Cálculo elástico y cálculo plástico de vigas de acero solicitadas a flexión.

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1 Cálculo elástico y cálculo plástico e vigas e acero solicitaas a flexión. pellios, nombre rianna Guariola Víllora (aguario@mes.upv.es) Departamento Centro ecánica el eio Continuo y Teoría e Estructuras Escuela Técnica Superior e rquitectura e Valencia

2 1 Resumen e las ieas clave En este ocumento se muestra el proceso e imensionao e una viga e acero solicitaa a flexión, consierano un comportamiento e la sección, primero elástico y luego plástico para comparar los resultaos obtenios en ambos casos. Seguiamente se realia el análisis global e la misma viga meiante el métoo plástico con el objeto e mostrar icho proceso y comparar los resultaos obtenios con el análisis global en régimen elástico. Por último se hace referencia a la clasificación e las clases e secciones transversales e acero establecia en el Documento ásico, Seguria Estructural, cero el Cóigo Técnico e la Eificación, e ahora en aelante D-SE- el CTE, irectamente relacionaa con la utiliación e uno u otro métoo e análisis global e la estructura y cálculo e la resistencia e las secciones. Introucción El imensionao e las secciones e acero se ha llevao a cabo traicionalmente en régimen elástico, e moo que, una ve obtenios los esfueros que solicitan a caa barra, se calculaba la máxima tensión que ichos esfueros generaban sobre la sección más solicitaa y se comparaban con la tensión máxima amisible. Si las máximas tensiones en la sección más solicitaa e la barra no superaban las tensiones amisibles, el imensionao se aba por válio. En caso contrario, se reimensionaba el perfil (isminuían las tensiones en la sección) o se mejoraba la calia el acero (aumentaba la tensión máxima amisible) Este es el métoo recomenao por la Norma ásica e Eificación, Estructuras e cero, conocia como NE-E 95, norma e obligao cumplimiento hasta maro e 006, fecha en que se publica el Cóigo Técnico e la Eificación y se erogan las Normas ásicas e Eificación. Para poer comparar los resultaos obtenios con el métoo elástico y plástico e cálculo e secciones e acero y e nálisis Global e la Estructura, se consiera una viga empotraa apoyaa, e longitu L con carga uniformemente istribuia e valor q, tal y como inica la figura 1. Los iagramas e solicitaciones momentos flectores y esfueros cortantes- corresponientes a icho esquema e cargas, se obtienen con ayua e un prontuario, y se representan en la figura. q figura 1. Geometría y esquema e cargas L

3 V E, V E, figura. Diagramas e solicitaciones Esfueros cortantes V E, 3 q L 5 q L = ; VE, = E, omentos flectores E,C 9 q L = ; 1 E, q L = E,C Si se pretene imensionar la viga, es necesario conocer el valor e la carga que gravita sobre ella y la longitu e la misma, e moo que, conocio el máximo momento que la solicita, se busca un perfil e acero que sea capa e soportarlo. Otra forma e plantear el problema consiste en, conocio el perfil e acero y su longitu, obtener la máxima carga que amite la viga. Es lo que se conoce como peritación e una estructura construia. En los epígrafes siguientes se va calcular la máxima capacia e carga e la viga e la figura 1, suponieno que es un perfil e acero S 75 y metros e longitu, consierano en primer lugar un comportamiento elástico e la sección, a continuación un comportamiento plástico para finalmente realiar el análisis global e la estructura siguieno el métoo plástico. 3 Objetivos Una ve que el alumno finalice la lectura e este ocumento será capa e: Dimensionar una viga e acero consierano un comportamiento elástico e la sección. Dimensionar una viga e acero consierano un comportamiento plástico e la sección. Entener y aplicar el métoo plástico e análisis global e la estructura. Entener la necesia e clasificar las secciones transversales e acero en clases y su aplicación irecta en el cálculo e la estructura y el imensionao e las secciones.

4 4 Obtención e la máxima capacia e carga e la viga objeto e estuio para los istintos casos. Daa la viga e la figura 3, se va a calcular la máxima carga e agotamiento consierano un comportamiento elástico y un comportamiento plástico e la sección. q m figura Dimensionao e la sección en régimen elástico. Se obtiene la istribución e tensiones normales e la figura 4, obtenia para el IPE 300 a partir e la ley e Navier-ernoulli (ecuacion 1) En icha figura se puee observar que la tensión máxima (ecuación ) correspone a la fibra más alejaa (max) max E,y σ = (ecuación 1) I y max E,y σ max = max (ecuación ) Iy y F.N. Si se efine el móulo resistente elástico respecto al eje y como: W I y el,y = max figura 4 La ecuación será igual a: E,y σ max = (ecuación 3) Wel,y El valor el móulo resistente elástico e los istintos perfiles laminaos se encuentra en cualquier prontuario e perfiles e acero. Para el perfil el ejemplo, el, su valor es e mm 3 En el límite, cuano la tensión máxima en la fibra más alejaa es igual al límite elástico minorao el acero el perfil, tenremos la siguiente expresión (resultao e sustituir σmax por fy) f E,y y = (ecuación 4) Wel,y

5 Se efine el momento resistente elástico e un perfil, como aquel que genera una tensión máxima en la fibra más alejaa e la sección igual a fy. Se representa por R, el, y y su valor se obtiene espejano el momento solicitación en la ecuación 4. R,el,y = fy Wel,y para el perfil objeto e estuio, un e acero S 75, el omento resistente elástico respecto el eje y será igual a: 75 1,05 3 R,el,y = = N mm Es ecir, el máximo momento que aguanta el e acero S 75, en régimen elástico es e aproximaamente 145 kn m Consierano el iagrama e flectores e la figura 1, y tenieno en cuenta que la longitu e la viga son metros, el máximo momento en la viga se prouce en el empotramiento, y su valor es igual a: q L q E,y = = Igualano el máximo momento solicitación con el momento resistente elástico el perfil, se obtiene la máxima carga que es capa e soportar la viga consierano un comportamiento elástico e la sección. q = 145, kn m q = 1,5 kn / m Es ecir, la máxima carga que aguanta el e acero S 75 consierano un comportamiento elástico es e 1,5 kn/m lo que equivale a 1 kg/m. 4. Dimensionao e la sección en régimen plástico. La istribución e tensiones normales en régimen plástico supone que toas las fibras e la sección (no sólo la más alejaa) alcanan el limite elástico e cálculo, e moo que el iagrama e tensiones es birrectangular, tal y como muestra la figura 5 f y Se efine el momento resistente plástico e un perfil e acero como aquel que es capa e plastificar toas y caa una e las fibras e la sección. Su valor es igual a R,pl,y = fy Wpl,y y f y figura 5 Sieno Wpl,y el móulo resistente plástico e la sección. El móulo resistente plástico se calcula consierano que la sección solicitaa a flexión ha plastificao, estano una parte e la misma comprimia y otra traccionaa, e moo que para que la

6 sección esté en equilibrio, es necesario que la fuera resultante e la parte comprimia sea igual a la fuera resultante e la traccionaa, (véase figura 6) De moo que 1 fy = fy 1 = = / Dicho par e fueras, equilibra al momento e plastificación, por tanto 1 fy 1 + fy = R,pl o lo que es lo mismo f y (1 + ) = R,pl f y F.N. y f y figura 6 W = ( + ) por similitu Se efine el móulo resistente plástico al término pl 1 con el móulo resistente elástico efinio en el epígrafe 4.1 Los móulos resistentes plásticos e los perfiles laminaos se encuentran tabulaos en los prontuarios aaptaos al CTE o al Eurocóigo 3. Para el, el valor e Wpl, R es igual a mm 3, sieno el omento resistente plástico respecto al eje y el e acero S 75, igual a: 75 1,05 3 R,pl,y = 6 10 = N mm Lo que significa que el máximo momento que aguanta el e acero S 75, en régimen plástico es e aproximaamente 164 kn m Consierano el iagrama e flectores e la figura 1, y tenieno en cuenta que la longitu e la viga son metros, el máximo momento en la viga se prouce en el empotramiento, y su valor es igual a: q L q E,y = = Igualano el máximo momento solicitación con el momento resistente plástico el perfil, se obtiene la máxima carga que es capa e soportar la viga consierano un comportamiento plástico e la sección. q = 164,4 kn m q = 0,55 kn / m

7 Es ecir, la máxima carga que aguanta el e acero S 75 consierano un comportamiento plástico es e 0,55 kn/m, lo que equivale lo que equivale a 055 kg/m, unos 170 kg/m más que en el caso anterior. 4.3 nálisis e la estructura en régimen plástico. En el epígrafe anterior se ha obtenio el valor e la carga uniformemente repartia que plastifica la sección el empotramiento, es ecir, que genera en el empotramiento (nuo ) un momento solicitación igual al momento resistente plástico el. En la figura 7 se representa icho esquema e carga y los iagramas e momentos flectores e la viga. 0,55 kn/m m 164,4 kn m omentos flectores q L E, = ; 0,55 = = 164,4 kn m = E, R,pl,y C 9,47 kn m 9 q L E,C = ; 1 9 0,55 E,C = = 9,47 kn m 1 figura 7 En la figura anterior se observa que en la sección el momento solicitación es igual a 164,4 kn m (momento resistente plástico) y en la sección C, es igual a 9,47 kn m. Cuano se realia un análisis global e la estructura en régimen plástico, se supone que las secciones que han plastificao se comportan 1 como rótulas, e moo que la viga e la figura 7, sometia a una carga uniformemente repartia e 0,55 kn/m se moelia como biarticulaa, tal y como se muestra en la figura, q m figura 1 Dicha sección ebería ser clase 1 para que poer consierar que realmente tiene la capacia e giro necesaria para suponer que es una rótula. Véase el punto 5

8 Esta viga biarticulaa es capa e soportar nuevas cargas, aumentano el momento en el centro e vano y permanecieno constante y con valor igual a pl,y,r el momento en la sección. Para obtener la cantia e carga aicional que puee aguantar hay que tener en cuenta que la sección más solicitaa a flexión positiva es la C, con un momento solicitación igual 9,47 kn m e moo que el máximo momento que porá solicitar a icha sección, consecuencia el incremento e carga, será igual al momento resistente el perfil menos el momento que ya lo está solicitano. Es ecir, E,max,amisible = R,pl,y 9,47 kn m = 71,93 kn m Con el valor el máximo momento amisible calculao, se obtiene el incremento e carga que resiste la viga moeliaa como biapoyaa, sieno el iagrama e flectores corresponiente el e la figura 9 q figura 9 m sieno E,max q L = E,max Para el caso que nos ocupa, q E,max =, valor el momento que ebemos igualar con el máximo amisible para obtener el incremento e carga amisible por el IPE moeliao como una viga biapoyaa. q E,max,amisible = 71,93 kn m = q =,99 kn / m De moo que si se añaen,99 kn/m a los 0,55 kn/m e la figura 7 se prouce la plastificación e la sección el centro e vano e la viga, convirtiénola en un mecanismo (figura 10) 9,54 kn/m m figura 10 Por tanto, la carga e agotamiento e la viga e la figura 3 obtenia con un análisis plástico e la estructura es e 0,55 +,99 = 9,54 kn/m

9 4.4 Conclusiones Los valores obtenios para la carga e agotamiento e la viga objeto el problema (figura 3) en función el tipo e análisis global e la estructura y tipo e cálculo e la sección, se muestran en la tabla 1. En ella se puee observar que los métoos plásticos e imensionao e la sección y análisis e la estructura permiten consierar una capacia e carga mayor. Carga e agotamiento q e la viga e la figura consierano un régimen elástico o plástico para la sección y para la estructura q m nálisis global e la estructura en régimen elástico en régimen plástico Cálculo e la sección en régimen elástico Cálculo e la sección en régimen plástico 1,5 kn/m No tiene sentio,55 kn/m 9,54 kn/m tabla 1 El análisis global e la estructura meiante el métoo elástico, es el que se realia habitualmente en las estructuras e eificación. Correspone a la obtención e solicitaciones con ayua e un prontuario, con el métoo matricial, con el e cross o con la mayoría e los programas e cálculo e estructuras. El análisis global e la estructura meiante el métoo plástico, sólo es posible realiarlo en estructuras hiperestáticas, y consiste en ir planteano sucesivos análisis elásticos tras la formación e caa rótulas hasta que la estructura se convierte en isostática. La generación e una rótula más aría lugar a un mecanismo y por tanto al colapso e la estructura. 5 Información complementaria: Clases e secciones En los epígrafes 4.1 y 4. se ha imensionao la viga e la figura 3 suponieno un comportamiento elástico o plástico e la sección sin comprobar previamente que era posible alcanar el límite elástico en la fibra más alejaa (epígrafe 4.1) o que era posible plastificar la sección (epígrafe 4.) Se entiene en ambos casos que es un análisis e primer oren, es ecir,que se plantean las ecuaciones e equilibrio en la geometría no eformaa.

10 Del mismo moo se ha realiao un análisis global e la estructura con el métoo plástico (epígrafe 4.3) sin comprobar previamente que la sección el empotramiento poía comportarse como una rótula. Consierano la capacia e eformación y e esarrollo e la resistencia plástica e los elementos planos comprimios e una sección, el artículo 5..4 el D SE cero el CTE clasifica las secciones transversales en cuatro clases: Clase 1: Plástica: Permiten la formación e la rótula plástica con la capacia e rotación suficiente para la reistribución e momentos. Clase : Compacta: Permiten el esarrollo el momento plástico con una capacia e rotación limitaa. Clase 3: Semicompacta o Elástica: En la fibra más comprimia se puee alcanar el límite elástico el acero pero la abollaura impie el esarrollo el momento plástico. Clase 4: Esbelta. Los elementos total o parcialmente comprimios e las secciones esbeltas se abollan entes e alcanar el límite elástico en la fibra más comprimia. Sieno necesario emplear uno e los métoos e cálculo efinios en la tabla siguiente para la verificación e la seguria estructural tenieno en cuenta la clase e las secciones transversales. Clase e sección étoo para la eterminación e las solicitaciones ÉTODOS DE CÁLCULO étoo para la eterminación e la resistencia e las secciones Clase 1 Plástico o Elástico Plástico o Elástico Clase Elástico Plástico o Elástico Clase 3 Elástico Elástico Clase 4 Elástico con posible reucción e rigie Elástico con resistencia reucia De moo que, habría que haber verificao que la sección 3 e acero S 75 solicitao a flexión era al menos clase 3, para cálculo e la sección en régimen elástico (epígrafe 4.1) era clase 1 ó para el cálculo e la sección en régimen plástico (epígrafe 4.) y que era clase 1 para el nálisis plástico e la estructura (epígrafe 4.3) 6 ibliografía [1] Normativa ásica e la Eificación NE E-95. Consejo Superior e los Colegios e rquitectos e España. [] INISTERIO e la VIVIEND: Documento ásico Seguria Estructural, cero, Cóigo Técnico e Eificación Disponible en: 3 EL e acero S 75 solicitao a flexión es clase 1, e moo que toos los cálculos realiaos son correctos.

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