El método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex.

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1 El método simplex Forma estándar y cambios en el modelo. Definiciones. Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. Definiciones y notación. Teoremas. Solución factible básica inicial. 4 Tabla del método simplex. 5 El método de penalización. 5 El algoritmo simplex. 6 Solución de problemas. 7 El método de las dos fases. 8 El algoritmo simplex revisado.

2 Forma estándar Todas las restricciones son del tipo. Todas las variables del modelo son no negativas. Las componentes del vector b son no negativas. max(min) z c T x Ax b x Objetivo max forma estándar de maximización. Objetivo min forma estándar de minimización.

3 Cambios en el modelo n. F. objetivo. min z c j x j n max ( z) c j x j. j j. Restricciones. n a ij x j b i n a ij x j b i. j j n n a ij x j b i a ij x j + y b i. j n a ij x j b i j j n a ij x j y b i. j y variable de holgura. n n a ij x j b i a ij x j b i j j j n y a ij x j b i.

4 Cambios en el modelo (continuación) 4. Variables. Si x j, cambio de variable x j x j, donde x j. Si x j no tiene restricción de signo, cambio de variable Si x j > x Si x j < x Si x j x x j x j x j, donde x j, x j. j, entonces x j >. j, entonces x j <. j, entonces x j.

5 Ejemplo 5 Forma estándar de maximización min z x + x + x x + x x x x + 5x x + x + x 4 x, x, x : no rest. max ( z) x + x x + x + x 4 + x 5 x x x + x x 4 x x 5x + 5x x 5 x x + x x 4 x, x, x, x, x 4, x 5 Función objetivo. min z x + x + x max ( z) x x x. Restricciones. x + x x x + x x x 4. x x + 5x x x + 5x + x 5 x + x 5x x 5. Variables. x x x. x no restringida x x x.

6 Soluciones de modelos lineales 6 max z c T x Ax b x x, c R n, b R m, A R m n, m < n, rang(a) m. x es solución si Ax b. Si x es solución factible. B submatriz base de A y Bx B b, x B es solución básica. Si x B es factible básica. Si x B > es no degenerada. Si alguna componente es es degenerada. F Región de factibilidad: soluciones factibles. Solución óptima: x. Valor óptimo: z c T x.

7 Ejemplo 7 max z x + 6x + 5x + 4x 4 + x 5 x + 8x + x + x 4 + x 5 6 x + x + x + x 4 4 x, x, x, x 4, x 5 c T (, 6, 5, 4, ), x T (x, x, x, x 4, x 5 ) ( ) ( ) 8 6 A, b 4 rang A < número de incognitas infinitas soluciones. Número de soluciones básicas Número de bases finito. Elegir B x B B b. OpenCourseWare, UPV/EHU. El método simplex

8 Ejemplo 8 Cálculo de soluciones x B Matriz base B columnas primera y cuarta de A. ( ) B ( ) ( ) x 8 x B, N y x N ( x 4 ) ( 6 4 ) ( ) ( 8 Infinitas soluciones dar valores a x, x y x 5. ) x x x 5 x x x 5 ()

9 Cálculo de soluciones 9 Si en la ecuación () x, x y x 5, x B ( )( 6 4 ) ( ) solución factible básica. Si en la ecuación () x, x y x 5, ( x x 4 ) ( ) ( 7 6 ) ( ) x T (,,,, ) solución factible no básica.

10 Puntos extremos y soluciones factibles básicas Teorema max z c T x Ax b x x es solución factible básica si y sólo si x es punto extremo. Teorema max z c T x Ax b x z se encuentra en un punto extremo de la región F.

11 Ejemplo Solución gráfica puntos extremos max z x + x x + 4x 4 x x x, x x A O C B x x x + 4x 4 x max Puntos extremos: O (, ), A (, ), B ( 6, 7 ), C (, ) Solución óptima: punto B.

12 Ejemplo Soluciones básicas puntos extremos max z x + x + x + x 4 Máximo número de bases 6.. Primera opción. B (a a ). 4 x B x + 4x +x 4 x x +x 4 x, x, x, x 4 4 Solución básica factible Punto B.. Segunda opción. B (a a ). x B 4 Solución básica factible punto C. 4! !

13 Ejemplo (continuación) Soluciones básicas puntos extremos. Tercera opción. B (a a 4 ). x B 4. Cuarta opción. B (a a ). 4 x B Quinta opción. B (a a 4 ). 4 x B 4 Solución básica factible punto A. 6. Sexta opción. B (a a 4 ). x B 4 Solución básica factible punto O. 4 4!

14 El método simplex 4 Definiciones y notación max z c T x Ax b x A m n, n > m. B base, N resto de columnas. c B, x B componentes básicas de c y x. c N y x N componentes no básicas de c y x. max z (c T B c T N) (B N) x B x N x B b x N x B, x N max z c T B x B + c T N x N Bx B + Nx N b x B, x N OpenCourseWare, UPV/EHU. El método simplex

15 El método simplex 5 Definiciones y notación x B x B x B. x Bm C A, c B c B c B. c Bm C A Valor objetivo. mx z c T B x B c Bi x Bi i Cálculo de z j c j. mx z j c j c Bi y ij c j i Coordenadas de a, a,..., a n A. a j y j a + y j a + + y mj a m Vector de coordenadas y j y j y j. y mj mx y ij a i. i C A

16 Ejemplo 6 max z x + 4x + 5x + 6x 4 x + x + x + 8x 4 6 x + x + x + x 4 4 x, x, x, x 4 max z (, 4 5, 6) x x x x 4 C A B (a a ) 8 x x x x 4 6 C A 4 x, x, x, x 4

17 Cálculos 7 Solución básica. x B B b 6 4 Función objetivo. c T B (, 4) z ct B x B (, 4) 4 Coordenadas de a 4. 8 y 4 Valor indicador z 4 c 4. + y 4 y4 y 4 y 4 z 4 c 4 c T B y 4 c 4 (, 4) y4 7 6 y

18 Mejora de una solución factible básica 8 Teorema Sea el modelo lineal en forma estándar max z c T x Ax b x B una base elegida en A, x B B b y z c T B x B. Si existe a j A, a j / B, tal que z j c j < y con alguna de sus coordenadas y ij, i,...,m, positiva, entonces existe otra solución factible básica x B tal que z c T Bx B z c T B x B

19 Cambio de base cálculo de una solución mejor 9 Reglas de selección Vector que entra en la base: a k tal que z k c k min j {z j c j /z j c j < } Esta regla garantiza que z z. Vector que sale: a k sustituye en la base a a r tal que x Br y rk { } xbi min /y ik > i y ik Esta regla garantiza que x B.

20 Fórmulas para el cálculo de x B y z Base y solución: B, x B, z. a k sustituye a a r Nuevas base y solución: B, x B, z. Fórmula para calcular la nueva solución factible básica. x B x Bi x Br y ik y rk x Br y rk i r i r Fórmula para calcular el nuevo valor de la función objetivo. z z x Br y rk (z k c k )

21 Condiciones de óptimo y de mejora Base y solución: B, x B, z. Condiciones de óptimo. Si a j A, a j / B, z j c j solución óptima... Si a j A, a j / B, z j c j > solución óptima única... Si a j A, a j / B con z j c j soluciones óptimas múltiples.. Condiciones de mejora. Si a j A, a j / B, con z j c j < se puede mejorar... Si a j A, a j / B, con z j c j < y todas las coordenadas son menores o iguales que solución no acotada... Si no, aplicar el teorema de mejora.

22 Solución factible básica inicial Primera base formada por variables de holgura (b ) max z c T x Ax b x max z c T x + T y Ax + Iy b x, y B I formada por variables de holgura, B I. x B B b I b b solución factible básica. Valor de la función objetivo. z c T B x B T x B. Vector de coordenadas. y j B a j Ia j y j a j. Cálculo de indicadores. z j c j c T B y j c j c j c j. Resultados de los cálculos los parámetros del modelo.

23 Ejemplo max z x + x x + x x x x, x. Solución. x B B b I max z x + x + x + x 4 B (a a 4 ) I base canónica.. Función objetivo. z c T B x B (, ). Coordenadas y j y valor z j c j. a x + x + x x x + x 4 x, x, x, x 4 La solución es factible.. y B a z c c T B y c (, ).

24 Ejemplo (continuación) 4. a a a 4 y B a y B a z c c T B y c (, ) z c c T B y c (, ) y 4 B a 4 z 4 c 4 c T B y 4 c 4 (, )...

25 Solución factible básica inicial 5 Variables artificiales en la base penalizar max z x + x x + x x + x x, x max z x + x + x + x 4 x + x + x x + x x 4 x, x, x, x 4 max z x + x + x + x 4 Mw x + x + x x + x x 4 + w x, x,...,w B (a a w ) x B B b ( )( ) ( )

26 Tabla del método simplex 6 Variables originales Variables auxiliares x... x n x n+... x j... z c... z n c n z n+ c n+... z j c j... z c B a B y... y n y,n+... y,j... x B..... c Bi a Bi y i... y in y i,n+... y i,j... x Bi..... c Bm a Bm y m... y mn y m,n+... y m,j... x Bm

27 Ejemplo 7 Tabla del simplex sin penalización max z x + x + x + x 4 x + x + x x x + x 4 x, x, x, x 4 x x x x 4 a a 4 x x... x n x n+ x n+... x n+m c T B B A c T c T B B c T B x B c B B B A B x B

28 Ejemplo 8 Tabla del simplex con penalización max z 5x + 6x + 7x x + x 6x 5 x x + 5x x + x + x 5 x, x, x max z 5x + 6x + 7x + x 4 Mw Mw x + x 6x x 4 + w 5 x x + 5x + x 5 x + x + x + w 5 x, x, x, x 4, x 5, w, w x x x x 4 x 5 w w 4M + 5 M 6 4M 7 M 5M M a w 6 5 a 5 5 M a w 5

29 Condiciones de óptimo y de mejora con penalización 9 Base y solución: B, x B, z. Condiciones de óptimo. a j A, a j / B, z j c j.. Si hay variables artificiales en la base problema infactible... Si no hay variables artificiales en la base solución óptima. a j A, a j / B, z j c j > solución óptima única. Si a j A, a j / B con z j c j soluciones óptimas múltiples.. Condiciones de mejora. Si a j A, a j / B, con z j c j < se puede mejorar... Si a j A, a j / B, con z j c j < y todas las coordenadas son menores o iguales que solución no acotada... Si no, aplicar el teorema de mejora.

30 Algoritmo simplex Paso. Construir la tabla inicial. Paso. Si z j c j <, la solución puede mejorar. Ir al Paso 4. Si a j A, z j c j, no se puede mejorar. Ir al Paso. Paso. Si en la base hay alguna variable artificial con valor positivo el problema es infactible. Parar. Si no hay variables artificiales en la base, la solución es óptima. * Si a j A, a j / B, z j c j >, solución óptima única. Parar. * Si a k A, a k / B, tal que z k c k y, para ese vector, alguna coordenada y ik, i,..., m, es mayor que cero, se puede calcular una nueva solución factible básica óptima. Ir al Paso 5. * Si a k A, a j / B, tal que z k c k y, para ese vector, y ik, i,..., m, soluciones óptimas múltiples, pero no son soluciones básicas. Parar.

31 Algoritmo simplex (continuación) Paso 4. Si a j A, a j / B, tal que z j c j < y sus coordenadas y j son menores o iguales que, solución no acotada. Parar. Si a j A, a j / B, tal que z j c j < y alguna coordenada y ij es mayor que cero, ir al paso 5. Paso 5. Selección de la nueva base. Entra en la base a k que cumple z k c k min j {z j c j /z j c j } k columna n pivote. o Sale de la base a r que cumple x Br xbi min y i /y rk y ik > r fila pivote ik y rk pivote. Paso 6. Calcular la nueva tabla y volver al Paso. Nueva fila r: dividir la fila r de la tabla actual por el pivote y rk. Nueva fila i fila i actual m i fila pivote. m i y ik y rk, i,..., m, i r. Nueva fila de indicadores fila de indicadores actual m fila pivote. m z k c k y rk.

32 Ejemplo Solución óptima única max z 6x + 4x + 5x + 5x 4 x + x + x + x 4 x + x + 4x + x 4 4 x + x x + x 4 x, x, x, x 4 max z 6x + 4x + 5x + 5x 4 x + x + x + x 4 + x 5 x + x + 4x + x 4 + x 6 4 x + x x + x 4 + x 7 x, x, x, x 4, x 5, x 6, x 7 x x x x 4 x 5 x 6 x m a 5 m a a 7 m 7 m 4 a 5 6 a m a m 5 5 a 4 6 a a 7 5

33 Ejemplo Problema infactible max z 5x + 6x + 7x + x 4 + x 5 Mw Mw x + x 6x x 4 +w 5 x x + 5x +x 5 x + x + x +w 5 x, x, x, x 4, x 5, w, w x x x x 4 x 5 w w 4M + 5 M 6 4M 7 M 5M M a w 6 5 a 5 5 M a w 5 8M + 6M M 6M + -5M+5 M a w a a 5

34 Ejemplo 4 Solución no acotada max z x x x + x 4 4x x 6 x, x max z x x + x + x 4 Mw Mw x + x x + w 4 4x + x x 4 + w 6 x, x, x, x 4, w, w x x x x 4 w w 6M 4M + M M M M a w 4 M a w 4 6 M + 7 M M 4 M + 4 M + M a w a M 7 M + a a 4 M + M a 4 a

35 El método de las dos fases 5 Si son necesarias variables artificiales Primera fase. El objetivo es minimizar la suma de las variables artificiales. Si el valor de la función objetivo es mayor que cero, el problema inicial no tiene solución. En caso contrario, existe solución. Continuar en la segunda fase. Segunda fase. Optimizar la función objetivo del problema original partiendo de la tabla óptima de la primera fase. En dicha tabla sólo cambia la fila de indicadores; continuar con las iteraciones del simplex.

36 Ejemplo 6 Primera fase max z x + x 5x x + x + x 4 x + 5x x x, x, x max ( z ) x +x +x +x 4 w w x + x + x +w 4 x 5x + x x 4 +w x, x, x, x 4, w, w x x x x 4 w w 4 4 a w 4 a w a w 7 4 a 5 5 a a

37 Ejemplo 7 Segunda fase max z x + x 5x Partimos de la tabla óptima de la primera fase. z c (, ) z c (, )! z c (, ) ! z 4 c 4 (, ) 7 7 7! 4 z (, ) x x x x a a

38 Método simplex revisado 8 max z c T x Ax b x B x B B b, z j c j c T B B a j c j. Entra en la base a k tal que z k c k min j {z j c j /z j c j }. Sale de la base a r tal n o que x Br min xbi y i /y rk y ik >. ik y r B a r Todos los cálculos se realizan con B. x n+ x n+... x n+m c T B B c T B x B c B B B x B

39 Ejemplo 9 B max z 6x + 4x + 5x + 5x 4 + x 5 + x 6 + x 7 x + x + x + x 4 +x 5 x + x + 4x + x 4 +x 6 4 x + x x + x 4 +x 7 x, x, x, x 4, x 5, x 6, x x B B b A, c T B (,, ), N c T B B (,, 4 A x 5 x 6 x 7 a 5 a 6 4 a 4 A A

40 Ejemplo 4 Cálculo de los valores indicadores para vectores no básicos. c T B B N c T N (,, 4 Columna pivote y. A (6, 4, 5, 5) ( 6, 4, 5, 5) z c min{ 6, 4, 5, 5} 6 entra a y B a Sale de la base el vector a r tal que x Br y r j, 4, La fila es la fila pivote, el pivote es. Multiplicador de la fila de indicadores: 6. Multiplicador de la primera fila:. Multiplicador de la tercera fila:. ff sale a 6. A OpenCourseWare, UPV/EHU. El método simplex

41 Ejemplo (continuación) 4 x 5 x 6 x 7 a 5 6 a a 7 8 Cálculo de los indicadores para vectores no básicos. c T B B N c T N (,, 4 A (4, 5, 5, ) (, 7,, ) z 4 c 4 min{, } entra a 4. y 4 B B C a A 5 Pivote:. Multiplicador de la fila de indicadores: 4. Multiplicador de la segunda fila:. Multiplicador de la tercera fila: 5. OpenCourseWare, UPV/EHU. El método simplex

42 Ejemplo (continuación) 4 x 5 x 6 x a 4-6 a - a 7-5 Cálculo de los valores indicadores para vectores no básicos. c T B B N c T N (4,, 4 A (4, 5,, ) (,, 4, ). No existe ningún valor indicador negativo la solución es óptima.

43 Observaciones 4 Errores de redondeo: Cuando se utilizan aproximaciones la solución factible básica óptima puede no satisfacer las restricciones. El error se puede evaluar, Bx B b. Variables artificiales en la solución óptima. La existencia de variables artificiales con valor cero en la base óptima indica la existencia de ecuaciones redundantes o bien que la solución es degenerada. Problema de ciclado: El empate en el criterio del vector de entrada se puede romper al azar. El empate en el criterio de salida no se puede romper al azar en algunos casos y hay que utilizar las reglas lexicográficas o la regla de Bland. 4 Eficiencia del método simplex. Hay estudios que muestran que la eficiencia computacional del método simplex es más sensible al número de restricciones que al número de variables.

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