Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

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1 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma de fracció, es decir, como cociete de dos úmeros eteros: x Q a a, b Z tales que x = b 0 b E forma decimal: O bie so eteros o bie tiee expresió decimal fiita o periódica. El cojuto de todos los úmeros racioales se desiga por Q. El cojuto Q es deso e R (al situar todos los úmeros racioales sobre la recta umérica la ocupa desamete). Esto quiere decir: Etre dos úmeros racioales hay ifiitos úmeros x1 x 2 racioales. (si x 1, x 2 Q El puto medio: + Q) 2 No obstate, e la recta umérica hay ifiitos putos o ocupados por úmeros racioales. A cada uo de estos putos le correspode u úmero irracioal. Los úmero irracioales: Se caracteriza porque: No puede expresarse e forma de fracció. Su expresió decimal tiee ifiitas cifras o periódicas. El cojuto de todos los úmeros irracioales se desiga por I. Tato los úmeros racioales como los irracioales se llama úmeros reales. El cojuto de los úmeros reales se desiga por R. Los úmeros reales llea la recta umérica por eso se la llama recta real. ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 24 NATURALES(N) 0 ; 4 ; ; ENTEROS (Z) ENTEROS NO NATURALES -11; ; 8... (Eteros egativos) 4 RACIONALES(Q) 3-5 Fraccioes:,... REALES(R) 4 8 FRACCIONARIOS. Exactos : 0,31;... (Racioales o eteros) ) Números decimales Puros : 7,1;... Periódicos ) Mixtos : 7,31,... 3 IRRACIONALES (I) 2 ; - 3 ; 5 ; π, decimales o periódicos...

2 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 2 REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA La represetació de u úmero real sobre la recta se hará de u modo u otro segú el tipo de úmero que sea: Etero o decimal exacto: 2; 3, ,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 3,4 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,5 Decimal periódico: Puede expresarse e forma de fracció y, de este modo, se represeta dividiedo cada uidad etre las partes que tega el deomiador y tomado tatas de esas partes como idique el umerador: 5/6, -8/5 0 1 Racioal cuadrático: Costruyedo triágulos rectágulos y teiedo el cueta el teorema de Pitágoras: 2, 6, 10 Números decimales periódicos o o periódicos : Se represeta de forma aproximada mediate u itervalo de valores: 3, , ,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 3,4 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,5

3 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 3 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS Sirve para expresar tramos de la recta real NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Itervalo abierto (a,b) { x / a < x < b } Nº compredidos etre a y b Itervalo cerrado [a,b] { x / a x b } Nº compredidos etre a y b, Itervalo semiabierto Semirrecta éstos icluidos. (a,b] { x / a < x b } Nº compredidos etre a y b, icluido b [a,b) { x / a x < b } Nº compredidos etre a y b, icluido a (-,a) { x / x < a } Números meores que a (-,a] { x / x a } Nº meores o iguales que a (a, ) { x / a < x } Números mayores que a [a, ) { x / a x } Nº mayores o iguales que a Nota : Si queremos ombrar u cojuto de putos formados por dos o más de estos itervalos, se utiliza el sigo (uió) etre ellos. ENTORNOS Se llama etoro de cetro a y radio r y se desiga E(a,r) al cojuto de putos (a r, a+r) Se llama etoro reducido de cetro a y radio r y se desiga E * (a,r) al etoro E(a,r) meos el cetro(a): E * (a,r) = (a r, a + r) {a} Se llama etoro por la derecha de cetro a y radio r y se desiga E + (a,r) = (a, a + r) Se llama etoro por la izquierda de cetro a y radio r y se desiga E - (a,r) = (a - r, a)

4 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL DEFINICIÓN El valor absoluto de u úmero real, a, es el propio úmero a, si es positivo, o su opuesto, a si a 0 -a, si es egativo: a = - a si a < 0 (Es decir, cosiste e covertirlo e positivo) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distacia etre dos putos a y b es su diferecia e valor absoluto: a b ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO x a = b x a < b x a b x a = b x = a + b {a-b,a+b} (Dos putos cocretos) x a = b x = a b x a = b x = a + b (a-b,a+b) (El iterior) x a = b x = a b x a = b x = a + b (-, a-b] [a+b,+ ) (El exterior) x a = b x = a b 1.3 RADICALES. PROPIEDADES DEFINICIÓN DE RAIZ N-ÉSIMA Se llama raíz -ésima de u úmero a y se escribe a, a u úmero b que cumple la siguiete codició: a = b si b = a a se llama radical, a radicado y ídice de la raíz. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Si a 0, a existe cualquiera que sea Si a < 0, sólo existe su raíz de ídice impar.

5 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 5 FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES Forma expoecial de radicales m a = a m PROPIEDADES DE LOS RADICALES p p a = a (Para simplificar radicales o reducir a comú ídice) p ( a ) = a p m m a = a a. b = a. b a = b a b OPERACIONES CON RADICALES Suma y resta de radicales : Dos radicales distitos o puede sumarse si o es obteiedo sus expresioes decimales aproximadas. Sólo puede sumarse radicales idéticos. Producto y cociete de radicales : Para poder multiplicar o dividir dos radicales debe teer el mismo ídice e la raíz, es decir, debemos expresarlas co el m.c.m de sus ídices. (Aplicar propiedades 1 y 4 del apartado aterior). Racioalizació de deomiadores : A veces coviee suprimir las raíces del deomiador. Para ello hay que multiplicarlo por la expresió adecuada. Naturalmete, el umerador tambié se multiplicará por esa misma expresió. - Para suprimir ua raíz cuadrada (auque esté multiplicada por u úmero), basta multiplicar umerador y deomiador por dicha raíz. - Para suprimir ua raíz -ésima (auque esté multiplicada por u úmero), se multiplica umerador y deomiador por otra raíz -ésima tal que se complete e el radicado ua potecia -ésima. - E ua suma de raíces cuadradas, a + b, se suprime los radicales multiplicado por el cojugado a b y viceversa.

6 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato LOGARITMOS LOGARITMOS EN BASE CUALQUIERA Si a > 0 y a 1, se llama logaritmo e base a de p, y se desiga log a p, al expoete al que hay que elevar la base a para obteer p. log a p = x a x = p PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS El logaritmo de la base es 1 : log a a = 1 El logaritmo de 1 es 0 : log a 1 = 0 El logaritmo de ua potecia es igual al expoete por el logaritmo de la base de la potecia: log a p =. log a p El logaritmo de u producto es igual a la suma de los logaritmos: log a (p.q) = log a p + log a q El logaritmo de u cociete es igual a la resta de los logaritmos: log a (p/q) = log a p log a q El logaritmo de ua raíz es igual al logaritmo del radicado dividido por el ídice : log p log a a p = Cambio de base : El logaritmo e base a de u úmero se puede obteer a partir de log c p logaritmos de logaritmos decimales. log a p = log a ALGUNOS LOGARITMOS IMPORTANTES Se llama logaritmo decimal de u úmero p y se desiga por log p, al expoete al que hay que elevar el 10 para obteer p. log p = x 10 x = p La tecla log os da el logaritmo decimal del úmero que escribamos e la patalla a cotiuació. Se llama logaritmo eperiao de u úmero p y se desiga por L p, al expoete al que hay que elevar el úmero e para obteer p. L p = x e x = p La tecla L os da el logaritmo eperiao del úmero que escribamos e la patalla a cotiuació. U logaritmo e otra base a cualquiera (distita de 10 o e) se puede obteer a partir de logaritmos de logaritmos e cualquier base (c) (E particular, base 10 o base e). log c p log p L p log a p = = = log a log a L a c c

7 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. NÚMEROS APROXIMADOS. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. ERRORES Y COTAS Al expresar u úmero real co muchas o ifiitas cifras decimales, utilizamos expresioes decimales aproximadas, es decir, recurrimos al redodeo. Al realizar estas aproximacioes cometemos errores. Error absoluto = Valor real Valor de medició Error relativo = Error absoluto Valor real Cotas de los errores: Números mayores o iguales que el valor absoluto de los errores: Error Absoluto k Error relativo k CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cuado utilizamos los úmeros decimales para expresar medicioes cocretas, se debe dar co ua catidad adecuada de cifras sigificativas. Se llama cifras sigificativas a aquellas co las que se expresa u úmero aproximado. Sólo de debe utilizar aquellas cuya exactitud os coste. El error absoluto suele ser meor que 5 uidades del lugar siguiete al de la última cifra sigificativa utilizada. El error relativo es tato meor, cuato más cifras sigificativas se utilice. NOTACIÓN CIENTÍFICA La otació cietífica se utiliza para expresar úmeros muy grades o muy pequeños. U úmero puesto e otació cietífica costa de : - Ua parte etera formada por ua sola cifra que o es el cero(la de las uidades) - El resto de las cifras sigificativas puestas como parte decimal. - Ua potecia de base 10 que da el orde de magitud del úmero. a = Parte etera (sólo ua cifra) bcd... = Parte decimal 10 = Potecia etera de base 10 N = a, bcd... x 10 Si es positivo, el úmero N es grade Si es egativo, el úmero N es pequeño

8 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 8 Operacioes co úmeros e otació cietífica El producto y el cociete so imediatos, teiedo e cueta: 10 b. 10 c = 10 b+c 10 b : 10 c = 10 b-c E sumas y e restas hay que preparar los sumados de modo que tega todos la misma potecia de base 10 Calculadora para la otació cietífica Iterpretació : sigifica 5,74901 x 10 9 Escritura: 5,74901 x ,74901 EXP 9 2,94 x ,94 EXP 13 ± Modo cietífico (SCI) : Hace que la calculadora trabaje siempre co úmeros e otació cietífica y, además, co la catidad de cifras sigificativas que previamete le hayamos idicado. ( MODE ) Para volver a modo ormal MODE 9.

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