TEMA 3: TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA OMBINATORIA.

Transcripción

1 TEMA : TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA OMBINATORIA.. Itroducció Itroducció histórica Defiició de factorial.... Técicas de recueto Pricipio del producto Pricipio de adició o regla de la suma:..... Diagrama de árbol..... Variacioes Variacioes simples u ordiarias. (Muestra ordeada si repetició) Variacioes co repetició. (Muestra ordeada co repetició) Permutacioes Permutacioes simples u ordiarias. (Muestra ordeada si repetició) Permutacioes co repetició. (Muestra ordeada co repetició) Combiacioes Combiacioes simples u ordiarias. (Muestra si orde y si repetició) Los úmeros combiatorios: Pautas para la resolució de problemas....

2 . Itroducció... Itroducció histórica. El aálisis combiatorio o combiatoria estudia las diferetes formas e que podemos ordear o agrupar uos elemetos dados siguiedo uas determiadas reglas establecidas. Nos proporcioa algoritmos para averiguar la catidad de agrupacioes que, bajo determiadas codicioes, se puede formar co los elemetos de u cojuto. Eiste diversos métodos para obteer el úmero de ordeacioes, pero para determiados problemas tedremos algoritmos que os permite de forma sistemática obteer el úmero de diferetes agrupacioes, que bajo determiadas codicioes se puede formar co los elemetos de u cojuto. La ciecia que estudia las reglas de recueto o coteo se deomia combiatoria. Segú las características de los grupos y la aturaleza de los elemetos, os podemos ecotrar co variacioes, combiacioes y permutacioes. El surgir de los coceptos pricipales y el desarrollo del aálisis combiatorio trascurría paralelamete al desarrollo de otras partes de las matemáticas, tales como el álgebra, la teoría de úmeros y la teoría de las probabilidades co las que el aálisis combiatorio está estrechamete relacioado... Defiició de factorial A lo largo del tema usaremos ua ueva operació, deomiada factorial de u úmero atural y que se deota como!. Esta operació se defie de la siguiete forma Para :! (-) (-) (-)! (ejemplo 6!6 5 7) Para :! Podrás ecotrar esta operació e toda calculadora cietífica (busca el símbolo!)

3 . Técicas de recueto... Pricipio del producto. Si ua operació se puede hacer de maeras diferetes y si e cada caso, ua seguda operació se puede hacer de m maeras diferetes, etoces hay m maeras de realizar las dos operacioes de forma cojuta. Geeralizado, si u eveto puede realizarse de maeras distitas, y si, cotiuado el procedimieto, u segudo eveto puede realizarse de maeras distitas, y si después de efectuados, u tercer eveto puede realizarse de maeras distitas, y así sucesivamete, etoces el úmero de maeras e que los evetos puede realizarse e el orde idicado es el producto Ejemplo: buscamos el úmero de matriculas co dos letras y úmeros: Separamos el problema e tres, º elegir la primera letra, 6 (hay 6 letras e el abecedario), º elegir la seguda letra, 6, º elegir el umero de cifras, (hay úmeros desde hasta 9999). Como la elecció de la ª letra y del umero o depede de las eleccioes ateriores podemos aplicar la regla del producto, y por tato hay N matriculas diferetes. Problema: Ua persoa que desea comer e u restaurate tiee para elegir primeros, segudos y 5 postres diferetes. Cuátos meús diferetes puedes elegir?. Solució: podemos aplicar la regla del producto ya que la elecció de cada plata o está codicioada a la elecció del plato aterior. primer plato segudo plato Nº meús diferetes 6 postre5.. Pricipio de adició o regla de la suma: Si dos operacioes so mutuamete ecluyetes (es decir, si sólo ua de ellas puede ocurrir) si la primera se puede hacer de maeras diferetes y la seguda operació se puede hacer de maeras diferetes, etoces hay maeras de realizar la primera o la seguda operació. (E los problemas de coteo, la palabra o se traduce e suma).

4 Ejemplo: Cuatas matriculas diferetes hay que empiece por AA o BB: Teemos que las matriculas puede empezar por AA o BB, que so ecluyetes es decir o hay igua que empiece por AA y a la vez por BB, así que podemos aplicar el método de la suma: º matriculas por AA, º matriculas comieza por BB. Luego la solució es que hay N matriculas que empiece por AA o BB... Diagrama de árbol. Mediate el diagrama de árbol esquematizamos las diferetes posibilidades que se preseta e u problema. Co el diagrama de árbol se aúa los dos ateriores pricipios, pues si de cada ramas sale tedremos u total de hojas (pricipio del producto) y si so ramas disjutas, ecluyetes, tedremos que sumar el úmero de hojas de cada rama (pricipio de suma). Para que quede más claro veamos u ejemplo: teemos u meú co primeros platos, co segudos platos y postres. Otra opció es tomar cocido de º y de º. Cuátos meús distitos hay? Primero Segudo Postre No cocido cocido Por los pricipios de la suma y del producto: N

5 . Variacioes. La característica fudametal de cada agrupació es que sí importa el orde, y o se utiliza todos los elemetos e cada agrupació... Variacioes simples u ordiarias. (Muestra ordeada si repetició) Defiició: Se llama variació simple de elemetos tomados de e ( < ) a los distitos subcojutos o grupos formados por elemetos de forma que: Los elemetos que forma el grupo so distitos (o se repite elemetos). Dos grupos so distitos si se diferecia e algú elemeto o e el orde e que está colocados (ifluye el orde). (Aquí o se utiliza todos los elemetos) Problema tipo: Etraemos sucesivamete si reposició bolas de ua ura que cotiee bolas distitas,, Ν, <. Cotaremos el úmero de -uplas ordeadas distitas: (,,..., ) dode j {,,...,} j,,..., i j si i j. Solució: El úmero de resultados posibles es: V V, (-) (-)... (-)! ( )! V V, #{Variacioes de elemetos cogidos de e } Demostració: (por regla del producto). Si elegimos u primer elemeto, lo que podemos hacer de formas. Quitamos el elemeto elegido y escogemos otro de etre los - que queda. Esto podrá hacerse de - formas. Quitamos tambié este elemeto y os quedamos co -, de etre los que elegimos el tercero. Esto lo podremos hacer de - formas. Segú la regla del producto, las maeras de escoger 5

6 elemetos de etre u total de segú u determiado orde, será igual al producto de (- ) (-)... (-). Para llegar a ua versió simplificada se opera así:. ( ). ( )..... ( - )( - ( ) ( - )( - -)... ()()() -)... ()()()! ( )! V, Ejemplo: Cuátas baderas diferetes, de tres frajas horizotales de igual acho y de colores distitos, puede cofeccioarse a partir de siete colores diferetes? 7! Como importa el orde y o puede repetirse los colores, la solució es: V 7,!.. Variacioes co repetició. (Muestra ordeada co repetició) Defiició: Se llama variacioes co repetició de elemetos cogidos de e ( puede ser mayor que ) a las diferetes agrupacioes de esos elemetos de forma que: Los elemetos que forma los grupos puede estar repetidos (puede haber repetició). Dos grupos so distitos si se diferecia e algú elemeto o e el orde e que está colocados (ifluye el orde). Problema tipo: Teemos bolas y sacamos sucesivamete de ellas y las devolvemos a la ura después de cada etracció. Se trata de cotar el úmero de -tuplas ordeadas distitas: (,,..., ) dode j {,,...,} j,,..., Solució: El úmero de resultados posibles es: VR VR,... VR VR, # {Variacioes co repetició de elemetos cogidos de e } 6

7 Demostració: Teemos que elegir veces etre elemetos (se puede repetir los elemetos elegidos), por la regla del producto el resultado resulta de multiplicar veces. Ejemplo: Cuátos úmeros de tres cifras puede formarse a partir de los dígitos y? Como importa el orde, y puede repetirse las cifras, la solució es VR, 8. Permutacioes. Es u caso particular de las variacioes, es decir, importa el orde y o hay repeticioes, pero ahora e cada agrupació cogemos todos los elemetos del cojuto... Permutacioes simples u ordiarias. (Muestra ordeada si repetició) Defiició: Se llama permutacioes de elemetos (tomados de e ) a las diferetes agrupacioes de esos elemetos de forma que: E cada grupo iterviee los elemetos si repetirse iguo (si repetició) Dos grupos so diferetes si el orde de colocació de alguo de esos elemetos es distito (ifluye el orde). Problema tipo: Etraemos sucesivamete si reposició las bolas distitas que cotiee ua ura, ( Ν). Cotaremos el úmero de -tuplas ordeadas distitas: (,,..., ) dode j {,,...,} j,,..., i j si i j. Solució: P!! V,!, ya que teemos: P! ( )!! P # {permutacioes de elemetos}. Ejemplo: Ua madre tiee hijos de cuátas maeras distitas, ombrádolos uo por uo, puede llamarlos a cear?. Como importa el orde, y ombramos a todos ua sola vez, la solució es: P! 6 7

8 .. Permutacioes co repetició. (Muestra ordeada co repetició) Defiició: Se llama permutacioes co repetició de de e elemetos etre los que hay iguales etre sí, iguales etre sí,..., iguales etre sí de maera que..., a las diferetes agrupacioes de elemetos de forma que: E cada agrupació iterviee todos los elemetos (por tato hay elemetos repetidos). Dos grupos so diferetes si el orde de colocació de alguo de esos elemetos es distito (ifluye el orde). Problema tipo: Sea A u cojuto compuesto de elemetos, y sea,,..., eteros tales que... queremos cotar el úmero particioes ordeadas que hay distitas de A de la forma (A, A,..., A ) dode A i costa de i elemetos i,,...,. Solució: Eiste PR,,...,!!!! particioes ordeadas PR,,..., #{permutacioes co repetició de elemetos etre los que hay iguales etre sí, iguales etre sí,..., iguales etre sí de maera que... } Ejemplo: Teemos libros de química, de física y 5 de matemáticas. De cuatas maeras se puede ordear los libros por materias e ua estatería? Teemos materias, y, y 5 libros de cada materia, por tato eeiste PR,,5!!!5! ! 77 formas diferetes de ordearlos por materias. 5! 8

9 5. Combiacioes. La característica fudametal de cada agrupació es que o importa el orde. 5.. Combiacioes simples u ordiarias. (Muestra si orde y si repetició). Defiició: Se llama combiacioes de elemetos tomados de e ( ) a todas las clases posibles que puede hacerse co los elemetos de forma que: Cada agrupació está formada por elemetos distitos etre sí (o hay repetició). Dos agrupacioes distitas se diferecia al meos e u elemeto, si teer e cueta el orde. Problema tipo: Etraemos bolas sucesivamete si reposició de ua ura que cotiee bolas distitas (, Ν, ). No os importa e que orde aparece (formas de hacer ua etracció úica de bolas). Solució: El úmero de subcojutos de co cardial es! C,!( )! C, # {combiacioes de elemetos tomados de e } Ejemplo: Cuatas combiacioes de 6 aciertos eiste e la lotería primitiva? 9 9! C 6, !(9 6)! 5.. Los úmeros combiatorios: Defiició:! se llama úmero combiatorio, y se lee, sobre.!( )! 9

10 Observació: E geeral, calcular por la fórmula aterior implica calcular varios factoriales, lo que hace que o sea muy útil e la práctica. U método alterativo de cálculo viee dado por las siguietes propiedades: ) ) ) Triágulo de Tartaglia o de Pascal: Es simétrico, los eteriores vale, y cada uo de los iteriores es suma de los dos superiores. Fórmula del biomio de Newto: i y y y y y y... ) ( Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) (

11 6. Pautas para la resolució de problemas. Importa el ode? si o variacioes o permutacioes combiacioes iterviee todos los elemeto? C, si o permutacioes variacioes Se repite elemetos? se repite elemetos? si o si o Permutacioes co repetició permutacioes simples variacioes co repetició variacioes simples P,..., P VR, V,

12 Ejercicios fiales (vitutor.com). De cuátas formas distitas puede setarse ocho persoas e ua fila de butacas?. De cuátas formas puede mezclarse los siete colores del arco iris tomádolos de tres e tres?. Cuátos úmeros de 5 cifras diferetes se puede formar co los dígitos:,,,, 5.?. E ua clase de 5 alumos se quiere elegir u comité formado por tres alumos. Cuátos comités diferetes se puede formar? 5. Cuátos úmeros de tres cifras se puede formar co los dígitos:,,,,, 5? 6. De cuátas formas distitas puede setarse ocho persoas alrededor de ua mesa redoda? 7. Cuátas quiielas de ua columa ha de rellearse para asegurarse el acierto de los 5 resultados? 8. Cuátas apuestas de Lotería Primitiva de ua columa ha de rellearse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 9? 9. E ua bodega hay cico tipos diferetes de botellas. De cuátas formas se puede elegir cuatro botellas?. Co las cifras, y, cuátos úmeros de cico cifras puede formarse? Cuátos so pares?. Co el (puto, raya) del sistema Morse, cuátas señales distitas se puede eviar, usado como máimo cuatro pulsacioes?. Cuátas diagoales tiee u petágoo y cuátos triágulos se puede formar co sus vértices?. U grupo, compuesto por cico hombres y siete mujeres, forma u comité de hombres y mujeres. De cuátas formas puede formarse, si: a. Puede perteecer a él cualquier hombre o mujer. b. Ua mujer determiada debe perteecer al comité. c. Dos hombres determiados o puede estar e el comité.. Co las cifras,,,,,,,, ; cuátos úmeros de ueve cifras se puede formar? 5. Co las letras de la palabra libro, cuátas ordeacioes distitas se puede hacer que empiece por vocal?

13 6. Cuátos úmeros de cico cifras distitas se puede formar co las cifras impares? Cuátos de ellos so mayores de 7.? 7. E el palo de señales de u barco se puede izar tres baderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuátas señales distitas puede idicarse co la colocació de las ueve baderas? 8. Co ueve alumos de ua clase se desea formar tres equipos de tres alumos cada uo. De cuátas maeras puede hacerse? 9. Ua mesa presidecial está formada por ocho persoas, de cuátas formas distitas se puede setar, si el presidete y el secretario siempre va jutos?. Se ordea e ua fila 5 bolas rojas, bolas blacas y bolas azules. Si las bolas de igual color o se distigue etre sí, de cuátas formas posibles puede ordearse?. De cuátas formas diferetes se puede cubrir los puestos de presidete, vicepresidete y tesorero de u club de fútbol sabiedo que hay posibles cadidatos?. Cuatro libros distitos de matemáticas, seis diferetes de física y dos diferetes de química se coloca e u estate. De cuátas formas distitas es posible ordearlos si: a. Los libros de cada asigatura debe estar todos jutos. b. Solamete los libros de matemáticas debe estar jutos.. Ua persoa tiee cico moedas de distitos valores. Cuátas sumas diferetes de diero puede formar co las cico moedas?. Halla el úmero de capicúas de ocho cifras. Cuátos capicúas hay de ueve cifras? 5. Calcular las siguietes potecias utilizado el Biomio de Newto: a. ( -) b. ( ) c. (-) 5