Apuntes de Combinatoria para la Olimpiada de Matemáticas. Pedro Sánchez.

Transcripción

1 Aputes de Combiatoria para la Olimpiada de Matemáticas Pedro Sáchez. 4 de marzo de 00

2 Ídice geeral. Coteo... Pricipios básicos de coteo Permutacioes k-permutacioes de objetos Permutacioes circulares, y co repetició Combiacioes Coeficietes biomiales. 0.. Idetidades básicas El Triágulo de Pascal y el Teorema del Biomio Dos pricipios importates Pricipio de las casillas A. Iducció Matemática. 8 A.. El método de Iducció Matemática A.. Problemas y Ejercicios B. Solucioes y sugerecias de ejercicios seleccioados. 3

3 Capítulo Coteo... Pricipios básicos de coteo. Hay dos pricipios básicos e combiatoria.. (Pricipio de la adició) Si se desea escoger u objeto que puede teer r tipos distitos, y para el primer tipo hay t opcioes, para el segudo tipo hay t opcioes, para el tercer tipo t 3 opcioes, y así sucesivamete hasta t r opcioes para el último tipo, etoces el objeto puede escogerse de t t t r maeras. Lo que el pricipio aterior dice, es que el total de opcioes es la suma del úmero de opcioes e cada tipo. Como ejemplo, supogamos que hay que escoger u libro de etre 3 materias: matemáticas, historia y biología. Hay 6 libros de matemáticas, 9 de historia y 4 de biología. Etoces teemos opcioes.. (Pricipio de la multiplicació) Si ua tarea se ha de realizar e etapas, y si la primera etapa tiee k maeras de realizarse, la seguda tiee k maeras, y así sucesivamete hasta k maeras de realizar la última, etoces el úmero de formas de realizar la tarea es k k k. Si ua persoa ha de escoger cómo vestirse, teiedo 4 camisas, 6 pataloes, 5 pares de calceties y pares de zapatos, etoces tiee formas de vestirse, ya que para cada elecció de la camisa (4 opcioes) tiee 6 opcioes para el pataló, lo que da opcioes para camisa y pataló. Para cada ua de esas 4 tiee 5 pares de calceties, totalizado 0 formas, y para

4 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 3 cada ua de esas tiee dos opcioes para los zapatos, de modo que se duplica el total y al fial tiee 40 formas de vestirse. El pricipio de la multiplicació puede visualizarse mediate u diagrama de árbol camisa pataló camisa pataló calcetí zapato total pataló 3 calcetí camisa 3 pataló 4 calcetí 3 zapato camisa pataló 5 calcetí 4 pataló 6 calcetí 5 Veamos alguas ejercicios que usa estos pricipios. Ejemplo. Cuátos úmeros de 5 cifras está formados úicamete de cuatros y doses (ejemplos: 444; 44)? Nos está pidiedo úmeros de cico cifras, es decir, os pide llear co doses y cuatros las cico rayitas. E la primera rayita podemos poer u dos o u cuatro ( opcioes), e la seguda podemos poer u dos o u cuatro ( opcioes), lo mismo e la tercera, cuarta y quita rayita. El pricipio de la multiplicació dice que el total es 5 3. Así, la respuesta es que hay 3 de los úmeros pedidos. f Ejemplo. Cuátos úmeros de 5 cifras o tiee cicos i treses? Como e el ejercicio aterior, teemos que llear cico espacios. E el primer espacio, de los 0 dígitos, o podemos usar el 3 i el 5, pero tampoco podemos poer u cero ya que si poemos cero, el úmero tedría meos de 5 cifras. Etoces teemos 7 opcioes para el primer espacio. E las restates 4 posicioes podemos poer cualquier dígito excepto el 3 y el 5, es decir, ocho opcioes e cada caso. El pricipio de la multiplicació os da u total de f Ejemplo. Si hay que escoger u úmero que tega todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares excepto cicos y sietes, de cuátas formas puede hacerse? Hay dos tipos de úmeros que queremos cotar: los que tiee dígitos pares y los que tiee dígitos impares. El pricipio de la adició dice que el total lo obteemos sumado el total de Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

5 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 4 cada caso. Cuado todos so pares, hay cuatro posicioes. E la primera posició teemos que poer u úmero par que o sea 4 i 8, pero tampoco cero (porque de lo cotrario, el úmero ya o tedría 4 cifras). Etoces teemos dos opcioes (, 6). Para las demás posicioes teemos 3 opcioes siempre (, 6, 0). El total es Cuato todos so impares, como o podemos poer cicos i sietes, teemos 3 opcioes para cada espacio:, 3, 9. E total hay úmeros de esta forma. Etoces, el total pedido (usado el pricipio de la suma) es f Ejemplo. Cuátos úmeros de 6 cifras hay que o tiee sus dígitos repetidos? Teemos 6 espacios a llear. E el primero, teemos 9 opcioes, porque o podemos poer al cero. E la seguda posició tambié teemos 9 opcioes, porque auque ya o podemos usar el úmero que escogimos ates, ahora sí podemos usar el cero. Para la tercera posició teemos 8 opcioes (de los diez dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posició hay 7 opcioes, para la quita 6 y para la última 5. E total hay úmeros de seis cifras si dígitos repetidos. f Auque los pricipios básicos de coteo puede usarse e la gra mayoría de los casos, usualmete hay fórmulas (basadas e esos pricipios) que os permite hacer los cálculos de maera más rápida. E la siguietes seccioes estudiaremos las pricipales... Permutacioes. E varios de los ejemplos ateriores usamos el pricipio de la multiplicació e ua situació muy especial: e cada posició, siempre teíamos las mismas opcioes (como e el ejercicio de la secció aterior que se pedía formar úmeros que sólo teía cuatros y doses). Si hay que llear posicioes y cada posició tiee k opcioes, el total de arreglos es k k k k k {z } : veces Es importate otar que la fórmula aterior es válida úicamete cuado e todas las posicioes siempre teemos la misma catidad de opcioes. Ejemplo. Se escribe las letras a, b, c, d, e, f e papelitos distitos y luego se revuelve los seis papelitos e ua bolsa. Se desea formar palabras de cuatro letras co esas letras. Se extrae u papelito, se aputa la letra, y se regresa a la bolsa, repitiedo este proceso 4 veces. Cuátas palabras se puede formar? Las palabras so arreglos de cuatro letras, cada letra puede ser de seis tipos distitos. Etoces el total de palabras es palabras. f Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

6 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 5 Otra situació especial que aparece co frecuecia, es que cada vez que hacemos ua elecció, o podemos volver a escoger esa opció (como e el ejercicio que había que formar úmeros cuyos dígitos o se repitiera). Imagiemos primero que se tiee objetos y os pregutamos de cuátas maeras podemos ordearlos e fila. Como ejemplo cocreto, cosideremos las 5 vocales a, e, i, o, u y os pregutamos de cuátas maeras podemos ordearlas. Posibles arreglos sería aeiou, ueoia, aioue. So 5 posicioes y 5 objetos. La primera posició tiee 5 opcioes, la seguda 4 (porque ya o podemos usar la misma letra), la tercera 3, la cuarta y la última. Etoces e total hay arreglos. Hacemos otar que lo importate aquí es que o podemos repetir lo que escogemos. Podemos ver que si e vez de 5 tuviésemos objetos que ordear, el total habría sido ( )( ) 3. Si es u etero positivo, al úmero ( )( ) 3 se cooce como factorial y se represeta como!. Notemos que la defiició aterior dice que es u etero positivo. Ua de las propiedades que cumple el factorial es que! ( )! Esa propiedad os dice ua maera de exteder la defiició para icluir al cero, ya que etoces 0! sería!. Regresado a uestro problema, podemos euciarlo co esta ueva otació como sigue:.3 Hay! maeras de ordear objetos cualquiera. Ejemplo. Si se tiee 7 libros, el úmero de formas de ordearlos e u librero (uo juto a otro) es 7! f Ejemplo. Si se baraja u paquete completo de 5 cartas. De cuátas formas puede quedar ordeadas? El úmero de arreglos de las 5 cartas es 5! f... k-permutacioes de objetos. El alfabeto tiee 7 letras. Cuátas palabras de 5 letras se puede formar e las que igua letra se repita? El pricipio de la multiplicació os dice que podemos llear los 5 espacios de formas. Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

7 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 6 Si e vez de 5 hubíesemos pedido palabras de 0 letras, el úmero habría sido , y si e lugar de 0 pidiéramos arreglos de k letras, el total sería (7 k )(7 k ) (puedes sustituir varios valores de k para comprobar). Porqué fucioa esa fórmula? E todas las etapas las opcioes viee del mismo cojuto, pero como cada vez que hacemos ua elecció ya o podemos volver a usar esa letra, las opcioes va dismiuyedo de ua e ua, y como hay k posicioes, teemos k factores cosecutivos. Tampoco teía ada de especial el 7. La situació geeral es como sigue: se tiee u cojuto co objetos (e el ejemplo aterior fue u cojuto de 7 letras), de los cuales se escoge k elemetos (e el ejemplo fuero 5) para formar arreglos (palabras), de cuátas formas se puede hacer? La primera posició tiee opcioes, la seguda, la tercera, y así sucesivamete hasta llear las k posicioes. El total de arreglos es etoces ( )( ) ( {z k )( k ) } k factores U arreglo formado por k elemetos que se escoge de u cojuto co elemetos se llama ua k-permutació (de objetos) o simplemete permutacioes de e k. El úmero de las mismas se calcula co el producto de arriba. El producto aterior se parece a u factorial. Si lo completamos y dividimos etre los factores que hiciero falta obteemos la fórmula que buscamos..4 (Permutacioes de e k) Si de u cojuto de elemetos se escoge k para formar arreglos, etoces elúmero de tales arreglos se represeta como h i y k k! ( k)! : Este úmero tambié se represeta como P k o P (; k). Así, la solució de las palabras de cico letras la pudimos haber calculado como P (7; ) 7! (7 5)! 7!! : Ejemplo. Si e u cocurso de matemáticas participa 50 persoas, de cuátas maeras puede quedar repartidos el primer, segudo y tercer lugar? Para los premiados se escoge 3 de las 50 persoas, y como el orde importa, la respuesta es h i 50 50! 3 (50 3)! 50! : 47! f Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

8 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 7. Cuátos úmeros de 3 cifras tiee todas sus cifras impares y al meos ua de ellas está repetida?... Permutacioes circulares, y co repetició..3. Combiacioes. Para termiar esta secció, cosideramos el siguiete tipo de problemas: Dada ua colecció de objetos, de cuátas maeras se puede escoger k de ellos?. Veamos u ejemplo cocreto. El cojuto a cosiderar será A fa; e; i; o; ug y os pregutamos de cuátas maeras podemos escoger tres vocales. U primer iteto diría: Como hay que formar arreglos de 3 letras a partir de u cojuto que tiee 5 elemetos, hay P (5; 3) 60 arreglos. Si embargo, el razoamieto aterior es icorrecto. Para ver el porqué, imagiemos que las letras escogidas so a, i, u. Estas forma los arreglos aiu, aui, iua, iau, uia, uai. Etoces, seis diferetes arreglos represeta la misma elecció. El problema es que aquí o se os pide el úmero de arreglos, sio simplemete el úmero de formas de escoger las letras. Es decir, o importa el orde. Nuestro problema es, que si cotamos arreglos, estamos cotado 6 veces el úmero que queremos. Esto es así, porque cada vez que escogemos tres letras, hay 3! 6 formas de revolverlas etre sí (ver Teorema.3). Si por cada grupo de 3 letras hay 6 arreglos, etoces el úmero que buscamos es u sexto del úmero de arreglos. Etoces la respuesta que buscamos es Qué habría pasado si e vez de grupos de tres hubiéramos formado grupos de cuatro? o de dos? Y si e vez de u cojuto de 5 elemetos hubiésemos comezado co uo de 0 o de 0? Para ecotrar la fórmula, supogamos que comezamos co u cojuto de elemetos y queremos cotar de cuátas formas se puede hacer u grupo de k de sus elemetos. Al igual que e el razoamieto aterior, comezamos cotado el úmero de arreglos de tamaño k. El Teorema.4 os dice que este úmero es! P (; k) ( k)!: Pero al igual que e ejemplo, este o es el úmero que buscamos, ya que varios arreglos puede represetar el mismo grupo. Pero ya sabemos que k objetos se puede revolver de k! maeras etre sí (Teorema.3). Etoces el úmero de grupos es k! veces el úmero de arreglos. De este modo, el úmero de formas Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

9 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 8 de escoger k elemetos a partir de u cojuto co elemetos (si importar orde) es P (; k) k!! ( k)! k!! k!( k)! : U subcojuto de k elemetos de u cojuto co se llama a veces ua combiació, por lo que al úmero calculado se le llama combiacioes de e k (o e k por brevedad). Tambié se le da le ombre de coeficiete biomial por razoes que aprederemos más adelate. Se represeta de varias maeras, alguas de las cuales so C(; k); C ; k ;, etre otras. Resumimos uestro trabajo e el siguiete teorema. k k; k.5 (Combiacioes de e k) El úmero de subcojutos co k elemetos de u cojuto co elemetos es! k k!( k)! Las combiacioes juega u papel cetral e la combiatoria, por lo que dedicaremos todo el capítulo siguiete al estudio de sus propiedades. Por ahora úicamete os iteresa su aplicació al coteo (cálculos uméricos). Ejemplo. El poker se juega co 3 cartas, cada ua de las cuales tiee u úmero que puede ser 7; 8; 9; 0; J; Q; K; A y u símbolo (o palo ) que puede ser ~; ; };. De este modo, (0; ~) represeta el diez de corazoes. U jugador recibe cico cartas.. Si de las cico cartas, hay 3 de u mismo úmero y dos de otro, de cuátas maeras se puede hacer?. Si el jugador recibe cuatro cartas del mismo úmero (por tato la última de distito), cuátos casos posibles hay? 3. De cuátas formas puede recibir sus cico cartas de modo que las cico sea del mismo palo? 4. De cuátas maeras puede recibir sus cartas de. Primero, usamos el pricipio de la multiplicació para ver que hay 56 formas de escoger qué úmero se va a repetir 3 veces y cual se va a repetir dos (porque e total hay 8 umeros). Ahora, para cada ua de esas eleccioes, hay que escoger tres cartas de las cuatro que tiee el primer úmero. Esto puede hacerse de C(4; 3) formas. Para formar las dos La última se debe a que C(; k) es u caso particular de combiacioes co repetició o coeficietes multiomiales (co dos tipos de objetos). Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

10 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 9 restates, escogemos dos de las cuatro que tiee el segudo úmero, lo cual puede hacerse de C(4; ) formas. El total de formas es : 3. Hay 8 formas de escoger el úmero que se repite cuatro veces (que es lo mismo que hacer C(8; )). La carta restate ecesariamete es de u úmero distito, porque sólo hay cuatro de cada úmero, así que la podemos escoger de cualquiera de las 8 restates (e total so 3 cartas), por lo que el úmero de casos posibles es El palo tiee cuatro opcioes (que es lo mismo que C(4; )). De las 8 cartas de cada palo, hay que escoger 5. Etoces el total es f Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

11 Capítulo Coeficietes biomiales. E el capítulo aterior, vimos que C(; k) represeta el úmero de subcojutos de k elemetos que tiee u cojuto co elemetos. Además, vimos que se puede calcular mediate la fórmula! k k!( k)! : A lo largo de este capítulo veremos ua gra variedad de otras propiedades, pero el efoque será distito al aterior. Para poder desarrollar las habilidades de demostració e combiatoria, uestras pruebas o se basará e el cálculo explícito co la fórmula, sio e el hecho de que so el úmero de k-subcojutos de u cojuto co elemetos. Así, auque podemos demostrar las propiedades desarrollado la fórmula co factoriales, de este modo las combiacioes uca será más que herramietas de coteo para osotros, mietras que el uso de su defiició como úmero de subcojutos os permite adquirir uevas habilidades que os será extremadamete útiles al mometo de efretaros a la resolució de problemas... Idetidades básicas. Al usar las combiacioes e el capítulo aterior, había uos casos especiales (cuado los subcojutos so de u elemeto, cuado se escoge todo el cojuto), que tal vez otaste. A cotiuació los euciamos para poder usarlos libremete. 0

12 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas). Si k represeta el úmero de subcojutos co k elemetos que tiee u cojuto de elemetos, etoces para cualquier : (a) (b) k 0 k,.. Dado que sólo hay ua maera de escoger todos los elemetos, y sólo ua maera de o escoger iguo, teemos que C(; ) C(; 0). Por otro lado, si u cojuto tiee elemetos y queremos escoger uo, teemos opcioes. Así C(; ). Para demostrar la seguda, otamos que cada vez que escogemos k elemetos para formar el subcojuto, estamos determiado a los k que o va a estar e el subcojuto. Y viceversa, escoger k que o esté e el subcojuto automáticamete determia a los k que sí está. Si para cada elecció de uos hay ua elecció correspodiete de los otros, el total e ambos casos es el mismo (igual úmero de formas de escoger los k que sí va a estar y los k que o va a estar. Esto es, k k La demostració dada es u ejemplo de cómo se evita la aplicació mecáica de la fórmula, usado u argumeto basado e la defiició. El siguiete resultado ya o es ta simple y a la vez es muy iteresate, se cooce como Idetidad de Pascal.. (Idetidad de Pascal) Si ; k so eteros mayores a, etoces k Hagamos u aálisis previo. Supogamos que S fa ; a ; a 3 ; : : : ; a g es el cojuto que tiee elemetos, co los que queremos formar subcojutos co k elemetos. Fijémoos e u elemeto cualqueira, digamos a. De todos los cojutos que queremos formar, alguos cotedrá a a y otros o, si embargo k Total de subcojutos co k elemetos (subcojutos co k elemetos que cotiee a a ) (subcojutos co k elemetos que o cotiee a a ): El total es, por defiició C(; k). Ahora queremos cotar cuátos de ellos cotiee a a. Si uo de tales cojutos tiee a a, hay que llear k posicioes k : f Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

13 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) co cualquiera de los otros. E otras palabras, como ya sabemos que a es u elemeto, hay que escoger k de los restates, lo que se puede hacer de C( ; k ) formas. Para formar u cojuto que o cotiee a a, hay que escoger k elemetos de los que so distitos a a. Esto lo podemos hacer de C( ; k) formas. Etoces, por las observacioes de arriba, cocluimos que C(; k) C( ; k ) C( ; k). f Sabemos cotar cuátos subcojutos de tamaño k tiee u cojuto de elemetos, pero cuátos subcojutos tiee e total? Hay u cojuto co 0 elemetos (el vacío), hay co u sólo elemeto, hay C(; ) que tiee dos elemetos, etc. E otras palabras, queremos calcular la suma 0 Como hemos estado haciedo, aalizaremos primero u caso particular como ejemplo. Imagiemos que teemos el cojuto S fp; q; r; s; tg. Como tiee 5 elemetos, queremos calcular C(5; 0) C(5; ) C(5; ) C(5; 3) C(5; 4) C(5; 5). La idea que usaremos será represetar los subcojutos co sucesioes de uos y ceros del siguiete modo: cosideramos cico espacios, y escogemos u subcojuto; si u elemeto aparece e el cojuto escribimos u e su posició, y de lo cotrario poemos u 0. Ejemplo: Si el subcojuto escogido fuera fq; s; tg, escribiríamos 00 porque sólo el tercer, el cuarto y el quito elemetos está el subcojuto. Si el subcojuto fuera fp; qg la sucesió sería 000, y al subcojuto vacío le toca Tambié es claro que si escogemos cualquier sucesió de logitud cico hecha de uos y ceros, represeta algú subcojuto. Por ejemplo la sucesió 00 es el subcojuto fp; r; tg y la sucesió 0000 es el subcojuto ftg. Así, cada sucesió es u cojuto y cada subcojuto es ua sucesió. Etoces cotar subcojutos es lo mismo que cotar sucesioes. Pero el pricipio de la multiplicació os dice que hay 5 de tales sucesioes. Por tato, hay 3 subcojutos. No había ada de especial e que el subcojuto tuviera cico elemetos. Si tuviese elemetos, usaríamos sucesioes de logitud. El argumeto es completamete aálogo. De ueva cueta resumimos uestro aálisis e u teorema..3 U cojuto co elemetos tiee subcojutos diferetes:!!!! 3 : : Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

14 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 3.. El Triágulo de Pascal y el Teorema del Biomio. Acomodemos e ua tabla los valores de k co los valores de por filas y los de k por columas: La Idetidad de Pascal os dice que todo elemeto del triágulo es igual a los dos que se ecuetra directamete sobre ella. Esto quiere decir que si costruimos u arreglo triagular de úmeros (comezado co e la primera fila) de modo que toda etrada sea la suma de las dos que está ecima de ella, los úmeros que aparece so precisamete los coeficietes biomiales. El arreglo que se forma se cooce como Triágulo de Pascal El Triágulo de Pascal ecierra muchas relacioes uméricas, por ejemplo, la suma de todos los úmeros e la -ésima fila es equivalete al Teorema (.3). Fijémoos ahora e la suma de las diagoales. E la siguiete figura, cosideramos las diagoales cuarta (e verde), quita (e rojo) y sexta (e azul) cotado desde cero. Sus sumas so respectivamete 3 5, y Si el arreglo se hiciera e forma simétrica, las etradas que estaría directamete sobre ua dada so las que al poer el arreglo e forma de tabla so las que queda arriba y arriba a la izquierda. Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

15 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 4 Etoces teemos que la suma de los elemetos de la diagoal verde y la roja es igual a la suma de los elemetos de la diagoal azul. Esto sucede e geeral, si d r deota la suma de los elemetos e la r-ésima diagoal, etoces d r d r d r : Además, dado que d 0 y d. Los úmeros que se forma de esta maera se cooce como Números de Fiboacci. Decimos etoces que la suma de los úmeros e la r-ésima diagoal del Triágulo de Pascal es igual al r-ésimo úmero de Fiboacci. Posteriormete estudiaremos estos úmeros co mayor profudidad. Otra relació iteresate es la propiedad hexagoal Escojamos u úmero e el iterior, por ejemplo el 0 C(5; 3). Fijémoos e el hexágoo de úmeros que se forma a su alrededor co 6 C(4; ), 4 C(4; 3), 0 C(5; ), 5 C(5; 4), 0 C(6; 3), 5 C(6; 4). Si se multiplica vértices alterados de este hexágoo (vértices azules y vértices rojos) se obtiee e ambos casos la misma catidad: : Esta propiedad tambié es válida formado hexágoos de este tipo e cualquier parte del triágulo. Si embargo, quizás la relació más iteresate e el Triágulo de Pascal se relacioa co el Teorema del Biomio. Cosideremos el producto (a b) 5. Al desarrollarlo, co qué coeficiete aparece a 3 b? Aquellos que coozca el Teroema del Biomio dirá eseguida: El coeficiete es C(5; 3). Pero porqué sucede así? Uo podría decir: porque si desarrollamos (a b) 5 a 5 5ab 4 0a b 3 0a 3 b 5ab 4 b 5 vemos que el coeficiete es 0. Pero esa respuesta e realidad o está diciedo la razó e porqué el coeficiete se calcula precisamete como C(5; 3). Para aalizar la situació vamos a difereciar los factores: (a b) 5 (a b )(a b )(a 3 b 3 )(a 4 b 4 )(a 5 b 5 ): Dode las a i y las b j so iguales etre sí, pero que estamos cosiderado como diferetes por ahora. Si efectuamos el producto de la derecha vemos que los Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

16 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 5 térmios que cueta como a 3 b so: a a a 3 b 4 b 5 ; a a b 3 a 4 b 5 ; a a b 3 b 4 a 5 ; a b a 3 a 4 b 5 ; a b a 3 b 4 a 5 ; a b a 3 a 4 b 5 ; b a a 3 a 4 b 5 ; b a a 3 b 4 a 5 ; b a b 3 a 4 a 5 ; b b a 3 a 4 a 5 : E otras palabras, si efectuamos la multiplicació larga de los cico factores, los 0 térmios listados arriba so los que queda e la columa de a 3 b. Ua maera de cotar la lista cosiste e fijaros que siempre hay precisamete cico posicioes de las cuales dos so ocupadas por b s y tres por a s. Etoces, depediedo si os fijamos e las a s o e las b s obteemos que hay C(5; 3) o C(5; ) que e ambos casos es 0. Aalizado el proceso Ejercicios y problemas.. Iterprete combiatoriamete la siguiete afirmació: 3 ( ):. Demuestra la propiedad hexagoal del Triágulo de Pascal (ver secció.)..3 Demuestra que la suma de los elemetos e la r-ésima diagoal del Triágulo de Pascal es precisamete el r-ésimo úmero de Fiboacci..4 Demuestra que k r k r r k : Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

17 Capítulo 3 Dos pricipios importates. Hay dos pricipios e combiatoria que se aplica e ua gra variedad de situacioes, y e los que se basa muchos otros resultados. El primero es el Pricipio de las Casillas que es la pricipal herramieta para demostrar la existecia de u objeto, y el Pricipio de Iclusió-Exclusió que ayuda a eumerar los elemetos de u cojuto. A los largo del capiítulo los estudiaremos y aalizaremos varios problemas cuya solució depede de los mismos. 3.. Pricipio de las casillas. El Pricipio de las Casillas, es tambié coocido como Pricipio del Palomar se eucia como sigue: 3. (Pricipio de las casillas.) Si se dispoe de cajas, e las cuales se reparte objetos, etoces algua caja cotiee al meos dos objetos. Este pricipio puede parecer ta obvio a simple vista que parecería u poco extraño estudiarle e u capítulo aparte. Pero como veremos, ua gra variedad de problemas combiatorios puede atacarse co este pricipio, especialmete aquellos e los que se desea demostrar la existecia de algua situació. Veamos alguos ejemplos muy secillos. Ejemplo. E cualquier grupo de seis persoas, hay tres persoas que se cooce todas etre sí o tres persoas que o se cooce igua a la otra (asumiedo que si X cooce a Y etoces Y tambie cooce a X). cosideremos ua persoa de las seis, digamos A. Las restates cico persoas cae e dos E iglés: box priciple y pigeohole priciple. 6

18 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 7 clases: cooce a A o o cooce a A. Por priicpio de las casillas, ua de esas clases debe teer al meos tres persoas. Supogamos que hay al meos tres persoas que o cocoe a A. si algu par de ellas o se cooce, juto co A ya so 3 persoas que o se cooce etre sí, y e el caso restate las tres persoas se cocoe todas etre sí. U argumeto similar se ocupa del caso cuado las tres persoas cooce a A. f Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

19 Apédice A Iducció Matemática. Cosideremos por u mometo el poliomio p(x) x x 4. Sustituyedo x ; ; 3 : : : obteemos los valores x x x Observemos que todos los valores obteidos so úmeros primos. Será cierto que para cualquier etero x el valor que se obtiee es u úmero primo? Respoderemos esta preguta más adelate. A. (Yuc-98) Cosidera u triágulo rectágulo isósceles co catetos iguales a. Sobre la hipoteusa de éste se levata u segudo triágulo rectágulo de cateto igual a, como se muestra e la figura, sobre la hipoteusa de este uevo triágulo se levata u tercer triágulo rectágulo y así sucesivamete. Ecuetra la logitud de la hipoteusa del triágulo úmero 998. Usado el Teorema de Pitágoras obteemos que la primera hipoteusa vale p, la tercera vale p 3, la cuarta vale p 4. Si este patró cotiuara, obtedríamos que la hipoteusa del triágulo 998 sería p 999. Pero, podemos asegurar que este patró realmete cotiúa? 8

20 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 9 A.. El método de Iducció Matemática. E muchos problemas ecesitamos demostrar que ua propiedad que depede de u úmero etero se cumple para todos los eteros positivos. La técica caóica que usaremos para lograr este objetivo se deomia iducció matemática. E su forma simple, este método costa de dos etapas:. Se verifica que la propiedad se cumple para u valor iicial ( ).. Se demuestra que si la propiedad se cumple para algú etero k, etoces se cumple para el siguiete (k ). Ua vez verificados esos requisitos, podemos asegurar que la propiedad se cumple para ; ; 3; : : :. Veamos u ejemplo práctico ates de aalizar porqué fucioa el método. E el problema del triágulo, queremos comprobar la propiedad La hipoteusa del triágulo es p. Notemos que la propiedad depede de u y sólo u úmero etero, el valor de. Esto es u idicador de que el método de iducció matemática podría ser apropiado. La primera etapa pide mostrar que la propiedad se cumple para, es decir, que la hipoteusa del primer triágulo es p, lo cual es cierto e virtud del Teorema de Pitágoras. E la seguda etapa, imagiamos que ya sabemos que la propiedad se cumple para algú valor k (o sea, la hipoteusa del triágulo k es p k ). Queremos probar que la propiedad tambié se cumple para k (o sea, la hipoteusa del triágulo k es p k ). Para calcular la hipoteusa del triágulo k aplicamos el Teorema de Pitágoras. Uo de sus catetos es, y el otro es la hipoteusa del triágulo aterior, el cual estamos supoiedo que vale p k. Etoces hipoteusa q p ( k ) p p k k : Comprobamos que si la propiedad se cumple para u etero k, se cumple para k. Etoces la iducció matemática os garatiza que la propiedad siempre se cumple, y ya somos capaces de asegurar que la hipoteusa del triágulo 998 es p 999. Porqué fucioa el método? Este proceso puede compararse a ua escalera, dode la primera etapa os da el primer peldaño, y la seguda etapa costruye uevos peldaños a partir de Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

21 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 0 los ateriores. La primera etapa prueba que la propiedad se cumple para, dádoos u puto de partida. La seguda etapa dice que si sabemos que la propiedad se cumple para algú etero, se cumple para el siguiete. Pero la primera etapa os dice que la propiedad se cumple para! Etoces podemos asegurar que la propiedad se cumple para el siguiete etero, es decir,. Como la propiedad se cumple para, la seguda etapa os dice que se cumple para el siguiete, 3. Como ahora ya sabemos que se cumple para 3, la seguda etapa os dice que la propiedad se cumple para 4, y así sucesivamete. Esto basta para asegurar que la propiedad se cumple para ; ; 3; 4; : : :, ya que o importa qué úmero escojamos, e algú mometo la escalera alcaza ese úmero. Variates del método de iducció. El aálisis del método de iducció sugiere alguas variates. Por ejemplo, e la primera etapa, el valor iicial o ecesariamete tiee que ser. Si e la primera etapa probamos (por ejemplo) que la propiedad se cumple para 0, el método de Iducció os garatiza que la propiedad se cumple úicamete para 0; ; ; : : :, y si probásemos que la propiedad se cumple para 3, el método de Iducció os garatiza que la propiedad se cumple para 3; ; ; 0; ; ; : : :. Si embargo, e la mayoría de los problemas el paso iicial es 0 o. La seguda etapa tambié es susceptible de modificació. U ejemplo sería probar que si la propiedad se cumple para algú etero k, se cumple para k. E este caso, supoiedo que el valor iicial fuese, habríamos probado que la propiedad se cumple para ; 3; 5; 7 : : : (Cerciorarse de este hecho). Si embargo, las modificacioes a la seguda etapa so bastate raras, y co frecuecia puede evitarse escogiedo adecuadamete la variable de iducció. Importacia de las dos etapas. Si bie es cierto que la seguda etapa es la que demuestra que la propiedad se cumple, la primera tiee ua importacia fudametal. U error comú es dar por setada la primera parte del método y comprobar úicamete la seguda. Este es u error que se debe evitar, pues es ecesario teer u puto iicial para que la iducció pueda fucioar. Cosideremos el siguiete ejemplo. E el problema del triágulo, imagiemos que equivocadamete hubiéramos otado que la hipoteusa del triágulo era p. E la seguda etapa supoemos que la propiedad se cumple para u k e itetamos probar que tambié se cumple para k. Usado el Teorema de Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

22 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) Pitágoras: hipoteusa q p ( k ) p p k k: y cocluimos que la hipoteusa el triágulo es p e vez de p!!. El error provio de omitir la primera etapa, que es la que os provee de ua base verdadera para que la seguda etapa costruya ua escalera de verdades. Aalicemos ahora el problema del poliomio. Después de probar los primeros 0 úmeros obteemos siempre úmeros primos (esto equivaldría a realizar la primera etapa), si embargo, como os es difícil probar la seguda parte, os vemos tetados a decir después de hacer muchos casos, cocluimos que el poliomio siempre devuelve úmeros primos. Este es u error aú más grade que el aterior, pues p(4) (4 ) 4 43 y teemos que el poliomio o siempre geera úmeros primos. La moraleja es que si algú patró parece repetirse de maera costate, es bueo señalarlo, pero hasta o realizar ambos pasos de la iducció o podemos garatizar que la propiedad siempre se cumple (auque la comprobemos e muchos casos particulares). A.. Problemas y Ejercicios. A. Demostrar que la suma de los águlos de u polígoo de lados es ( )80. A.3 Demostrar las siguietes idetidades: ( ) ( ) ( )( ) 6 ( ) A.4 Verifica que ( ) : A.5 Todos los úmeros de la forma 007; 007; 007; 007; : : : so divisibles etre 53. A.6 Se tiee putos, y de todos los segmetos que los ue se colorea. Prueba que existe 3 putos tales que los 3 segmetos que los ue está pitados. Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

23 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) A.7 Se costruye la siguiete sucesió de úmeros: a a a a a si > : Demuestra que a p 5 p 5 p 5 : A.8 Si es u úmero real tal que es u úmero etero, prueba que siempre es u etero para cualquier potecia etera. A.9 Si a u tablero de se le quita ua casilla e algua esquia, el tablero resultate se puede cubrir co L-trimiós. Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

24 Apédice B Solucioes y sugerecias de ejercicios seleccioados.. Este problema es bastate complicado, ya que hay varios casos (ua repetida dos veces, ua letra que se repite tres veces). Ua de las técicas más comues e coteo es cotar el complemeto del cojuto que se os pide. E este caso, cotamos cuátos úmeros de 3 cifras impares que o se repite hay, y se lo restamos al total de úmeros de 3 cifras impares (al total le quitamos los que o os sirve y os da el úmero que queremos). Cuátos úmeros de 3 cifras impares hay? So 3 posicioes, e cada posició puede ir el ; 3; 5; 7; 9 por lo que e total hay 5 3 úmeros. Cuátos o tiee cifras repetidas? Este úmero es el úmero de arreglos (porque importa el orde, ya que 35 o es lo mismo que 53) de 3 úmeros escogidos de u cojuto co 5 elemetos (el cojuto f; 3; 5; 7; 9g). Por tato hay P (5; 3) 5! 60 (5 3)! úmeros si cifras repetidas. Para termiar, al total le restamos los casos que o os sirve, esto es úmeros de 3 cifras impares e los que algua se repite.. Dado u cojuto co elemetos, hay C(; ) formas de escoger elemetos, lo que es lo mismo a escoger los que o va a estar. Esto es, C(; ) C(; ). Ahora bie,. Debido a la aturaleza multiplicativa del problema, e este caso os coviee usar la fomula co factoriales. Si el hexágoo a cosiderar tiee cetro e C(; k), teemos que probar que k k k k k k pero al expadir co la fórmula obteemos que k k k ( )! (k )!(( ) (k ))!! (k )!( (k ))! ( )! k!( k)! 3

25 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 4 ( )!!( )! (k )!( k)!(k )!( k )!k!( k )! y además k k k ( )!! ( )! k!( k)! (k )!( (k ))! (k )!( (k ))! ( )!!( )! k!( k )!(k )!( k )!(k )!( k)! Al comparar umeradores y deomiadores, vemos que ambos productos so iguales..3 Tal y como se mecioó e el texto, lo que se ecesita probar es que d r d r d r dode d k represeta la suma de los elemetos e la k-ésima diagoal. Dado que d 0 d, si se prueba la relació aterior se habrá probado que los úmeros que aparece so los úmeros de Fiboacci. Supogamos que es par. Teemos que s y etoces s s s s d 0 s y además s por lo que s s d 0 s 3 s s : Aplicado la Idetidad de Pascal teemos que s s 0 s s s 3 s 3 3 s s s s. s s s 3 s s Por lo que d d s 0 0 s s s s 3 s s 3 Pedro Sáchez drii@plaetmath.org

26 Combiatoria (Olimpiada de Matemáticas) 5 Como era par, s es impar y de este modo s d 0 s que es precisamete la expresió ecotrada arriba puesto que : 0 0 A. Si 3 teemos el coocido teorema de que la suma de sus águlos es 80. Supogamos que se cumple para u polígoo de k lados. Si a u polígoo de k lados le quitamos el triágulo formado por dos lados cosecutivos y la diagoal que los ue, obteemos u polígoo de k lados cuya suma de águlos es (k )80. La suma de los águlos del polígoo de k es la suma de los águlos del triágulo recortado y el polígoo obteido, es decir, la suma S de los águlos es S (80 ) (k ) 80 ( k ) (k )80 : El método de iducció os permite cocluir que la fórmula es válida para 3. A.4. A.5 El primer úmero es 53 9, y la diferecia etre dos cosecutivos tambié es divisible etre 53. A.6 Prueba que el úmero máximo de vértices que se puede colorear si que aparezca triágulos coloreados es a lo más. Este documeto fue creado co L A T E X " y Vim. Última compilació:4 de marzo de 00, :38. f Pedro David Sáchez Salazar drii@plaetmath.org