Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema # 9

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1 IO04001 Investigación de Operaciones I Tema # 9 Otras aplicaciones del método simplex Objetivos de aprendizaje Al finalizar el tema serás capaz de: Distinguir y aplicar la técnica de la variable artificial. Aplicar el método simplex para el caso de minimización. Distinguir y aplicar el método de las grandes M's. D.R. Universidad TecMilenio 1

2 Introducción al tema Como habrás observado, hemos estado resolviendo problemas de maximización en la función objetivo, con restricciones de desigualdad de menor o igual <=. Pero también existen otros casos de problemas, como minimizar la función objetivo, restricciones de igualdad y desigualdad con el signo mayor o igual >=. Introducción al tema Para solucionar estos problemas utilizarás la metodología de la Variable Artificial y el Método de las Grandes M s. Posteriormente, usarás el Método Simplex Tabular para solucionar el problema. 4 D.R. Universidad TecMilenio 2

3 Otras aplicaciones del simplex En los temas anteriores has estudiado sobre los diferentes métodos de solución a problemas de programación lineal, sin embargo has notado que solamente hemos trabajado con problemas de maximización de funciones? 5 Otras aplicaciones del simplex Precisamente en este tema conoceremos otras aplicaciones del método simplex. Aprenderás qué ajustes se tienen que hacer al modelo y cómo hacerlos para poder utilizar la metodología simplex en otro tipo de problemas de PL, ya que existen variaciones cuando: Se tienen restricciones en forma de igualdad. Se tienen lados derechos negativos. Se quiere minimizar la función objetivo. 6 D.R. Universidad TecMilenio 3

4 Restricciones en forma de igualdad Cualquier restricción del tipo: a 1 X 1 + a 2 X 2 + a n X n = b 1 es equivalente a decir que tenemos 2 desigualdades, de tal manera que: a 1 X 1 + a 2 X 2 + a n X n = b 1 a 1 X 1 + a 2 X 2 + a n X n b 1 a 1 X 1 + a 2 X 2 + a n X n b 1 7 Restricciones en forma de igualdad Al resolver un problema de PL esto resulta inconveniente, ya que tendríamos muchas restricciones. La solución es introducir variables artificiales. Para determinar la solución básica factible inicial es necesario introducir estas variables artificiales. Esta técnica construye un problema artificial al introducir una variable ficticia, conocida como variable artificial, en cada una de las restricciones que lo requieran. Esta nueva variable es introducida con el objetivo de que se convierta en la variable básica inicial para esa ecuación. 8 D.R. Universidad TecMilenio 4

5 Ejemplo: Problema original Forma aumentada del modelo Maximizar Z = 1.5X X 2 S.A. 0.5X 1 2 X X 1 +X 2 =9 X 1,X 2 0 Maximizar (0) Z - 1.5X 1-2.5X 2 =0 S.A. (1) 0.5X 1 + X 3 =2 (2) X 2 + X 4 =6 (3) 1.5X 1 +X 2 =9 (4) X 1,X Restricciones en forma de igualdad Las restricciones de no-negatividad también se aplican sobre las variables artificiales y la función objetivo se tiene que modificar para que imponga una penalización en el caso de que tomen un valor mayor a cero. D.R. Universidad TecMilenio 5

6 Restricciones en forma de igualdad Una vez que se inicia con las iteraciones del método simplex, estas nuevas variables artificiales van a desaparecer, ya que toman un valor de cero y finalmente todas quedan fuera de la solución, resolviendo así el problema real. 11 Cómo solucionar este problema? Trabajando sobre el mismo ejemplo 1. Introducir una variable artificial X 5 : Forma aumentada del problema artificial (3) 1.5X 1 + X 2 + X 5 = 9 12 D.R. Universidad TecMilenio 6

7 Cómo solucionar este problema? 2. Asignar la penalización en la función objetivo, ya que X 5 0 y modificar la función objetivo: Forma aumentada del problema artificial Maximizar (0) Z ]= 1.5X X 2 M X 5 =0 Este método se conoce como el método de las grandes M s, ya que M representa un número muy grande. 13 Solución al problema 3. La forma aumentada del problema artificial es: Forma aumentada del problema artificial Maximizar (0) Z ]= 1.5X X 2 M X 5 =0 S.A. (1) 0.5X 1 + X 3 =2 (2) X 2 + X 4 =6 (3) 1.5X 1 + X 2 + X 5 = 9 14 D.R. Universidad TecMilenio 7

8 Solución al problema 4. Siendo la solución básica factible: SBF i X 1 = 0 X 2 = 0 X 3 = 2 X 4 = 6 X 5 = Para encontrar la solución al problema, se procede con el método simplex tabular que ya conoces. 15 Lados derechos negativos Si en un problema de PL tenemos una igualdad o desigualdad con el lado derecho negativo, simplemente tienes que multiplicar la ecuación por (-1): a 1 X 1 + a 2 X 2 + a n X n = - b 1 - a 1 X 1 -a 2 X 2 - a n X n = b 1 a 1 X 1 + a 2 X 2 + a n X n -b 1 - a 1 X 1 -a 2 X 2 - a n X n b 1 a 1 X 1 + a 2 X 2 + a n X n -b 1 - a 1 X 1 -a 2 X 2 - a n X n b 1 16 D.R. Universidad TecMilenio 8

9 Minimización Cómo transformar un problema de maximización en minimización? Matemáticamente hablando: Min Z = Max -Z. Esto significa que al multiplicar ambos lados de la igualdad de la función objetivo cambia el sentido de la optimización. 17 Minimización El principal reto en la minimización es identificar una solución inicial básica factible. Hasta ahora, esta solución inicial se encontraba al hacer que las variables de holgura fueran las variables básicas iniciales, donde se igualaban a la constante no negativa del lado derecho de la ecuación y de esta manera podías iniciar con las iteraciones para buscar la solución óptima. 18 D.R. Universidad TecMilenio 9

10 Minimización Para el caso de la minimización, también tenemos que utilizar la técnica de variables artificiales. Problema original Min Z = 8 X X2 S.A. 6 X 1 + 2X X X 2 = 6 12 X 1 + 8X 2 6 X 1, X 2 0 Problema artificial Max - Z = - 8 X1-10 X2 - M X4 - M X6 Sujeto a: 6X 1 + 2X 2 + X3 = X X 2 + X4 = 6 12 X X 2 - X5 + X6 = 6 X1, X2, X3, X4, X5, X Minimización Las variables artificiales afectan a la función objetivo, por esta razón la multiplicamos por una M. En cuanto a las variables de holgura y superávit, éstas representan una ecuación matemática que depende directamente de las variables de decisión. Tenemos que resolver el problema original, por lo que las variables artificiales se penalizan en la función objetivo y tomarán valores iguales a cero, para que el método simplex las elimine en las iteraciones. Se utiliza el método simplex tabular tal y como ya lo conoces para encontrar la solución óptima al problema de PL. 20 D.R. Universidad TecMilenio 10

11 Cierre Al conocer el método de la variable artificial y las Grandes M s, ahora sí ya cuentas con todas las herramientas de solución para resolver problemas de programación lineal, sin importar que sean para minimizar o maximizar, o el tipo de restricciones que se manejen. Y como se había comentado antes, el método simplex tabular, ayuda a dar la solución final. Pregunta de Reflexión Cuáles son las ventajas y desventajas del Método de la Variable Artificial y las Grandes M's? Ms? 22 D.R. Universidad TecMilenio 11

12 Para aprender más: En la siguiente liga encontrarás un ensayo sobre las aplicaciones reales del método simplex, utilizando un algoritmo para resolver problemas de programación lineal. Per Bergström; Solving linear optimization problems using a simplex like boundary point method in dual space. University essay from Luleå tekniska universitet/matematik recuperada 14 de enero de Referencias bibliográficas Libro Hillier, F., Lieberman, G. (2006). Introducción a la Investigación de Operaciones. (8ª Ed.) México: McGraw Hill. ISBN D.R. Universidad TecMilenio 12

13 Créditos Diseño de contenido: Ing. Ingrid Gabriela Benavides García Coordinador académico del área: Lic. José de Jesús Romero A. MC y MED Edición de contenido: Lic. Rosa Luz Fernández Retana Edición de texto: Lic. Dalila de León Bañuelos, MTE D.R. Universidad TecMilenio 13

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