Propiedades del producto cartesiano Producto cartesiano. 64 Aritmética Und. 1 Teoría de Conjuntos

Transcripción

1 La forma de construir todos los pares ordenados posibles es escribiendo la 1ra componente, digamos «h» del conjunto con cada uno de los elementos del conjunto, luego la 2da componente «t» = {(h; ), (h; L), (h; P), (h; U), (t; ), (t; L), (t; P), (t; U), (j; ), (j; L), (j; P), (j; U), (p; ), (p; L), (p; P), (p; U), (i; ), (i; L), (i; P), (i; U)} Obsérvese que no hay dos pares ordenados con los mismos componentes. Un anuncio de una compañía de cosméticos decía: «trévete a vivir 255 presentaciones distintas» Se trataba de un estuche cuyo contenido era un juego de sombras de 8 colores con el cual se pueden lograr: = = 255 combinaciones diferentes. Esta es una prueba de que la teoría de conjuntos tiene aplicaciones concretas en la sociedad Producto cartesiano ados dos conjuntos y se define el producto cartesiano (P.) de por, denotado por:, como el conjunto de pares ordenados cuya primera componente le pertenece al primer conjunto y la segunda componente le pertenece al conjunto, es decir: a; b a b Ejemplo.- Sean las ciudades: Huaraz (h), Trujillo ( t), Juliaca ( j), Pucallpa ( p) e Iquitos ( i) y las regiones: ncash (), La Libertad (L), Puno (P) y Ucayali (U). eterminemos el producto cartesiano, si: = {h, t, j, p, i}, y, = {, L, P, U} El producto cartesiano de por estará dado por todos los pares ordenados que se pueden formar teniendo como 1er componente los elementos de y como segundo componente los elementos de. Esta formación puede ordenarse mediante el siguiente esquema: Propiedades del producto cartesiano 1ra.- El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo. En particular: si y solamente si: = Ejemplo.- Sean los conjuntos: = {1; 3} y = {a; b; c}. omprobemos la propiedad: Veamos, lo primero que haremos es determinar cada P.: a) = {(1; a), (1; b), (1; c), (3; a), (3; b), (3; c)} b) = {(a; 1), (a; 3), (b; 1), (b; 3), (c; 1), (c; 3)} Una inspección de los elementos de cada conjunto nos permite concluir que: ya que sus elementos no son los mismos. 2da.- El número de elementos del producto cartesiano de es igual al producto del número de elementos del conjunto por el número de elementos del conjunto. n n n Ejemplo.- Si: = {h, t, j, p, i}, y, ={, L, P, U} omprobemos la propiedad del número de elementos del producto cartesiano de por. Inspeccionando los conjuntos se tiene que: n() = 5; n() = 4 Luego: n n n ra.- os pares ordenados son iguales si sus componentes respectivos son iguales. a; b c; d a b ; c d e acuerdo con esta definición, dos pares ordenados son iguales si sus primeras y segundas componentes, son iguales respectivamente. Ejemplo.- Siendo (2x 5; 6) = (9; 4y 2), calculemos los valores de «x» e «y». plicando la propiedad de igualdad de pares ordenados se tiene: e este esquema se puede prever que el número de pares ordenados a formar viene dado por el producto 5 4 = 20. i) 2x 5 = 9 2x = 14 x = 7 ii) 4y 2 = 6 4y = 8 y = 2 64 ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 65

2 Representación gráfica de un P iagrama sagital Es la representación de un producto cartesiano que consiste en presentar a los conjuntos y por separado utilizando flechas dirigidas desde un elemento de hacia cada elemento de. Ejemplo.- Sean los conjuntos: 1; 3 y a; b; c Luego el producto cartesiano está dado por: 1; a, 1; b, 1; c, 3; a, 3; b, 3; c El diagrama sagital de este producto cartesiano es el que se muestra al lado iagrama cartesiano Esta representación consiste en ubicar los elementos de y en la abscisa y ordenada, de un plano cartesiano, respectivamente de modo que los pares ordenados están dados por los puntos de intersección de todas las líneas verticales y horizontales trazadas desde cada elemento. Ejemplo.- Sean los conjuntos: 1; 2 y p; q; r Luego el producto cartesiano está dado por: 1; p, 1; q, 1; r, 2; p, 2; q, 2; r El diagrama cartesiano de este producto cartesiano es el que se muestra al lado Tabla de doble entrada Esta representación consiste en colocar a los elementos de cada conjunto en los bordes de un rectángulo, de modo que los pares ordenados se anotan en los casilleros correspondientes en el orden establecido: primero los elementos de y a su lado los elementos de. Ejemplo.- Sean los conjuntos: 1; 2; 3 y a; b; c Luego el producto cartesiano está dado por: 1; a, 1; b, 1; c, 2; a, 2; b, 2; c, 3; a, 3; b, 3; c La tabla de doble entrada de este producto cartesiano es el que se muestra al lado. En conclusión, todo producto cartesiano puede ser representado por cualquiera de las formas mostradas aquí Relación binaria efinición de relación Si a los elementos del conjunto se le hace corresponder los elementos del conjunto, se dice que existe una relación entre y. En general el producto cartesiano de dos conjuntos es una forma de relacionar los elementos de dichos conjuntos Relación binaria Sean los conjuntos y. Se llama relación binaria de en, denotado como R:, a todo subconjunto del producto cartesiano. Si la relación R, de en, es un subconjunto de, entonces se cumple que: R simismo podemos determinar el conjunto R como: R x ; y x ; y Ejemplos.- Identifiquemos cuál de los siguientes conjuntos corresponden a una relación de en, si: 1; 2; 3 y a; b; c; d a) R 1; a, 2; b, 1; d, 2; d, sí es una relación por que: R1 1 b) R 2; b, 2; c, 3; a, 3; e, 3; c, no es una relación por que: 3; e 2 c) R 1; c, 2; d, 3; b, 1; b, sí es una relación por que: R3 3 d) R 2; c, 2; d, 3; a, 3; b, 1; 2, no es una relación por que: omponentes de una relación onjunto de partida 1; 2 Se llama conjunto de partida de una relación R:, al conjunto del cual se eligen las primeras componentes de los pares ordenados onjunto de llegada Se llama conjunto de llegada de una relación R:, al conjunto del cual se eligen las segundas componentes de los pares ordenados. 66 ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 67

3 ominio de la relación Se llama dominio de la relación R:, denotado como om R, al conjunto cuyos elementos son todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación. om R = { x (x; y) R} ada una de las primeras componentes que forman parte de la relación recibe el nombre de «preimagen». En general, si R:, entonces se verifica que el dominio de R es un subconjunto de : om R Ejemplo.- En la relación R 1; a, 2; b, 3; c, 4; d, identifiquemos el dominio de la relación. Primero identificamos a las primeras componentes de los pares ordenados: om R 1; 2; 3; Regla de correspondencia Se llama regla de correspondencia de la relación R:, a la forma o condición según la cual se relacionan los elementos de un primer conjunto con los elementos de un segundo conjunto. La regla de correspondencia puede estar definida por una cualidad o condición matemática según sea la naturaleza de los elementos. Ejemplo 1.- En la relación R 1; a, 2; e, 3; i, 4; o, 5; u ; identifiquemos la regla de correspondencia. Inspeccionando las primeras componentes de los pares ordenados podemos establecer que se trata de los números naturales que van del 1 al 5. simismo las segundas componentes son las cinco vocales. Luego podemos afirmar que los números naturales han sido empleados en su forma ordinal, es decir, para ordenar a las segundas componentes. sí la regla de correspondencia es: «cada número ordinal, del 1 al 5, le corresponde una vocal» Rango de la relación Se llama rango de la relación R:, denotado como Ran R, al conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación. Ran R = {y (x; y) R} ada una de las segundas componentes que forman parte de la relación recibe el nombre de «imagen». Por dicho motivo el rango de una relación también se llama «conjunto de imágenes» o «contradominio». En general, si R:, entonces se verifica que el rango de R es un subconjunto de : Ran R Ejemplo.- En base a la relación del ejemplo anterior identifiquemos el rango de la relación. Primero identificamos a las segundas componentes de los pares ordenados: hora podemos presentar la relación en un solo diagrama: onde se puede reconocer que: «1 es la preimagen de a» o «a es la imagen de 1» «2 es la preimagen de b» o «b es la imagen de 2» «3 es la preimagen de c» o «c es la imagen de 3» «4 es la preimagen de d» o «d es la imagen de 4» Ran R a; b; c; d Ejemplo 2.- Sea el conjunto formado por los números 1 y 5 de dos dados, y el conjunto de los números 2; 4 y 6 de otros tres dados. onstruyamos una relación R de a, cuya regla de correspondencia es la condición matemática: «... es menor que...» Los conjuntos dados son: = {1; 5} = {1; 4; 6} Luego, según la regla de correspondencia se tiene: R x; y x y R = {(1; 4), (1; 6), (5; 6)} Representación gráfica de una R. Una relación binaria, así como un producto cartesiano, también se puede representar por medio de un diagrama sagital, un diagrama cartesiano o una tabla de doble entrada. Ejemplo.- Mostrar las representaciones de la relación: R h;, t; L, j; P, p; U Reconociendo los conjuntos de partida y de llegada, se tiene: h; t; j; p y ; L; P ; U Luego graficamos así: 68 ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 69

4 Relación inversa Sea R: una relación, se define la relación inversa de R, denotada por R -1, como la relación de en formada por los pares ordenados (b; a) tal que (a; b)r. Esto significa que la relación inversa de R, es la relación que se forma invirtiendo el orden de todos los pares ordenados de R. En símbolos se denota así: R -1 = {(x; y) (y; x) R} El exponente «-1» no tiene nada que ver con la potencia, esta es sólo una notación convencional. Ejemplo.- eterminemos la relación R -1, si: R = {(1; a), (1; b), (1; c), (3; a), (3; b), (3; c)}, es una relación. Según la definición de relación inversa, debemos invertir el orden de los elementos de los pares ordenados de R. Veamos: R -1 = {(a; 1), (b; 1), (c; 1), (a; 3), (b; 3), (c; 3)} donde cada par de la relación inversa se ha obtenido así: Función efinición (1; a) (a; 1), (1; b) (b; 1), (1; c) (c; 1) (3; a) (a; 3), (3; b) (b; 3), (3; c) (c; 3) Sean los conjuntos y. Se llama función de en, denotado como f :, a una relación según la cual se hace corresponder a cada elemento de un único elemento de. f x ; y x ; y Según esta definición, en una función no hay dos pares ordenados con la misma primera componente. Si al elemento «x» de le corresponde, según f, un elemento «y» de, se denota así: y = f (x) Ejemplo.- Sean los siguientes conjuntos: = {1; 3; 5; 7; 9}, = {9; 4; 3; 0; -2; -5} y la función: f = {(1; 9), (3; 4), (5; 3)}. Se pide identificar: a) Los elementos «x» de que se relacionan, por f, con. Estos son: x {1; 3; 5} b)los elementos «y» de que se relacionan, por f, con. Estos son: y {9; 4; 3} c) Todas las relaciones y = f (x) que se pueden establecer son: f (1) = 9 ; f (3) = 4 ; f (5) = efiniciones básicas Sea la función f :, definimos los siguientes elementos: Preimagen Se llama preimagen a cada uno de los elementos de que está relacionado, por f, con los elementos de. Según esta definición, la preimagen es cada uno de los valores que puede tomar la variable independiente «x» Imagen Se llama imagen a cada uno de los elementos de que está relacionado, por f, con los elementos de. la imagen de una función también se le llama recorrido, en referencia al hecho de que son todos los valores que puede tomar la variable dependiente «y». Ejemplo.- el ejemplo anterior: f = {(1; 9), (3; 4), (5; 3)} a) Las preimágenes son: 1; 3 y 5 b) Las imágenes son: 9; 4 y ominio y rango de una función Sea la función f :, definimos los siguientes conjuntos: ominio de la función El dominio de la función f, denotado por f, es el conjunto de elementos de para los cuales la función está definida, es decir, que están relacionadas, por f, con los elementos de. El dominio se constituye en un subconjunto de, formado por todas las preimágenes Rango de la función f = {x (x; y)f }, f El rango de la función f, denotado por R f, es el conjunto de elementos de para los cuales la función está definida, es decir, que están relacionadas, por f, con los elementos de. El rango es en un subconjunto de formado por todas las imágenes. R f = {y (x; y)f }, R f Ejemplo.- En el ejemplo anterior, el dominio y el rango son: f = {1; 3; 5}, además: {1; 3; 5} {1; 3; 5; 7; 9} R f = {9; 4; 3}, además: {9; 4; 3} {9; 4; 3; 0; -2; -5} Siendo la función un tipo de relación, la podemos representar por medio de un diagrama sagital, pares ordenados, diagrama cartesiano, tabla de doble entrada, etc. Visualicemos el siguiente diagrama sagital: 70 ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 71

5 Obsérvese que el dominio de la función es un subconjunto del conjunto de partida. simismo, el rango de la función es un subconjunto del conjunto de llegada Valor funcional Se llama valor funcional al número que se obtiene cuando se reemplaza la variable «x» de la función «f» en la regla de correspondencia, por un valor dado «a» siempre que a f. e este modo queda establecido que evaluar una función es determinar el valor que ésta posee para un valor dado de su dominio. on frecuencia una función queda descrita mediante una fórmula que especifica la forma de calcular el número f ( x) en términos del número «x». Si «f» es una función de «x» y «a» es un valor de su dominio, entonces la expresión f (a) representa el valor obtenido al reemplazar «x» por «a» en la regla de correspondencia de la función. este proceso se denomina evaluación de la función. En adelante el símbolo f ( ) se puede considerar como una operación a realizar siempre que se inserte un número o expresión dentro del paréntesis. Ejemplo 1.- Sea la función «f» cuya regla de correspondencia es: f (x) = 3x 2. eterminemos los valores de f (1) y f (4). a) Evaluemos para x = 1: f (1) = 3(1) 2 f (1) = 1 b) Evaluemos para x = 4: f (4) = 3(4) 2 f (4) = 10 Ejemplo 2.- Para la función «f», cuya fórmula es f (x) = x 2 2x + 3, donde x. eterminemos f (-2) y f (5). a) Evaluemos para: x = -2 f (-2) = (-2) 2 2(-2) + 3 = f (-2) = 11 b) Evaluemos para: x = 5 f (5) = (5) 2 2(5) + 3 = f (5) = etermina por extensión los siguientes productos cartesianos : a. = {2; 3}, = {0; 1; 5}... b. = {x 3 < x < 6} = {x -2 < x < 1} naliza cada producto cartesiano y determina por comprensión los conjuntos que componen cada producto: a. = {(3; 2); (3; 4); (3; 6); (5; 2); (5; 4); (5; 6); (7; 2); (7; 4); (7; 6)} =... =... b. = {(5; s); (5; o); (5; n); (10; s); (10; o); (10; n); (15; s); (15; o); (15; n); (20; s)} =... = Sean los conjuntos: = {0; 2; 4} = {1; 3; 5} = = {x 0 x < 4} E = {3} F = {x 2 < x 5} etermina y escribe el número de elementos de los siguientes productos cartesianos: a. n( ) = b. n( ) = c. n( ) = d. n( ) = e. n ( ) = n( 2 ) = f. n[( F) ] = 04.- ompletar adecuadamente las siguientes proposiciones para que su valor de verdad sea verdadero: a. Si es igual a los conjuntos y son iguales. b. El producto cartesiano se define como el conjunto de ordenados (a; b) tal que y b. c. Si los conjuntos y son unitarios entonces es unitario. d. Si es un conjunto vacío y no lo es entonces es. e. Si M N y N M entonces M N es que N M 05.- alcula el valor de «r» y «t» si cada caso es una igualdad de pares ordenados: a. (3r; 10) = (18; t 3) r t... b. ; 16; En base a las siguientes gráficas determina por extensión cada uno de los productos cartesianos representados: a. b ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 73

6 1 2 3 c Sean los conjuntos: x 2 x 6 x 1 x 7 Indica con (S) o (N) si los siguientes conjuntos son o no, respectivamente, relaciones de en. a. Q = {(3; 9); (5; 3); (1; 3)} b. R = {(5; 3); (4; 6); (4; 12)} c. S = {(2; 3); (4; 2); (5; 5)} d. T = {(3; 1); (6; 1); (0; 5)} e. U = {(5; 0); (4; 3); (3; 6); (2; 5)} 08.- ados los siguientes diagramas sagitales, se pide en cada caso: i. Identificar y encerrar con una línea los elementos del dominio y del rango. ii. eterminar, por comprensión, la relación de cada caso. a. R =... b. R = Se pide determinar, por extensión, el dominio y rango de cada relación. a. = {1; 2; 3; 4} = {3; 4; 5; 6} R = {(x; y) y = x + 1} b. = {1; 2; 3} om R =... Ran R =... = {5; 7; 8; 9} R = {(x; y) y = 8 x} om R =... Ran R = eterminar, por extensión, la relación inversa -1 R de cada caso: a. R 1 = {(2; 3); (1; 4); (5; 7)} 1 R = {... } 1 b. R 2 = {(7; 2); (7; 3); (-3; 2)} 1 R = {... } 2 Prob. 01 Sean los conjuntos: = {2a a; 1 a 3} alcular: b/2 b ;6 b 8 n( ) + n() + n() ) 9 ) 15 ) 21 ) 18 E) 6 eterminamos los conjuntos por extensión: = {2; 4; 6} 7 3; ; 4 Según la teoría expuesta se sabe que: n( ) = n() n() n( ) = 3 3 = 9 hora lo que piden: Prob. 02 n( ) + n() + n() = n( ) + n() + n() = 15 Sean los conjuntos: = {1; a}, = {3; b} Si: = {(n; m), (1; b), (5; 3), (a; 7)}, calcular: m + n + a + b ) 19 ) 25 ) 20 ) 8 E) 16 eterminamos con los dos primeros datos: = {(1; 3), (1; b), (a; 3), (a; b)} Este conjunto debe ser igual al siguiente conjunto: {(n; m), (1; b), (5; 3), (a; 7)} omparando convenientemente los elementos de ambos conjuntos se tiene: n = 1 ; m = 3 ; a = 5 ; b = 7 2 hora calculamos lo que nos piden: Prob. 03 m + n + a + b = m + n + a + b = 16 Sean los conjuntos: = {4; 5; 6} = {7; 8}. Si: (m; n), calcular «m + n», si «m» es máximo y «n» es mínimo. ) 11 ) 13 ) 8 ) 9 E) 10 eterminamos y luego identificamos el par ordenado que verifica la condición dada. Efectuando la operación, se obtiene: = {(4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (6; 7), (6; 8)} Si (m máx ; n mín ), reconocemos que: (m; n) = (6; 7) m = 6 n = 7 omo piden: m + n = Prob. 04 m + n = 13 Sabiendo que un número natural mayor que uno se llama primo cuando sólo es posible dividirlo entre él mismo y la unidad, se propone: Sea el conjunto: = {a a es primo a 10}, calcular el número de elementos de. ) 9 ) 15 ) 21 ) 18 E) 6 Para determinar el número de elementos que posee = 2, debemos saber cuáles son sus elementos o la regla de correspondencia de estos. Para ello procedemos así: 74 ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 75

7 ado que la variable «a» es menor que 10, consideramos que es posible determinar el conjunto por extensión: = {2; 3; 5; 7} Entonces: = {(3; 6), (4; 8), (5; 10), (6; 12)} Finalmente el diagrama es: el conjunto «R» reconocemos que: R -1 = {(n; 3), (m; -1)} determine la suma de los elementos del rango de «f» ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 E) 6 Luego por teoría se sabe que: Prob. 05 n( 2 ) = n( ) = n() n() n( ) = 4 4 n( ) = 16 Sea el conjunto: = {1; 2; 3; 4;...; n} Si: n() = 20 y = {-1; -2}, calcular «n». ) 16 ) 18 ) 10 ) 6 E) 15 nalizando el conjunto podemos reconocer que el valor de cada elemento está relacionado con su correspondiente número ordinal. Luego el valor de «n» coincide con el número de elementos de. omo n( ) = n() n() y n() = 2 Pero por datos se tiene que: 20 = n() 2 n() = 10 Luego: = {1; 2; 3; 4;...; 10} Prob. 06 n = 10 Sea la relación: = {(a; 2a) a ; 3 a < 7}, elabora su diagrama sagital y da como respuesta la cantidad de líneas que salen del conjunto formado por las primeras componentes. ) 8 ) 4 ) 5 ) 3 E) 0 alculamos por extensión: como: 3 a < 7 a { 3; 4; 5; 6} e donde se pueden reconocer 4 líneas que salen del conjunto de las 1ras componentes. Prob. 07 Sea la relación: R = {(2; a), (c; 8), (-1; b)} Si se sabe que: R -1 = {(-3; 2), (d; 7), (4; -1)}, calcular: P = (a + b) c + d ) 32 ) 16 ) 8 ) 1 E) 27 eterminamos la inversa de R: R -1 = {(a; 2), (8; c), (b; -1)} Igualando este conjunto con el dato: R -1 = {(-3; 2), (d; 7), (4; -1)} e lo cual se deduce que: omo piden: Prob. 08 a = -3; d = 8; c = 7; b = 4 P = (a + b) c + d P = (-3 + 4) = (1) 15 P = 1 Sea la relación: R = {(3; n), (-1; m)}, Si: om (R -1 ) = {8}, calcular: F m n n ) 1 ) 1/3 ) 6 ) 4 E) 2 Luego: om (R -1 ) = {n; m} e acuerdo con el dato se sabe que om (R -1 ) sólo tiene un elemento, luego se trata de un conjunto unitario y por consiguiente se debe cumplir que: n = m = 8 omo piden: F m n F 8 8 n 8 F = 2 Prob. 09 etermine, la suma de los elementos del rango de la siguiente relación, si: R = {(x; y) x {0; 1; 2} y = 3x + 1} ) 21 ) 12 ) -8 ) 5 E) -9 eterminamos los elementos de «R» evaluando así: x = 0 y = 3(0) + 1 y = 1 x = 1 y = 3(1) + 1 y = 4 x = 2 y = 3(2) + 1 y = 7 Luego la relación es: R = {(0; 1), (1; 4), (2; 7)} e aquí se deduce el rango de R: Ran R = {1; 4; 7} Finalmente piden la suma de los elementos de este conjunto: S = = 12 Prob. 10 Sea: f(x) = x 2 + 1, cuyo diagrama sagital es: La función quedará determinada si logramos calcular los valores de m y n. Utilizando la regla de correspondencia de «f» y los datos se tiene: f (-1) = (-1) m = 2 f (3) = (3) n = 10 Luego la función, es: f = {(-1; 2), (3; 10)} f = {-1; 3} Nos piden la suma de estos elementos: Prob = 2 etermine el dominio de la relación R si: R = {(a; b) «a» es un divisor positivo de «b» b = 18} ) {1; 2; 3; 6; 9; 18} ) {1; 3; 5; 9; 18} ) {2; 3; 5; 6; 9; 12} ) {1; 3; 5; 6; 10} E) {1; 2; 3; 6} Nuestra estrategia consistirá en determinar el conjunto R, lo cual exige que identifiquemos previamente a todos los divisores del elemento «b». Identificamos todos los divisores de b = 18, reconociendo qué números enteros positivos dividen exactamente a 18. Estos son: 1; 2; 3; 6; 9; 18 Entonces la relación «R» queda determinada así: R = {(1; 18), (2; 18), (3; 18), (6; 18), (9; 18), (18; 18)} Por último identificamos las preimágenes que forman el dominio de la relación y que están dadas por las primeras componentes de la relación: om R = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 76 ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 77

8 Prob. 12 Sean los conjuntos: = {3; 4; 5; 6} y = {m, n, p, q, r} Si: =, calcular: n( ) La relación se puede colocar de la siguiente manera: R 1; 1, 2; 2, 3; 3, 4; 4 Luego: R a; a a ; 1 a 4 Prob. 16 Sea la relación: R = {(a; b) a; b a + b = 5} etermine el dominio de la relación. ) {0; 1; 2; 3; 4; 5} ) {1; 2; 3; 4; 5} Luego, si los pares ordenados son iguales, se cumple que: a + 1 = 3 a = 2 b = 2 ) 16 ) 17 ) 18 ) 20 E) 24 Si = ; entonces esto quiere decir que y tendrán los mismos e igual número de elementos. on lo cual: n() = n() = 4 Luego: Prob. 13 n( ) = n() n() n( ) = 4 4 = 16 En la figura, se muestra una relación: Prob. 14 Sea la relación: R = {(4; -1), (a; 3), (b; 7), (c; -10)} Si: Ran (R -1 ) = {a}, calcular: Q a b c a a ) 2 ) -1 ) 1 ) 3 E) -2 alculamos la relación: R -1 R -1 = {(-1; 4), (3; a), (7; b), (-10; c)} Podemos visualizar que: a = b = c = 4 Nos piden: Q a b c a a 4 Q = -1 ) {0; 1; 2; 3; 4} ) {1; 2; 3; 4} E) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} alculamos la relación R: R = {(0; 5), (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), (5; 0)} Podemos visualizar que: Prob. 17 om R = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Si: (m 2; 5) = (5; n + 3), calcular: «mn». ) 7 ) 21 ) 14 ) 28 E) 9 Nos piden: a 2 ab + b 2 = 2 2 (2)(2) Prob. 19 a 2 ab + b 2 = 4 Si el conjunto tiene 5 elementos y el conjunto tiene 3 elementos, cuántos elementos tiene? ) 5 ) 3 ) 8 ) 15 E) 12 Sabemos que: n( ) = n() n() Reemplazando: n( ) = 5 3 n( ) = 15 etermine la relación por comprensión. ) ) ) ) E) R a;a a ; 1 a 6 R 2a; a a ; 0 a 8 R a;2 a a ; -1 a 0 R a; a a ; 1 a 4 R 2a; a a ; 1 a 4 Los elementos de la relación son: R 1; 1, 2; 2, 3; 3, 4; 2 Prob. 15 Sea la relación: M = {(n 1; 2n) n ; 0 n < 3}, determine la imagen, de aquella preimagen nula. ) 1 ) 3 ) 2 ) 4 E) 5 alculamos los valores que toma «n»: n {0; 1; 2} M = {(-1; 0), (0; 2), (1; 4)} Hacemos un diagrama sagital: Sabemos que dos pares ordenados son iguales cuando poseen los mismos componentes entonces se debe de cumplir que: Prob. 18 m 2 = 5 m = 7 5 = n + 3 n = 2 m n = 14 Si el conjunto: = {(a + 1; b), (3; 2)}, es unitario; calcular: a 2 ab + b 2. ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 E) 6 Si el conjunto es unitario, esto quiere decir que: Prob. 20 on respecto al problema anterior, cuántos elementos tiene el conjunto ( ) ( ), sabiendo que ( ) ( ) =? ) 15 ) 0 ) 5 ) 3 E) No se puede determinar Si ( ) ( ) = ; esto quiere decir que y son conjuntos disjuntos. Luego: Nos piden: n( ) = 3 5 omo: 1 1 y 2 4 Nos piden la imagen del cero, la cual es 2. (a + 1; b) = (3; 2) n( ) = ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 79

9 Prob. 21 Prob. 24 F(-2) = 2(-2) 3 = -7 ados los conjuntos: = {x 3 x 6} = {x x [-1; 4]} alcular el área que determina la gráfica de. ) 22 2 ) 6 2 ) 15 2 ) 12 2 E) 8 2 eterminamos los conjuntos por extensión: = {3; 4; 5; 6} = {-1; 0; 1; 2; 3; 4} Luego, el conjunto producto es: 3; -1, 3; 0, 3; 1, 3; 2, 3; 3, 3; 4 4; -1, 4; 0, 4; 1, 4; 2, 4; 3, 4; 4 5; -1, 5; 0, 5; 1, 5; 2, 5; 3, 5; 4 6; -1, 6; 0, 6; 1, 6; 2, 6; 3, 6; 4 Haciendo la gráfica del producto cartesiano, tenemos: alculamos el conjunto -1; 3, -1; 4, -1; 5, -1; 6 0; 3, 0; 4, 0; 5, 0; 6 1; 3, 1; 4, 1; 5, 1; 6 2; 3, 2; 4, 2; 5, 2; 6 3; 3, 3; 4, 3; 5, 3; 6 4; 3, 4; 4, 4; 5, 4; 6 Hacemos la gráfica del producto cartesiano Área ( ) = 5 3 = 15 Sea el conjunto: = {1; 4; 9; 16;...; n} Si: n( ) = 200 y n() = 10, calcular: ) 10 ) 15 ) 20 ) 40 E) 400 Sabiendo que: n( ) = n() n() 200 = n() 10 n() = 20 Los elementos de son de la forma: t(m) = m 2 t(20) = 20 2 = 400 n = 400 Nos piden: n 400 Prob. 25 n 20 Sea F(x) = 2x 3. demás: n -7 = b 5 b = -2 F(2) = 2(2) 3 = 1 1 = a 1 a = 2 Luego la relación es: Prob. 26 Sea R = {(-2; 2); (2; -2)} H( x ) x y además: etermine la relación «R». Prob. 23 Sean los conjuntos: = {1; n; 3} = {m; 3}. Si: n( ) = 2, determine el mayor valor de: m + n ) {(3; 5), (2; 1)} ) {(3; 1), (2; 5)} ) {(3; 2), (5; 1)} ) {(2; 5), (3; 4)} E) {(3; 5), (3; 4)} Prob. 22 Área = 3 5 = 15 on respecto al problema anterior, calcular el área que determina la línea envolvente de. ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 E) 3 alculamos el conjunto : = {(1; m), (1; 3), (n; m), (n; 3), (3; m), (3; 3)} Para que el conjunto tenga sólo 2 elementos se deduce que m = 3 y «n» podrá ser 1 ó 3. etermine la relación si: F(-2) = b 5 F(2) = a 1 ) {(-2; 2), (2; -2)} ) {(2; -2), (-2; 0)} ) {(-2; 1), (2; 0)} ) {(-2; 1), (2; 2)} E) {(-2; 3), (2; 4)} Utilizando la regla de correspondencia: H( x) Luego la relación es: x H(9) = 9 = 3 H(4) = 4 = 2 ) 6 2 ) 12 2 ) 22 2 ) 15 2 E) 25 2 omo nos piden (m + n) máx, entonces: m + n = 6 Según la regla de correspondencia: F(x) = 2x 3 R = {(3; 5), (2; 1)} 80 ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 81

10 ) 23 ) 24 ) 25 ) 26 E) Respecto de la relación R: 15.- el problema anterior, obtener la relación R = {(x; y) x + y = 6}. alcular la suma de posibles valores de: 2x + 3y. ) 24 ) 36 ) Indicar verdadero o falso según corresponda: I. Si II. n( ) n( ) n( ) III. Si R es una relación de en, entonces: R ) FVF ) VFV ) FFF ) FVV E) VFF 02.- Sabiendo que R es una relación, tal que: se afirma: R = {(1; 3), (0; 1), (4; 3), (2; 2), (3; 5)}, I. om R = {0; 1; 2; 3; 4} II. Ran R = {1; 2; 3; 4; 5} III. R -1 = R uáles son verdaderas? ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) I y II E) II y III 03.- Sabiendo que: (a + 3; 7) = (8; b), el valor de: a + b es: ) 12 ) 13 ) 14 ) 15 E) Si: (a + b; 2a 1) = (8; 9), el valor de «b» es: ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 E) 5 ) 8 ) 10 ) 12 ) 6 E) 14 3y Si se cumple que: 2 1; 5 7; calcular: x + y x, 2 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 E) ados los conjuntos: = {-2; 3} y alcular: ) {(1; -2), (1; 3), (2; -2), (2; 3)} ) {-2; 3; 1; 2} ) {-2; 0; 1; 2; 3} ) {(-2; 1), (-2; 2), (3; 1), (3; 2)} E) {(-2; 0), (-2; 2), (3; 0), (3; 2)} = {x 0 < x < 3} 08.- alcular la suma de elementos del dominio de la relación R: ) 12 ) 20 ) 11 ) 10 E) Si y son conjuntos, tales que: Indicar verdadero (V) o falso (F): El dominio es {2; 3; 4; 5} El rango es {6; 7} El conjunto de llegada es. ) FFV ) FVV ) FFF ) VFF E) VVV 11.- Siendo: (a + b; a b) = (25; 17), calcular a b. ) 63 ) 84 ) 72 ) 96 E) F = {(x; y) y = 2x 1} es una relación con dominio: om F = {2; 3; 4; 5}. alcular la suma de elementos del dominio de F -1. ) 14 ) 22 ) 25 ) 26 E) G = {(x; y) x + 2y = 12} es una relación con rango: Ran G = {3; 1; 4; 5}. alcular la suma de elementos del om G. ) 20 ) 22 ) 24 ) 26 E) Si: = {x x < 5} y = {x 2 < x < 6} uántos elementos tiene? ) 48 E) El conjunto tiene 8 elementos y el conjunto tiene 72 elementos. uántos elementos tiene el conjunto? ) 3 ) 8 ) 9 ) 6 E) Sea el conjunto = {0; 1}, el número de elementos de es: ) 1 ) 2 ) 4 ) 8 E) ado el conjunto: = {0; 1; 2}; el número de elementos de es: ) 8 ) 10 ) 12 ) 9 E) uál es el dominio de la siguiente relación R? R = {(7; 3), (5; 2), (7; 4), (7; 1)} ar como respuesta el número de elementos de este dominio. ) 3 ) 0 ) 2 ) 1 E) ado los conjuntos: G = {x -6 < x < 2} H = {x -5 < x < 0} cuántos elementos tiene el conjunto G H? ) 20 ) 24 ) 28 ) 21 E) Si: (2a + 1; 3a + b) = (13; 20), el valor de: = {(4; 9), (5; 7), (6; 8)} ) 12 ) 15 ) Si: = {3; 4; 5; 6} y = {6; 7}, determinar: a + b es: alcular la suma de elementos del conjunto. ) 14 E) 24 ( ) 82 ritmética Und. 1 Teoría de onjuntos 83

11 ) {(3; 6), (3; 7), (4; 6), (4; 7), (5; 6), (5; 7)} ) {(6; 6), (6; 7), (7; 6), (7; 7)} ) {(3; 6), (3; 7), (4; 6), (4; 7), (5; 6)} ) {(6; 6), (7; 6)} E) {(6; 6), (6; 7)} 22.- ados los conjuntos: S = {10; 12; 14; 16; 18} eterminar la relación: T = {3; 5; 7; 9} R = {(x; y) S T y = x /2} ) {(10; 5), (14; 7), (18; 9)} ) {(14; 7), (16; 8), (18; 9)} ) {(16; 8), (18; 9), (20; 10)} ) {(5; 10), (7; 14), (9; 18)} E) {(10; 5), (12; 6), (16; 8)} 23.- En = {4; 5; 6; 7} se define la relación: R = {(x; y) x + y es par} Si = {1; 2; 3; 4}, calcular el número de elementos de «R». ) 9 ) 8 ) 10 ) 7 E) omo sabemos, una moneda tiene dos lados: cara () y sello (S). Se lanza un dado y una moneda, anotándose el resultado en la forma (x; y) donde «x» es el resultado de la moneda e «y» el del dado. uántos elementos tiene la relación? R = {(x; y) y es un número que divide al 6} ) 6 ) 3 ) 4 ) 8 E) En un centro comercial, la persona encargada de cobrar la adquisición de determinados artículos registra el precio unitario y la cantidad adquirida por el cliente, en la forma ( p; q) respectivamente. Si «p» está expresado en soles, tomando los valores de: = {3; 5; 7} y «q» pertenece al conjunto: = {6; 12; 18}; obtener el número de: R = {(p; q) p q > 45} ) 6 ) 5 ) 4 ) 7 E) Sean los conjuntos: = {2x x ; 1 x < 5} alcular: n( ) + n() + n() = {3x x ; x 6} ) 20 ) 25 ) 28 ) 30 E) Sean los conjuntos: = {2; 3; 4} y = {8; 9} Si (m; n), calcular «m + n» si «m» es máximo y «n» es mínimo. ) 9 ) 10 ) 11 ) 12 E) Sea el conjunto = {1; 2; 3; 4;...; m}, n( ) = 24 y = {-2; -3; -4}. alcular «m» ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 E) Sea la relación: R = {(3; a), (c; 10), (-4; b)} alcular: a + b + c + d R -1 = {(-5; 3), (d; 9), (6; -4)} ) 18 ) 19 ) 20 ) 21 E) E E 21 E ritmética