FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA

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1 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios FCULTD DE INGENIERÍ U N M PROBBILIDD Y ETDÍTIC Iee Paticia Valdez y lfao ieev@sevido.uam.mx FUNDMENTO DE L TEORÍ DE L PROBBILIDD CONCEPTO PREVIO: REPO DE CONJUNTO 1

2 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios NOTCIONE DE CONJUNTO Y DIGRM DE VENN Cojuto uivesal: U Cojuto vacío: Ø ubcojuto: B Uió de cojutos: B Itesecció de cojutos: B Complemeto del cojuto especto de U: o bie: LGUN LEYE DE CONJUNTO Paa cualquie cojuto : Ø Paa u cojuto U, U si todos los elemetos de peteece a U B si y solo si B y B Paa cualquie cojuto : i B y B C, etoces: C 2

3 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios LGUN LEYE DE CONJUNTO Leyes de idetidad: Ø Ø Ø U U U Leyes de Moga: ( B) B ( B) B Leyes asociativas: ( B C) ( B) C ( B C) ( B) C Leyes distibutivas: ( B C) ( B) ( C) ( B C) ( B) ( C) PRODUCTO CRTEINO Dados dos cojutos y B, su poducto catesiao se defie como: X B { (x,y) x, y B } Ejemplo: { x x 3, x N } B { y y es ua vocal } X B { (1,a), (1,e), (1,i), (1,o), (1,u), (2,a), (2,e), (2,i), (2,o), (2,u), (3,a), (3,e), (3,i), (3,o), (3,u) } B X { (a,1), (a,2), (a,3), (e,1), (e,2), (e,3), (i,1), (i,2), (i,3), (o,1), (o,2), (o,3), (u,1), (u,2), (u,3), } 3

4 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios FUNDMENTO DE L TEORÍ DE L PROBBILIDD CONCEPTO PREVIO: TÉCNIC DE CONTEO PRINCIPIO FUNDMENTL DEL CONTEO 1/2 Paa u expeimeto que costa de k evetos sucesivos dode: el pime eveto puede esulta de m 1 maeas distitas, el segudo eveto puede esulta de m 2 maeas distitas... El k-ésimo k eveto puede esulta de m k maeas distitas. El úmeo total de esultados paa el expeimeto completo está dado po: m 1 m 2... m k 4

5 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios Ejemplo 1: PRINCIPIO FUNDMENTL DEL CONTEO 2/2 E u soteo cada paticipate debe elegi e ode cuato imágees de ete 25. Duate el soteo se descube ua po ua cuato imágees imágees (si epetició) y gaa quiees aciete a las cuato e el mismo ode e que salieo. cuátos posibles esultados puede tee el soteo? No. de esultados (25) (24) (23) (22) 303,600 Ejemplo 2: E u soteo cada paticipate debe elegi cuato úmeos del 1 al 25. Duate el soteo se seleccioa cuato úmeos co epetició y gaa quiees aciete a los cuato úmeos e el mismo ode e que salga. s cuátos posibles esultados puede tee el soteo? No. de esultados (25) (25) (25) (25) ,625 Nótese que e este caso, si es el úmeo total de elemetos difeetes dispoibles y es el úmeo de objetos que se seleccioaá co epetició, etoces el úmeo total de esultados posibles es:. PERMUTCIONE Pemutacioes simples: i se tiee u cojuto de objetos difeetes, las pemutacioes so subcojutos de objetos, e dode ua pemutació es distita de ota si difiee e al meos u elemeto o e el ode de estos. Codició: <. Paa escoge el 1e. elemeto hay fomas distitas. Paa escoge el 2do. elemeto hay (-1) fomas distitas. Paa escoge el 3e. elemeto hay (-2) fomas distitas.... Paa escoge el -ésimo. elemeto hay [ - ( -1 ) ] fomas distitas, o bie, (-+1). Po el picipio fudametal del coteo, el úmeo total de pemutacioes es: P(,) (-1) (-2)... (-+1) Que tambié se puede expesa de la foma: P(, ) P! ( )! 1/4 5

6 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios PERMUTCIONE 2/4 i e las pemutacioes etoces: P(,)! de cuátas maeas se puede acomoda ua euió de cico pesoas e ua fila de cico sillas? !120 Pemutacioes ciculaes: objetos puede distibuise e u cículo de (-1)( 1)(-2)...(3)(2)(1) fomas distitas PC ( 1)! de cuátas maeas se puede acomoda ua euió de cico pesoas e ua mesa edoda? (5-1)!4! 25 Nótese que la pimea pesoa puede colocase e cualquie luga, po lo que de las P(,) hay que desecha las que so iguales, po lo que PC! / (-1)! PERMUTCIONE Pemutacioes co epetició: i se tiee u cojuto de objetos difeetes, se foma cojutos de objetos, e dode se pemite la epetició y además se pemite: <, > ó Paa escoge el 1e. elemeto hay fomas distitas. Paa escoge el 2do. uevamete elemeto hay fomas distitas. Paa escoge el 3e. elemeto hay fomas distitas.... Paa escoge el -ésimo. elemeto hay fomas distitas, Po el picipio fudametal del coteo, el úmeo total de pemutacioes es: PR(,)... veces 3/4 lo que tambié se expesa de la foma: PR Nótese que e este caso, después de obseva cada esultado se devuelve d el elemeto al cojuto, y paa el siguiete esayo hay ota vez esultados posibles; po lo que se dice que se toma muestas co eemplazo. 6

7 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios PERMUTCIONE Pemutacioes co gupos de objetos iguales: i e u cojuto de tamaño,, existe m 1 objetos iguales m 2 objetos iguales... m k objetos iguales, dode m 1 +m m k El úmeo de pemutacioes de objetos es: Ejemplo: Pm 1, m2,.., m k m! m 1 2!!... cuátos códigos difeetes de siete letas puede fomase co tes letas X, dos letas Y y dos letas Z? 7 7! P3,2, !2!2! m k! 4/4 COMBINCIONE i se tiee u cojuto de objetos difeetes, las combiacioes so subcojutos de objetos, e dode ua combiació es distita de ota si difiee e al meos u elemeto, si impota el ode de éstos. Codició: <. El úmeo total de pemutacioes es: Peo como paa cada combiació hay! pemutacioes, se tiee que: Despejado: Que tambié se puede expesa de la foma: C(, ) C P (, ) P P C! C! ( )! P 1!!! ( )!!!( )! 7

8 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios Ejemplo 1: COMBINCIONE E u soteo cada paticipate debe elegi cuato úmeos distitos del 1 al 25. Duate el soteo se saca cuato úmeos si epetició y gaa quiees aciete a los cuato úmeos si impota el ode e que salga. cuátos posibles esultados puede tee el soteo? Puesto que o impota el ode e que sale los úmeos, se tata de combiacioes: C 4 25! 4!(25 4)! 25! 4!(21)! 12,650 Ejemplo 2: COMBINCIONE De cuátas maeas puede escogese u comité compuesto po 3 hombes y tes mujees, de u gupo de 7 hombes y 5 mujees 1. Los 3 hombes se puede elegi de 35 fomas distitas. 2. Las 3 mujees se puede elegi de 10 fomas distitas. 3. Po el picipio fudametal del coteo, el úmeo de comités distitos es de: C 3 C 3 7! 3!(7 3)! C C3 5! 3!(5 3)!

9 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios COMBINCIONE Combiacioes co epetició: i se tiee u cojuto de objetos difeetes, se foma cojutos de objetos, e dode se pemite la epetició, si impota el ode de los elemetos; aquí tambié, ua combiació es distita de ota si difiee e al meos u elemeto, y además se pemite: < y >. CR C + 1 ( + 1)! ( + 1)!! ([ + 1] )!! ( 1)! E ua ua se tiee seis esfeas difeetes Cuátas combiacioes oes de cuato esfeas, co epetició, se puede foma? CR ( )! 9! 4! (6 1)! 4!5! 6 4 o bie: 126 CR 9! 4!(9-4)! C4 C4 126 COMBINCIONE Combiacioes co epetició: i se tiee u cojuto de objetos difeetes, se foma cojutos de objetos, e dode se pemite la epetició, si impota el ode de los elemetos; aquí tambié, ua combiació es distita de ota si difiee e al meos u elemeto, y además se pemite: < y >. CR C + 1! ( + 1)! ([ + 1] )! ( + 1)!! ( 1)! E ua ua se tiee seis esfeas, dos ojas, 3 blacas y ua ega. Cuátas combiacioes de cuato esfeas, co epetició, se puede foma? CR 6 4 C + 1 ( + 1)! ( + 1)!! ([ + 1] )!! ( 1)! 9

10 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios Ejemplos: NÚMERO COMBINTORIO!!( )! Popiedades de los úmeos combiatoios 0 1; 1; 1; ; { { { { { TEOREM DEL BINOMIO Y EL TRIÁNGULO DE PCL Teoema del biomio: ( a + b) 0 a Popocioa los coeficietes de cada témio del desaollo del biomio; cada celda e él tiágulo coespode al úmeo combiatoio C(,) dode es el egló y es la pocisió del témio, paa 0, 1,...,. Ejemplo, paa 5: (x+y) 5 x 5 +5x 4 y 3 +10x 3 y 2-10x 2 y 3 +5xy 4 +y 5 b 10

11 Pepaado po Iee Paticia Valdez y lfao eptiembe 2006 Coceptos pevios DIGRM DE ÁRBOL Es ua técica gáfica paa ecota el úmeo de posibles esultados paa u expeimeto que costa de evetos sucesivos. Ejemplo: l laza ua moeda tes veces, los posibles esultados e seie se puede cota e este ábol. 11