POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

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1 José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n ( n veces) con n > 0,, -m m con m Pr reducir potencis otrs más sencills se utilin ls propieddes de los números reles ls siguientes propieddes de ls potencis, escrits con ejemplos en form generl. Propieddes de ls potencis n m n+m + 0 n : m n-m : n n ( ) n ( ) n : n ( : ) n : ( : ) ( n ) m n m ( ) Hll el vlor de ls siguientes potencis. + 0 ) e) ) f) : ( : ) c) d) ( ) g) ( ) h) ( ). Efectú ls siguientes operciones plicndo ls propieddes de ls potencis. ) () () c) : e) ( ) g) ( ) i) ( ) ) : d) : f) ( ) h) ( ) j) ( ) Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

2 José A. Jiméne Nieto Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles. Simplific ls siguientes epresiones. ) ) c) 0 d). Simplific efectú. ) ) 0 ) ( c) Potencis de eponente rcionl Ls potencis de eponente rcionl se definen prtir de los rdicles de l siguiente form: Un potenci de eponente rcionl n m es igul un rdicl donde: el denomindor de l frcción es el índice del rdicl; el numerdor de l frcción es el eponente del rdicndo. n m n m Con est definición, ls potencis de eponente rcionl verificn ls misms propieddes que ls potencis de eponente entero. Ls operciones con rdicles se simplificn muchísimo si se ps potencis de eponente rcionl. En los ejemplos de l tl siguiente se indic como se oper con potencis rdicles : : : ) ( ) ( ) ( : : ) ( : : : ) ( ) ( Clcul ls siguientes potencis utilindo ls propieddes de ls ríces ls de ls potencis. ) ; ) ( ). ; ) ( Clcul ls siguientes potencis. ) ) ( 0' ) 0'.... Clcul el vlor de ls siguientes potencis. ) / ) 0 c) () / d) () 0 e) 0 /

3 José A. Jiméne Nieto. Efectú ls siguientes operciones con rdicles. ) ) c) : d). Simplific ls siguientes epresiones rdicles. : e) f) ) ) c) d) e).. Potencis de eponente irrcionl Vmos ver hor cómo se definen clculn ls potencis cundo el eponente es un número irrcionl. L determinción de ests potencis se hce por proimciones sucesivs de potencis de eponente rcionl. Por ejemplo, pr clculr π proimmos el número π por número decimles se clculn los vlores que tom l potenci en los etremos del intervlo de proimción. Siguiendo este proceso, como se indic continución, nos cercmos cd ve más l verddero vlor de π. Intervlos de p Intervlos de potencis Intervlos numéricos < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < < π < Cd uno de estos psos determin un intervlo, dentro del cul se encuentr π : [, ], [, ], [, ], [, ], Cd intervlo está contenido en el nterior. El error máimo en cd pso viene ddo por l diferenci entre l proimción por eceso por defecto. Al umentr el número de cifrs de π, el error que se comete es cd ve más pequeño se proim cero. Se tiene sí un sucesión de intervlos encjdos que determin l número rel π. Oserv que en el curto pso h un proimción con dos decimles ectos. Este proceso es válido pr culquier número culquier se positiv. Utilindo l clculdor, hemos hlldo ls siguientes potencis con tres cifrs decimles ects. ) '... ) '0... c) π π '... d) '... Ls potencis de eponente rel verificn ls misms propieddes que ls potencis de eponente entero. Utilindo l clculdor compromos ls dos primers propieddes de ls potencis con los siguientes ejemplos. π π+ π '... π+.'... ; '... Multiplicndo se comprue que π π π '... π ' 0... ; '... π π+ Dividiendo se comprue que π π. Hll los cutro primeros intervlos encjdos que determinn ls potencis de eponente irrcionl π. Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

4 José A. Jiméne Nieto. LOGARITMO DE UN NÚMERO Hst hor conoces seis operciones ritmétics: sum, rest, multiplicción, división, potencición rdicción. Vmos estudir en este tem l séptim últim operción, relciond con ls potencis de números. Como semos, l potencición tiene como ojetivo hllr l potenci, l rdicción tiene por ojeto hllr l se. Est nuev operción, l eponencición, tiene por ojeto hllr el eponente, que recie el nomre de ritmo. Si plntemos l ecución, en est ecución se trt de hllr el eponente l que h que elevr pr que dé. Dicho eponente es que. Este eponente se llm ritmo de en se se escrie sí:. Ls dos igulddes nteriores son equivlente: es equivlente. El ritmo en se de un número N > 0 es el eponente l que h que elevr l se pr otener dicho número. N N Cundo l se es 0, se llmn ritmos decimles se epresn por en ve de 0, es decir: 0 N N Cundo l se es el número e, se llmn ritmos neperinos o nturles se epresn por ln en ve de e, es decir: e N ln N Como consecuencis inmedits de l definición, se tiene: El ritmo de l unidd es 0: 0 El ritmo de l se es : El ritmo de un potenci de l se es el eponente: Aplicndo l definición, clcul los siguientes ritmos. ) ) c).000 d) e) f) ln e g) h).000 ), de donde, luego ), de donde, luego c).000, de donde , luego d), de donde, luego e), de donde 0 0, luego f) ln e, de donde e e, luego g), de donde, luego h), de donde, luego Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

5 José A. Jiméne Nieto. Clcul los siguientes ritmos. ) ) c). Clcul los siguientes ritmos. ) ) c) 0. Clcul los siguientes ritmos decimles. ) 0 00 ) c) Clcul los siguientes ritmos. ) ) c) d).. Clcul los siguientes ritmos. ) 0 ) 0' 00 c). 000 d) Hll l se de los siguientes ritmos. ) ) c) d). Utili l tecl 0 de l clculdor pr hllr los números (ntiritmos) cuo ritmo es: ) N 0' ) N ' c) N ' d) N '. Utili l tecl de l clculdor pr hllr los números (ntiritmos) cuo ritmo es: ) N 0' ) N ' c) N ' d) N ' Propieddes El ritmo de un producto es igul l sum de los ritmos de los fctores. ( M N ) M + El ritmo de un cociente es igul l diferenci de los ritmos del dividendo del divisor. M M - N El ritmo de un potenci es igul l producto del eponente por el ritmo de l se. n M n Propiedd de iguldd de ritmos: si los ritmos de dos números en l mism se son igules, entonces los números hn de ser tmién igules. M N M N M N N Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

6 José A. Jiméne Nieto Oserv cómo se clculn ls siguientes operciones con ritmos. ) 0 + (0) ) 0 0 c) Epres con un sólo ritmo los siguientes números. ) + ) + ( ). Hll el vlor de ls siguientes operciones con ritmos. ).000 0'00+ ) Epres los siguientes ritmos decimles en función de. ). 0 ).0 c) 0' 0' 0' 0' 0 d). Epres los siguientes ritmos decimles en función de. ). 0 ) c) 0. Siendo que 0 000, clcul:.0 ) ) 0' c) d) e) f). CAMBIO DE BASE Normlmente, ls clculdors sólo permiten clculr ritmos decimles () neperinos (ln). No ostnte, conocidos los ritmos de los números en un se se pueden hllr en culquier otr. Vemos cómo se clcul N, ritmo en se del número N, utilindo los ritmos decimles (unque este proceso es válido pr culquier se). Prtimos de: Por definición de ritmo: Por l iguldd de ritmos: Por ser el ritmo de un potenci: Despejndo : N N N N N ; por tnto: N N Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

7 José A. Jiméne Nieto El ritmo en un se culquier, en función de los ritmos decimles, viene ddo por l siguiente fórmul: N N N ; en generl: N Clcul utilindo l fórmul del cmio de se después comprue el resultdo directmente, es decir, utilindo l definición de ritmo. '0... Por l fórmul: 0'00... Por definición:. Utili l clculdor los ritmos decimles pr hllr: ) ) c). Siendo que , clcul: ) ) c) d) e) f) g) h). OPERACIONES CON LOGARITMOS Los ritmos son números reles: es un número, lo mismo que,, etc., dee dejrse sí que se trt de un número irrcionl, no ser que se necesite un proimción. Ls epresiones numérics en ls que precen ritmos se pueden reducir emplendo ls propieddes de los ritmos ls propieddes de ls operciones ritmétics. Oserv los siguientes ejemplos. Reducción utilindo propieddes de los ritmos + ( ) ( : ) (0 ) (.000 : ) 00 Reducción utilindo propieddes ritmétics + ( + ) + + Reduce ls siguientes epresiones rítmics. ) ) c) ( + ) ( ) ) ) c) ( + ) ( ) + + [( ) : ]. Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

8 José A. Jiméne Nieto. Hll el vlor de ls siguientes sums. ) ) Epres con un sólo ritmo los siguientes números. ) + ) + c) ( ) + d) ( + ) +. Epres en función de. ) ) +.. Epresiones lgerics rítmics Pr psr de un epresión rítmic otr lgeric, o l revés, se plicn ls propieddes de los ritmos. Pso de un epresión lgeric rítmic: «tomr ritmos» Por ejemplo: A t Por l iguldd de ritmos: A t Logritmo de un cociente: A t Logritmo de un producto: A + + t Pso de un epresión rítmic lgeric: «tomr ntiritmos» Por ejemplo: A + Logritmo de un producto: Logritmo de un cociente: Por l iguldd de ritmos: A A A Ps epresión rítmic: ) B πr ) C ) B πr ) C πr + π + r + π + r Ps epresión lgeric: B + B + ; por tnto, B Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

9 José A. Jiméne Nieto. Tom ritmos en ls siguientes epresiones desrroll. ) A ) B t c) C d) D t e). Ps form lgeric ls siguientes epresiones rítmics. ) A + ) B + c) C + d) D +. Qué relción eiste entre los números e si se verific ls siguientes relciones? Ron ls respuests. ) + ) + 0. Siendo dos números enteros positivos, clcul el vlor de + E c Soluciones los ejercicios propuestos. Efectú ls siguientes operciones plicndo ls propieddes de ls potencis. ) () () c) : e) ( ) g) ( ) i) ( ) ) : d) : f) ( ) h) ( ) j) ( ) ) (-) - -/ c) e) - /.0 g) i) / ). d) - / f) - /0. h) j). Simplific ls siguientes epresiones. ) ). Simplific efectú. ) 0 c) 0 d) ( ). ) - - c) +. Clcul el vlor de ls siguientes potencis. ) / ) 0 - c) () / no eiste d) () 0 - e) 0 / 0. Efectú ls siguientes operciones con rdicles. ) ) ) c) ). Simplific ls siguientes epresiones rdicles. ) ) : d) : e) f) c) d) e) f) c) d) e). Hll los cutro primeros intervlos encjdos que determinn ls potencis de eponente irrcionl [, ], [, ], [, ], [, ], p [, ], [0, ], [, ], [, ],. Clcul los siguientes ritmos. ) ) - - c) / / - / π. Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

10 José A. Jiméne Nieto. Clcul los siguientes ritmos. ) ) - - c) / / - / 0. Clcul los siguientes ritmos decimles. ) ) c) 0 /. 000 / /. Clcul los siguientes ritmos. ) - ) c) -/ d). -/. Clcul los siguientes ritmos. ) 0 - ) 0' 00 c) / d) / 0 0. Hll l se de los siguientes ritmos. ) ) c) d) ) 00 ) c) d). Utili l tecl 0 de l clculdor pr hllr los números (ntiritmos) cuo ritmo es: ) N 0' ) N ' c) N ' d) N ' ) N 0 0 ) N 0 c) N 0 d) N 0.. Utili l tecl de l clculdor pr hllr los números (ntiritmos) cuo ritmo es: ) N 0' ) N ' c) N ' d) N ' ) N 0 0 ) N c) N 0 d) N 00. Epres con un sólo ritmo los siguientes números. ) + ) + ( ). Hll el vlor de ls siguientes operciones con ritmos. ).000 0'00+ ) Epres los siguientes ritmos decimles en función de. ). 0 0 ) - - c) 0' - 0' 0 - d) ' - 0' Epres los siguientes ritmos decimles en función de. ). 0 0 ) - c) Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles 0

11 José A. Jiméne Nieto 0. Siendo que 0 000, clcul: ) ) 0' c) d) e) f) 00 ) c) 0 0 d) Utili l clculdor los ritmos decimles pr hllr: ) 0 ) c). Siendo que , clcul: ) ) c) d) e) f) g) h) 0 ) 0 c) 0 d) e) -0 f) Hll el vlor de ls siguientes sums. ) ) Epres con un sólo ritmo los siguientes números. ) + ) + c) ( ) + d) ( + ) +. Epres en función de. ) ) +. Tom ritmos en ls siguientes epresiones desrroll. ) A ) B t c) C d) D e) t ) A t ) B ( + ) + t c) C + + d) D ( + + ) e) E + - c. Ps form lgeric ls siguientes epresiones rítmics. ) A + ) B + c) C + d) D + ) A ) 00 B c) C d) 00 D 00 Ł. Qué relción eiste entre los números e si se verific ls siguientes relciones? Ron ls respuests. ) + ) + 0 ) es el quíntuplo de, pues ) e son inversos, pues /. Siendo dos números enteros positivos, clcul el vlor de ł E c Mtemátics o ESO (Opción B) Potencis ritmos de números reles

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