Matemáticas para Químicos
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- Gonzalo Óscar Plaza Paz
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1 UNIVERSIDAD DE SEVILLA Mtemátics pr Químicos José Antonio Prdo Bsss José Antonio Prdo Tendero Jun Antonio River Boz. Dpto. Análisis Mtemático Universidd de Sevill P.P.R. 22 de Septiembre de 2008.
2 Edición: P.P.R. Año: 2006 I.S.B.N U.R.L.
3 Índice 1. Números reles y complejos Introducción El Número Rel Consecuencis de los xioms Conjuntos inductivos. Los conjuntos N, Z y Q Consecuencis del xiom de supremo Intervlos. Topologí de l rect rel Vlor bsoluto. Propieddes Introducción de los números complejos C cuerpo no ordendo Expresión binómic de un número complejo. Operciones. Complejo conjugdo Módulo y rgumento. Form trigonométric de un número complejo Exponencil y logritmo de un número complejo Ejercicios y Problems Funciones reles. Límites y continuidd Definiciones Funciones elementles Funciones polinómics Funciones rcionles Funciones rdicles Función exponencil y función logrítmic Funciones circulres o trigonométrics Funciones circulres inverss Otrs funciones Funciones trsldds
4 2 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2.3. Límite de un función. Propieddes Límites en x = Límites en el infinito Límites infinitos en el infinito Límites lterles Continuidd. Discontinuiddes Continuidd Discontinuiddes Propieddes de ls funciones continus Ejercicios y Problems Derivds. Polinomio de Tylor Derivd de un función Álgebr de derivds Derivd de l función compuest y de l función invers Funciones con derivd no nul Teorems de Rolle y del vlor medio Regl de L Hôpitl Polinomios de Tylor Expresiones del término complementrio Aplicción l estudio de extremos reltivos Desrrollo de funciones elementles Ejercicios y Problems Funciones de vris vribles reles El espcio euclídeo R n Funciones de vris vribles Límite de un función Funciones continus Diferencibilidd Derivds prciles Derivds direccionles Diferencibilidd Regl de l cden Derivds prciles de orden superior Extremos
5 ÍNDICE 3 Ejercicios y Problems Series numérics y series de potencis Sucesiones numérics Series: Definiciones y propieddes Series de términos positivos. Criterios de convergenci Series lternds. Teorem de Leibnitz Serie de potencis. Rdio de convergenci Definiciones Continuidd y derivbilidd Desrrollos en serie. Funciones nlítics Ejercicios y Problems Cálculo de primitivs Definición y propieddes Métodos generles de integrción Integrción de funciones rcionles Integrles reducibles rcionles Ejercicios y Problems L integrl definid Integrl de Riemnn de un función Funciones integrbles Propieddes de ls funciones integrbles Teorem fundmentl del Cálculo Integrl Integrción por sustitución y por prtes Integrles impropis Integrción en intervlos no compctos Criterios de convergenci Convergenci bsolut Ls funciones Gmm y Bet Aplicciones de l integrl Áre de figurs plns Longitud de rcos de curv Volúmenes Áre de superficies de revolución
6 4 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Aplicciones físics Ejercicios y Problems Mtrices, determinntes y sistems de ecuciones lineles Mtrices Mtrices cudrds Propieddes del producto de mtrices cudrds Determinntes, menores complementrios y djuntos Invers de un mtriz Sistems de ecuciones lineles Regl de Crmer y Teorem de Rouché-Fröbenius Ejercicios y Problems Espcios Vectoriles Espcios Numéricos Subespcios vectoriles Dependenci linel Bses y dimensión Ejercicios y Problems Aplicciones lineles Definiciones y propieddes Representción mtricil de un plicción linel El problem de l clsificción linel. Autovectores y utovlores Endomorfismos digonlizbles Ejercicios y Problems
7 Cpítulo 1 Números reles y complejos 1.1. Introducción El Cálculo está bsdo en el sistem de los números reles y sus propieddes. Los números ms sencillos de todos son los nturles, N = {1, 2, 3, } surgen con l necesidd de contr. Si le ñdimos sus negtivos y el 0 obtenemos los enteros Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }, pero cundo medimos cierts mgnitudes, los enteros son indecudos, están muy seprdos unos de otros. Esto nos llev considerr cocientes de enteros. Los números que se pueden escribir de l form m/n, m, n Z, n 0, son llmdos números rcionles que los representremos por Q. Pero los números rcionles no sirven pr medir tods ls longitudes. Alrededor del siglo V.C., los griegos demostrron que unque l hipotenus de un triángulo rectángulo de ctetos de longitud 1 mide 2, este número no puede ser representdo como cociente de dos nturles, luego no es rcionl. A estos números se les llmó irrcionles y junto con los rcionles constituyen el conjunto de los números reles R. Como hemos podido comprobr, se verific: N Z Q R. El sistem de números reles pued mplirse ún más los números complejos. Estos son números de l form + bi donde y b son reles e i = 1. Los números reles pueden entenderse como etiquets pr puntos lo lrgo de un rect. Miden l distnci un punto previmente fijdo O, llmdo origen y que se etiquet con el número 0. Cd punto de l rect tiene un único número rel que lo etiquet, ese número lo llmremos coordend del punto, y l rect coordend resultnte, rect rel. 5
8 6 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) El concepto de número rel fue el último, de los que se estudin en un curso de nálisis diferencil e integrl, en fundmentrse rigurosmente. Probblemente este hecho es debido que el concepto de número rel es el que tiene un significción geométric más clr como punto de un rect o como longitud de un segmento. Con l definición riguros de los conceptos de límite y de función continu, unido l hecho del descubrimiento de ls geometrís no euclídes, se hizo evidente l necesidd de encontrr un fundmentción ritmétic de los números reles que sustituyer l ide geométric que hst bien entrdo el siglo XIX se tení de éstos. El primer pso fue l fundmentción de los conceptos de número entero y número rcionl tomndo los nturles como punto de prtid (Weierstrss en torno 1860) que es en resumids cuent l que todví usmos. Precí lógico pues, definir los reles prtir de los rcionles, lo que se relizó ví sucesiones (Cntor) o cortdurs (Dedekind). Así, sobre 1890 y se tení un fundmentción riguros de los números reles bsd en l ritmétic. Pero fltbn los cimientos del entrmdo, los números nturles. Fue Peno en 1889 quien logró dr un sustento lógico los números nturles (que está en vigor en l ctulidd) y que er el eslbón que fltb pr culminr en complejo edificio de los números reles. Posteriormente lgunos utores creyeron conveniente dotr l conjunto de los números reles de su propio sistem de xioms. En los últimos ños del siglo XIX, Hilbert tení preprdo el sistem de xioms pr los números reles que, en esenci, es el que presentmos en l presente obr El Número Rel Definición Llmremos números reles los elementos de un conjunto R, dotdo de dos operciones interns (+, ) y un relción de orden estricto (<) que verificn los siguientes xioms: Axioms de cuerpo. 1. Conmuttividd : x, y R, x + y = y + x, x, y R, x y = y x. 2. Asocitividd : x, y, z R, (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R, (x y) z = x (y z).
9 NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 7 3. Distributividd : x, y, z R, x y + x z = x (y + z). 4. Elementos neutros : 0 R : x R se tiene que x + 0 = x, 1 R, 1 0 : x R se tiene 1 x = x. 5. Elementos simétricos : x R, ( x) R : x + ( x) = 0 x R, x 0 x 1 R : x x 1 = 1. Notción: Escribiremos x y por x + ( y) y tmbién x y por x y 1. Axioms de orden. 6. Tricotomí : x, y R, x < y ó y < x ó y = x. 7. Si x < y y z R, entonces x + z < y + z. 8. Si x > 0 e y > 0, entonces x y > Si x < y e y < z entonces x < z. Pr poder expresr el décimo xiom, definiremos previmente los conceptos de cot superior, supremo y máximo. Análogmente se definen los conceptos de cot inferior, ínfimo y mínimo, dejándose como ejercicio l lumno. Definición Se A R. Si existe x R tl que x, A, decimos que A está cotdo superiormente y que x es un cot superior de A. El supremo de A se define como l menor de ls cots superiores, es decir, si es cot superior de A entonces sup A. Si sup A A, decimos que es máximo, representándolo como máx A. Axiom de completitud. 10. Todo subconjunto no vcío de R, cotdo superiormente, tiene supremo.
10 8 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1.3. Consecuencis de los xioms De los xioms de cuerpo. Tods ests consecuencis se demuestrn prtir de los cinco primeros xioms, siendo un ejercicio muy útil pr el lumno su prueb pr fmilirizrse con el lenguje mtemático. 1. Unicidd del 0 y Si x + y = x + z, entonces y = z. 3. Unicidd de los elementos simétricos x = x 0 = ( x) = x. 6. ( 1) x = x. 7. x ( y) = ( x) y = (x y). 8. x (y z) = x y x z. 9. Si x 0 y x y = x z, entonces y = z. 10. Si x y = 0, entonces x = 0 ó y = 0. De los xioms de orden. 1. x < 0 x > Si x > y y z > 0, entonces x z > y z, si x > y y z < 0, entonces x z < y z. 3. Si x > y > 0 y z > w > 0, entonces x z > y w. 4. Si x y > 0 entonces x > 0 e y > 0, o bien x < 0 e y < x 0, x R es x 2 = x x > 0. En prticulr 1 > 0.
11 NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS Conjuntos inductivos. Los conjuntos N, Z y Q Aunque es hbitul definir los conjuntos Z y Q prtir de N y éste medinte los xioms de Peno, vmos ver quí un sencill form de conseguir dichos conjuntos trvés del conjunto de xioms de los números reles como subconjuntos especiles de R. Definición Se S R. Se dice que S es un conjunto inductivo de R si se verific ) 1 S. b) Si x S x + 1 S. Definición Un número n R se dice que es nturl si pertenece todos los conjuntos inductivos de R. Llmremos N l conjunto de los números nturles. Teorem N es un conjunto inductivo de R. Teorem (Principio de inducción). R, entonces S = N. Se S N. Si S es un conjunto inductivo de Teorem (Principio de buen ordención). primer elemento, es decir, A : n A n. Si A N es no vcío, entonces tiene Definición Se definen: Z = N {0} { n : n N}. Sus elementos se llmn números enteros. Q = {p q 1 : p, q Z, q 0}. Sus elementos se llmn números rcionles. Proposición R \ Q. Definición Llmmos números irrcionles los elementos de R \ Q.
12 10 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1.5. Consecuencis del xiom de supremo Teorem (Propiedd fundmentl del supremo). Se A R, con A, y se α R cot superior de A. Son equivlentes: 1) α = sup A. 2) h > 0, A tl que α h < < α. Análogmente podrímos enuncir l propiedd fundmentl del ínfimo. Teorem (Propiedd fundmentl del ínfimo). Se A R, con A, y se β R cot inferior de A. Son equivlentes: 1) β = ínf A. 2) h > 0, b A tl que β < b < β + h. Proposición N no está cotdo superiormente. Proposición x R, existe un único n Z tl que n x < n + 1. A este número n se le llm prte enter de x y se denot por [x]. Teorem (Propiedd rquimedin de R). x, y R, x > 0, existe un n N tl que y < nx. Corolrio x > 0, existe n N con 1 n < x. Teorem x, y R, x < y, existe q Q con x < q < y. x, y R, x < y, existe r R \ Q con x < r < y. Por verificrse ese Teorem se dice que Q y R \ Q son densos en R.
13 NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS Intervlos. Topologí de l rect rel Definición Sen, b R, b. Llmremos intervlos cotdos los siguientes conjuntos de números reles: 1. Intervlo cerrdo: [, b] = {x R : x b}. 2. Intervlo bierto-cerrdo: (, b] = {x R : < x b}. 3. Intervlo cerrdo-bierto: [, b) = {x R : x < b}. 4. Intervlo bierto: (, b) = {x R : < x < b}. Los intervlos no cotdos se definen de l siguiente form: 1. Intervlo cerrdo no cotdo superiormente: [, + ) = {x R : x }. 2. Intervlo bierto no cotdo superiormente: (, + ) = {x R : x > }. 3. Intervlo cerrdo no cotdo inferiormente: (, b] = {x R : x b}. 4. Intervlo bierto no cotdo inferiormente: (, b) = {x R : x < b}. Definición Se A R. A es un punto interior de A si r > 0 : ( r, + r) A. El conjunto de todos los puntos interiores de A se llm interior de A y se denot por A. R es un punto dherente de A si r > 0, ( r, + r) A. El conjunto de todos los puntos dherentes de A se llm clusur de A y se denot por A. R es un punto de cumulción de A si r > 0, (( r, + r) \ {}) A. El conjunto de todos los puntos de cumulción de A se denot por A.
14 12 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) A es un punto isldo de A si A \ A. R es un punto fronter de A si es un punto dherente de A y de R \ A. Se dice que A es un entorno de si A. A se dice bierto si A = A. A es cerrdo si R \ A es bierto Vlor bsoluto. Propieddes Definición Pr cd número rel x, se define el vlor bsoluto de x como x = sup{x, x} = x, si x 0 x, si x < 0. Propieddes del vlor bsoluto. 1. x R, x x = 0 x = x R, x x x. 4. x, y R, x y = x y. 5. Se R, > 0. Entonces x si y sólo si x. 6. Se R, > 0. Entonces x si y sólo si x ó x. 7. x, y R, x + y x + y (Desiguldd tringulr). 8. x, y R, x y x y.
15 NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS Introducción de los números complejos Como sbemos que l ecución x 2 2 = 0, no tiene soluciones rcionles por ello fue necesrio introducir los números reles. Por tnto l siguiente pregunt es, si x = 0, no tiene soluciones reles ( por qué?), entonces dich ecución es irresoluble? Crdno en 1545 se plnteó el siguiente problem: ddo un segmento de longitud 10 uniddes, dividirlo en dos prtes de form que el rectángulo que se form teng un áre de 40 uniddes cudrds. Pr resolverlo, Crdno operó formlmente: Se x l longitud de un división y 10 x el de l otr. Entonces, (10 x)x = 40 = x 2 10x + 40 = 0 = x 1 = , x 2 = 5 15 Además, formlmente verificó l solución: A = (5 + 15)(5 15) = 5 2 ( 15) 2 = 25 ( 15) = 40.!!!! Es decir que l solución vení dd por un ríz de un número negtivo. Tles soluciones se ls denominron imposibles o imginris. Fue Euler el primero en introducir l notción 1 = i C cuerpo no ordendo Definición Un número complejo z es un pr ordendo de números reles x, y, es decir, z = (x, y), donde x se denomin prte rel de z e y se denomin prte imginri y se denotn por x = Re(z), y = Im(z). El conjunto de todos los números complejos lo denotremos por C. Pr dos números complejos culesquier z 1 = (x 1, y 1 ) y z 2 = (x 2, y 2 ), se define l operción sum + y producto de l siguiente form: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Así (C, +, ) cumple efectivmente ls propieddes de cuerpo conmuttivo: 1. Conmuttiv : z 1, z 2 C, z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1, z 2 C, z 1 z 2 = z 2 z 1,
16 14 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2. Asocitiv : z 1, z 2, z 3 C, (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ), z 1, z 2 C, (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ), 3. Distributiv : z 1, z 2 C, z 1 z 2 + z 1 z 3 = z 1 (z 2 + z 3 ), 4. Existenci de elementos neutros : 0 = (0, 0) C z C se tiene z + 0 = z, 1 = (1, 0) C, z C se tiene z 1 = z, 5. Existenci de elementos simétricos : z = (x, y) C, z = ( x, y) C z + ( z) = 0 z = (x, y) C, z 0 z 1 = ( x x 2 + y 2, ) y x 2 + y 2 C z z 1 = 1. L prueb de ests propieddes se dejn propuests l lumno. Es fácil comprobr que si z 1 y z 2 son números tles que Im(z 1 ) = Im(z 2 ) = 0, ls operciones nteriores coinciden con ls de los números reles, de form que los números reles son un subconjunto de los complejos, concretmente son los números complejos de l form x (x, 0). Los números complejos de l form Re(z) = 0 se denominn imginrios puros. Utilizndo el conjunto de los números complejos C descubrimos que es posible resolver ecuciones lgebrics que no ern resolubles pr los reles, por ejemplo x = 0, x 2 = 1 x = i = (0, 1). Ls propieddes de un cuerpo ordendo están expuests en l definición 1.2. en los xioms de R. Destcr que C es un cuerpo no ordendo y que, por ejemplo, i no cumple el xiom de tricotomí. Es clro que i 0. Supongmos que i > 0, entonces por el xiom 7. i i > 0, luego 1 > 0, o equivlentemente, 0 > 1, (lo cul pudier ser cierto en C pues no hemos decidido todví que criterio vmos utilizr pr ordenrlos). Ahor bien, si 1 > 0, entonces ( 1) ( 1) > 0, de donde 1 > 0, lo cul es imposible por el xiom 5.. Un rzonmiento nálogo demuestr que i no puede ser menor que cero (se propone como ejercicio). Por tnto C es un cuerpo no ordendo.
17 NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS Expresión binómic de un número complejo. Operciones. Complejo conjugdo L expresión más común pr representr un número complejo es l form binómic: z = (x, y) = x(1, 0) + (0, 1)y x + iy donde x = Re(z), y = Im(z). Operciones elementles en form binómic. Sen z 1 = x 1 + iy 1 y z 2 = x 2 + iy 2 dos números complejos culesquier, entonces z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + (y 1 ± y 2 )i z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 ) (x 2 +iy 2 ) = x 1 x 2 +x 1 y 2 i+y 1 x 2 i+y 1 y 2 i 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+(x 1 y 2 +y 1 x 2 )i teniendo en cuent que i 2 = 1 y grupndo prtes reles e imginris z 1 z 2 = x 1 + iy 1 x 2 + iy 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = x 1x 2 + y 1 y 2 x y2 2 + i y 1x 2 x 1 y 2 x y2 2 Definición Ddo un número complejo z = x + iy se llm complejo conjugdo de z y se denot por z, l complejo z = x iy. Pr z se cumplen ls siguientes propieddes: z, z 1, z 2 C 1. z = z 2. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 3. z 1 z 2 = z 1 z 2 4. ( z1 z 2 ) = z 1 z 2 (z 2 0) 5. Re(z) = z + z 2 6. Im(z) = z z 2i 7. z R z = z Módulo y rgumento. Form trigonométric de un número complejo Definición Se z = x + iy. Se llm módulo de z l número rel positivo ρ = z = + ( y x 2 + y 2 y se llm rgumento de z l ángulo θ = rctg tl que x) x = ρ cos(θ) y = ρsen(θ)
18 16 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Por tnto z = x + iy = ρ(cos(θ) + isen(θ)) = ρ θ en lo que se denomin form trigonométric de z. Pr el módulo y el rgumento de z se cumplen ls siguientes propieddes: z, z 1, z 2 C 1. z 0 2. z = 0 z = 0 3. z 2 = z z 4. z 1 + z 2 z 1 + z 2 5. z 1 z 2 = z 1 z 2 Operciones elementles en form trigonométric. Observremos que lguns de ls operciones fcilitn mucho su cálculo. El producto, cociente, potenci enter y ríz enter quedn de l siguiente form: Sen z 1 = ρ 1 (cos(θ 1 ) + isen(θ 1 )) y z 2 = ρ 2 (cos(θ 2 ) + isen(θ 2 )) dos números complejos culesquier en form trigonométric, entonces el producto el cociente z 1 z 2 = (ρ 1 ρ 2 )(cos(θ 1 + θ 2 ) + isen(θ 1 + θ 2 )) z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + isen(θ 1 θ 2 )) y l potenci y ríz, se z = ρ(cos(θ) + isen(θ)) y n N z n = z z z z }{{} nveces en lo que se conoce como l fórmul de Moivre. = ρ n (cos(nθ) + isen(nθ)) n z = n ρ ( cos ( θ + 2πk n ) + isen ( θ + 2πk n )), k = 0, 1,, n 1. Not: Se dejn como ejercicio ls deducciones de ests igulddes.
19 NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS Exponencil y logritmo de un número complejo Definición Se t R se define e it = cos t + isent, que se denomin fórmul de Euler. Si z C \ {0}, ρ su módulo y θ culquier rgumento de z se define l exponencil complej de z como e z = e Re(z) (cos(im(z)) + isen(im(z)) Not: Si z es rel, es decir, Im(z) = 0 l fórmul qued como l que conocímos en R. Pr l exponencil complej se cumplen ls siguientes propieddes: z, z 1, z 2 C 1. e 0 = 1 2. e z 0 3. e z1+z2 = e z1 e z2 4. e z = e Re(z) 5. e z = 1 z = 2πki k Z 6. e z 1 = e z 2 z 1 z 2 = 2πki k Z Definición Se z C, ρ su módulo y θ culquier rgumento de z el logritmo de z es log(z) = log(ρ) + iθ + 2πki k Z Definición Se Si z C \ {0} y w C, entonces z w = e wlogz Definición Se z C, Se definen ls funciones seno y coseno como: sen(z) = eiz e iz, cos(z) = eiz + e iz. 2i 2
20 18 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problems 1.- ) Demostrr el siguiente enuncido: Si n es un número nturl tl que n 2 es pr, entonces n es pr. b) Demostrr que 2 no es un número rcionl. 2.- Demostrr por inducción ls fórmuls: ) n i = i=1 n(n + 1) 2 b) n i 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 c) n ( n(n + 1) i 3 = 2 i=1 ) 2 d) n! 2 n 1 e) n i=1 i = n+1 1, ( 1) f) 5 23n n 1 = Probr que si l propiedd n = 2 n+1 se verific per un cierto vlor n, entonces se verific pr n + 1, pero como se puede comprobr, l propiedd es fls. Contrdice este hecho el principio de inducción? 4.- Decir, rzonndo l respuest, si puede ser rcionl: ) L sum de un rcionl y un irrcionl. b) El opuesto, o el inverso, de un irrcionl. c) L sum, o el producto, de dos irrcionles. d) El producto de un rcionl y un irrcionl. e) x + b cx + d con, b, c, d enteros, c 0, y x un irrcionl. 5.- ) El número + b 2 + b < b. 2 se llm medi ritmétic de y b. Demostrr: < b = < b) El número b se llm medi geométric de los dos números positivos y b. Demostrr que < b = < b < b. c) Pr dos números positivos, probr que b + b 2.
21 NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS Describir, en cd cso, el conjunto de números reles x que verificn l condición: ) 2x + 3 < 2 b) 6x + 2 > 5 c) x 2 + x 3 = 2 d) 2x 1 x + 2 e) 5 1 x 4x x 4 = x 2 2x 1 g) x = x 5 h) x 2 2 x 3 = 0 i) x 2 7x + 12 > x 2 7x + 12 j) 5x k) x = x De los siguientes subconjuntos de R, decir cuáles están cotdos superiormente e inferiormente y clculr sus supremos e ínfimos, si éstos existen: A = {x R : 0 < x < 1}, B = {x Q : 0 < x < 1}, C = {x R : x 2 > 4}, D = {x R : 3x 2 10x + 3 < 0}, E = {x R : (x 1)(x 2)(x 3) < 0}, { } 2n 1 F = : n N, G = {x R : x 2 5x+5 < 1}, H = {x R : x 2 x > 0}. n 8.- Clculr: ) 1 i 5 + 3i, b) (4 + 3i)2, c) ( 2 + 2i) 3 d) 1 i 2 ( 2 i), e) 4 15 k= 3 i k 9.- Clculr ( 4 4 ) 2 y Coinciden? 10.- Clculr: ) i b) 6 64 c) 3 ( i d) e (2+ π 3 i) e) log e ie ) Se z C l ríz curt de 1 cuyo fijo está en el segundo cudrnte. Hllr: ) El vlor de z. b) e z. c) cos z. d) log z Hllr dos números complejos conjugdos tles que su diferenci se 6i y su cociente se imginrio puro Hll los 4 números complejos z que verificn z = 3 + 4i + 3 4i 14.- Hllr los números complejos z C tles que z 5 = z Hllr el lugr geométrico de los fijos de los complejos z tles que z + 5 z 3
22 20 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 16.- Resolver ls ecuciones: ) cos z = 2 b) sen z = i 17.- Describir geométricmente todos los números complejos que verifiquen: ) z + z = 1, z z = i, Re(z) = Im(z). b) z = 1, z + i 3, 1 z 1 2. c) z > z + 1, z + z = z 2, z( z + 2) = 3. ( ) d) z + 2i + z 2i = 6, z 2 z 2 z + 2 = 1, rg = π z Construir un hexágono regulr centrdo en el origen tl que uno de sus vértices se el punto A(1, 3) Construir un cudrdo centrdo en el origen uno de cuyos vértices se: ) El punto ( 3/2, 1/2). b) El punto B(4, 3) ) Ddos los complejos z = 2+i y z 1 = 3 i, encontrr otros tres números complejos z 2, z 3 y z 4 tles que los fijos de z 1, z 2, z 3, z 4 formen un cudrdo de centro el fijo de z. b) Clculr el áre de dicho cudrdo 21.- Ddos los complejos z = 1+i y z 1 = 2+3i, encontrr otros dos números complejos z 2 y z 3 tles que los fijos de z 1, z 2, z 3 formen un triángulo equilátero de centro el fijo de z.
23 Cpítulo 2 Funciones reles. Límites y continuidd 2.1. Definiciones Definición Un función rel de vrible rel es un plicción que cd punto x de un conjunto S R le hce corresponder un único elemento de R. Hbitulmente l denotmos por f : S R R. El myor conjunto D R tl que f esté definid se le llm dominio de f. A cd x del dominio le corresponde un vlor f(x) R l que llmremos imgen de x según f. Al conjunto de tods ls imágenes f(x) con x D, se le llm conjunto imgen y se escribe f(d). Dds ls funciones f : D f R, g : D g R, definimos ls operciones sum, producto y cociente del siguiente modo: Definición f + g : D f D g R, (f + g)(x) = f(x) + g(x). f g : D f D g R, (f g)(x) = f(x) g(x). f/g : D f D g \ {x D g : g(x) = 0} R, (f/g)(x) = f(x)/g(x). 21
24 22 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definición Se dice que un función f es monóton creciente en un subconjunto A de su dominio si x 1, x 2 A : x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). Se dice que un función f es monóton decreciente en un subconjunto A de su dominio si x 1, x 2 A : x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). El crecimiento (decrecimiento) se dice que es estricto si se verific que x 1, x 2 A con x 1 < x 2, f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 ) resp.). Definición Se dice que un función f está cotd superiormente si existe un M R tl que x D, f(x) M. Se dice que un función f está cotd inferiormente si existe un m R tl que x D, f(x) m. Se dice que un función f está cotd si lo está superior e inferiormente, es decir, existe un K > 0 tl que x D, f(x) K. Definición Decimos que un función f : D R present un máximo reltivo en D si existe un entorno E() de tl que f(x) f(), x E(). Decimos que un función f : D R present un mínimo reltivo en D si existe un entorno E() de tl que f(x) f(), x E(). Decimos que M f(d) es el máximo (bsoluto) de f : D R, si M = máx f(d). Decimos que m f(d) es el mínimo (bsoluto) de f : D R, si m = mín f(d). Definición Un función f : D R es pr si x D, x D, y f(x) = f( x).
25 FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 23 Un función f : D R es impr si x D, x D, y f(x) = f( x). Un función f : D R es periódic si existe un h > 0 tl que x D, x + h D, y f(x) = f(x + h). Al menor número h que verific es condición se le denomin periodo de f. Definición (Composición de funciones). Sen f : D f R, g : D g R con f(d f ) D g. Definimos su composición como l función g f : D f R dd por (g f)(x) = g (f(x)). Not En generl, l composición de funciones no es conmuttiv, es más, el hecho de que exist (g f)(x) no implic que exist (f g)(x). Definición Un función f : D R es inyectiv si se verific: f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2, x 1, x 2 D. Un función f : D R es sobreyectiv si f(d) = R. Un función f : D R es biyectiv si es inyectiv y sobreyectiv. Definición Se f : D R un función inyectiv. Llmmos función invers de f y l denotmos por f 1 l función f 1 : f(d) R tl que x f(d), f ( f 1 (x) ) = x Funciones elementles Exponemos en est sección ls principles funciones que el lumno conoce de su etp eductiv nterior, expresndo en clse su gráfic y sus propieddes más interesntes.
26 24 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Funciones polinómics Son ls funciones que se pueden expresr de l form f : R R : f(x) = x + 2 x n x n, i R, n N. Si n = 0 tenemos l función constnte y =, cuy gráfic es un rect prlel l eje de bsciss. Si n = 1 tenemos l función fín, y = mx + n cuy gráfic es un rect. A m se le llm pendiente de l rect y n es l ordend en el origen. Si m es positivo l rect es creciente y si es negtivo es decreciente. Además m = tn α, siendo α el ángulo inclinción de l rect con el eje de bsciss. Si n=0 l función recibe el nombre de linel y ps por el origen de coordends. Si n = 2 tenemos l función cudrátic y = x 2 + bx + c su representción ( ( )) gráfic b b es un prábol de eje verticl, cuyo vértice está en el punto V 2, f y es 2 simétric respecto l rect x = b 2. Pr n 2 se obtienen curvs que se estudirán en el tem de representción gráfic de funciones Funciones rcionles Son ls funciones dds por f : D R R : f(x) = x + 2 x n x n b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m, i, b j R, m, n N. El dominio D está compuesto por todos los números reles excepción de los que nuln el denomindor. L función rcionl más conocid es l de proporcionlidd invers y =, cuy gráfic x es un hipérbol de síntots los ejes coordendos Funciones rdicles Son ls funciones que se pueden expresr como f : D R R : f(x) = n x, n N D = R si n 2 El dominio D depende del índice de l ríz, D = [0, + ) si n = 2
27 FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 25 L función rdicl más conocid es y = + x, que junto con su simétric y = x, trzn un gráfic que es un prábol de eje horizontl Función exponencil y función logrítmic L función exponencil de bse ( > 0) es l función f : R R definid por f(x) = x. Si 0 < < 1, l función es estrictmente decreciente. Si = 1, l función es constnte. Si > 1 l función es estrictmente creciente. En culquier cso, l función exponencil es siempre positiv, x > 0, x R. Pr > 0, 1, l función invers de l función exponencil existe y se llm función logrítmic de bse y se escribe: g : (0, + ) R : g(x) = log x. Como en el cso de l función exponencil, si > 1, l función es creciente, y si 0 < < 1, l función es decreciente Funciones circulres o trigonométrics Son ls funciones sen x, cos x y tn x. Ls dos primers son periódics de periodo 2π, su dominio es R y su imgen el intervlo [ 1, 1]. L función tngente tn x = sen x es periódic de periodo π y su dominio, l ser cos x cociente de dos funciones, son todos los números reles excepto los vlores que nuln l denomindor, es decir, D = R \ { π 2 + kπ, k Z} Funciones circulres inverss Ests funciones solo tienen sentido si se considern ls funciones trigonométrics en intervlos donde sen monótons. Así, l función invers de sen x es l función f : [ 1, 1] [ π 2, π ] : f(x) = rc sen x. 2
28 26 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) L función invers de cos x es l función f : [ 1, 1] [0, π] : f(x) = rc cos x. Por último, l función invers de l tngente es: f : R ( π 2, π ) : f(x) = rctn x Otrs funciones L función vlor bsoluto, está definid por f : R R : f(x) = x Son interesntes ls composiciones de funciones de l form y = f(x), su gráfic se obtiene de l gráfic de y = f(x) sin más que trsldr, simétricmente, los puntos de ordend negtiv los correspondientes de ordend positiv. L función prte enter, f(x) = E(x), sign cd número rel x el myor número entero que es myor o igul que x. Así, E(3,5) = 3, E(1) = 1, E( 4,6) = 5, E(π) = 3. Se define l prte deciml de x como D(x) = x E(x). Es un función periódic de periodo Funciones trsldds Son quélls que se pueden dibujr prtir de lgun función elementl conocid. Trslción horizontl: y = f(x) y = f(x ± k). L función se trsldrá l izquierd o l derech k uniddes. Trslción verticl: y = f(x) y = f(x) ± k. Subiremos o bjremos l función k uniddes. Trslción oblicu: y = f(x) y = f(x ± k) ± k. L función se trsldrá l izquierd o l derech k uniddes y rrib o bjo k uniddes. Diltción verticl: y = f(x) y = kf(x). Se produce un cmbio de escl en el eje de ordends.
29 FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de un función. Propieddes Se f : S R R y S. Definimos: Límites en x = Definición Se dice que l es el límite de f(x) cundo x tiende y se escribe lím x f(x) = l si ε > 0, δ > 0 : x ( δ, + δ) S \ {}, f(x) l < ε. Est definición tiene sentido unque f no esté definid en. Definición Se dice que f(x) tiende + cundo x tiende y se escribe lím f(x) = + si x Análogmente, M > 0, δ > 0 : x ( δ, + δ) S \ {}, f(x) > M. lím f(x) = si M > 0, δ > 0 : x ( δ, + δ) S \ {}, f(x) < M. x Cundo no se especifique el signo, lím f(x) = si M > 0, δ > 0 : x ( δ, + δ) S \ {}, f(x) > M. x Límites en el infinito Definición Si S no está cotdo superiormente, se dice que f(x) converge l cundo x tiende + ( lím f(x) = l) si: x + ε > 0, N > 0 : x (N, + ) S, f(x) l < ε. Análogmente, si S no está cotdo inferiormente, lím f(x) = l si ε > 0, N > 0 : x (, N) S, f(x) l < ε. x Si S no está cotdo, lím f(x) = l si ε > 0, N > 0 : si x > N y x S, f(x) l < ε. x
30 28 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Límites infinitos en el infinito Definición Decimos que: lím f(x) = + si M > 0, N > 0 : x (N, + ) S, f(x) > M, x + lím f(x) = si M > 0, N > 0 : x (N, + ) S, f(x) < M, x + lím f(x) = + si M > 0, N > 0 : x (, N) S, f(x) > M, x lím f(x) = si M > 0, N > 0 : x (, N) S, f(x) < M. x Análogmente se definen los límites lím f(x) (con vlores +,, ), lím x (con vlor ), f(x) (con vlor ). lím x Límites lterles f(x) x + Sen f : S R R y R un punto tles que ε > 0, (, + δ) S (primer cso de l siguiente definición) y ( δ, ) S (segundo cso). Definición Se dice que l es el límite de f(x) en por l derech si: lím f(x) = l, si ε > 0, δ > 0 : x (, + δ) S, f(x) l < ε. x + Análogmente, por l izquierd: lím f(x) = l, si ε > 0, δ > 0 : x ( δ, ) S, f(x) l < ε. x Proposición Siempre que los siguientes límites tengn sentido, se tiene: lím f(x) = l lím x x x f(x) = lím f(x) = l Continuidd. Discontinuiddes Continuidd Definición Se f : S R R. Se dice que f es continu en S, si pr todo ε > 0, existe δ > 0 tl que si x ( δ, + δ) S, entonces f(x) f() < ε.
31 FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 29 Podemos observr que si S, l condición nterior es equivlente lím f(x) = f(). x Por otro ldo, si es un punto isldo de S, f será continu en, pues por ser punto isldo, podemos encontrr un δ > 0 tl que ( δ, + δ) S = {}, por lo que f(x) f() = 0 < ε, x ( δ, + δ) S. En lo sucesivo considerremos que no es un punto isldo de S. Definición Se f : S R R y B S. Se dice que f es continu en B, si lo es en cd punto de B. Teorem Sen f : S 1 R R, g : S 2 R R y S = S 1 S 2. Si f y g son continus en S, tmbién lo son f + g y f g. Teorem Se g : S R R, S. Si g() 0 y g es continu en, entonces 1/g es continu en. Corolrio Sen ls funciones f : S 1 R R, g : S 2 R R y S = S 1 S 2,. Si f y g son continus en x = S, y g() 0, entonces f/g es continu en. Teorem Sen ls funciones f : S 1 R R, g : S 2 R R con f(s 1 ) S 2, y se S 1. Si f es continu en y g lo es en f(), entonces g f es continu en Discontinuiddes Sen f : S R R y S. Definición Se dice que f tiene un discontinuidd en si f no es continu en. Clsificmos ls discontinuiddes del siguiente modo: 1.- Discontinuidd evitble, si existe lím f(x) y es finito, pero lím f(x) f(), o x x bien, existe lím f(x) y es finito, pero / S. x
32 30 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2.- Discontinuidd de slto infinito, si lím x f(x) = Discontinuidd de slto, si existen lím f(x) y lím f(x), pero no coinciden. x x + Si lím f(x) = f() se dice que f es continu por l izquierd de. x Si lím f(x) = f(), que f es continu por l derech de. x Discontinuidd esencil si no existe lguno de los límites lterles Propieddes de ls funciones continus Definición Se f : S R R, y se S. Se llm supremo de f (sup f), l supremo de f(s), si existe. S Se llm ínfimo de f (ínf f), l ínfimo de f(s), si existe. S Se dice que f() es el máximo (resp. mínimo) bsoluto de f en S si f(x) f() (resp. f(x) f()) pr todo x S. Teorem (de Bolzno). Se f : [, b] R un función continu en [, b] con f() f(b) < 0. Entonces existe un c (, b) tl que f(c) = 0. Corolrio (Propiedd de Drboux). Se f : [, b] R continu en [, b]. Pr todo número α con ínf f α sup f, existe un c [, b] tl que f(c) = α. [,b] [,b] Teorem (de Acotción). Si f : [, b] R es un función continu en [, b], entonces f está cotd en [, b]. Teorem (de Weierstrss). Si f : [, b] R es un función continu en [, b], entonces l función lcnz su máximo y su mínimo.
33 FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 31 Ejercicios y Problems 1.- Encontrr el dominio de ls funciones: ) f(x) = 1 + x2 1 x 2, b) f(x) = 1 x, c) f(x) = log ( x 2 4 ), d) f(x) = 4 e) f(x) = sen ( 2x 1 ) f) f(x) = sen(2x 1), g) f(x) = log ( ) x 1 x x 2 x Sen, b, x > 0, 1, b 1 e y R, demostrr: ) log b x = (log b )(log x) b) log b (x y ) = y log b x. 3.- Sen, b, x > 0, 1 y b 1, demostrr: ) log b = 1 log b b) 1 + log b = log x, si b 1, x 1. log b x 4.- Demostrr: ) sen(π/4) = cos(π/4) = 2/2 b) sen(π/3) = 3/2; cos(π/3) = 1/ ) Demostrr que sen(x + π) = sen x, cos(x + π) = cos x, x R. 1 cos x 1 + cos x b) Demostrr que sen(x/2) =, cos(x/2) = 2 2 ( ) ( ) x + y x y c) Demostrr que sen x + sen y = 2 sen cos, ( ) ( 2 ) 2 x + y x y cos x cos y = 2 sen sen 2 2 x R 6.- Bsándose en ls gráfics de ls funciones trigonométrics elementles, construir l gráfic de ls siguientes funciones en el intervlo [ 2π, 2π]: y = sen(x/2), y = 2 cos(3x), y = 1 + tn(π + x), y = 2 3 sen(1 + 2x) 7.- Sen f, g : R R ls funciones f(x) = 1 x 1 + x ; g(x) = x2 + 5x. Definir f g y g f, y encontrr f 1 (x), g 1 (x) donde existn.
34 32 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 8.- Dds ls funciones: f(x) = 2x 2 1 2x si x < 1 x, g(x) = x log(1 x) si x < 0 x si 1 x 1, h(x) = 2x x si x 0 1 si x > 1 ) Obtener el dominio de cd un de ells. b) Clculr g(x) + h(x) y f(x) g(x). 9.- Clculr los siguientes límites: ) lím x + x 2 10x + x, b) lím x x 2 x 2 4 x 3 3x + 2 x 2, c) lím 3x + 2 x 1 x 4 4x + 3, 1 1 x x 1 d) lím x 0 x 2, e) lím, f) lím ( (x + )(x + b) x), x 0 1 x 1 x + g) lím x ( ) 3x 2 ( ) 2 2x + 1 x + 1 x, h) lím, i) lím 2x 3 x 0 3x + 1 x ( x 2 ) x 2 ( ) x x + 1 x 2, j) lím. 3 x 2x Hllr ls constntes y b pr que se cumpl: ( x 2 ) + 1 ) lím x + x + 1 x b = 0, b) lím ( x 2 x + 1 x b) = 0. x Estudir l continuidd de ls siguientes funciones: x + 1, si x 1, 1 ) f(x) = ; b) f(x) = 3 x 2, si x > 1 x 1 ; c) f(x) = x2 4 x 2 ; 0, si x 0; x, si 0 < x < 1; sen x d) f(x) = ; i) f(x) = x 2 + 4x 2, si 1 x < 3; x 3 2x 2, f(0) = 0; + x 4 x, si x 3.
35 FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Sen f, g : R R; definir f g y g f, y estudir l continuidd de f, g, f g, g f en los csos: ) f(x) = 1 x, g(x) = x 2 + 5x 1, si x Q; b) f(x) = x, g(x) = 1, si x R \ Q 1, si x > 0; c) f(x) = 0, si x 0 x 1 2, si 0 x 1; g(x) = 3, en otro cso rc tg 1 x + α si x < Dd l función f(x) = x 1 x + 1 si 0 x 1 log ( 1 + cos 2 (βx) ) si x > 1 ) Hllr α y β pr que l función f se continu x R b) Encontrr un intervlo [, b] en el que se pued plicr el teorem de Bolzno f(x) Probr que ls siguientes ecuciones tienen, l menos, un ríz rel: ) x2 x = 1, b) x = sen x + 1, c) e x = 2 + x, d) 2 x = x.
36 34 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08)
37 Cpítulo 3 Derivds. Polinomio de Tylor 3.1. Derivd de un función Definición Se f : S R R, S S. Se dice que f es derivble en x = f(x) f() si existe y es finito el límite lím. Al vlor de este límite se le llm derivd x x de f en x = y se denot por f (). Es decir, f f(x) f() f( + h) f() () = lím = lím. x x h 0 h Se S 1 = {x S : f es derivble en x}. Se llm función derivd o derivd primer de f, denotd por f l función f : S 1 R que sign cd x S 1 l derivd de f en x. Análogmente, si S 2 = {x S 1 : f es derivble en x}, entonces l función dd por f : S 2 R : x f (x) con f (x) = (f ) (x) se le llm derivd segund de f. Así sucesivmente, si f (n) (x) es l derivd de orden n de f en un punto x, entonces f (n+1) (x) = ( f (n)) (x). Si existe f (n) (x) en un punto x, diremos que f es n veces derivble en x. Por coherenci de notción, denotremos f (0) = f. Definición Se l función f : S R R, y S tl que (, +δ) S, δ > 0. Se llm derivd por l derech de l límite: f +() f(x) f() f( + h) f() = lím = lím. x + x h 0 + h 35
38 36 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) como: Análogmente si (, + δ) S, δ > 0, se define l derivd por l izquierd de f () f(x) f() = lím = lím x x h 0 + f( + h) f(). h Si existe f (), entonces existen f () y f +() y se verific f () = f () = f +(). Teorem Si f : S R R es derivble en S S, entonces f es continu en tl punto. El recíproco no es cierto Álgebr de derivds Teorem Sen f, g : S R R, S S y f, g derivbles en. Entonces: ) f + g es derivble en y (f + g) () = f () + g (). b) f g es derivble en y (f g) () = f ()g() + f()g (). c) Si g() 0, f/g es derivble en y (f/g) () = f ()g() f()g () (g()) Derivd de l función compuest y de l función invers Teorem (Regl de l cden). Sen f : S 1 R R y g : S 2 R R, con f(s 1 ) S 2 y se S 1 S 1, de modo que f es derivble en y g es derivble en f(). Entonces g f es derivble en y se verific (g f) () = g (f())f ().
39 DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR 37 Teorem Se f : [, b] R estrictmente monóton, continu en [, b] y derivble en c (, b), con f (c) 0. Entonces f 1 es derivble en f(c) y es (f 1 ) (f(c)) = 1 f (c). Apoyándonos en el álgebr de derivds y en estos dos últimos teorems, podemos obtener l derivd de tods ls funciones elementles Funciones con derivd no nul Teorem Sen f : S R R, S S, y f derivble en. ) Si f () > 0, δ > 0 : x ( δ, ) es f(x) < f() y x (, + δ) es f(x) > f(). b) Si f () < 0, δ > 0 : x ( δ, ) es f(x) > f() y x (, + δ) es f(x) < f(). Nots f(x) f() 1.- El resultdo es válido tmbién si lím = + (resp. ). x x 2.- El teorem no implic que f se monóton en un entorno de, como lo prueb l x 2 sen(1/x) + x/2 x 0 función f(x) = 0 x = 0. Corolrio (Teorem de Fermt). Se f : S R R y S con f derivble en x =. Entonces, si f tiene un extremo reltivo en x = debe ser f () = 0. Como consecuenci se tiene que los posibles extremos reltivos de f : S R R están en S \ S, en {x S : f no es derivble en x} o en {x S : f (x) = 0} Teorems de Rolle y del vlor medio Teorem (de Rolle). Si f : [, b] R es continu en [, b], derivble en (, b) y f() = f(b), entonces existe un c (, b) tl que f (c) = 0.
40 38 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorem (del vlor medio generlizdo de Cuchy). Sen f, g : [, b] R continus en [, b] y derivbles en (, b). Entonces existe un c (, b) tl que f (c)(g(b) g()) = g (c)(f(b) f()). Teorem (del vlor medio de Lgrnge). Si f : [, b] R es continu en [, b], y derivble en (, b), entonces existe un c (, b) tl que f(b) f() b = f (c). Corolrio Se f : [, b] R es continu en [, b] y derivble en (, b). 1.- Si f (x) = 0 pr todo x (, b), entonces f es constnte. 2.- Si f (x) > 0 pr todo x (, b), entonces f es estrictmente creciente en [, b]. 3.- Si f (x) < 0 pr todo x (, b), entonces f es estrictmente decreciente en [, b]. 4.- Si f (x) M pr todo x (, b), entonces f(b) f() M(b ) Regl de L Hôpitl Teorem (Primer regl de L Hôpitl). Sen f, g : (, b) R derivbles tles que lím f(x) = x + f (x) lím x + g = l, entonces, (x) lím lím g(x) = 0 y g(x) 0, x (, + δ) pr lgún δ > 0. Si existe x + f(x) x + g(x) = l. Nots f (x) 1.- El teorem tmbién es válido cundo lím x + g (x) se obtienen pr x b = (± ). Resultdos nálogos 2.- Si el límite se tomse en un punto c (, b), relizrímos el mismo proceso, primero en (, c) y luego en (c, b).
41 DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR 39 Teorem (Segund regl de L Hôpitl). Sen f, g : (m, + ) R funciones derivbles tles que lím f(x) = x + f (x) existe lím x + g = l, entonces, (x) lím lím g(x) = 0 y g(x) 0 x > K pr lgún K m. Si x + x + f(x) g(x) = l. Not El teorem tmbién es válido si se tomn límites cundo x tiende o si el límite es igul, + ó. L regl de L Hôpitl es muy útil pr el cálculo de límites. No obstnte en clse se drán decudos ejemplos pr verificr que, unque f y g sen derivbles, l existenci f(x) f (x) de lím no implic l existenci de lím x g(x) x g (x) Polinomios de Tylor Definición Se f : S R R n veces derivble en S. Se llm polinomio de Tylor de orden n socido f en l polinomio: n f (i) () P n (x) = (x ) i. i! i=0 Teorem En ls condiciones y notciones de l definición nterior, tenemos: 1) Ls derivds de orden k (0 k n) de P n en coinciden con ls de f, y demás, P n es el único polinomio de grdo menor o igul que n que lo cumple. 2) Si f es un polinomio de grdo n, entonces P n = f pr todo R. Teorem (de Tylor). Se f : S R R, S, y se f n veces derivble en. Se P n el polinomio de Tylor de orden n socido f en, y se R n = f P n. Entonces lím x R n (x) (x ) n = Expresiones del término complementrio Teorem Se f : (b, c) R, n + 1 veces derivble en (b, c) y se (b, c). Ddo x (b, c), existen x 1, x 2 entre y x tles que:
42 40 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1) R n (x) = f (n+1) (x 1 ) (n + 1)! 2) R n (x) = f (n+1) (x 2 ) n! (x ) n+1 (expresión de Lgrnge). (x x 2 ) n (x ) (expresión de Cuchy) Aplicción l estudio de extremos reltivos Advertimos que hy libros que invierten los conceptos ddos continución de concvidd y convexidd. Definición Se f : [b, c] R derivble en (b, c) y (b, c). Consideremos l función g(x) = f() + f ()(x ), es decir, l rect tngente f en. Se dice que f es convex en si existe δ > 0 tl que x ( δ, + δ) (b, c), f(x) g(x). ( ) Se dice que f es cóncv en si existe δ > 0 tl que x ( δ, + δ) (b, c), f(x) g(x). ( ) Se dice que f tiene un punto de inflexión en si existe δ > 0 tl que f(x) g(x) si x está en ( δ, ) (b, c) o bien en (, + δ) (b, c), y f(x) g(x) si x está en el otro. Es decir, si f ps de cóncv convex o vicevers. Teorem Si f : [b, c] R es un función n veces derivble en (b, c) tl que f () = = f (n 1) () = 0, f (n) () 0 con n 2. Entonces: 1) Si n es pr, f es convex en si f (n) () > 0, y f es cóncv en si f (n) () < 0. 2) Si n es impr, f tiene un punto de inflexión en. Análogmente obtenemos un criterio pr máximos y mínimos reltivos. Corolrio Se f : [b, c] R n veces derivble en (b, c) tl que f () = f () = = f (n 1) () = 0, f (n) () 0 con n 2. Entonces:
43 DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR 41 1) Si n es pr, f tiene un mínimo reltivo en si f (n) () > 0, y f tiene un máximo reltivo en si f (n) () < 0. 2) Si n es impr, f tiene un punto de inflexión con tngenci horizontl en. Los polinomios de Tylor tmbién tienen un elevd plicción en el cálculo de límites, lo que se llevrá en l práctic l clse con profusión de ejemplos Desrrollo de funciones elementles En est sección nos limitmos obtener el desrrollo de Tylor de ls funciones elementles en el origen. Propondremos l lumno, entre otros, l verificción de los siguientes desrrollos: log(1 + x) = x x2 2 + x3 xn + ( 1)(n+1) 3 n + R n(x), x ( 1, 1]. e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + R n(x), x R. sen x = x x3 3! + x5 x2n+1 + ( 1)n 5! (2n + 1)! + R n(x), x R. cos x = 1 x2 2! + x4 x2n + ( 1)n 4! (2n)! + R n(x), x R. rctn x = x x3 3 + x5 x2n+1 + ( 1)n 5 2n R n(x), x ( 1, 1].
44 42 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problems 1.- Estudi l continuidd y derivbilidd de ls funciones: ) f(x) = x, f(0) = 0; b) f(x) = x ; c) f(x) = x x ; 1 + e 1 x x 2, si x 1; x, si x < 0; d) f(x) = 2x, si 1 < x < 3; e) f(x) = log(1 + x), si x 0. x 2 + 3, si x Clculr y b pr que bx x 1 f(x) = e x < 1 se continu y derivble en R 3.- Probr que ls siguientes ecuciones tienen, l menos, un ríz rel, Es únic?: ) x2 x = 1, b) x = sen x + 1, c) e x = 2 + x, d) 2 x = x. 4.- Estudi si se plic el teorem de Rolle ls funciones: ) f(x) = x sen x en [ π 2, π 2 ] b) f(x) = 4x2 + 4 x + 1 en [0, 1] c) f(x) = 3 x 2 en [ 1, 1]. x + bx + 1 x < Hll, b, c R pr que l función: f(x) = c hipótesis del x x 1 verifique ls Teorem de Rolle en el intervlo [0, 2] y obtener el vlor intermedio correspondiente. x 3 + 2x + 2 si x < Se f : R R l función: f(x) = x 2 3x + 2 si x 0 ) Estudir si se puede plicr el Teorem de Rolle l función f(x) nterior en un intervlo [, b] que conteng 0. Aplíquese en cso firmtivo. b) Demostrr que f(x) = 0 tiene exctmente dos ríces en [ 1, 1]
45 DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR Se l función f(x) = x3 + bx x 2. Hllr, b, c R. sbiendo que ls rects + c x = 2, y = 3x + 2 son síntots de l curv y = f(x). Clculr ls restntes síntots, si ls hubiese. 8.- Estudir el crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de ls funciones: ) f(x) = x 6 x 4, b) f(x) = xe x, c) f(x) = x log x, d) f(x) = x 2, e) f(x) = log(1 + x 3 ), f) f(x) = x Hll pr que l función f(x) = x 2 + teng un mínimo reltivo en x = 2, y x demuestr que no puede tener un máximo reltivo pr ningún vlor de Se f(x) = log x = c. x x 2, (c > 0). Hllr c pr que f teng un máximo reltivo en + c 11.- Clcul los siguientes límites, estudindo previmente si se puede plicr l regl de L Hôpitl: x + sen x lím x + x + cos x lím x π 2 e tn x 1 e tn x + 1 log(1 + x) lím x 0 x lím x 0 x 2 sen 1 x log(1 + x) lím ( 1 cot x) x 0 x sen 1 x lím x 0 + log x lím x 0 1 (rctn x) log x 1 + sen x e x lím x 0 sen 2 (πx) lím x + 1 cos x lím x 0 x 3 e sen x 1 lím x 0 x 1 ( (log x) 1 log x lím x π sen 2 x ) tn 2 x 2 lím x 1 lím x 0 3 x 1 4 x 1 ( ) 1 rctn x x 2. x 12.- Se f : R R l función f(x) = e 1 x 2, x 0, f(0) = 0 ) Estudir l continuidd y derivbilidd. b) Determinr los intervlos de crecimiento y decrecimiento L gráfic de l función f(x) = x 3 +x 2 +bx+c tiene en (1, 1) un punto de tngente horizontl que no es extremo reltivo, hllr, b y c.
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