FRANQUICIAS ESTOCÁSTICAS

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1 FRNQUICIS ESTOCÁSTICS ngel Vegas Montaner. Universidad de lalá. Roberto Esuder Vallés. Universidad de Valenia. Julián Oliver Raboso. Universidad Pontifiia Comillas. RESUMEN: El presente trabajo onstituye la segunda parte del que lleva por título Franquiias Estadístias y Estoástias que por su extensión dividimos en las partes naturales que lo onstituyen, si bien on una total unidad expositiva. En este artíulo se analizan diversos modelos de probabilidad para la tarifiaión de seguros on franquiias. Es un problema tradiional en la prátia diaria de las ompañías de seguros generales la no apliaión en muhas oasiones de modelos adeuados para el álulo de franquiias en virtud de supuestas difiultades que el desarrollo de programas informátios ampliamente extendidos haen, en los momentos atuales, de extremada failidad utilizar. El presente trabajo pretende, on una visión evidentemente prátia, poner a disposiión de los atuarios que operan en los departamentos ténios y omeriales de las ompañías de seguros de senillas herramientas estadístias que les permitan, on fundamento ténio, tarifiar tales tipos de seguros on franquiia. En onreto, se plantea la apliaión de los modelos exponenial, gamma y lognormal para tarifiar franquiias absolutas y mixtas, desarrolladas todas a través de Visual Basi para Exel. La estrutura del trabajo es modular, es deir, pretende ser auto omprensivo, por lo que introdue oneptos omo las distribuiones de probabilidad onsideradas y su inferenia que podrían ser obviados por elementales, pero que pensamos haen más útil nuestro trabajo para sus letores si se presentan de manera básia. PLBRS CLVE: Seguros Generales, Franquiias, Franquiias bsolutas y Mixtas, Modelos estadístios, Distribuión Exponenial, Distribuión Gamma, Distribuión Lognormal, Visual Basi, Exel. 17

2 Franquiias estoástias 1.- INTRODUCCIÓN Entenderemos por franquiias estoástias las obtenidas mediante métodos probabilístios, que nos permitan determinar el desuento ténio que podría inluirse en la tarifa omo onseuenia de la introduión del orrespondiente tipo de franquiia, a partir de hipótesis sobre la distribuión de probabilidad que modeliza, de la manera más adeuada, la distribuión del oste de un siniestro (la distribuión subyaente en el fenómeno de la siniestralidad). Es lásia la dialétia entre los modelos empírios y los modelos teórios, sobre su bondad relativa y onvenienia. Para desribir esta diotomía, audamos a las aertadas palabras de Hossak et al 1 : Cuando los datos disponibles son muy abundantes y han sido reogidos de la forma más apropiada para su tratamiento, resulta fatible haer frente a la mayoría de las uestiones planteadas en la prátia de los seguros generales, sin más que utilizar las distribuiones empírias. Sin embargo, más freuentemente nos enontramos en la situaión en la ual la base de datos dista de ser abundante y además no enontrarse en la forma más onveniente para su tratamiento. En tales oasiones, sólo es posible efetuar álulos si se admiten determinadas hipótesis. En otras palabras, se formula un modelo y se hae uso de las distribuiones teórias. Las distribuiones desritas en este apítulo son muy útiles en esta tarea. Inluso uando la base de datos es amplia, las distribuiones teórias son todavía eseniales (por ejemplo, para estimar la dimensión de la ola extrema de la distribuión del oste de un siniestro, a efetos de álulo de las primas de reaseguro). Conluyendo: Otros elementos que otorgan espeial importania a tales distribuiones teórias son: 1.- Sus onvenientes y bien onoidas propiedades, que failitan el análisis de muhos problemas (por ejemplo, el Teorema Central del Límite; la propiedad aditiva de variables aleatorias de Poisson independientes); 1 HOSSCK, I.B., POLLRD J.H. y ZEHNWIRTH, B. (.001). Introduión a la Estadístia on apliaiones a los Seguros Generales. Ed. MPFRE. ME/pu_libros_seguros31.shtml?idm=0900ab &seion=publiaiones/pu_libros&ruta=Publi aiones Libros&titulo=null&ategoria=null Ep La importania de las distribuiones teórias en los seguros generales. Pag

3 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver.- El heho de que la distribuión se enuentre totalmente definida a través de un pequeño número de parámetros (uno en el aso de Poisson y exponenial; dos en el aso de la normal, lognormal, gamma, Pareto y binomial negativa) y no sea neesario operar on una extensa tabla de freuenias observadas; 3.- El heho de que dihas distribuiones nos permiten efetuar inferenias aera del omportamiento de las arteras de seguros; 4.- Su onvenienia para el trabajo matemátio onduente al desarrollo de útiles propiedades teórias (Teoría del Riesgo). Por todas estas razones, las distribuiones teórias de probabilidad son herramientas preferibles a las distribuiones empírias de freuenias en muhas oasiones prátias. Cuáles son las distribuiones de probabilidad que más nos van a interesar en nuestro análisis de las franquiias?. Como indiábamos antes, las que modelien, de la manera más adeuada, la distribuión del oste de un siniestro. Diversos autores han tratado on extensión y profundidad esta importante uestión, tanto desde el punto de vista general (Klugman y, más reientemente, Kleiber 3 ) omo desde el espeífio de las franquiias (Ferrara 4, Hikerstaff 5, Benkert 6, Strauss 7, Mak 8, et.). Nosotros entraremos nuestro análisis en tres modelos: La distribuión exponenial, la distribuión gamma y la distribuión logarítmio-normal o lognormal. En realidad, la distribuión exponenial es un aso partiular de distribuión - HOGG, Robert V. y KLUGMN, Stuart. (1.984). Loss Distributions. Ed. WILEY. - KLUGMN, Stuart., PNJER, Harry H. y WILLMOT, Gordon E. (1.998). Loss Models. From Data to Deisions. Ed. WILEY. 3 KLEIBER, Chistian y KOTZ, Samuel (.003). Statistial Size Distributions in Eonomis and tuarial Sienes. Ed. WILEY. 4 FERRR, Giovanna (1.971). Distributions des Sinlstres Inendie Selon leur Cout. The STIN Bulletin. Vol. 6. Pag HICKERSTFF, David R. (1.97). utomobile Collision Dedutibles and Repair Cost Groups: The Lognormal Model. Proeedings of the Casualty tuarial Soiety. Pag BENCKERT, Lars-Gunnard y JUNG, Jan (1.974). Statistial Models of Claim Distributions in Fire Insurane. The STIN Bulletin. Vol Pag STRUSS, J. (1.975). Dedutibles in Industrial Fire. The STIN Bulletin. Vol. 8.. Pag MCK, Thomas (1.983). The Utility of Dedutibles from the Insurer's Point of View. STIN Colloquium Lindau. - MCK, Thomas (1.984). Premium Calulation for Dedutible Poliies with an ggregate Limit. The STIN Bulletin. Vol Pag

4 Franquiias estoástias gamma, pero esa es una mera propiedad matemátia. Vamos a haer un breve inventario de los aspetos fundamentales para el trabajo on estas distribuiones..- DISTRIBUCIONES DE PROBBILIDD BÁSICS.1.- DISTRIBUCIÓN EXPONENCIL La distribuión exponenial viene araterizada porque su funión de supervivenia es exponenial negativa: F ( x; ) = P X > x = e x, siendo x > 0; > 0 Por tanto, su funión de densidad será también exponenial negativa (y en uanto tal, monótona dereiente): f ( x; ) = e x, siendo x > 0; > 0 El heho de que esta funión de densidad sea monótona dereiente tiene el inonveniente iniial de que no se ajusta de manera adeuada al perfil de la urva teória de oste de un siniestro, que tendrá al menos un máximo (moda) en valores de siniestro inferiores a la media (por ser asimétria positiva en la generalidad de los asos) a partir del ual la urva se transmutará de ónava a onvexa y a partir de entones es uado nuestra funión monótona tendría la posibilidad de ser un buen modelo. Sin embargo, apreiaremos en la prátia que este inonveniente no resulta deisivo, en ontra de una evidente ventaja que es su gran simpliidad (depende de un solo parámetro) y por tanto apliabilidad. La inferenia del modelo es senilla. En efeto, su esperanza matemátia (oste probable de un siniestro) es: 130

5 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver = E X = 1 Por tanto, el estimador por momentos del parámetro (únio del que depende) es el reíproo de la media muestral de siniestros: ˆ = 1 x Diho estadístio también es el estimador por máxima verosimilitud de, por lo que no hay duda de ómo proeder en la obtenión de este modelo. La varianza de esta distribuión es: V a r 1 ( X ) =..- DISTRIBUCIÓN GMM La distribuión gamma viene araterizada porque su funión de densidad es potenial-exponenial: β f ( x β ) x e x β Γ 1 β x ;, =, siendo > 0,, > 0 ( ) Es deir, su funión de densidad es diretamente proporional a la funión potenial x -1 e inversamente proporional a la funión exponenial e βx (la onstante β /Г() úniamente viene a garantizar que la anterior funión es una auténtia funión de densidad, es deir, que su integral entre 0 e es uno). Diha funión es, por tanto, una indeterminaión del tipo / uando x, que de heho, no lo es por ser el orden de divergenia de la exponenial superior al de la potenial. Por tanto, además de ser una funión adeuada para modelizar el oste de un siniestro por estar definida para valores 131

6 Franquiias estoástias positivos de la variable, presentar un máximo y ser asimétria positiva, goza de la fundamental virtud de trabajar on esos dos parámetros, y β, que son omo dos flaps que nos permiten aterrizar más lejos (ramo de ola larga long tail o heavy tail, responsabilidad ivil del automóvil, por ejemplo) o más era (ramo de ola orta short tail, daños al propio vehíulo, por ejemplo). Para el primer aso, inrementamos el valor de y reduimos el de β. Para el segundo, disminuimos el valor de e inrementamos el de β. Por tanto, on sólo dos parámetros nos ajustamos a una amplísima gama de situaiones reales, lo que ondue a la distribuión gamma al papel estelar que desempeña en la estadístia atuarial. Por no hablar de su rol omo distribuión del parámetro λ de la distribuión de Poisson mixta en el aso de una distribuión binomial negativa, y la trasendenia de esta propiedad en los sistemas bonusmalus lásios basados en la freuenia de siniestralidad. O por no hablar de su rol en relaión on la distribuión exponenial, al ser la onvoluión de exponeniales una gamma. En efeto, la distribuión exponenial es un aso partiular de distribuión gamma, una gamma de un parámetro: β Gamma( β ) f ( x) x e x > Γ ( ) β x Si =1 Exp( β ): f ( x) = β e 1 β x, : =, 0 Pues bien, la onvoluión de n variables Exp() es una variable gamma Г(n,). Esta propiedad es relevante en la Teoría del Riesgo. Como vemos, la distribuión gamma tiene una importania muy grande en muhos ámbitos de la matemátia atuarial. En nuestro aso, la estimaión de franquiias a través de diho modelo será una de las apliaiones relevantes. Los momentos fundamentales de la distribuión gamma serán: 13

7 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver β M e d ia : E ( X ) = V arianza: Var = β ( X ) Por tanto, los estimadores por momentos de los parámetros y β son: βˆ ˆ = x s x = = s ˆ x Los estimadores por máxima verosimilitud de los parámetros y β son: n n n 1 1 x + K + = nk log 1 + ˆ ˆ β = x k k = 0 + k 1 k = 0 La difiultad evidente de resolver la primera euaión para obtener el estimador de hae que siempre se utilien en esta distribuión los estimadores por momentos..3.- DISTRIBUCIÓN LOGNORML Diremos que la variable aleatoria ξ sigue una distribuión logarítmio-normal o lognormal LN(µ,σ) si su logaritmo natural sigue una distribuión normal N(µ,σ): X : LN(µ,σ) Y = ln X: N(µ,σ) Por tanto, la funión de densidad de la distribuión LN(µ,σ) es: 133

8 Franquiias estoástias (ln x µ ) σ 1 f ( x; µ, σ ) = e, p ara x > 0; σ > 0 σ x π La anterior funión de densidad es una funión adeuada para modelizar el oste de un siniestro por estar definida para valores positivos de la variable, presentar un máximo y ser asimétria positiva. Los momentos fundamentales de la distribuión lognormal serán: M ed ia: E ( X ; µ, σ ) Varianza: Var ;, = e 1 = e µ + σ µ + σ = e µ + σ ( X ) ( σ µ σ e 1) Dada la relaión entre media y varianza, el oefiiente de variaión juega un papel relevante en la inferenia del modelo: a σ σ = E ( X ) ( X ) = e 1 De donde, en funión del oefiiente de variaión: σ = ln 1 + ( a ) µ = ln E 1 ( X ) + a Por tanto, los estimadores por momentos de los parámetros µ y σ son: 134

9 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver µ ˆ = σˆ ln = x x = ln x s a s ( ln 1 + = ln 1 + a ) x que se pueden expresar de la siguiente forma en funión de los dos primeros momentos on relaión al origen: µ ˆ = σˆ 1 ln x - = ln x - ln σˆ = ln ˆ ln x ˆ Los estimadores por máxima verosimilitud de los parámetros m y σ son: σˆ = µ ˆ = n i = 1 n i = 1 ln x n (ln x µ ˆ ) n i i es deir, omo era lógio, media y varianza de la muestra de los logaritmos de oste. 3.- FRNQUICI BSOLUT ESTOCÁSTIC Si por S representamos la siniestralidad total que genera una póliza en el periodo de exposiión al riesgo y por X i el oste del eventual siniestro i-ésimo, se verifiará que el oste que asume el asegurador por la ontrataión de una póliza en el ramo orrespondiente es: S = X + X + K + X 1 N 135

10 Franquiias estoástias siendo N el número de siniestros en que ha inurrido diha póliza en diho periodo de obertura. Evidentemente, N es una variable aleatoria, on lo que S es una suma de variables aleatorias en número aleatorio, es deir, un proeso estoástio. Cuál es su valor probable (siniestralidad probable de la póliza, prima de riesgo si seguimos el prinipio de tarifiaión del valor esperado)?. Si suponemos que S es una onvoluión, es deir, que todas las variables sumandos X i son idéntiamente distribuidas y estoástiamente independientes entre sí distribuiones iid - (esta ondiión no será neesaria para la esperanza matemátia de la suma, si para la varianza), en virtud de la propiedad de la media de las variables ondiionadas se verifiará que: ( / ) E X = E E X Y Y ( i ) N [ ] [ ] E( S) = E E S / N = E NE X = N = E N = E N = n. N N Por tanto, la prima de riesgo sin franquiia será el produto del número probable de siniestros n por el oste probable de un siniestro. Una de las ventajas de trabajar on distribuiones de probabilidad es la posibilidad de utilizar la varianza de la distribuión analizada, es deir, medir su dispersión, para valorar ómo afeta la introduión de la franquiia no sólo a la siniestralidad esperada por el asegurador, sino a su nivel de riesgo al otorgar la obertura. Pues bien, para el álulo de la varianza de S se hae preiso utilizar la propiedad de la varianza de las variables ondiionadas: = ( / ) + ( / ) Var X E Var X Y Var E X Y Y Y 136

11 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver Si suponemos no sólo que S es una onvoluión sino además que sigue una distribuión de Poisson Compuesta No Ponderada, es deir, que el número de siniestros sigue una distribuión de Poisson on λ no aleatorio, resultaría: N Var( S) = Var / / = N E S N + E Var S N = Var NE X i E NVar X i N + N = = Var N + E N = sí pues: N [ ] N = Var N + E N = N { N Poisson Poisson ( ) ( σ ) = n. + n. = n. = n. + E ( S ) = n... ( σ ) V a r S = n = n + siendo el momento de segundo orden on relaión al origen de la distribuión del oste de un siniestro, en la que la varianza es σ. Si suponemos S es una onvoluión que sigue una distribuión de Poisson Compuesta Ponderada resultaría: E ( S ) = E ( N ) = E ( λ ) = ( λ ) + σ V a r S E λ En el aso de que S siga una distribuión de Poisson Compuesta Ponderada on una gamma λ : Γ(nh, h) resultaría: 137

12 Franquiias estoástias E ( S ) = n V a r( S) = + h Como hemos indiado anteriormente, supondremos que la introduión de una franquiia no alterará la distribuión tanto del número de siniestros omo del oste de ada uno de ellos, es deir, que diha fórmula aseguradora no genera fraude de tal forma que sólo se modifia la distribuión de quién soporta la arga siniestral, pero no la magnitud de la misma. Por tanto, desde el punto de vista del asegurador no se produirá modifiaión alguna en la freuenia de siniestralidad esperada n (media on y sin franquiia) y sólo se modifiará la distribuión del oste de un siniestro (a su argo), on la onsiguiente modifiaión de momentos de la misma (oste probable, varianza, et.). Si representamos por el oste probable de un siniestro sin franquiia y por 9 el oste probable a argo del asegurador de un siniestro on franquiia absoluta, el desuento ténio δ que orrespondería a la introduión de tal franquiia sería: n δ = 1 = 1 n sí pues, proede alular a efetos de estimar el desuento ténio δ que orrespondería a la introduión de la franquiia absoluta : 9 Como tendremos oasión de ver, la franquiia absoluta es importante no sólo en sí sino por ser posible expresar los demás tipos de franquiias por ombinaiones lineales de la expresión orrespondiente a una franquiia absoluta. Por tanto, onvendremos en representar por al oste probable del siniestro a argo del asegurador neto de franquiia absoluta y, para las demás franquiias (F por ejemplo) F representaremos diho oste probable por, que de alguna forma se expresará en funión de una franquiia absoluta F. 138

13 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver = x f x dx = = xf x dx f x dx = 0 0 [ / (0; )] = xf x dx xf x dx f x dx = = E X E X X F Es deir, el oste probable del siniestro a argo del asegurador on franquiia es: - el oste probable sin franquiia - menos el oste probable de siniestros (0;) - menos la parte de en siniestros > Esta expresión es de una gran lógia atuarial, por uanto representa, el primer sustraendo, el representante en términos probables de todos los siniestros de uantía inferior a (y, en uanto tal, no ubiertos por el asegurador) y el segundo sustraendo, la parte de no ubierta por el asegurador en los siniestros de uantía superior a. Si operamos diretamente on la expresión matemátia del oste probable a argo del asegurador de un siniestro on franquiia absoluta obtenemos: = x f x d x = ( / ) = x f x d x f x d x = = E X X > F Si el oste probable de un siniestro es onoido, las ténias de integraión numéria nos permitirían alular el parámetro busado mediante la siguiente expresión: 139

14 Franquiias estoástias 0 0 = xf x d x F = = + f x d x xf x d x = 0 0 = + x f x d x Por otra parte, se puede obtener la siguiente expresión alternativa (de gran simpliidad): = x df x = ( x ) d 1 F ( x) u = x du = dx = dv d ( 1 F ( x) ) v 1 F ( x = = = ) = ( x ) 1 F ( x) + 1 F x d x = ( ) ( 1 F ( x) ) d x F ( x) dx = = = = partir de esta expresión, podríamos obtener, por último, una quinta formulaión para el oste probable del siniestro a argo del asegurador on franquiia : = F x d x = F x d x esta expresión le es apliable lo omentado anteriormente uando el oste probable de un siniestro es onoido y se aplian ténias de integraión numéria. Para profundizar en el análisis del efeto de la introduión de la franquiia absoluta en la distribuión del oste de un siniestro, analizaremos la varianza de diha distribuión, que obviamente será: 0 140

15 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver σ = x f x dx FRNQUICI BSOLUT CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIL Si suponemos que el oste de un siniestro sigue una distribuión exponenial entones el oste probable de un siniestro a argo del asegurador en un seguro on franquiia absoluta será la extraordinariamente senilla expresión: En efeto: = = E x p e F E x p 1 ( Exp) = ( x ) e dx = u = x du = dx = x x 1 = dv = e dx v = e x x x = ( x ) e + e d x = e = = e = F Exp x Por otra parte, podríamos haber obtenido esta expresión diretamente mediante la expresión alternativa: x x = = = = = Exp Exp F x dx e dx e e F El desuento ténio resultante de la franquiia absoluta será: 141

16 Franquiias estoástias δ ( Exp) = 1 = 1 e = F Exp Dado el aráter explíito de la anterior funión, podremos alular el valor de la franquiia absoluta que orrespondería a un desuento ténio δ prefijado: = ln 1 δ siendo 0 < δ < 1 La varianza del oste de un siniestro a argo del asegurador en un seguro on franquiia absoluta será: σ x 1 Exp = x e dx e El momento de segundo orden on relaión al origen de la distribuión del oste de un siniestro a argo del asegurador será: x u = x du = x dx 1 x e dx = x x 1 = dv = e dx v = e x x = ( x ) e ( x ) e dx = x 1 = ( x ) e dx = x e = = Por tanto, la varianza del oste de un siniestro a argo del asegurador en un seguro on franquiia absoluta será: 14

17 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver σ E x p = e e = = e e Podría ser ésta expresión negativa?. Ello impliaría que: Evidentemente, tanto la franquiia absoluta omo el oste probable de un siniestro serán positivos, por lo que diha expresión, y, en onseuenia, la de la varianza según el modelo exponenial nuna podrían ser negativos. Utiliemos de nuevo la Estadístia de Daños Propios del Seguro del utomóvil, Datos 1.995, de UNESP, que anteriormente utilizamos para el desarrollo de los modelos estadístios, onretamente la Distribuión de la Cuantía del Siniestro en la Modalidad de Daños Propios sin franquiia, ategoría de Turismos (global para todo tipo de potenia). En diha distribuión, orrespondiente a siniestros (tamaño muestral iertamente elevado), el Coste Medio del Siniestro es de pesetas y la Desviaión Típia de pesetas. Por tanto, el estimador (por momentos y por máxima verosimilitud) del parámetro en la distribuión exponenial será: 1 1 ˆ = = = 1,1874E-05 El Coste Medio del Siniestro a argo del segurador on Franquiia bsoluta será: e = =

18 Franquiias estoástias que dará lugar a un desuento ténio del 44,77% (reordemos que en el aso de las franquiias estadístias, on la misma base de datos y para la misma uantía de franquiia absoluta, obtuvimos un desuento ténio del 46,43%, resultando más prudente, en onseuenia, el modelo basado en la distribuión exponenial). Si utilizamos una hoja de álulo Exel, la fórmula de álulo del Coste Medio del Siniestro a argo del segurador on Franquiia bsoluta sería: = *EXP(-/) La desviaión típia de la distribuión del oste de un siniestro sin franquiia en la hipótesis exponenial oinide on el oste probable, estimado en pesetas. Con franquiia de pesetas será: = = e e σ lo que supone una reduión del 10,58% (frente al,39% que estimaba el modelo de franquiias estadístias, on la misma base de datos y para la misma uantía de franquiia absoluta). En una hoja de álulo Exel, la fórmula de álulo de la Desviaión Típia del Siniestro a argo del segurador on Franquiia bsoluta sería: = RIZ(POTENCI(;)*(*EXP(-/)- EXP(-*/) Si analizamos la franquiia absoluta que debiera introduirse para obtener un determinado nivel de desuento ténio, por ejemplo, del 5%, apliando la expresión anteriormente obtenida, tendríamos: = ln 0,75 =

19 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver En una hoja de álulo Exel, la fórmula de álulo de la Franquiia bsoluta orrespondiente a un determinado nivel de desuento ténio δ sería: = - *LN(1-δ) Es aquí donde se hae evidente la ventaja operativa de este modelo respeto al de franquiias estadístias, que nos obligaría a efetuar simulaiones on varios valores de hasta enontrar un intervalo (δ 1,δ ) que inluya el valor de desuento deseado. Todos los anteriores álulos on la distribuión exponenial son suseptibles de ser programados en Visual Basi para Exel 10 de la siguiente forma: En primer lugar programamos la funión FrbsExp(,media) que alula el oste medio sujeto a Franquiia bsoluta orrespondiente a una distribuión exponenial on oste medio media : ' '----- Coste Medio on Franquiia bsoluta / Exponenial ' Funtion FrbsExp(, media) ' funión que alula el oste medio on franquiia absoluta estoástia ' en una distribuión exponenial Dim mx s Double mx = media FrbsExp = mx * Exp(- / mx) End Funtion En segundo lugar programamos la funión DTFrbsExp(,media) que alula la Desviaión Típia del Siniestro a argo del segurador on Franquiia bsoluta y oste medio sin franquiia media : 10 Para programar en VB hay que entrar en el menú Herramientas Maro Editor de Visual Basi o pulsar las telas lt-f11. Una vez dentro del editor es neesario insertar un Módulo en el Explorador de Proyetos e inluir todas las funiones en ese módulo para que puedan ser utilizadas en ualquier hoja de álulo del libro de Exel. 145

20 Franquiias estoástias ' '----- Desv. Típia Franquiia bsoluta / Exponenial ' Funtion DTFrbsExp(, media) ' funión que alula la desviaión típia del oste on franquiia ' absoluta estoástia en una distribuión exponenial Dim mx s Double, as Double mx = media = FrbsExp(, media) DTFrbsExp = Sqr( * mx * - mx ^ * Exp(- * / mx)) End Funtion Por último introduimos en Exel los álulos siguientes (las fórmulas vienen indiadas a la dereha de la elda en la que deben ser esritas): B C D E 0 Franquiia estoástia Exponenial 1 muestra 3 media 84.16, estimaión 6 m 8416,0000 =D3 7 8 ostes 9 medio sin franquiia 84.16,00 =D6 30 franquiia ,00 31 medio on franquiia ,9 =FrbsExp(D30;D3) 3 33 desuento 44,77% =1-D31/D9 34 desviaión típia ,48 =DTFrbsExp(D30;D6) En el aso de querer determinar el importe de la franquiia absoluta que determina un desuento dado, por ejemplo 5%, bastará on usar Solver en Exel estableiendo los parámetros indiados y pulsando el botón resolver para obtener el resultado: 146

21 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver 3..- FRNQUICI BSOLUT CON DISTRIBUCIÓN GMM Si suponemos que el oste de un siniestro sigue una distribuión gamma entones el oste probable de un siniestro a argo del asegurador en un seguro on franquiia absoluta será: En efeto: ( Γ ) = Γ ( ; + 1, β ) Γ ( ;, β ) Γ = xf x dx F = β -1 -β x = x x dx ( ;, ) e Γ β = Γ ( ) β -β x β -β x x e dx x e dx β = β = Γ + Γ Γ Γ ( + 1) ( ; 1, β ) ( ;, β ) 147

22 Franquiias estoástias que es una expresión de senilla apliaión. El desuento ténio resultante de la franquiia absoluta será: δ β β ( Γ ) = 1 = 1 Γ ( ; + 1, ) Γ ( ;, ) Dado el aráter implíito de la anterior funión, no podremos alular el valor de la franquiia absoluta que orrespondería a un desuento ténio δ prefijado, por lo que, dada la ontinuidad de la funión gamma, podemos garantizar la onvergenia a un intervalo (δ 1,δ ) que inluya el valor de desuento deseado, on el orden de aproximaión preiso. La varianza del oste de un siniestro a argo del asegurador en un seguro on franquiia absoluta será: σ β Γ = Γ Γ -1 -β x ( x ) x dx e ( ) siendo el momento de segundo orden on relaión al origen de la distribuión del oste de un siniestro a argo del asegurador: β -1 -βx β -1 -βx x x e dx = x x e dx Γ ( ) Γ β -1 -βx β -1 -βx x x dx x dx e + e = Γ = dx ( ) Γ + ( + 1) β + 1 -β x x β Γ ( + ) e + 1 β -β x x dx ;, β ( 1) e + Γ Γ + ( + 1) = Γ + Γ + + Γ β β ( β) ( ;, β) ( ; 1, β) ( ;, β) 148

23 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver Por tanto, la varianza del oste de un siniestro a argo del asegurador en un seguro on franquiia absoluta será: ( + 1) Γ = Γ ( ; +, ) Γ ( ; + 1, ) + β β σ β β ( ;, β ) ( ; 1, β ) ( ;, β ) + Γ Γ + Γ Podría ser ésta expresión negativa?. Ello impliaría que: ( + 1) β ( ;, β ) ( ;, β ) Γ + + Γ Γ ; + 1, + Γ ; + 1, Γ ;, β < ( β ) ( β ) ( β ) Si estimamos por momentos los parámetros del modelo utilizando la muestra de la Estadístia de Daños Propios del Seguro del utomóvil, Datos 1.995, de UNESP, Distribuión de la Cuantía del Siniestro en la Modalidad de Daños Propios sin franquiia, ategoría de Turismos tendríamos: x ˆ = = 3,3476E =0,819 s ˆ x β = = = 3,3476E-06 s en uyo aso: ( 3,50E+10 ) Γ ( ;,819;3,3476E-06 ) + Γ( ;0,819;3,3476E-06 ) < Γ ;1,819;3,3476E-06 + Γ ;1,819;3,3476E-06 Γ ;0,819;3,3476E

24 Franquiias estoástias Podría existir algún valor de franquiia absoluta para el ual la varianza resultara negativa?. naliémoslo para distintos posibles valores de la franquiia absoluta, que daría lugar al siguiente uadro: FRNQUICI BSOLUT DESVICIÓN TÍPIC > < 0 sí pues, a partir de una franquiia absoluta por valor de Pts., la funión orrespondiente a la varianza se haría negativa. Si onsideramos distintas muestras de siniestros, y ajustamos a las mismas una distribuión gamma, resultarían los siguientes valores de desviaión típia neta de franquiia absoluta, para distintas magnitudes de la misma: 150

25 ngel Vegas, Roberto Esuder y Julián Oliver PRÁMETROS Coste Medio del Desviaión FRNQUICI DESVICIÓN TÍPIC Siniestro Típia < < < < 0 Este uadro es un ejemplo de ómo la apliaión de la distribuión gamma puede resultar inadeuada (al menos en lo que a la varianza se refiere) para distintas distribuiones empírias y diferentes magnitudes de franquiia absoluta. Como hemos visto antes, utilizando la Estadístia de Daños Propios del Seguro del utomóvil, Datos 1.995, de UNESP, Distribuión de la Cuantía del Siniestro en la Modalidad de Daños Propios sin franquiia, ategoría de Turismos, orrespondiente a siniestros, en la que el Coste Medio del Siniestro es de pesetas y la Varianza de pesetas, los estimadores por momentos de los parámetros y β de la distribuión gamma eran: 151

26 Franquiias estoástias ˆ = 0, βˆ = 3, E El Coste Medio del Siniestro a argo del segurador on Franquiia bsoluta será: = Γ ;1,819,3,3476E Γ ;0,819,3,3476E-06 = = , ,356= pesetas que dará lugar a un desuento ténio del 8,9%, ausadamente inferior al obtenido mediante el modelo exponenial y mediante franquiias estadístias, que era del 46,43%. Si utilizamos una hoja de álulo Exel, la fórmula de álulo del Coste Medio del Siniestro a argo del segurador on Franquiia bsoluta sería: = *(1-DISTR.GMM(;+1;1/β;VERDDERO)) - *(1-DISTR.GMM(;;1/β;VERDDERO)) puesto que en la hoja de álulo Exel, la distribuión gamma se define omo ( β ) 1 β Γ x 1 f x;, = x e β ( ) es deir, on el parámetro β definido omo el reíproo del que nosotros empleamos. Por otra parte, el uarto parámetro es un valor lógio que determina la forma de la funión: Si el argumento es VERDDERO, la funión DISTR.GMM nos da el valor orrespondiente de la funión de distribuión, mientras que si es FLSO, nos da la funión de densidad de probabilidad. 15

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