LOS NÚMEROS ENTEROS. Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se pone al número el signo contrario al que tenía.

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1 Melilla Los números Enteros y operaciones elementales LOS NÚMEROS ENTEROS 1º LOS NÚMEROS ENTEROS. El conjunto de los números enteros Z está formado por los números naturales (enteros positivos) el cero y los números opuestos a los naturales (enteros negativos). Los números negativos: Están por debajo del cero. Se escriben con el signo menos delante. Cuando se plantean operaciones con números negativos estos se escriben entre paréntesis. Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica. 2º VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al quitarle el signo. Se expresa entre dos barras verticales. a se lee valor absoluto de a. º SUMA DE NÚMEROS ENTEROS. Sumar números positivos. Se suman todos los valores absolutos y se coloca el signo + Sumar números negativos. Se suman todos los valores absolutos y se coloca el signo º RESTA DE NÚMEROS ENTEROS. Para restar un número entero se quita el paréntesis y se pone al número el signo contrario al que tenía. 5º MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. Si los factores tienen el mismo signo el resultado es positivo. ( + ). ( + ) = + ( - ). ( - ) = + Si los factores tienen distinto signo el resultado es negativo. ( + ). ( - ) = - ( - ). ( + ) = - 1

2 6º DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo el resultado es positivo. ( + ) : ( + ) = + ( - ) : ( - ) = + Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo el resultado es negativo. ( + ) : ( - ) = - ( - ) : ( + ) = - 7º OPERACIONES COMBINADAS. En las expresiones con números enteros hemos de atender: Primero los paréntesis. Segundo las multiplicaciones y divisiones. Tercero las sumas y restas. 8º POTENCIAS. Potencias de base positiva. Una potencia de base positiva es siempre un número positivo. Potencias de base negativa. Al elevar un número negativo a una potencia: - Si el exponente es par el resultado es positivo. - Si el exponente es impar el resultado es negativo. 9º RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO NEGATIVO. La raíz cuadrada de un número negativo no existe. 10º ERRORES FRECUENTES. No es lo mismo ( a) n que ( ) = ( )(. )(. )(. ) = = ( ) = 81 n a 81 No es lo mismo ( a + b) n que 2 2 ( + 7) = 10 = = = 58 n a + b n No es lo mismo a + b que a + b = = 5 9 = + = 7 2

3 ACTIVIDADES. 1.- Asocia un número positivo o negativo a cada uno de los siguientes enunciados. a. María está en el octavo piso. b. Miguel se encuentra en el tercer sótano. c. Tengo en el banco 55. d. El termómetro marca 19º C bajo cero. 2.- Representa en la recta numérica los siguientes números enteros..- Calcula: a. 2 = b. -8 = c. -6 =.-Escribe tres números enteros que tengan el mismo valor absoluto. 5.- Qué número entero es el inmediato posterior a +9?... Y a 9? Qué número entero es el inmediato anterior a +2?... Y a 2? Escribe en cada caso el signo o = que corresponda. a b c Ordena los siguientes números y represéntalos en la recta numérica Opera. a. (+2) + (+7) = b. (+8) + (+) = c. (-2) + (-9) = d. (-5) + (-6) = 10.- Calcula. a. (+11) + (-7) = b. (-8) + (+) = c. (+) + (-15) = d. (+21) + (-11) = e. (+9) + (-) = f. (-9) + (+1) =

4 11.-Opera. a. (+) + (-) = b. (-1) + (+1) = Cuál es el resultado de sumar un entero con su opuesto? Calcula. a = b = 1.- Calcula. a. (-8) (-) + (-6) (+2) (-9) = b. (+15) + (-1) (+12) (-10) = c. (-2) (-8) + (-) (-6) (+9) + (-7) = d. (+12) (-1) (+16) + (-18) (-20) = 1.-Calcula. a. (17 2) (8 +2) = b. (7 10) (2 9) = c. (10 + ) ( ) = d. ( ) ( ) = 15.- Calcula. a [ ( 9) ] = b. ( 10 7) [ 11 ( 7 5) ] = [ ]= c. 15 ( 8 6) + ( 7) d. 16 [ 16 ( 16 ) ] + ( 16)=

5 LAS POTENCIAS 1. Las potencias. Una potencia es una forma abreviada de expresar un producto de factores iguales. a = a. a. a. a 2. Términos de la potencia. La base es el número que se repite. El exponente es el número que indica las veces que se repite la base.. Lectura de potencias. Cuando el exponente es dos se lee cuadrado. Cuando el exponente es tres se lee cubo. A partir de aquí a la cuarta a la quinta a la sexta... ACTIVIDADES. 1.- Expresa como potencias. a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = b.7 x 7 x 7= c. 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 2.- Di cual es la base y el exponente de las siguientes potencias a. 12 = 9 b. 76 =.- Expresa como producto: a. 16 = 5 b. 21 =.-Escribe como se lee las siguientes potencias: 5

6 a. 6 7 = 5 b. 7 = 2 c. 6 = 7 d. 79 = 5. Escribe en forma de potencia a = b = c = d. 8 = 6. Cuántas veces tendrás que repetir como factor la base de las siguientes potencias?. a. = b. 5 5 = c. 1 1 = d. 7 2 = 7. Completa la tabla números n 0 n 1 n 2 n n Calcula x en cada caso. x a. 2 = 6 x b. 5 = 625 x c. = Calcula x en cada caso. a. x 2 = 121 b. x 5 = 2 c. x 1 = 6

7 . Potencias de base 10 y números grandes. Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente = Descomposición polinómica de un número Es la descomposición de un número en la que cada orden de unidades se apoya en una potencia de base10. Ej: 825 = 8 x x ACTIVIDADES: 1. Expresa con todas sus cifras : a = b = c Escribe como potencia de 10: a. Centena de millar = b. Decena de millón = c. Una decena = d. Un millón =. Calcula x en cada caso. a. 10 x = b. 10 x = c. 10 x = Escribe la descomposición polinómica de estos números: a = b = c = 7

8 5. Escribe los números que tienen la siguiente descomposición polinómica: 2 a = b = 5 2 c = 6. Expresa con todas sus cifras: a = b = c = LAS POTENCIAS OPERACIONES 1. Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. n n n ( a. b) = a. b 2. Potencia de un cociente La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. n n a : b = a : b ( ) n. Producto de potencias de la misma base Para multiplicar dos potencias de la misma base se deja la base y se suman los exponentes b c b+ c a. a = a 8

9 . Cociente de potencias de la misma base Para dividir dos potencias de la misma base se deja la base y se restan los exponentes: a b : a c = a b c 5. Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes. n m n. m ( a ) = a ACTIVIDADES. 1.- Obtén los resultados aplicando las propiedades de las potencias. 5 5 a. 16 : 8 = b. 2. = c = 5 5 d. 9 : 7 = e. 6 :12 = f.. 2 = 2.- Reduce a una sola potencia. a. 2. = b = c =.-Reduce a una sola potencia. a : 2 = b. :12 = 12 c : 5 =.- Reduce a una sola potencia. a. ( 8 ) 7 = b. ( 6 ) 6 = c. ( ) 9 9 = 9

10 5.- Expresa con una única potencia a. ( 6 : 6 ): 6 = b. ( 9 : 9 ): 9 = c. ( 25 : 25 ): 25 = RAÍZ CUADRADA 1º Raíz cuadrada La raíz cuadrada de un número es otro número que multiplicado por sí mismo da el primero. 2º Términos y signos El signo de la raíz es RAÍZ RADICANDO Índice º Cálculo de la raíz cuadrada con calculadora. Para obtener la raíz cuadrada con la calculadora introducimos el número y después usamos la tecla. º Cuadrados perfectos. Los números que tienen raíz cuadrada exacta se denominan cuadrados perfectos. 1 = 1 6 = 6 = 2 9 = 7 9 = 6 = 8 16 = 81 = 9 25 = = 10 10

11 ACTIVIDADES: 1.-Rodea los cuadrados perfectos Completa: a = = 11 c. 2 2 = b = d = Halla con la calculadora. a. 1 b c. 961 d Calcula mentalmente. a. = b. 6 = c. 6 = d. 1 = 5. Problema. La superficie de un cuadrado mide 121 cm 2. Cuánto mide su lado?. 6. Problema. 11

12 El suelo de una habitación cuadrada está cubierto por 529 baldosas iguales y cuadradas. Cuántas baldosas hay en un lado de la habitación? 7. Calcula con la calculadora dí cuales son cuadrados perfectos. a. 529 b. 950 c d LAS FRACCIONES 1. Las fracciones. Una fracción es la expresión de las partes iguales que se toman de una unidad. El denominador es el número de partes iguales en que se divide la unidad. El numerador indica el número de partes que se toman. Valor decimal de una fracción. Para calcular el valor decimal de una fracción se divide el numerador entre el denominador. = : = 075 La fracción de una cantidad. Para calcular la fracción de una cantidad se divide entre el denominador y se multiplica por el numerador. Fracciones equivalentes. -Dos fracciones son equivalentes cuando el producto cruzado de sus términos son iguales. -Para simplificar una fracción se divide el numerador y el denominador por un mismo número. -Para amplificar una fracción se multiplican sus dos términos por un mismo número. 12

13 Comparación de fracciones. - Si dos fracciones tienen igual denominador es mayor la que tiene mayor numerador. - Si dos fracciones tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador. ACTIVIDADES. 1.- Qué fracción representa cada caso? 2.- Calcula. 2 a. de 60 = b. de 0 = = 5 c. de 100 =.- Pasa a forma decimal. 1 a. = b. = 2 1 c. = d =.- Escribe tres fracciones equivalentes a las dadas. 8 a. = 6 b = 5. - Busca: 1

14 a. Una fracción equivalente a 5 1 b. Una fracción equivalente a 6 8 que tenga 6 por numerador. que tenga 12 por denominador. 6.- Simplifica estas fracciones: a. = b. = c Reduce a común denominador = = = 8.- Ordena de menor a mayor. a b Reduce a común denominador y ordena. a

15 b º Operaciones con fracciones Suma y resta de fracciones con el mismo denominador. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Suma y resta de fracciones con distinto denominador. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador: - Se reducen primero a común denominador - Divido el común denominador ( su mínimo común múltiplo) por cada denominador y luego multiplico por el numerador que tenga - Cuando ya están todas listas sumo resto Producto de fracciones. Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores. Producto de una fracción por un número entero. Para multiplicar una fracción por un número entero se multiplica el numerador por el número entero y se deja el mismo denominador. División de fracciones. Para dividir fracciones se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda; el denominador de la primera por el numerador de la segunda. ACTIVIDADES. 1.- Resuelve. 1 2 a. + = 2 15

16 1 2 b. + + = c. = 1 d. = Resuelve. 1 2 a. + = 2 5 b = Calcula a. + = b = Calcula. 7 2 a. + + = b. = 6 2 c. + + =

17 7 1 d. = Calcula. a. 7x = 9 b. 8x = Expresa como fracción y calcula. a. La mitad de la mitad... b. La mitad de un tercio... c. La mitad de un cuarto Resuelve a. x = b. x = c. x x = Resuelve. 15 a. : = b. : = c. : = Problema. Un jardinero reparte 2 1 kg de semillas en dos bolsas. Qué fracción de kilo pone en cada bolsa?. 17

18 10.- Problema. Los 12 7 de una tarta se reparten entre cinco chicos. Qué fracción de tarta le corresponde a cada uno? 11.-Halla el término que falta en estas divisiones. a. : 27 = b : 2 = c. 5 x = Calcula. 1 2 a. 7 : 2. 1 = b = 18

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