [x]/(4*x*exp[-2*y[x]]}, {y[x], u[x]}, x] Out[]={{y[x] -> -x + C[1], u[x] -> E^(2 x - 2 C[1] ( x + C[2]}} Una soución particuar para u es u =2xe 2y e 2y. Seguidamente, debemos resover a ecuación (5.13, que toma a forma cuyo sistema característico es (D x D y 2 z =2xe 2y e 2y, dx = dy = 12 dz 2xe 2y e 2y +2z,

5 osea, dy dx = 1, dy dx = 1 2xe 2y e 2y +2z dz dx. Utiizando e Mathematica, e sistema de ecuaciones diferenciaes o podemos resover de a siguiente manera: In[]:= DSove[{y [x] == -1,y [x]== -z [x]/(2*x*exp[-2*y[x]]- Exp[-2*y[x]] + 2*z[x]}, {y[x], z[x]}, x] Out[]={{y[x] ->-x + C[1], z[x] ->E^(2x - 2C[1] (-x+ x^2+e^(2xc[2]}} Luego una soución particuar viene dada por z p = e 2y ( x + x 2. La soución genera de a ecuación competa es z = e 2x ψ 1 (x + y+ψ 2 (x + y+e 2y ( x + x 2. Para obtener souciones particuares de ecuaciones diferenciaes ineaes en derivadas parciaes se puede utiizar también un método simiar a método de os coeficientes indeterminados de as ecuaciones diferenciaes ordinarias. Supongamos que se quiere resover una ecuación diferencia no homogénea de a forma Φ(D x,d y z = f(x, y. entonces probaremos con una función prueba, z p (x, y simiar a f(x, y pero con coeficientes a determinar. Si esta función fuera soución de a homogénea, se mutipicará por x o por y. Por ejempo, si f(x, y es un poinomio, se prueba como soución un poinomio de mismo grado. Ejempo Obtener una soución particuar de a ecuación (D x D y 2D x +1z =2+x 2 + y 2. Se prueba como soución particuar una función de a forma z p = ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + g. 13

6 In[]:= zp = a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*y+g In[]:=Expand[D[zp,x,y]-2*D[zp,x]+zp] Out[]=b-2d+g-4ax+dx+ax^2-2by+ey+bxy+cy^2 con o que se tienen as ecuaciones a =1, d 4a =, b =, e 2b =, b 2d + g =2, c =1. Resoviendo e sistema In[]:=Sove[{b-2d+g==2,-4a+d==,a==1,-2b+e==, b==,c==1},{a,b,c,d,e,g}] Out[]={{a -> 1, b ->, c -> 1, d -> 4, e ->, g -> 1}} con o que a soución particuar es z p = x 2 + y 2 +4x EDPs de evoución: Separacón de Variabes Los probemas de evoución que consideraremos en esta práctica serán as ecuaciones de ondas (hiperbóicas y de difusión (parabóicas en una variabe espacia y sobre una región espacia finita. Las ecuaciones diferenciaes que consideraremos son (hiperbóica 2 u t 2 = a 2 2 u, x2 t >, x. (5.14 (parabóica u t = a 2 2 u, x2 t >, x. (5.15 Teniendo en cuenta que a ecuación es inea y utiizando separación de variabes, podemos escribir a soución de os probemas en a siguiente forma u(x, t = T n (tx n (x. La forma de obtener as funciones T n (t yx n (x es sustituir en a ecuación diferencia. En as ecuaciones (5.14 y (5.15, a función X n (x debe satisfacer a ecuación diferencia ordinaria 14 X n + λ n X n =

7 cuya soución genera vimos en Ampiación de Matemáticas que era, para λ n > ( ( X n (x =A n cos λn x + B n sin λn x. Las ecuaciones diferenciaes vienen acompañadas de condiciones iniciaes y de frontera, as cuaes determinan as constantes A n,b n y λ n. Las condiciones de frontera pueden ser sencias o bastante compejas. Nosotros tomaremos para as condiciones de frontera a más sencia, condiciones de frontera nuas. De a condición de a izquierda u(,t=. Esto es independiente de t y por tanto nos fuerza a que X( =, e inmediatamente deducimos que A n =. Las condiciones de frontera en e extremo derecho nos dará os vaores de λ n váidos para e probema en cuestión (as constantes B n se absorben dentro de as funciones T n (t y se determinarán a partir de as condiciones iniciaes. Consideraremos u(, t = donde tenemos ( sin λn = λ n = ( nπ 2. Descomposición de funciones Como sabemos, una función, f(x, se puede aproximar en un intervao x [,] por una serie en senos que se anuen en x =yenx =. Si, además se tiene que f( = f( = a convergencia será uniforme. Por tanto, a función se puede descomponer ( nπ x f(x = C n sin. (5.16 Los coeficientes, C n se pueden obtener teniendo en cuenta as condiciones de ortogonaidad ( nπ x ( mπ x sen sen dx = δ n,m Teniendo en cuenta que 15 ( nπ x sen 2 dx = 2. ( nπ x sen 2 dx. (5.17

8 Con esto se pueden cacuar os coeficientes C n C n = 2 ( nπ x f(x sen dx. (5.18 Para comprobar as regas de ortogonaidad, podemos definir a función ort[n_,m_]:=nintegrate[sin[n*pi*x/l]*sin[m*pi*x/l],{x,,l}] Simuaciones de probemas de evoución A continuación vamos a hacer uso de herramientas de Mathematica para reaizar simuaciones de souciones de EDPs de evoución. La funciones u(x, t = (A n cos (nπt+b n sin (nπt sen (nπx, (5.19 y u(x, t = A n exp ( nπt sen (nπx, (5.2 son souciones de as EDPs (5.14 y (5.15, respectivamente, para a = =1 con condiciones de frontera nuas, esto es u(,t = u(1,t =. Los coeficientes A n se obtienen de as condiciones iniciaes, u(x,, y teniendo en cuenta as propiedades de ortogonaidad de as funciones trigonométricas A n = 2 1 sen (nπx u(x, dx. Para cacuar os coeficientes A n, usamos e Mathematica In[]:= a[n_]=2*integrate[sin[n*pi*x]*u[x],{x,,1}] Una vez tenemos os coeficientes, definimos a función In[]:=u[x_,t_,nau_]:=Sum[a[n]*Cos[n*Pi*t]*Sin[n*Pi*x],{n,1,nau}] Utiizando e Mathematica podemos visuaizar de manera dinámica a evoución con e tiempo con a instrucción. Por ejempo, para visuaizar os resutados con 2 armónicos (círcuos y con 5 armónicos (ínea contínua In[]:=Manipuate[ Show[ ListPot[Tabe[{x, u[x, t, 2]}, {x,, 1,.1}], PotStye -> PointSize[.3]], ListPot[Tabe[{x, u[x, t, 5]}, {x,, 1,.1}], Joined -> True, PotRange -> A]], {{t, 1, "t"},, 1}] 16

9 5.3. Ecuación de ondas 1D: Vibraciones forzadas de una cuerda finita con extremos móvies Resumen: agoritmo de cácuo: Dado e probema 2 u t 2 = a 2 2 u + f(x, t, x2 <x<, u(,t = ψ 1 (t, u(, t =ψ 2 (t u(x, = ϕ (x, u(x, = ϕ 1 (x, introducimos as constantes, a, y definimos as funciones: f(x, t,ψ 1 (t,ψ 2 (t,ϕ (x,ϕ 1 (x. A continuación, procedemos con e siguiente orden de cácuos u 3 (x, t = ψ 1 (t+ x (ψ 2(t ψ 1 (t g(x, t = f(x, t 2 u 3 t 2 u 1 (x, = u(x, u 3 (x, u 1(x, = u (x, u 3(x, A n = 2 ( nπx u 1 (x, sen dx 2 ( nπx B n = u nπa 1(x, sen dx ( ( ( nπat nπat u 1 (x, t = A n cos + B n sen g n (t = 2 ( nπx g(x, t sen dx ( t ( nπa(t τ u 2 (x, t = g n (τ sen nπa u(x, t = u 1 (x, t+u 2 (x, t+u 3 (x, t sen dτ sen ( nπx ( nπx 17