USAC, Fac. Ing., Aplic. 2N, Prof. J. Saquimux, Aux. C. Pérez (Borrador)

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1 USAC, Fac. Ing., Aplic. N, Prof. J. Saquimux, Aux. C. Pérez (Borrador) Ejemplo 1 Encontremos la serie de Fourier en tiempo discreto de la onda periódica cuadrada para tiempo discreto mostrada en la figura f[n] 1 N = n -1 N = Calculo analítico a mano Esta señal tiene periodo N =. Para calcular los coeficientes de Fourier, se debe sumar n sobre cualesquiera valores consecutivos de f[n]; de 0 a 9, o de 1 a 8, o de a 7, etc. Por simplicidad seleccionemos de a 7. f k = 1 N N 1 n=0 f n e πink N 9 n=0 f n e πink 7 n= f n e πink, k = 0, 1,,9 7 f n e πink e πink 7 e πink e πink (n+)k πi e n= n= n=3 n= n= Cambiando límites e πink e πink e πik e πink e πink e πik n= n= n= n= e πink 1 e πik n= e πink 1 cosπk + isinπk = 1 e πink 1 cosπk n= Cero para todo k entero 1 para k = 0,, 4, 6 y 8-1 para k = 1, 3,, 7 y 9

2 f k = n= e πink = 1 n= e πink, k = 1, 3,,7 y 9 La suma Se puede reescribir como f k = 1 f [r + 1] = 1 0, k = 0,, 6, y 8 n= n= e πink, k = 1, 3,,7 y 9 e πin(r+1), r = 0, 1,, 3 y 4 Usando la fórmula para la suma finita (se demuestra en variable compleja), q n= q e iωn = sin ω q + 1 sin ω, ω πm, m entero q + 1, ω = πm, m entero Puesto que en la suma n= e iπ (r+1) n, r = 0, 1,, 3 y 4, ω = π (k+1), la no igualdad de la fórmula ω = π (r+1) πm implica que r + 1 m la cual siempre se cumple para todo entero m con r = 0, 1,, y 4; pues el lado izquierdo siempre es impar y el lado derecho es par, por lo que la suma se reduce a solamente f r + 1 = 1 r+1 iπ e n 1 sin π r + 1 = n= sin π r + 1 Esta expresión se puede reescribir como f k = 1 n= e iπk n 1 sin π k = sin π k 1 si r es 0, y 4; -1 si r es 1 y 3. = 1 = 1 ( 1) k sin π k ( 1) r sin π r + 1, k = 1, 3,, 7 y 9, r = 0, 1,, 3 y 4 Por lo que finalmente tenemos f k = 1 ( 1) k sin π k, k = 1, 3,, 7 y 9 0, k = 0,, 6, y 8

3 Evaluando, tenemos los coeficientes, k f [k] La grafica del espectro de amplitud (coeficientes f [k] en función de k) es f [k] k f [k] k Podemos recuperar los valores de f[n], usando los valores de f [k] calculados, con la fórmula inversa, f n = N 1 k=0 f k e πink N Por ejemplo para f[0], sustituyendo los valores de la tabla f 0 = 9 k=0 9 f k e πi0 k = f k 1 k=0 = = 1 3

4 Para f[1] f 1 = f k e πi k = f [1] Etc. 9 k=0 e πi 1 + f 3 e πi 3 + f e πi + f 7 e πi 7 + f [9]e πi 9 = 0.647e πi e πi e πi 0.47e πi e πi 9 = 1 Calculo con programa desarrollado en Python (el programa se muestra al final) El programa calcula la sumatorias f [k] y f[n] para N = y grafica las partes real, imaginaria y módulo de f [k], y grafica la señal discreta en el tiempo f[n]. Modulo de f[k] fk[0] = fk[1] = fk[] = fk[3] = 0.47 fk[4] = fk[] = 0.00 fk[6] = fk[7] = 0.47 fk[8] = fk[9] = fk[] = Graficas 4

5 Note que la parte imaginaria aparece de orden de 16, estos valores se generan por los cálculos numéricos que ejecuta el programa en Python. Sus valores exactos son cero. Recuperación de valores de f[n] con la inversa: fn[0] = fn[1] = fn[] = fn[3] = fn[4] = fn[] = fn[6] = fn[7] = fn[8] = fn[9] = Gráfica de f[n] f n = N 1 n=0 f k e πink N Graficas de f [k] y f[n] usando el comando fft e ifft de Python (ver programa al final) Definiendo la función continua f[x] con la función escalón unitario H(x) y generando una lista de N = 7, datos-muestras consecutivos. f[x] = (H(x) H(x N/4)) (H(x N/4) H(x 3N/4)) + (H(x 3N/4) H(x N))

6 Calculo de f [k] para N = con Wolfram alpha Con el comando Fourier[{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}] Se obtienen los valores, {0,.04667, 0, , 0, , 0, , 0,.04667} Calculo de f[n] usando los f [k], con el comando InverseFourier[{0,.04667, 0, , 0, 0.634, 0, , 0,.04667}] Se obtienen { , , , , , , , , , } Que aproximan a la señal original. Note que los valores de f[k] obtenidos con el Wolfram alpha son proporcionales a los calculados con la sumatoria: 6

7 {0,0.647, 0, -0.47, 0, 0.00, 0, -0.47, 0, 0.647} = = = 3.16 Programa en Python para calcular y graficar f [k] y f[n] para N = # Calcula la serie discreta de Fourier(o transformada discreta de Fourier) # f[k] k = 0, 1,... N-1, del vector f[n] n = 0, 1,... N - 1 # Grafica Re(f[k]), Im(f[k]), Abs(f[k]) # Calcula el vector f[n] (con la inversa) y grafica f[n] # f(t) = 1, - <= t <= ; -1, 3 <= t <= 7; T = N =. from math import* from cmath import* N = # ingrese periodo F = [] print 'Modulo de f[k]' for k in range(n + 1): Fn = 0 for m in range(-, 3): Fn += (exp(-*pi*1j*m*k/.0)- exp(-*pi*1j*(m+)*k/.0)) Fn = Fn/float() F.append(Fn) y = abs(f[k]) print 'X[%d] = %0.3f' %(k, y) for i in range(n + 1): def ax(s): return i + 0*s def ay(s): return s*(f[i]) def ar(s): return s*f[i].real def ai(s): return s*f[i].imag from pylab import* s = linspace(0, 1, 0) u = ax(s); v = abs(ay(s)); vr = ar(s); vi = ai(s) figure(1) subplot(311) plot(u, vr, 'b') title('parte real, parte imaginaria y modulo de f[k]') ylabel('re[x[k]]') grid(true) subplot(31) plot(u, vi, 'r') ylabel('im[x[k]]') grid(true) subplot(313) xlabel('k') ylabel('abs[x[k]]') grid(true) plot(u, v, 'k') show() 7

8 print ' ' print 'Valores de f[n]' X = [] for n in range(n): Xn = 0 for k in range(n): Xn += F[k]*exp(*pi*1j*n*k/.0) X.append(Xn) x = X[n] print 'X[%d] = %0.3f' %(n, x) for i in range(n): def an(s): return i + 0*s def yn(s): return s*(x[i]) from pylab import* s = linspace(0, 1, 0) u = an(s); v = yn(s) plot(u, v, 'b') title('tren de pulsos en tiempo discreto f[n]') ylabel('x[n]') xlabel('n') axis([-, 11, -1., 1.]) grid(true) show() Graficas de f [k] y f[n] usando los comandos fft e ifft de Python # graficas f[k] y f[n] usando fft de g(x) y la ifft from math import*; from numpy import*; from scipy import*; from pylab import* N = **7 # Ingrese el periodo como potencia de def H(x): return where(x < 0, 0.0, 1) def g(x): return (H(x)-H(x-N/4.0))-(H(x-N/4.0)-H(x-3*N/4.0))+(H(x-3*N/4.0)-H(x- N)) xlista = arange(n) ylista = [g(x) for x in xlista] zlista = fft(ylista) figure(1) subplot(11) plot(xlista[0:n], abs(zlista[0:n])) title('graficas abs(f[k]) y f[n]') ylabel('f[k], fft(n)') xlabel('k') grid('true') subplot(1) plot(xlista[0:n], ifft(zlista)[0:n]) ylabel('f[n], ifft(n)') xlabel('n') grid('true') show() 8

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