APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

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1 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL 74 Cuando un problma gométrico stá nunciado n términos d la rcta tangnt o la rcta normal, los puntos d cort d stas con los js coordnados qudan prsados n función d la drivada l modlo matmático qu s obtin va a rprsntar una cuación difrncial, a qu las pndints d las rctas tangnt normal a una curva n un punto, s pudn prsar n términos d sus drivadas. Considérs una curva F(, ) = 0 un punto P(, ) d lla (vr Figura ). Y P(, ) F (, ) = 0 Figura X La rcta tangnt a dicha curva n l punto P(, ) s aqulla rcta, cua intrscción con la curva s solo l punto P(, ). La rcta normal a la curva F(, ) = 0n l punto P(, ), s aqulla rcta prpndicular a la rcta tangnt qu pasa por l punto P(, ) (vr Figura ). Y L N P(, ) F (, ) = 0 X Figura LT

2 75 OBSERVACIÓN: Como s stá indicando con P(, ) un punto gnérico d la curva F(, ) = 0, para podr difrnciar s indicará con (X, Y) las coordnadas d cualquir punto d la rcta tangnt o d la rcta normal. En l punto P(, ), rsulta qu: X = Y = Por cálculo difrncial, s sab qu la pndint d la rcta tangnt a una curva n un punto s igual a la drivada d la curva valuada n dicho punto. Por lo tanto, la pndint d la rcta tangnt L t a la curva F(, ) = 0 n l punto P(, ) s m t =. D aquí qu, la cuación d la rcta tangnt s: L t : Y = ( X ) Ya qu la rcta normal pasa por l mismo punto P(, ) s prpndicular a la rcta tangnt, por gomtría analítica s sab qu. El producto d las pndints d dos rctas prpndiculars s igual a, sto s, m t m n = ; d aquí qu la pndint d la rcta normal s m n = ' Por lo tanto, la cuación d la rcta normal s: L n : Y = ( X ) ' Los puntos d cort d cada una d stas rctas con los js coordnados, qudarán prsados n función d,, (vr Figura 3) Y B LN P(, ) F (, ) = 0 D C A Figura 3 LT X

3 El punto A (a, a ) s l punto d intrscción ntr la rcta tangnt l j. Por sr A un punto n l j, rsulta a = 0. Para dtrminar a, s sustitu n la cuación d la rcta tangnt, X = a Y = a = 0 = ( a ) dspjando a a = ' Por lo tanto, las coordnadas dl punto A son, 0 ' El punto B (b, b ) s l punto d intrscción ntr la rcta tangnt l j. Por sr B un punto n l j, rsulta b = 0. Para dtrminar b, s sustitu n la cuación d la rcta tangnt, X = b = 0 Y = b b = ( ) dspjando b b = 76 Por lo tanto, las coordnadas dl punto B son ( 0, ' ) El punto C (c, c ) s l punto d intrscción ntr la rcta normal l j. Por sr C un punto n l j, rsulta c = 0. Para dtrminar c, s sustitu n la cuación d la rcta normal, X = c Y = c = 0 = ( c ) ' dspjando c c = + Por lo tanto, las coordnadas dl punto C son ( + ', 0) El punto D (d, d ) s l punto d intrscción ntr la rcta normal l j. Por sr D un punto n l j, rsulta d = 0. Para dtrminar d, s sustitu n la cuación d la rcta normal, X = d = 0 Y = d d = ( ) ' dspjando d d = + ' Por lo tanto, las coordnadas dl punto D son 0, + ' Ha dos sgmntos a los cuals s hac rfrncia n mucho d stos problmas gométricos, stos son: la subtangnt la subnormal.

4 SUBTANGENTE La subtangnt s l sgmnto d rcta comprndido ntr la procción dl punto P(, ) sobr un dtrminado j coordnado l punto d cort d la rcta tangnt con dicho j coordnado (vr Figura 4). 77 Y B P P(, ) F (, ) = 0 P A LT P A = subtangnt rspcto al j X P B = subtangnt rspcto al j Y X Figura 4 SUBNORMAL La subnormal s l sgmnto d rcta comprndido ntr la procción dl punto P(, ) sobr un dtrminado j coordnado l punto d cort d la rcta normal con dicho j coordnado (vr Figura 5). Y L N P P(, ) F (, ) = 0 D C P C P = subnormal rspcto al j X D P = subnormal rspcto al j Y Figura 5 X

5 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL. Dtrminar todas las curvas planas, tals qu la rcta tangnt n cada punto (,) pas por l punto (-, ) SOLUCIÓN: La cuación d la rcta tangnt a una curva n un punto (, ) s Y = ( X ) () Ya qu la rcta tangnt db pasar por l punto (, ), s tin qu las coordnadas d dicho punto satisfacn la cuación () Sustitundo X =, Y = n la cuación () = ( ) () La cuación () rprsnta la cuación difrncial asociada a la familia d curvas cua rcta tangnt pasa por l punto (, ). Lugo, para obtnr la cuación d sa familia d curvas, basta con rsolvr la cuación difrncial () 78 Dspjando d la cuación () = + Como la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo quivalntmnt d = + d ( ) d + ( + ) d = 0 (3) La cuación (3), s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls db multiplicars la cuación (3) por l factor ( + ) ( ) d + d = 0 + intgrando + d + d = C (4) Ambas intgrals son inmdiatas

6 79 + d = ln + + C d = d = ln + C 3 sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (4) ln + ln - = C aplicando las propidads d logaritmo + ln = C aplicando multiplicando por ( ) k + = K dspjando rordnando la cuación + = K + + K = + K = + (5) K K La cuación (5) s la cuación d una familia d rctas d pndint K ordnada K + n l orign. Esta familia satisfac la condición qu la rcta tangnt n cualquira K d sus puntos pasa por l punto (,). La rcta normal a una curva dada n cada punto (, ) sobr dicha curva, pasa a través dl punto (, 0). Si l punto (, 3) prtnc a dicha curva, ncuéntrs su cuación. SOLUCIÓN: s: La cuación d la rcta normal a una curva n un punto cualquira (, ) d la misma L n : Y = ( X ) () '

7 Esta rcta normal pasa por l punto (, 0), sto quir dcir qu las coordnadas d dicho punto satisfacn la cuación () Sustitundo X =, Y = 0 n la cuación () = ' Multiplicando por ' = ( ) Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo d = d () Esta s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls, s multiplica la cuación () por l factor ( ) ( ) d + d = 0 intgrando ( ) d + d = C (3) Ambas intgrals son inmdiatas 80 ( ) ( ) d = + C d = + C 3 sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (3) ( ) + = C multiplicando por ( ) + = K (4) La cuación (4) s la cuación d una familia d circunfrncias con cntro n (,0) radio variabl. Para dtrminar la curva d dicha familia qu pasa por l punto (,3), s sustitun =, = 3 n la cuación (4), obtniéndos K = 9. Est valor qu s obtuvo para K s sustitu n la cuación (4) ( ) + = 9 (5)

8 La cuación (5) s la cuación d la circunfrncia d cntro (,0) radio 3 qu pasa por l punto (,3). 3. Encuéntrns todas las curvas planas para las qu l j bisca la part d la tangnt comprndida ntr l punto d tangncia l j SOLUCIÓN: Sa P (, ) l punto d tangncia, A (a, a ) l punto d intrscción ntr la rcta tangnt l j, B (b, b ) l punto d intrscción ntr la rcta tangnt l j. 8 Y P (, ) F (, ) = 0 B (b, b ) A (a, a ) X D acurdo con l nunciado, l j bisca al sgmnto comprndido ntr l punto d tangncia l j ; sto significa qu l j divid n dos parts iguals a dicho sgmnto. Sgún pud obsrvars n la gráfica antrior, sto quival a dcir qu l punto B s l punto mdio dl sgmnto comprndido ntr l punto P l punto A. Si las coordnadas d los puntos son: P (, ), A (a, a ) B ( b, b ) ntoncs, por conocimintos d gomtría analítica, s dbn satisfacr las siguints rlacions ntr las coordnadas d dichos puntos + a b = () + a b = () Sa L t : Y = ( X ) la cuación d la rcta tangnt a una curva n l punto P (, ) Para dtrminar las coordnadas dl punto A, db primro obsrvars qu por sr un punto dl j, s tin qu a = 0. Por otra part, st punto A (a, a ) = (a, 0) también prtnc a la rcta tangnt, por lo tanto, sus coordnadas satisfacn la cuación d dicha rcta. Así, sustitundo X = a Y = 0, n la cuación L t, = ( a )

9 8 dspjando a a = ' Así, l punto A tin coordnadas (, 0 ) ' Para dtrminar las coordnadas dl punto B, db primro obsrvars qu por sr un punto dl j, s tin qu b = 0. Por otra part, st punto B (b, b ) = (0, b ) también prtnc a la rcta tangnt, por lo tanto, sus coordnadas satisfacn la cuación d dicha rcta. Así, sustitundo X = 0 Y = b, n la cuación L t, b = ( ) dspjando b b = Así, l punto B tin coordnadas ( 0, ) Una vz qu las coordnadas d los puntos involucrados s han prsado n función d,,, ahora s procd a sustituir las coordnadas d dichos puntos n las cuacions () () Sustitundo a = multiplicando por, b = 0 n la cuación () ' 0 = + ' = ' ' = 0 (3) Sustitundo a = 0, b = n la cuación () = multiplicando por simplificando = 0 (4) Comparando las cuacions (3) (4) rsulta qu son la misma cuación. Por lo tanto, la cuación difrncial asociada al problma plantado s = 0. Dspando ' = Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo d = d (5)

10 La cuación (5) s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls, s multiplica la cuación (5) por l factor d d = 0 intgrando d Ambas intgrals son inmdiatas d 83 = C (6) d = ln + C d = ln + C 3 sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (6) ln ln = C multiplicando por aplicando propidads d logaritmo aplicando ln = C = K (7) La cuación (7) s la cuación d la familia d curvas para las qu l j bisca l sgmnto d la rcta tangnt comprndido ntr l punto d tangncia l punto d cort con l j. La cuación (7), s la cuación d una familia d parábolas, d vértic n l orign, con j focal l j. 4. La pndint d la rcta tangnt n cualquir punto (, ) d una curva s +. Si la curva pasa por l punto (, ), ncuntr su cuación. SOLUCIÓN: Sa = f() una curva cualquira. D acurdo con la intrprtación gométrica d la drivada, la pndint d la rcta tangnt a una curva n un punto cualquira P (, ) s la drivada d la cuación d la curva valuada n l punto d tangncia. Por lo tanto, d acurdo con l nunciado = + ()

11 84 Como s db ncontrar la curva qu pas por l punto (,), ntoncs ha qu rsolvr la cuación difrncial () sujta a la condición () = Ya qu la difrncial d la variabl stá dada por d = d, sustitundo d = + d multiplicando por d = ( + ) d agrupando los términos a un solo lado d la igualdad ( + ) d - d = 0 () La cuación () s una cuación difrncial homogéna con grado d homognidad. Sacando factor común, n la cuación () ( 0) + d d = 0 v = multiplicando por fctuando l cambio d variabl = v d = v d + dv sacando factor común d simplificando ( + v ) d ( v d + dv ) = ( + v v ) d dv = 0 d dv = 0 (3) La cuación (3) s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls s multiplica la cuación (3) por l factor d dv = 0 intgrando d dv = C (4) Ambas intgrals son inmdiatas d = ln + C dv = v + C 3 sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (4) ln v = C

12 dvolvindo l cambio d variabl multiplicando por dspjando ln = C ln = C = [ ln ] 85 C + (5) La cuación (5) s la cuación d la familia d curvas para las qu la pndint d la rcta tangnt n cualquira d sus puntos s + Para obtnr la curva d sta familia qu pasa por l punto (, ), s sustitu n la cuación (4) =, = C + ln C = = [ ] Est valor consguido para C s sustitu n la cuación (5) = [ ln ] + (6) La cuación (6) s la cuación d la curva cua pndint d la rcta tangnt s igual a + tal qu pasa por l punto (, ) 5. Encuntr una cuación para la familia d curvas tal qu la pndint d la rcta tangnt n cualquir punto s la suma d la mitad d la ordnada dos vcs la abscisa dl punto. SOLUCIÓN: La pndint d la rcta tangnt a una curva n un punto cualquira d sta, d acurdo con la intrprtación gométrica d la drivada, s igual a la drivada d la cuación d la curva valuada n l punto d tangncia. Si l punto tin coordnadas (, ) ntoncs la abscisa s, la ordnada s. Por lo tanto, matmáticamnt l nunciado d st problma s traduc n la siguint cuación difrncial: = + () Ya qu la drivada d la variabl s d = d, sustitundo la cuación () rsulta d = + d multiplicando por agrupando todos los términos a un lado d la igualdad ( + 4 ) d d = 0 ()

13 86 La cuación () no s una cuación difrncial ni d variabls sparabls, ni homogéna. San P (,) = + 4, Q(,) = ; calculando las drivadas parcials P(,) Q(,) = = 0 Obsrv qu las drivadas parcials son difrnts, por lo qu la cuación difrncial () no s acta. La cuación difrncial () srá rducibl a acta si s posibl obtnr un factor intgrant d la forma dond g(v) = g(v) dv µ (, ) = (3) P (,) Q (,) v v Q (, ) P (, ) (4) v v Sa v = ntoncs = = 0. Sustitundo los datos n la cuación (4) 0 g(v) = = (5) () ( + 4 )( 0 ) la cuación (5) s sustitu n la cuación (3) dv v µ (, ) = = = Multiplicando la cuación () por l factor intgrant µ (, ) = ( + 4 ) (6) d = 0 La cuación difrncial (6) db sr acta. En fcto, si M (,) = ( + 4 ) N (,) = ntoncs M(,) = N(,) = Las drivadas parcials rsultaron iguals por lo qu la cuación difrncial (6) s acta. Esto significa qu ist una función F(, ) = C, tal qu

14 87 df(, ) = M(, ) d + N(, ) d = ( + 4 ) d (7) d = 0 como la difrncial total d la función F (, ) s F (, ) F (, ) df(,) = d + d (8) comparando las cuacions (7) (8) F(, ) = M (,) = ( + 4 ) (9) F(, ) d = N (,) = (0) intgrando la cuación (0) parcialmnt rspcto d F(,) = d ctt ctt () Ambas intgrals son inmdiatas ctt F (, ) = F (, ) d = + h() ctt sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación () F (,) = + h() () drivando la cuación () parcialmnt rspcto d F(,) dh() = + (3) d comparando las cuacions (3) (9) dh() ( + 4 ) = + d dsarrollando simplificando dh() = 4 d

15 88 Ya qu la difrncial d la función h() s d h() = d ) dh ( d, sustitundo d ) dh( d h ( ) = 4 d intgrando = 4 h() d d (4) Rsolvindo las intgrals h() h() d = s rsulv por l método d intgración por parts = du v u v dv u dond = = = = v dv d du u = d = d + = 4 + C sustitundo los rsultados d las intgrals n (4) h() = C Esta función h() obtnida s sustitu n la cuación () F (,) = C Así, la solución gnral d la cuación difrncial () s = K multiplicando por

16 dspjando = = 4 ( + ) + K K (5) 89 La cuación (5) rprsnta la cuación d la familia d curvas para las qu la pndint d la rcta tangnt n cualquir punto s la suma d la mitad d la ordnada más l dobl d la abscisa. 6. En intrcpto con l j, d la rcta normal a una curva n cualquira d sus puntos, s igual a. Si la curva pasa por l punto (3, 4), ncuntr su cuación. SOLUCIÓN: La cuación d la rcta normal a una curva n un punto cualquira P(, ) s L n : Y = ( X ) ' El intrcpto d la rcta normal con l j s obtin sustitundo X = 0 n la cuación d dicha rcta Y = ( 0 ) ' dspjando Y Y = + () ' La cuación () rprsnta l intrcpto d la rcta normal con l j. D acurdo con l nunciado dl problma, st intrcpto db sr igual a. Igualando la cuación () a + = ' multiplicando po + = sacando factor común ( ) + = 0 () La cuación () s la cuación difrncial asociada al problma plantado la misma db rsolvrs sujta a la condición (3) = 4 Dspjando d la cuación () = Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo

17 d = d (3) La cuación (3) s una cuación difrncial d variabl sparabl. Para sparar las variabls, s multiplica la cuación (3) por l factor ( - ) d + ( ) d = 0 intgrando 90 d + ( ) d = C (4) Ambas intgrals son inmdiatas d = + C ( ) ( ) d = + sustitundo los rsultados d las intgrals n (4) ( ) + = C multiplicando por + ( ) = K (5) La cuación (5) rprsnta la cuación d una familia d circunfrncias con cntro n (0,) radio K Para dtrminar la cuación d sta familia qu pasa por l punto (3,4), s sustitun = 3, = 4 n la cuación (5) (3) + (4 ) = K K = 3 El valor consguido para K, s sustitu n la cuación (5) + ( ) = 3 (6) La cuación (6) s la cuación d la curva cuo intrcpto d la rcta normal con l j s igual a qu pasa por l punto (3,4) 7. El intrcpto n l j d la rcta tangnt a una curva n cualquira d sus puntos, s simpr igual a la pndint d la rcta tangnt n s punto. Si la curva pasa por l punto (,), ncuntr su cuación. SOLUCIÓN: La cuación d la rcta tangnt a una curva n un punto cualquira P (, ) s L t : Y = ( X ) C 3

18 La pndint d sta rcta stá dada por la drivada d la curva valuada n l punto d tangncia. El intrcpto d la rcta tangnt con l j, s obtin sustitundo X = 0 n la cuación d dicha rcta dspjando Y. Así Y = ( 0 ) dspjando Y Y = () D acurdo con l nunciado la cuación (), qu rprsnta l intrcpto d la rcta tangnt con l j, db sr igual a la pndint d la rcta tangnt = sacando factor común ( + ) = 0 dspjando ' = + Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustiundo d = d () + La cuación () s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls, s multiplica la cuación () por l factor d d = 0 + intgrando d Ambas intgrals son inmdiatas d = ln + C 9 d = C (3) + d = ln + + C 3 + sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (3) ln ln + = C aplicando las propidads d logaritmo ln = C + aplicando

19 9 dspjando + = K = K ( + ) (4) La cuación (4) s la cuación d la familia cuo intrcpto d la rcta tangnt con l j coincid con la pndint d dicha rcta rprsnta una familia d rctas. Para dtrminar la cuación d la curva d sta familia qu pasa por l punto (,), s sustitun =, = n la cuación (4) = K ( + ) K = 3 El valor obtnido para K, db sustituirs n la cuación (4) = 3 ( + ) (5) La cuación (5) s la cuación d la curva cuo intrcpto d la rcta tangnt con l j s igual a la pndint d dicha rcta tangnt qu admás pasa por l punto (,). 8. La longitud dl sgmnto d la rcta normal ntr l punto d tangncia l punto d cort d dicha rcta con l j s simpr igual a una constant a > 0. Mustr qu la curva s una circunfrncia d radio a. SOLUCIÓN: La cuación d la rcta normal a una curva n un punto cualquira P (, ) s L n : Y = ( X ) () ' Sa A (a, a ) l punto d cort d la rcta normal con l j. Ya qu l punto sta sobr l j s tin qu, a = 0. Hacindo Y = a = 0 n la cuación () = ( X ) ' dspjando X X = + = a Así, l punto d cort d la rcta normal con l j s A ( +, 0) La longitud dl sgmnto d la rcta normal comprndido ntr l punto d tangncia l punto d cort d dicha rcta con l j, s obtin calculando la distancia qu ha ntr los puntos P (, ) A ( +, 0 ) d(p, A) = [ ( ' )] + ( 0 ) = ( ' ) + = a Elvando al cuadrado ( ' ) + a =

20 Agrupado los términos a un solo lado d la igualdad ( ) + ( a ) = 0 dspjando = a 93 Como la difrncial d sta dada por d = d, sustitundo d = a d () La cuación () s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparara las variabls, s con multiplica la cuación () por l factor a intgrando Rsolvindo las intgrals Para rsolvr la intgral d d = 0 a d d = C (3) a a d = + C u = a u du = d d, s fctúa l siguint cambio d variabls = u du = d u d du = du = u + C 3 = a u sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (3) a = C quivalntmnt a a = C lvando al cuadrado a = ( C ) ordnando los términos d la cuación ( C ) + = a (4)

21 94 La cuación (4) s la cuación d familia d circunfrncia con cntro (C, 0) radio a 9. Encuntr la cuación d una curva qu pasa por l punto (,) con la propidad d qu la longitud dl intrcpto d la rcta tangnt con l j, s igual a la longitud dl intrcpto d la rcta normal con l j SOLUCIÓN: La cuación d la rcta tangnt a una curva n un punto cualquira P (,) s L t : Y = ( X ) El intrcpto d la rcta tangnt con l j s l sgmnto comprndido ntr l orign dl sistma d coordnadas l punto d cort d dicha rcta con l j. Sa A (a, a ) las coordnadas dl punto d cort d la rcta tangnt con l j. Por star l punto A sobr l j, a = 0. Para dtrminar a, s sustitun n la cuación d la rcta tangnt X = a, Y = a = 0 = ( a ) dspjando a a = ' Por lo tanto, l punto A tin coordnadas (, 0 ) ' La longitud dl intrcpto d la rcta tangnt con l j, vin dada como la longitud dl sgmnto OA, s dcir, la distancia ntr l orign O dl sistma d coordnadas l punto A d cort d la rcta tangnt con l j d(o, A) = OA = = ' () ' La cuación d la rcta normal a una curva n un punto cualquira P (, ) s L n : Y = ( X ) ' El intrcpto d la rcta normal con l j s l sgmnto comprndido ntr l orign dl sistma d coordnadas l punto d cort d dicha rcta con l j. Sa B (b, b ) las coordnadas dl punto d cort d la rcta normal con l j. Por star l punto B sobr l j, b = 0. Para dtrminar b, s sustitun n la cuación d la rcta normal X = b = 0, Y = b b = ( ) ' dspjando b b = + '

22 95 Por lo tanto, l punto B tin coordnadas ( 0, + ) ' La longitud dl intrcpto d la rcta normal con l j, vin dada como la longitud dl sgmnto OB, s dcir, la distancia ntr l orign O dl sistma d coordnadas l punto B d cort d la rcta normal con l j d(o, B) = OB = + = + ' () ' D acurdo con l nunciado las cuacions () () son iguals = ' (s trabaja sin l valor absoluto) multiplicando por = + sacando factor común ( ) = + dspjando + = Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo + d = d multiplicando por ( ) agrupando todos los términos a un solo lado d la igualdad + ' ( + ) d + ( ) d = 0 (3) La cuación (3) s una cuación difrncial homogéna. Sacando factor común + d + d = 0 v = multiplicando por ( 0) fctuando l cambio = v d = v d + dv ( + v ) d + ( v ) ( v d + dv) = 0 dsarrollando sacando factor común d ( + v + v v ) d + ( v ) dv = 0 Simplificando ( + v ) d + ( v ) dv = 0 (4)

23 La cuación (4) s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls s multiplica la cuación (4) por l factor (+ v ) intgrando v d + dv = 0 + v d + Ambas intgrals son inmditas d = ln + C v dv + v v = dv + v = ln sustitundo los rsultados d las intgrals n (5) ln + dvolvindo l cambio d variabl ( v = ) ln + multiplicando por fctuando opracions ln + ln ln 96 v dv = C (5) + v dv + v + v arctg v + C 3 + v arctg v = C ln + arctg + arctg = C = C aplicando propidads d logaritmo + ln = C + arctg simplificando aplicando ( + arctg ) = K (6) La cuación (6) s la cuación d la familia d curvas para las qu la longitud dl intrcpto d la rcta tangnt con l j, s igual a la longitud dl intrcpto d la rcta normal con l j. Para obtnr la curva d sta familia qu pasa por l punto (,), s sustitu n la cuación (6) =, = ( + ) = K [ arctg ]

24 π = K K = π El valor obtnido para K s sustitu n la cuación (6) ( + π ) = arctg aplicando propidad dl producto d potncias d igual bas ( + arctg π ) = (7) La cuación (7) s la cuación d la curva buscada 0. En cada punto P(,) d una curva, la longitud dl sgmnto qu la rcta tangnt intrcpta n l j s igual Hallar la curva solución SOLUCIÓN: La cuación d la rcta tangnt s L t : Y = ( X ) El sgmnto qu la rcta tangnt intrcpta n l j, s l sgmnto comprndido ntr l orign dl sistma d coordnadas l punto d cort d la rcta tangnt con l j. Sa A (a, a ) l punto d cort d la rcta tangnt con l j. Por star l punto A n l j, rsulta qu a = 0. Para obtnr a basta con sustituir X = a = 0, Y = a a = ( 0 ) dspjando a a = 97 Por lo tanto, l punto d cort d la rcta tangnt con l j s A ( 0, ) La longitud dl sgmnto qu la rcta tangnt intrcpta n l j, sto s la longitud dl sgmnto OA, s igual a la distancia dl punto O( 0, 0 ) al punto A ( 0, ) l OA l = d (O,A) = ( ' ) = ' D acurdo con l nunciado sta distancia s igual a dspjando ' = = = () La cuación () s una cuación difrncial d Brnoulli, pus pud scribirs d la forma: + P() = Q() n. En fcto = ()

25 98 Para rsolvr la cuación difrncial () s multiplica por l factor ( - ) - = (3) z = S fctúa l cambio d variabl z' = ' sustitundo l cambio d variabl n la cuación (3) z z = multiplicando por ( ) z + z = dspjando z z = z ' = z' Ya qu la difrncial d la variabl z s dz = z d, sustitundo z dz = z d sta cuación pud scribirs dz + z d = d (4) La cuación (4) s una cuación difrncial linal pus s d la forma dz + M() d = N() d dond M() = N() =. Para rsolvrla, db dtrminars un factor intgrant µ () = M() d d µ ( ) = = ln = multiplicando la cuación (4) por l factor intgrant dz + z d = d (5) Ya qu, l término izquirdo d la cuación (5) s igual a la difrncial total dl producto ntr l factor intgrant la variabl z, sto s, dz + z d = d ( z), sustitundo n la cuación (5) d ( z ) = d intgrando d (z) = d (6)

26 99 Ambas intgrals son inmdiatas d(z) = z + C d = + C sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (6) z = + C dvolvindo l cambio d variabls z = multiplicando por l factor ( + C ) = + C = (7) + C La cuación (7) s la cuación d la familia d curvas para las qu la longitud dl sgmnto qu la rcta tangnt intrcpta n l j s igual a. En cada punto P(, ) d una curva la longitud d la subtangnt s proporcional al cuadrado d la abscisa d dicho punto. Hallar la curva qu pasa por l punto (, ) SOLUCIÓN: La cuación d la rcta tangnt a una curva n un punto cualquira P(, ) s L t : Y = ( X ) La subtangnt s l sgmnto d rcta comprndido ntr la procción dl punto P (,) sobr l j, sto s l punto P (, 0) l punto d cort d la rcta tangnt con l j. Sa A(a, a ) l punto d cort d la rcta tangnt con l j. Por star l punto A n l j rsulta a = 0. Para obtnr a, basta con sustituir n la cuación d la rcta tangnt X = a Y = a = 0 = ( a ) dspjando a a = ' Por lo tanto, las coordnadas dl punto A son (, 0) ' La longitud d la subtangnt, s igual a la distancia ntr los puntos P A l AP l = d (A, P ) = La abscisa dl punto d tangncia P(,) s = ' () '

27 00 D acurdo con l nunciado dl problma la longitud d la subtangnt s proporcional al cuadrado d la abscisa, s dcir, sindo K la constant d proporcionalidad; multiplicando por = K dspjando = K ' = K () Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo quda d = d (3) K La cuación (3) s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls s multiplica la cuación (3) por l factor d d = 0 K intgrando d d = C K (4) Ambas intgrals son inmdiatas d = ln l l + C = d = + C 3 = + C 3 sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (4) aplicando sus propidads quivalntmnt ln l l = C 4 quivalntmnt K ln l l = = + C4 K K C 4

28 0 = C K (5) La cuación (5) s la cuación d la familia d curvas para las qu la longitud d su subtangnt s proporcional al cuadrado d la abscisa dl punto d contacto. Para obtnr la curva d la familia qu pasa por l punto (, ), s sustiut n la cuación (5) =, = = K C multiplicando por K C = K = Sustitundo st valor d C n la cuación (5) K = ( ) K K = K + K = (K ) + K (6) La cuación (6) s la curva buscada.. Hallar la familia d curvas para las qu la longitud d la part d la rcta tangnt ntr l punto d contacto P(, ) l j, s igual a la longitud dl sgmnto intrcptado n l j por la rcta tangnt. SOLUCIÓN: La cuación d la rcta tangnt a una curva n un punto cualquira P(, ) s L t : Y = ( X ) Sa A (a, a ) l punto d cort d la rcta tangnt con l j. Por star l punto n l j rsulta qu a = 0. Para dtrminar a basta con sustituir, n la cuación d la rcta tangnt X = a = 0 Y = a a = ( ) dspjando a a = Así, las coordnadas dl punto A son (0, ). La longitud d la part d la rcta tangnt ntr l punto d contacto P(,) l j s igual a la distancia ntr l punto P l punto A d(p, A) = + [ ( ' )] = + ( ' ) = l l ( ' ) + ()

29 La longitud dl sgmnto intrcptado por la rcta tangnt s l j s igual a la longitud dl sgmnto comprndido ntr l orign dl sistma d coordnada l punto A, s dcir, la distancia ntr l punto O(0,0) l punto A(0, ) d (O,P) = ( ' ) = ' 0 () D acurdo con l nunciado dl problma, d (P,A) = d(o,a); por lo tanto, igualando las cuacions () () lvando al cuadrado dsarrollando simplificando dspjando + = ' l l ( ' ) [ + ( ) ] = ( ) + ( ) = + ( ) + = 0 = Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo d = d multiplicando por l factor ( ) agrupando todos los términos a un lado d la igualdad ( ) d + d = 0 (3) La cuación (3) s una cuación difrncial homogéna con grado dos d homognidad. Sacando factor común d + d = 0 multiplicando la cuación antrior por ( 0), fctuando l cambio d variabls v = = v d = v d + dv s obtin ( v ) d + v ( v d + dv ) = 0 Dsarrollando sacando factor común d ( v + v ) d + v dv = 0 simplificando ( + v ) d + v dv = 0 (4)

30 La cuación (4) s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls s multiplica la cuación (4) por l factor, rsultando + v intgrando d + + v + v dv ( ) = 0 03 v d dv = C (5) + v Ambas intgrals son inmdiatas: d = ln + C v + v dv = ln ( + v ) + C3 sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (5) ln l l + ln l + v l = C dvolvindo l cambio d variabl ln l l + ln + = ln l l + ln + aplicando propidads d logaritmo, dsarrollando simplificando + ln l l + ln = ln + + = ln = C aplicando + = K (6) La cuación (6) rprsnta la cuación d la familia d curvas para las qu la longitud dl sgmnto d la rcta tangnt ntr l punto d contacto l j, s igual a la longitud dl sgmnto intrcptado por la rcta tangnt n l j 3. Dtrmina la cuación d la familia d curvas para las qu la rcta normal n un punto cualquira P(,) la rcta qu un l orign con s punto, forma un triángulo isóscls qu tin l j como bas. SOLUCIÓN: La cuación d la rcta normal a una curva n un punto cualquira P(,) s L n : Y = ( X ) ' = C

31 Sa A (a, a ) l punto d cort d la rcta normal con l j. Ya qu A s un punto n l j s tin qu a = 0. Para dtrminar a basta con sustituir n la cuación d la rcta tangnt X = a, Y = a = 0 = ( a ) ' dspjando a a = + 04 Así, las coordnadas dl punto A son ( +, 0) D acurdo con l nunciado dl problma l triángulo isóscls tin como vértics los puntos O (0,0), P(,) A( +, 0). Admás, s dic qu la bas sta n l j, lo qu significa qu la bas dl triángulo s l sgmnto OA. El triángulo srá isóscls si los lados distintos d la bas tin igual longitud, sto s lopl = lapl. Calculando las longituds d los lados Igualando las cuacions () () lvando al cuadrado simplificando tomando raíz a ambos lados dspjando lopl = d (O,P) = lapl = d (A,P) = [( ' ) ] + + = ( + ' ) + () + () [ ] + + = ( ' ) + = ( ' ) = = Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo d = d (3) La cuación (3) s una cuación d variabls sparabls. Para sparar las variabls s multiplica la cuación (3) por l factor ( ) d d = 0 intgrando d Ambas intgrals son inmdiatas d = C (4)

32 05 d = + C d = + C 3 Sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (4) = C Multiplicando por = K (5) La cuación (5) s la cuación d la familia d curvas para las qu la rcta normal n un punto cualquira P(, ) la rcta qu un l orign con l punto P(, ) forma un triángulo isóscls qu tin como bas l j 4. El sgmnto d la rcta normal trazada n un punto cualquira P(, ) d una curva, cuos trmos son st punto l d intrscción con l j, s cortado n dos parts iguals por l j. SOLUCIÓN: La cuación d la rcta normal a una curva n un punto cualquira P(, ) s L n : Y = ( X ) ' Sa A (a, a ) las coordnadas dl punto d cort d la rcta normal con l j. Por star l punto A n l j, rsulta a = 0. Para dtrminar a basta con sustituir, n la cuación d la rcta normal, X = a, Y = a = 0 = ( a ) ' dspjando a a = + D aquí qu las coordnadas dl punto A son ( +, 0) Sa B (b, b ) las coordnadas dl punto d cort d la rcta normal con l j. Por star l punto B n l j, rsulta b = 0. Para dtrminar b basta con sustituir, n la cuación d la rcta normal, X = b = 0, Y = b b = ( ) ' dspjando a b = + '

33 06 D aquí qu las coordnadas dl punto B son ( 0, + ) ' D acurdo con l nunciado dl problma l sgmnto d la rcta normal comprndido ntr l punto d tangncia l j, sto s l sgmnto PA, s cortado n dos parts iguals por l j. Esto quival a dcir qu l punto B, punto d cort d la rcta normal con l j, s l punto mdio dl sgmnto PA. Matmáticamnt sto s prsa por mdio d las cuacions + a b = () + a b = () Sustitundo n la cuación () a = +, b = ' 0 = + ' = 0 (3) Sustitundo n la cuación () a = 0, b = + + = ' + = ' + ' = 0 (4) ' Obsrv qu las cuación difrncial obtnida n la cuación (3) s la misma qu la obtnida n la cuación (4). D aquí qu la cuación difrncial asociada al problma s + = 0 dspjando = Ya qu la difrncial d la variabl s d = d, sustitundo d = d (5) La cuación (5) s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls s multiplica la cuación (5) por l factor ( ) d + d = 0 intgrando d + d = C (6) Ambas intgrals son inmdiatas '

34 07 d = + C d = + C 3 sustitundo los rsultados d las intgrals n la cuación (6) + = C multiplicando por + = K (7) La cuación (7) rprsnta la cuación d la familia d curvas para las qu l j divid n dos parts iguals al sgmnto d la rcta normal ntr l punto d tangncia l punto d cort d dicha rcta con l j

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