ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ing. Carlos Alfredo LOPEZ Profesor Titular Ordinario. Avda. 60 esq. 124 Tel. /Fax (0221) /

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1 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Ing. Carlos Alfredo LOPEZ Profesor Titular Ordinario Avda. 60 esq. 124 Tel. /Fax (0221) /

2 CARRERA INGENIERÍA ELÉCTRICA ASIGNATURA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA DISEÑO CURRICULAR: 1995 ADECUACIÓN: 2004 ORDENANZA C.SUP. N : 1026 DEPARTAMENTO: Materias Básicas BLOQUE: Ciencias Básicas AREA: Matemática APROBACIÓN C A RES N : DE LA CURRICULA X ANUAL X NIVEL: I de la carrera ELECTICVA 1 er CUATRIMESTRE 2 do CUATRIMESTRE TOTAL DE HORAS: 160 (ciento sesenta) HORAS SEMANALES: 5 (cinco) OBSERVACIONES Los trabajos prácticos incluirán la resolución de problemas en computadoras, usando paquetes computacionales especiales. PROGRAMA SINTÉTICO Álgebra Vectores y Matrices. Operaciones básicas Álgebra de Matrices: matriz inversa, partición de matrices. Ejemplos motivadores: cadenas de Markov, modelos de crecimiento de poblaciones, planificación de producción u otros. Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos de solución. La noción de cuadrados mínimos en el estudio de sistemas lineales. La matriz pseudo inversa. Introducción motivada a los espacios vectoriales. Independencia lineal, bases y dimensión. Matrices y transformaciones lineales. Autovalores y auto vectores Diagonalización. Transformaciones de similaridad. Norma de vectores y matrices. Producto interno y ortogonalidad. Producto lineal Computación numérica y simbólica aplicada al álgebra. Geometría Rectas y planos Dilataciones, traslaciones, rotaciones Cónicas, cuadráticas. Ecuaciones de segundo grado en dos y tres variables. Curvas paramétricas. Coordenadas polares, cilíndricas, esféricas. Computación gráfica, numérica y simbólica. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA Conocer los contenidos del Álgebra Lineal Básica que es utilizada en las aplicaciones. Capacitar al alumno en el uso de paquetes computacionales especializados para realizar las operaciones algebraicas involucradas. Motivar al alumno para que utilice estos conocimientos, excluyendo toda presentación meramente axiomática. Conocer y aplicar los elementos fundamentales de la Geometría Analítica. Aplicar los recursos de la computación gráfica.

3 EQUIPO DOCENTE DIRECTOR DE CÁTEDRA: ING. CARLOS ALFREDO LÓPEZ Prof.: ING. CARLOS GONZALVO J.T.P: ING. DANIEL GULAYÍN ARTICULACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS ASIGNATURAS O CONOCIMIENTOS CON QUE SE VINCULA: CORRELATIVAS PARA CURSAR: CURSADAS: -- APROBADAS: -- CORRELATIVAS PARA RENDIR EXAMEN FINAL: APROBADAS: -- OBSERVACIONES: no se requiere de ninguna materia PROGRAMA ANALÍTICO BIBLIOGRAFÍA GENERAL

4 OBLIGATORIA: Algebra I y II. Armando Rojo. Editorial El Ateneo 1996 Algebra y Geometría Analítica. Héctor Di Caro. Reverté 1994 COMPLEMENTARIA: DESARROLLO

5 UNIDAD TEMÁTICA N 1: NÚMEROS COMPLEJOS La representación cartesiana en el espacio bidimensional. Par ordenado. Definición de número complejo. La unidad imaginaria. Sus potencias y propiedades. Forma binómica de un complejo. Los números reales como complejos. Operaciones algebraicas. Complejo conjugado. Representación cartesiana y vectorial. Operaciones. Sistemas de representación polar. Forma polar de los complejos: producto, potemcia y cociente. Fórmula de De Moivre. Raíz n-sima de un complejo. Raíces primitivas de la unidad. Forma exponencial: operaciones. Aplicaciones. TIEMPO ASIGNADO: 10 hs OBJETIVOS DE LA UT: Ampliar el concepto de número y posibilitar el entendimiento de las resoluciones de ecuaciones de orden superior como así también acostumbrar al estudiante en el uso de la forma exponencial que se utilizará en las aplicaciones en las áreas técnicas posteriores. UNIDAD TEMÁTICA N 2: COMBINATORIA Funciones, clasificación de funciones. Función factorial. El número combinatorio. Variaciones, Combinaciones y Permutaciones Simples. Variaciones, Combinaciones con repetición. Permutaciones con elementos no diferenciables. El binomio de Newton para el desarrollo de potencia de un binomio Fórmula de Leibniz para el desarrollo de potencia de un polinomio. TIEMPO ASIGNADO: 15hs OBJETIVOS DE LA UT: Introducir al alumno en el concepto de Variaciones como función a los efectos de simplificar el entendimiento de los problemas de aplicación. Dar herramientas que se utilizarán en el estudio posterior de Determinantes, etc. UNIDAD TEMÁTICA N 3: ALGEBRA VECTORIAL Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores fijos, deslizantes y libres. Equipolencia. Igualdad de vectores. Operaciones: suma, propiedades. Diferencia. Producto de un vector por un escalar; propiedades. Expresión de un vector en coordenadas cartesianas, en el plano y en el espacio tridimensional. Módulo. Ángulos y cosenos directores. Noción de versor. Producto escalar entre dos vectores: definiciones y

6 propiedades. Angulo entre dos vectores. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Producto vectorial: definición y propiedades. Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial. Producto mixto: definición y propiedades. Interpretación geométrica. Condición de coplanaridad entre tres vectores. TIEMPO ASIGNADO: 15 hs OBJETIVOS DE LA UT: Introducir al alumno en la necesidad de uso de diferentes tipos de magnitudes usadas en la técnica. Facilitar a la asignatura Física I de las especialidades el álgebra de las magnitudes vectoriales. UNIDAD TEMÁTICA N 4: RECTA Y PLANO La recta en el plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación de la recta a partir de la forma vectorial. Ángulos, números y cosenos directores. Angulo entre rectas. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Distancia de punto a recta. El plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación del plano a partir de la ecuación vectorial: forma general o implícita, forma segmentaria, forma normal. Distancia de un punto a plano. Posiciones relativas de un plano respecto del origen de coordenadas, de los ejes y de los planos coordenados. Angulo entre dos planos. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad entre planos. La recta en el espacio tridimensional: distintas formas de su ecuación a partir de la ecuación vectorial; ecuaciones paramétricas, ecuaciones cartesianas simétricas. Recta por dos puntos, casos particulares. La recta dada como intersección de planos: obtención de las ecuaciones cartesianas simétricas. Planos proyectantes de una recta. Angulo entre rectas; condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Distancia entre punto y recta. Angulo entre recta y plano; condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Intersección entre recta y plano. Posiciones relativas entre rectas del espacio: análisis de las distintas posibilidades; obtención de la intersección. Distancia: entre rectas alabeadas. Distancia de punto a recta. TIEMPO ASIGNADO: 15hs OBJETIVOS DE LA UT: Siendo la recta y el plano ecuaciones lineales en dos y tres variables, son de amplísima utilización en Ingeniería. Por lo que los problemas que se explicarán en las clases deben estar enfocados al uso de este tipo de interpretación y por ende se requiere poder conformar las ecuaciones a partir de los datos de la realidad.

7 UNIDAD TEMÁTICA N 5: ESPACIOS VECTORIALES Leyes de composición Interna y Externa. Propiedades. Definición de espacio vectorial. Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base. Proceso de ortonormalización de bases. TIEMPO ASIGNADO: 10hs OBJETIVOS DE LA UT: Llevar al alumno a interpretar por abstracción más allá de la dimensión tres y dar las herramientas necesarias para entender los espacios soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. UNIDAD TEMÁTICA N 6: MATRICES Y DETERMINANTES Matrices: definición. Criterio de igualdad. Adición de matrices: propiedades. Producto de una matriz por un escalar: propiedades. Matrices particulares: diagonal, escalar, identidad, traspuesta, simétrica, antisimétrica, hermítica. Producto de matrices. Definición de matriz inversa. Producto. Rango de un conjunto de vectores. Rango fila y rango columna. Rango o característica de una matriz. Determinantes: definición. Menor complementario. Adjunto o cofactor. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Propiedades de los determinantes. Cálculo de un determinante por la reducción de su orden. Método pivotal de Chío. Matriz de los adjuntos o matriz cofactor. Obtención de la matriz inversa utilizando la matriz de los adjuntos. Transformaciones elementales de una matriz.. Justificación de la invarianza del rango en las transformaciones elementales. Obtención del rango utilizando transformaciones elementales. Matrices elementales. Su equivalencia con las transformaciones elementales. Obtención de la matiz inversa mediante transformaciones elementales. Justificación del método. Aplicación: Método de Gauss Jordan. TIEMPO ASIGNADO: 20 hs. OBJETIVOS DE LA UT: Esta unidad temática es la base para comprender la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales y el entendimiento del uso del software específicos de resolución de sistemas de ecuacio9nes lineales. MATERIALES CURRICULARES: Textos de la Bibliografía general PC con soft de cálculo simbólico

8 UNIDAD TEMÁTICA N 7: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Obtención de la solución por inversión de matrices. Teorema o Regla de Cramer. Método de eliminación de Gauss. Método de Gauss Jordan. Sistemas lineales de orden cualquiera. Análisis de compatibilidad. Teorema de Rouché Frobenius. Su demostración. Sistemas lineales homogéneos. Tipos de compatibilidad. Resolución aproximada de sistemas incompatibles. Cuadrados mínimos. La matriz pseudouinversa. TIEMPO ASIGNADO: 15 hs. OBJETIVOS DE LA UT: Esta unidad temática está designada al aprendizaje de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de habilidades en sistemas de hasta 3 por 3 y pasar luego a utilizar software especializado para la resolución de grado superior y para aquellos sistemas que en la realidad deben tener solución aunque por los errores naturales de las mediciones no cierran exactamente para resolverlos como compatibles. En la resolución de soistemas de ecuaciones lineales compuestos por un gran número de ellas, no es conveniente, en general, aplicar métodos exactos. MATERIALES CURRICULARES: PC con soft de cálculo simbólico. UNIDAD TEMÁTICA N 8: TRANSFORMACIONES LINEALES Transformaciones lineales. Definición. Propiedades. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Composición de las transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Influencia de un cambio de base en la matriz que

9 representa una transformación lineal. Autovalores y autovectores. Diagonalización de una matriz. TIEMPO ASIGNADO: 10 hs. OBJETIVOS DE LA UT: Esta unidad temática está destinada a interpretar y trabajar algebraicamente las trasformaciones que se realizan en las figuras del plano del espacio en geometría analítica al realizarse las traslaciones y las rotaciones. MATERIALES CURRICULARES Textos de la bibliografía general. PC con soft simbólico. UNIDAD TEMÁTICA N 9: LAS CÓNICAS. Definición general de las cónicas. Expresiones canónicas de la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola; elementos y construcciones. Recta tangente a una cónica. Ecuaciones paramétricas. Traslación y rotación de ejes en el plano. Matriz de rotación. Las cónicas con centro o eje desplazado. Elementos de las mismas. Ecuación general de las cónicas. La ecuación general de segundo grado en dos variables. Existencia y justificación conceptual del término rectangular. Aplicaciones del proceso de diagonalización: identificación de una cónica. TIEMPO ASIGNADO: 15 hs. OBJETIVOS DE LA UT: El objetivo de esta unidad temática es el conocimiento general de las cónicas y su reconocimiento a través de la ecuación general de segundo grado. Grado en 2 variables mediante el uso de software específico. MATERIALES CURRICULARES Textos de la bibliografía general. PC con soft simbólico. UNIDAD TEMÁTICA N 10: SUPERFICIES Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. Superficie. Definición. Análisis y discusión de la ecuación general de segundo grado en tres variables. Conceptualización del problema de obtención de las formas canónicas a partir de la

10 ecuación general. Cilindros y conos. Ecuaciones de líneas en el espacio tridimensional. Superficies de revolución. La esfera, el elipsoide, los hiperboloides de una y dos hojas, los paraboloides elíptico e hiperbólico: su generación. Identificación de ecuaciones en distintos espacios. TIEMPO ASIGNADO: 15 hs. OBJETIVOS DE LA UT: E objetivo de esta unidad temática es el poder interpretar el tipo de superficie que puede tratarse una ecuación general de segundo grado en tres variables como asimismo su canonización mediante el uso de software específico. MATERIALES CURRICULARES Textos de la bibliografía general. PC con soft simbólico. UNIDAD TEMÁTICA N 11: CÁLCULO NUMÉRICO Calculo de raíces de ecuaciones. Métodos: bisección y Newton-Raphson. Normas en R de vectores y matrices. Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales. Resolución por métodos iterativos: Gauss- Seidel, relajación. Número de condición de una matriz. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales: método de Newton. TIEMPO ASIGNADO: 10 hs. OBJETIVOS DE LA UT: Conocer los métodos no simbólicos del cálculo de raíces de ecuaciones algebraicas. En el caso de grandes sistemas de ecuaciones donde no es conveniente el uso de métodos exactos la UT expone alguno de los métodos aproximados más conocidos. MATERIALES CURRICULARES: Métodos Numéricos para Ingenieros S. Capra anale. Ed. Mc. Graw Hill Tercera edición. Cálculo Numérico y Gráfico M. Sadosy. Ed. Ibrería del colegio 9ª. Edición Textos de la bibliografía general

11 Exámenes: 10 hs PLANIFICACIÓN DE CÁTEDRA CRONOGRAMA UNIDAD Y/O TEMA ACTIVIDADES TIEMPO (semanas) U.T N 1 Estudio dirigido 2 U.T N 2 Clase expositiva con participación del alumno 3 U.T N 3 Clase expositiva con participación del alumno 3 U.T N 4 Desarrollo de la clase con la participación activa 3 por parte del alumno U.T N 5 Clase expositiva con participación del alumno 2 U.T N 6 Clase expositiva al inicio con la participación activa 4 del alumnado en su desarrollo. U.T N 7 Desarrollo induciendo al alumno en su resolución 3 U.T N 8 Clase expositiva con la intervención del alumnado 2 U.T N 9 Desarrollo induciendo al alumno en su concreción 3 U.T N 10 Clase expositiva al inicio con la participación activa 3 del alumnado en su concreción. U.T N 11 Clase expositiva al inicio con la participación activa 2 del alumnado en su concreción. Exámenes parciales 2 TOTAL:32 PLANIFICACIÓN DE CÁTEDRA

12 METODOLOGÍA DIDÁCTICA Exposición del marco teórico, trabajo en grupo e individual. Resolución de problemas de aplicación a la disciplina. Diálogo EVALUACIÓN Evaluación mediante el sistema tradicional de dos exámenes parciales con sus fechas recuperatorias. Revisión de los exámenes parciales con la resolución de los mismos en clases posteriores a los efectos de que los alumnos puedan efectuar la evaluación de sus eventuales errores. Tiza, Pizarra y Gabinete de Computación. RECURSOS AUXILIARES NECESARIOS