Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

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1 Solucions a los jrcicios propustos Unidad. El conjunto d los númros rals Matmáticas aplicadas a las Cincias Socials I

2 NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES. Dtrmina si los siguints númros son o no númros racionals: a), b),000 c),00 d),000. a) Es un númro racional, s trata d un númro dcimal priódico. b) Es un númro irracional, aunqu xist una forma d construir la part dcimal, sin mbargo las infinitas cifras dcimals no s rpitn d forma priódica. c) Es un númro racional, s trata d un númro dcimal priódico mixto. d) Es un númro racional, s trata d un númro dcimal xacto, tin un númro finito d cifras dcimals.. Efctúa las siguints opracions utilizando la fracción gnratriz d cada númro dcimal: a) 0,, b) 0, 0,, 0,0 a) ,, , b) 0, 0, , Dtrmina si los siguints númros son racionals o irracionals: a),... b),... c),... d), a) Es un númro irracional, ya qu tin infinitas cifras dcimals qu no s rpitn d forma priódica. b) Es un númro racional, s trata d un númro dcimal priódico puro. c) Es un númro irracional, tin infinitas cifras dcimals qu no s rpitn d forma priódica. d) Es un númro racional, s un númro dcimal xacto.. Dtrmina cuáls d los siguints radicals son númros irracionals: a) 8 b) c) 9 d) ) 9 a) Es un númro irracional. b) Es un númro irracional. c) Es un númro racional, 9. d) Es un númro racional,. ) Es un númro irracional.

3 NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 8. Dibuja, utilizando l torma d Pitágoras, sgmntos qu tngan las siguints longituds:, 8, 0. Tnindo n cunta qu. Como, rprsntamos n primr lugar l númro ral tnmos qu rprsntar prviamnt l númro. Ya qu usamos, obtnmos por l Torma d Pitágoras qu l punto D s corrspond con. Con triángulo rctángulo d bas y altura, obtnmos l punto F qu rprsnta l númro ral. Finalmnt con l triángulo rctángulo d bas y altura obtnmos l punto H qu proyctado sobr la rcta ral nos da l punto J qu s. Para rprsntar 8, podmos tnr n cunta qu 8, por tanto, si rprsntamos un triángulo rctángulo d bas y altura, obtnmos l punto C qu proyctado sobr la rcta ral nos da l punto F qu rprsntaría al númro ral 8. Como 0, tnindo n cunta qu

4 y obtnmos l punto G qu rprsnta l valor dsado. Construyndo l triángulo rctángulo d bas y altura, obtnmos l punto C. La hipotnusa AC tin longitud, trasladando sa longitud con l compás sobr la rcta ral obtnmos l punto D qu rprsnta al númro. Construyndo ahora l triángulo rctángulo d bas y altura obtnmos l punto E. La longitud AE s 0. Con l compás podmos trasladar sa longitud sobr la rcta ral 9. Construy una sucsión d 0 intrvalos ncajados qu dtrmin los siguints númros rals:,,. Para obtnr una sucsión d 0 intrvalos ncajados, ncsitamos un total d 9 cifras dcimals d cada númro. Una xprsión dcimal dl númro con 0 cifras dcimals s:,8888. Por tanto la sucsión d 0 intrvalos ncajados qu dfin l númro s: (;), (,;,8), (,;,), (,8;,9), (,8;,8); (,88; 89), (,88; 88), (,888;,889), (,888;,888), (,8888; 8889). Una xprsión dcimal dl númro con 9 cifras dcimals s:,0080 Por tanto la sucsión d intrvalos ncajados qu dfin st númro s: (;), (,;,8), (,;,), (,;,), (,;,), (,0;,0), (,0;,0), (,008;,009), (,008;,008), (,0080;,00808). Una xprsión dcimal dl númro con 9 cifras dcimals s:,. La sucsión d intrvalos ncajados pdida s: (;), (,;,), (,;,), (,;,), (,;,), (,;,), (,;,), (,;,), (,;,), (,;,). ORDENACIÓN EN R. INTERVALOS Y ENTORNOS.. Dados los siguints conjuntos d númros rals, ordénalos d mnor a mayor: a),,, y b),,','8 y '98 c),,, 8,, 8,,98 y,0

5 a) Rducimos a común dnominador los númros y tnmos:, por lo tanto. b),,8,98 c),8,8,98,,0 8 9,,,. Intrcala trs númros rals d forma ordnada ntr los pars d númros siguints: a),0,,0 b),0,,0. a),0,0,0,0,0 b),0,0,0,0,0. Raliza las siguints opracions con intrvalos y rprsnta l rsultado obtnido: a) [-,] (0,) b) [-,] (0,) c) (,9](,8] d) (,9] (,8] ) (-,0)(-,] f) (-,0)(-,] g) (-,](,+) h) (-,](,+) a) [-,) b) (0,] c) (,9] d) (,8] ) (,] f) (-,0) g) (, ) h) (,] VALOR ABSOLUTO 9. Efctúa las siguints opracions: a) b) c) (-) - a) - = - =0. b) -0 =0 c) -8-8 = 0. Calcula: a) b) 8 c) d) a) b) 8 c) - d). Rsulv las siguints cuacions, n l caso d qu tngan solución: a) x+ = b) - +x =8 c) -x+ +8=0 d) x+ =0 a) x x ó x x 8 x b) Sin solución! x ó x 8 x / ó x

6 x 8 0 x x c) x 9 x / ó x 9/ d) x 0 x 0 ó 0 x ó x x ó x ó x x / ó x. Rsulv las siguints incuacions: a) x b) x 8 c) x d) x 8 a) x x 0 x x ( 0,) b) x 8 x 8 ó x 8 x ó x x (, ) (, ) c) x x x x[, ] d) x 8 x 8 ó x 8 x ó x 9 x / ó x, 9/ /,. 9/ x APROXIMACIONES DECIMALES. ERRORES. Aproxima por truncaminto y por rdondo a las décimas, cntésimas, milésimas y dizmilésimas d lo siguints númros rals utilizando la calculadora: a) b) c) Truncaminto Décimas Cntésimas Milésimas Dizmilésimas,,,,0,00,00 0, 0, 0, 0, Rdondo Décimas Cntésimas Milésimas Dizmilésimas,,,,,00,00 0, 0, 0, 0,. Dados los siguints númros rals: a) b) c) d). Utiliza la calculadora para:. Aproximar por rdondo a las diz milésimas.. Dtrminar los rrors absolutos y rlativos d las aproximacions.. Obtnr los intrvalos d aproximación d las aproximacions.. Calcular l ordn dl rror rlativo comtido n cada aproximación.

7 Rdondo dizmilésima Error absoluto,9 0,0000 0,000009, 0, ,00000,08 0,0000 0,000008,09 0, , Error rlativo Intrvalo d aproximación Ordn dl rror rlativo ( 0,0000, 0,0000) 0,0009 % ( 0,0000, 0,0000) 0,000 % ( 0,0000, 0,0000) 0,0008 % ( 0,0000, 0,0000) 0,0000 % 8. Utilizando la calculadora, rdonda l rsultado d las siguints opracions: a) Con un rror mnor qu cntésima b) Con un rror mnor qu dizmilésima ) ) ) a) Para obtnr un rror mnor qu cntésima s dcir 0,0 dbmos rdondar a la milésima pus n s caso l rror máximo qu s comt s d 0,00: ) 0, ) 8, ),99 b) Para obtnr un rror mnor qu dizmilésima s dcir 0,000 dbmos rdondar a la cinmilésima pus n s caso l rror máximo qu s comt al rdondar s d 0,0000: ) 0,9 ) 8,88 ), Con ayuda d la calculadora, rdonda los siguints númros con l númro d cifras significativas qu s indican: a) con cinco cifras significativas. b) 0 con sis cifras significativas. c) 0 con cuatro cifras significativas. a) Como,... ntoncs la aproximación por rdondo con cinco cifras significativas s,. b) Como 0,9... ntoncs la aproximación por rdondo con sis cifras significativas s,. c) Como 0, ntoncs la aproximación por rdondo con sis cuatro cifras significativas 0 s 0,. NOTACIÓN CIENTÍFICA. Raliza las siguints opracions y xprsa l rsultado n notación cintífica: a) (, 0,0 ):(,80 9,0 ) b) (, 0,00 ),0

8 a) (, 0,0 ) : (,8 9,) 0 (,,) 0 :,00,0 :,00 0,890 8,9. b) (, 0 0,00 ),0 = (, 0,0) 0,0 =,80, ,90 POTENCIAS Y RADICALES. PROPIEDADES,90. Raliza las siguints opracions con potncias: a) a). x y z y b) ( ) : ( ) (/8) c) x z y z b) ( ) : ( ) (/8) x c) y z y x z y z y z y z Clasifica los siguints radicals n racionals o irracionals: a) b) 89 c) 9 d) 80 ) 0 f) 0 Efctuamos la dscomposición factorial d cada uno d los radicandos para intntar sacar factors dl radical: a) b) c) d) ) f) 89, lugo s un númro racional., s por tanto un númro irracional. 9, s un númro irracional. 80, s un númro irracional. 0, s un númro irracional. 0, s un númro irracional. 9. Ordna d mayor a mnor los siguints radicals: a) 8,, 9 b),, Para ordnarlos dbmos rducirlos a índic común: a) Como m.c.m. (8,,)=8, rducimos los radicals a índic 8: ,,0, , lugo 8 > 9 > b) Como m.c.m.(,,)=, rducimos los radicals a índic : 0,,80, 09

9 lugo: 0. Efctúa y simplifica las siguints xprsions, racionalizando si fus ncsario: a) b) d) 0 9 ) f) 0 g) 0 ( 0) c) a) b) 0 ( ) 8 c) 8. (8 ) 8 ( ) d) 0 9 ) 0 ( 0). 0 ( )( ) f) ( ) 8 0 (0 0 ( ) 0 0 ( ) ) ( 0 ( )( ). 0 ) 0 g) 0 0 0

10 . Racionalizar los dnominadors d: a) b) c) 9 d) ( x ).0 ( x ) ( )( ) a) b) c) d) ( )( ) (x ) 0 (x ) (x ) (x ). Simplifica las siguints xprsions: a a) a (x ) (x ) (x ) b) x yx x y (x ) c) 8 ay ay y a a a) a a a a a 0a a a a a a a a 9 b) x yx x y x y x x 9 y x 9 y xy x y 8 c) ay ay y a y ay y a y a (y y y y) a y a y y LOGARITMOS. Halla utilizando la dfinición y sin l uso d la calculadora los siguints logaritmos: a) log 0, b) log c) log d) log 0 ) log. 0 f) g) log / h) log ( 8) 8 log / k) log 0, / l) 000 i) log 0, 0, 000 j) log 0, a) log 0,00000 log0 b) log log0 c) log log d) log 0 log 0 0 ) log 0 log log / f) log / / / g) 8 / log / log h) ( 8) no xist l logaritmo d un númro ngativo! log log / 000

11 log0, 0,000 log/0 log/ i) j) log0, log0, log0, log0,(0,). 0 k) l) log/ 0, log/ log/ log/ log/ log/ log/ Utiliza las propidads d los logaritmos y su dfinición para obtnr: a) log log log b) ln 8 c) log log ln( ) d) ln log 0,00 log 0 0 log 0,00 a) log log log log log log log 8 log log log log log 8. 0,00 ln log log ln ln log log 0 b) log0,00 log 0 0 ln 0 log 89. log0 log0 c) 8 log log ln( ) log log log 8 log (ln ln ) log log log log ln ln ln ln. ln ln 0 log0,00 (ln ln d). 0 log 0,00 log ) log0 log0 ( ) 8 9. Utiliza la calculadora para obtnr una aproximación por rdondo a la cntésima d: a) log b) log c) log

12 a) b) c) log log,. log log log,9 log log log,09. log 0. Si log x 0,, log y, y log 0, 8, calcula, usando las propidads d los logaritmos: a) log xy x y b) log x x y y a) xy log log xy log x y log log x log y log x y x y log x log y log x log y log x log y y log x log y ( 0,, 0,,) 0,8. b) x y x y log log log x y log x y x y x y log x log y log x log y log x log y log x log y (*) log x 0, log y, Como log x 0. 9 y log y, 0 log 0,8 log 0,8 Entoncs: (*) 0,9,0 0,9,0 0,

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