Contenidos. Capítulo 1 Grimaldi. Introducción Reglas. Combinación. Coeficiente. Permutación. Ejercicios 20/05/2014. sin repeticiones con repeticiones

Transcripción

1 Capítulo 1 Grimaldi Contenidos Introducción Reglas de la suma del producto Permutación sin repeticiones con repeticiones elementos repetidos circular Combinación sin repeticiones con repeticiones Coeficiente binomial Multinomial Ejercicios 2 1

2 Introducción Incertidumbre información masiva nos rebasa varias opciones juntas causan una explosión de posibilidades Ocupamos métodos que nos ayuden a saber de cuánto estamos hablando. 3 Combinatoria Enunciar la cantidad de opciones, posibilidades, maneras, patrones, objetos con ciertas características, etc. 4 2

3 Aplicaciones en Teoría de códigos Probabilidad y estadística Análisis de algoritmos 5 Conceptos básicos de conteo 6 3

4 Regla de la suma m n Si una primera tarea puede realizarse de m formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces, para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas. 7 Regla de la suma Sociología (40) Antropología (50) Sociología + Antropología = = 90 4

5 Regla de la suma MaestroA (5) MaestroB (3) MaestroA (5) MaestroB (3) MaestroA MaestroB = x 5 x 8 MaestroA (5) MaestroB (3) m n Regla del producto Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera etapa y, si para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de mn formas. Principio de elección 10 5

6 Ejemplo 1 11 Ejemplo 2 Principio de elección Comité A a b Comité B

7 El orden importa. 13 Permutación Disposición lineal de objetos, dada una colección con n de éstos. n! P( n, r) ( n r)! 14 7

8 Ejemplo 1 Permutaciones de COMPUTER Tomando cuatro letras sin repeticiones 8! 8! P( 8,4) 1,680 (8 4)! 4! Dos letras sin repeticiones 8! 8! P( 8,2) 56 (8 2)! 6! 15 Ejemplo 2 Considerando {a z, A Z, 0-9, #,$,+,*} Cuántas contraseñas de 5 caracteres son posibles si no se repite ningún caracter? 66! 66! P( 66,5) 1,072,431,360 (66 5)! 61! 16 8

9 Permutación con repeticiones r n Permutaciones de COMPUTER Tomando cuatro letras 8 4 =4,096 Tomando dos letras 8 2 =64 17 Otro ejemplo Cadenas de 3 letras con {a,b} Maneras de escoger la primer letra Maneras de escoger la segunda letra Maneras de escoger la tercer letra 18 9

10 19 Disposiciones con elementos repetidos Existen n 1 objetos (indistinguibles) de un primer tipo, n 2 objetos de un segundo tipo, y n r objetos de un r-ésimo tipo, Ej. BALL, PEPPER n! n! n! n 1 2 r! 20 10

11 Ejemplo Disposiciones en BALL n=4 t1= B, n 1 =1 t2= A, n 2 =1 4! t3= L, n 3 =2 12 (1!)(1!)(2!) 22 Ejemplo Disposiciones en PEPPER n=6 t 1 = P, n 1 =3 t 2 = E, n 2 =2 6! t 3 = R, n 3 =1 60 (3!)(2!)(1!) 23 11

12 Ejemplo Disposiciones en MASSASAUGA n=10 t 1 = M, n 1 =1 t 2 = A, n 2 =4 t 3 = S, n 3 =3 t 4 = U, n 4 =1 t 5 = G, n 5 =1 10! (1!)(4!)(3!)(1!)(1!) 25, Disposiciones circulares Si seis personas, designadas como A, B,,F se sientan en torno de una mesa redonda, cuántas disposiciones circulares diferentes son posibles, si las disposiciones se consideran iguales cuando una puede obtenerse de otra mediante una rotación? Ejemplo: ABEFCD = BEFCDA 25 12

13 Disposiciones circulares 6 rotaciones por cada disposición. Por tanto, si d = disposiciones circulares Ejemplo: ABEFCD / BEFCDA / EFCDAB / FCDABE / CDABEF / DABEFC / 6d 6d P(6,6) 6! d d 6! 6 5! d Disposiciones circulares Otra manera de resolver el problema: Dejar A fijo Calcular las disposiciones lineales de B F (=5!) 27 13

14 Disposiciones circulares Supongamos ahora que las personas deben sentarse alternando sexos (hombre-mujer). Igual, se deja A fijo (mujer 1) 3 maneras de escoger cómo se sentará el hombre 1 2 la mujer 2 2 el hombre 2 1 la mujer 3 1 el hombre Selecciones. No importa el orden

15 Combinaciones (sin repetición) Selección de n objetos sin tener en cuenta el orden. C( n, r) P( n, r) r! n! r!( n r)! n r Combinaciones de n en r, Combinaciones de n tomando r 30 Ejemplo 1 Obtener 3 cartas de una baraja normal A, J, R = A, R, J = R, J, A = J, R, A = J, A, R = R, A, J 52 52! 3 3!(52 3)! 52! 3!(49!) 52! 3!(49!) ! 649! ,

16 Ejemplo 2 Ejemplo: Tienes 4 amigos y escoges 2 para llevar al baile. C(4,2) = 6 {a1, a2} / {a1, a3} / {a1, a4} / {a2, a3} / {a2, a4} / {a3, a4} 32 Equivalencia C(n, r) = C(n, n-r) Ejercicio: Demuestra esta equivalencia

17 Combinaciones con repetición ( n r 1)! r!( n 1)! n r 1 r 34 Ejemplo 1 Escoger una docena de donas. n=20, r=12 Hay 20 tipos diferentes. (Suponemos que hay al menos una docena de cada tipo.) C( ,12) C(31,12) = 141,120,

18 Teorema del binomio Coeficiente binomial Para (x + y) n Se desea saber el coeficiente de los diferentes términos. Ejemplo: (x + y) 2 = c 1 x 2 y 0 + c 2 x 1 y 1 + c 3 x 0 y 2 = c 1 x 2 + c 2 xy + c 3 y 2 c 1 =? / c 2 =? / c 3 =? 36 Teorema del binomio (x+ y) n = n å k=0 æ ç è n k ö x k y n-k ø n n n n n n 18

19 Ejemplo 1 æ (x+ y) 2 = ç è 2 0 ö æ x 0 y 2 + ç 2 ø è 1 ö æ x 1 y 1 + ç 2 ø è 2 ö x 2 y 0 ø (x+ y) 2 = y 2 +2xy + x 2 38 Ejemplo 2 Calcular el coeficiente de x 5 y 2 en (x + y) 7 æ ç è 7 5 ö æ = ç ø è 7 2 ö = 21 ø x x y y 39 19

20 Teorema multinomial Para (x 1 + x 2 + x x t ) n n! n n!! n!... n n! Ejemplos Para (x + y + z) 7, calcular el coeficiente de x 2 y 2 z 3 x 3 y 0 z 4 æ ç è 7 2, 2,3 ö = 7! ø 2!2!3! = 7! 4! = 210 æ ç è 7 3, 0, 4 ö = 7! ø 3!0!4! = =

21 42 Ejercicio Proporciona ejemplos de los conceptos vistos. Nivel 1 = Ejemplo didáctico (5 puntos) Nivel 2 = Ejemplo didáctico en ciencias computacionales (10 puntos) Nivel 3 = Ejemplo relacionado con un problema teórico o con un caso práctico actual (20 puntos) 43 21

22 Ejercicio Puede ser en equipo. Se espera al menos un ejercicio por tema: Reglas de suma y producto Permutaciones Combinaciones Calificación máxima: Ejercicio Algunas opciones para investigar Optimización combinatoria Física de partículas (checar Cap. 1 Grimaldi) Teoría de grafos Autómatas celulares Problemas NP-completos Criptografía 46 22

23 47 Referencias Grimaldi, Ralph P (2003). Matemáticas Discreta y Combinatoria: Una Introducción con Aplicaciones. México: Addison Wesley Longman. 3a. Edición