Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones"

Transcripción

1 Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Estudiantes: FAREM-Carazo Unidad III Metodologías para la Solución de Problemas de Programación Lineal. Quien tiene un libro y no lo lee, no se diferencia de aquel que no sabe leer Año académico: II Semestre

2 Método Simple: Para resolver los problemas de PL se utilizan varios Algoritmos. El más antiguo y más utilizado sigue siendo el Algoritmo del Simple debido a Dantzig. La solución de los problemas de programación lineal parte de dos teoremas fundamentales: El conjunto factible de un problema de PL puede representarse mediante un poliedro conveo. Si un PL tiene solución óptima y finita ésta se encuentra en uno de los vértices del poliedro conveo. De ellos se deduce que: Puesto que el número de vértices de un poliedro factible es finito, el número de posibles soluciones de un PL también es finito.

3 Principales objetivos de la Unidad 3 Aprender a formular un P.L. Aprender a resolver problemas de P.L. utilizando el método del simple. Saber cómo se construye una Sólución Básica Factible inicial con el método de M Grande o con el de Fases. Saber identificar los distintos tipos de solución de un problema de P.L. cuando se utiliza el método simple.

4 Caracterización de los problemas de P.L. 4 La epresión general de un problema de P.L. es: Ma (z) =c +c +...+c n n sujeto a: a + a a n n b a + a a n n b... a m + a m a mn n b m,,..., n Esta es la forma canónica de un problema de P.L.

5 Caracterización de los problemas de P.L. También podría escribirse como: Ma (z) = sujeto a: n j= j a ij j i O en forma matricial: Ma (z) = c T sujeto a: A b n j= c j j b donde i=,,... m j =,,... n 5

6 6 Caracterización del conjunto de soluciones en los problemas de P.L. Para resolver los problemas de PL se utilizan varios Algoritmos. El más antiguo y más utilizado sigue siendo el Algoritmo del Simple debido a Dantzig. La solución de los problemas de programación lineal parte de dos teoremas fundamentales: El conjunto factible de un problema de PL puede representarse mediante un poliedro conveo. Si un PL tiene solución óptima y finita ésta se encuentra en uno de los vértices del poliedro conveo. De ellos se deduce que: Puesto que el número de vértices de un poliedro factible es finito, el número de posibles soluciones de un PL también es finito.

7 Caracterización del conjunto de soluciones en los problemas de P.L. Esto sugiere, inicialmente, un algoritmo para calcular la solución óptima: Calcular el valor de la función objetivo en cada vértice del conjunto factible y escoger el mejor. Sin embargo, el número de vértices de un conjunto factible es: m+n (m+n)! = m m! (m+n-m)! donde: m = número de restricciones n = número de variables Ejemplos: m=3 n= Vértices= 7

8 Caracterización del conjunto de soluciones en los problemas de P.L. El concepto de vértice es de naturaleza geométrica y es poco adecuado para construir un algoritmo utilizable por ordenadores. El Método Simple se basa en el concepto de la SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE Es aquella que tiene al menos n-m componentes nulos o variables no básicas. Las m restantes variables se denominan básicas. A partir de: A = b Se dice que es una SBF si puede realizarse la partición: A = [ N B] N B N = B = B - b 8

9 9 Caracterización del conjunto de soluciones en los problemas de P.L. Eisten varios tipos de solución básica: SB Factible: Todas las variables básicas B SBF No Degenerada: B > SBF Degenerada: algún B = Cada SBF representa un vértice del Conjunto Factible. Sin embargo, un vértice puede estar representado por más de una SBF si esta es degeneradas. Cualquier conjunto poliédrico no vacío contiene al menos un vértice, y si hay un vértice, siempre habrá por lo menos una SBF.

10 El algoritmo del Simple El algoritmo del Simple busca el óptimo de un problema de PL recorriendo algunos de los vértices del poliedro del conjunto de soluciones factibles. En cada iteración, el algoritmo se desplaza de un vértice a otro de forma que el valor de la función objetivo mejore con el desplazamiento. La optimización de un PL puede dar 4 posibles resultados: Óptimo único Soluciones Alternativas: Eisten varias soluciones que dan el mismo valor en la función objetivo. No factible: No eiste ninguna solución que satisfaga simultáneamente todas las restricciones del problema No acotado: El valor de la función objetivo en el óptimo es tan grande (pequeño) como se desee en caso de maimización (minimización).

11 El algoritmo del Simple

12 El algoritmo del Simple

13 LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX Costes reducidos (c j -z j ): Miden el efecto sobre la función objetivo de un aumento unitario en el valor de cada una de las variables no básicas. Por tanto: Si una variable no básica que tenga asociado un (c j -z j ) > entrara en la base, el valor de z aumentaría. Si una variable no básica que tenga asociado un (c j -z j ) < entrara en la base, el valor de z disminuiría. Si una variable no básica que tenga asociado un (c j -z j ) = entrara en la base, el valor de z permanecería inalterado.

14 LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX TEST DE OPTIMALIDAD En problemas de maimización: La solución es óptima si todos los costes reducidos (c j -z j ) son. En problemas de minimización: La solución es óptima si todos los costes reducidos (c j -z j ) son.

15 LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX REGLA DE ENTRADA EN LA BASE La variable que entra en la base debe ser aquella que tenga el mayor coste reducido negativo en el caso de maimización (o mayor coste reducido positivo en el caso de minimización), ya que ésta es la variable que aumenta (disminuye) más rápidamente el valor de la función objetivo.

16 LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX REGLA DE SALIDA DE LA BASE Se selecciona para salir de la base a aquella variable que tenga un menor cociente entre su valor y el coeficiente a ik (siendo k la variable que entra) siempre y cuando dicho coeficiente sea estrictamente positivo. La interpretación de este cociente: Representa el máimo valor que puede tomar la variable entrante antes de que la variable que se está considerando viole su restricción de no negatividad. Si todos los a ik son la solución no está acotada:la variable entrante puede crecer indefinidamente sin pérdida de factibilidad.

17 LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX En el PL se transforman las inecuaciones en ecuaciones. Dentro de la matriz A de coeficientes deberá encontrarse una submatriz identidad (I) de orden mm: A = [N I ] Las variables cuyos coeficientes técnicos (a ij ) se corresponden con la submatriz identidad, serán las variables consideradas básicas ( B ) en la solución inicial y sus valores de solución serán los términos independientes de las restricciones (b). El resto de variables serán consideradas no básicas ( N ) y, por tanto, su valor de solución será cero.

18 LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX N B b Si A no contiene una submatriz identidad o eiste algún componente negativo en b, no resulta inmediato determinar una SBF inicial.

19 Resolver por el método simple el ppl Má Z 4 6 El ppl de la izquierda, es un típico problema de maimización que está sujeta a tres restricciones. s. a:, Para resolver este problema aplicaremos el método simple, por lo que convertiremos las restricciones en ecuaciones lineales, introduciendo variables artificiales o de holguras respectivas.

20 Resolver por el método simple el ppl Má, Z s. a:, , , Así quedaría el modelo matemático, con la introducción de las variables de holguras en las restricciones, para aplicar el simple al formato tabloide, igualaremos a cero la función objetivo.

21 Esta es la solución gráfica del ppl

22 Resolver por el método simple el ppl Este formato del modelo matemático, facilita el traslado de los coeficientes y variables al tabloide del simple Z,,,, Má s. a:

23 Resolver por el método simple el ppl Iteración : VB LD Ratio Z -4-6 X X X La columna con el valor más negativo es la. Los ratios son {7,4,3} siendo el mínimo 3. por lo tanto la fila pivote es 5, esto nos indica que sale 5 y en su lugar entra en la columna base. Dividimos toda la fila f4 por 3, para que el pivote sea.

24 Resolver por el método simple el ppl f f f3 f4 Iteración : VB X X LD Z -4-6 X 3 7 X 4 4 X /3 /3 3 Ahora nos corresponde hacer cero todos las celdas por encima del número pivote. Esto es transformar las filas, y 3. Por lo que haremos las siguientes transformaciones: f3-f4 f3 f-f4 f f+6f4f

25 Resolver por el método simple el ppl f f f3 f4 Iteración : VB X X LD Z -4-6 X 3 7 X 4 4 X /3 /3 3 Ahora nos corresponde hacer cero todos las celdas por encima del número pivote. Esto es transformar las filas, y 3. Hacemos las siguientes transformaciones: f3-f4 f3 f-f4 f f+6f4f

26 Resolver por el método simple el ppl f f f3 f4 Iteración : VB X X LD Z - 8 X 3 5/3 -/3 4 X 4 /3 -/3 X /3 /3 3 El ppl después de la iteración cero, ha quedado como se muestra. Si observamos la fila, podemos darnos cuenta que todavía hay valores negativos en la fila. Esto indica que debemos seguir iterando. La columna seleccionada es.

27 Resolver por el método simple el ppl f f f3 f4 Iteración : VB X X LD Z - 8 X 3 5/3 -/3 4 X /3 -/3 X /3 /3 3 Calculamos los cocientes de dividir los lados derechos entre cada celda de la columna pivote. {/5, 3/,9/} siendo el más pequeño 5. Esto es, sale la variable básica 4 y entra. Multiplicamos la fila pivote por 3/.

28 Resolver por el método simple el ppl f f f3 f4 Iteración : VB X X LD Z - 8 X 3 5/3 -/3 4 X 3/ -/ 5 X /3 /3 3 Transformamos las filas, y 4, de forma que las celdas de la columna pivote sean ceros, ecepto el número pivote. f4- (/3)f3f4 f-(5/3)f3f f+f3f

29 Resolver por el método simple el ppl f f f3 f4 Iteración : VB X X X 3 X 4 5 LD Z 3 X 3-5/ / 5 X 3/ - 5 X -/ /3 5 Después de las transformaciones vemos que la fila, no contiene valores negativos, por lo que hemos llegado a un óptimo. En este caso Z=, para =5 y =5 variables de la función objetivo inicial.

30 Simple Revisado Iteración : Entonces: Solución factible (,,7,4,9) Z= X B B B ,, c B 9 4 7,, B c B X z 4,6 c

31 Simple Revisado Iteración : Entonces: Solución factible (,3,4,,) Z=8 4 3 X B B B ,,6 c B 8 3 4,,6 B c B X z

32 Simple Revisado Iteración : Entonces: Solución factible (5,5,5,,) Z= 3 X B B B ,4,6 c B 5 5 5,4,6 B c B X z

33 Problema No. El propietario de una finca de regadío de 8 hectáreas se plantea la posibilidad de plantar trigo y/o maíz para venderlo a una compañía de fabricación de bioetanol que está cerca de la finca. El propietario de la finca sabe por eperiencia que el rendimiento medio del trigo es de 5 toneladas por hectárea (t/ha) cultivada, mientras que el del maíz es de 7 t/ha. Para estas producciones medias, sabe que la cantidad de agua que precisa es de,8 m3 de agua por cada hectárea plantada de trigo y m3 por cada hectárea plantada de maíz. El agua tiene que comprarla a la comunidad de regantes a un coste de $/ m3 y sólo puede disponer de un máimo de 4 m3 a lo largo de toda la campaña. La compañía que le compra el maíz o trigo espera que se los pague $4 la tonelada, independientemente de que sea maíz o trigo. El propietario tiene además los costes adicionales que muestra el cuadro :

34 El propietario desea saber cuantas hectáreas de trigo y maíz debe plantar para maimizar su beneficio. Costos/Beneficios Trigo ($/ha) Maíz ($/ha) Sembrado 36 4 Recolección 6 8 Costo del agua 8 Total costos 6 78 Ventas 8 98 Utilidad neta

35 35 El método del Simple en forma de Tabla Ma(z)= + sujeto a: + 8,8 + 4, Formulación y representación gráfica.

36 36 El método del Simple en forma de Tabla,,, :. z a s Ma

37 Resolver por el método simple el ppl f f f3 Iteración : VB X X X 3 X 4 LD Ratio Z - - X X SBF( 3, 4 )= (8, 4) z= En esta tabla seleccionamos la columna de X por la columna con valor más negativo. Luego obtenemos el ratio dividiendo cada LD entre los elementos de la columna seleccionada obteniendo 8 y 6. por lo que la fila pivote es fila 3.

38 Resolver por el método simple el ppl f f Iteración : VB X X X 3 X 4 LD Ratio Z - - X Ahora donde se encuentra el número pivote lo convertimos en, esto se logra dividiendo toda la fila por. f3 X

39 Resolver por el método simple el ppl f f f3 Iteración : VB X X X 3 X 4 LD Ratio Z X X SBF( 3, )= (8, 6) z=4 Ahora donde se encuentra el número pivote lo convertimos en, esto se logra multiplicando toda la fila por. Todos los elementos de la columna pivote serán ceros, para lo cual hacemos: f-f3f f3+f f

40 Resolver por el método simple el ppl f f Iteración VB X X X 3 X 4 LD Ratio Z - 4 X Vemos que hay una comuna con z negativo, es la columna de, ahora obtenemos los ratios; 3,55; por lo que la fila pivote f3 X

41 Resolver por el método simple el ppl f f f3 Iteración VB X X X 3 X 4 LD Ratio Z X X SBF(, )= (3, 5) z=3, Vemos que hay una comuna con z negativo, es la columna de, ahora obtenemos los ratios; 3,55; por lo que la fila pivote Dividimos por.6 la fila f. Ahora f3-.4f --> f3 f+f f

42 Determinación de una SBF inicial DETERMINACIÓN DE UNA SBF INICIAL En el PL se transforman las inecuaciones en ecuaciones. Dentro de la matriz A de coeficientes deberá encontrarse una submatriz identidad (I) de orden mm: A = [N I ] Las variables cuyos coeficientes técnicos (a ij ) se corresponden con la submatriz identidad, serán las variables consideradas básicas ( B ) en la solución inicial y sus valores de solución serán los términos independientes de las restricciones (b). El resto de variables serán consideradas no básicas ( N ) y, por tanto, su valor de solución será cero. N B b Si A no contiene una submatriz identidad o eiste algún componente negativo en b, no resulta inmediato determinar una SBF inicial. 4

43 Determinación de una SBF inicial 43 Si en la matriz A no eiste una submatriz identidad, se deberá seguir uno de los dos siguientes procedimientos: Método de Eliminación o de la M Grande Método de las Fases En ambos casos se resuelve un problema de apoyo que: En A incluye una submatriz identidad I, por lo que resulta muy sencillo determinar una solución inicial Su óptimo, si eiste, es una SBF del problema. Una vez construido el problema de apoyo se aplica el algoritmo del Simple para su solución final.

44 El método de eliminación o de la M grande 44 El término independiente (RHS) debe ser. A las restricciones del tipo se añade una variable de holgura con coeficiente + A las restricciones del tipo, se añade una variable de holgura con coeficiente - y una variable artificial con coeficiente + A las restricciones del tipo = se añade una variable artificial con coeficiente + La contribución de las variables de holgura a la función objetivo es La contribución de las variables artificiales a la función objetivo se fijan: Min: + M Ma: - M Siendo M un número suficientemente grande. Solución Infactible: Si no se eliminan todas las variables artificiales de la base cuando se ha llegado al óptimo del problema de apoyo: Solución Infactible. Solución factible: Si las variables artificiales se eliminan de la base obtenemos una solución factible.

45 45 El método de eliminación o de la M grande Ejemplo Sea el problema de P.L.: Sujeto a: Min(w)=8 +4 +,8 +, Min(w)=8 +4 +s +s +MA +MA El problema de apoyo quedaría: +,8 -s +A + -s +A,,s,s,A,A

46 46 El método de eliminación o de la M grande La representación gráfica del problema y la solución inicial sería:

47 47 El método de eliminación o de la M grande Esta primera SBF inicial se puede representar en el siguiente tableau: c j 8 4 M M B c B s s A A RATIOS A M,8-5 A M - z j M,8M -M -M M M 4 - c j -z j 8-M,8M M M

48 48 El método de eliminación o de la M grande En la primera iteración se obtendría la solución:

49 49 El método de eliminación o de la M grande En la segunda iteración se obtendría la solución óptima:

50 El método de las fases 5 El método de la M Grande incluye variables de apoyo con un coeficiente muy grande (M) o muy pequeño (-M) en la función objetivo. Esto da lugar a problemas numéricos que conducen a soluciones erróneas. Esto es especialmente grave en problemas de cierto tamaño. De ahí que los códigos comerciales utilizan una etensión del algoritmo del Simple conocida como el Método de las Fases: ª Fase: Obtener una SBF inicial. ª Fase: Obtener una solución óptima.

51 El método de las fases 5 ª FASE La contribución de las variables básicas (c j ) es = en la función objetivo. Añadir variables de holgura en las restricciones, con contribución a la función objetivo = Añadir variables artificiales pero la contribución a la función objetivo = Se minimiza la función objetivo anterior. Si la función objetivo (z) es entonces se ha llegado a una solución factible del problema inicial. SBF Inicial hallada. Las variables artificiales se pueden eliminar de la tabla y proceder con la fase ª. Ahora ya partimos de una SBF. Solución infactible del problema original. Si al final de la ª fase hay alguna variable artificial en la base.

52 El método de las fases 5 ª FASE Se eliminan de la tabla las variables artificiales. Se sustituyen los c j (contribuciones a la función objetivo) por las del problema original. Se recalculan z j y c j -z j Se comprueba si la solución es óptima analizando el valor de los costes reducidos. Si es óptima hemos terminado. Si no lo es, se sigue iterando hasta alcanzar el óptimo.

53 El método de las fases 53 Sea el problema de P.L.: Sujeto a: Min(w)=5 +4 +,8 +, ª FASE El problema de apoyo quedaría: Min(w)= + +s +s +A +A +,8 -s +A + -s +A,,s,s,A,A

54 El método de las fases 54 La representación gráfica del problema y la solución inicial sería:

55 El método de las fases 55 Esta primera SBF inicial se puede representar en el siguiente tableau: c j B c B b s s A A RATIOS A,8-5 A - z j,8 - - c j -z j - -,8

56 El método de las fases 56 En la primera iteración se obtendría la solución:

57 El método de las fases 57 En la segunda iteración se obtendría la solución óptima: Es el final de la ª Fase. Es una SBF que permite pasar a la ª Fase.

58 58 El método de las fases ª FASE Se sustituyen los c j por los originales y se recalcula la solución: Esta solución no es óptima, por tanto, hay que seguir iterando.

59 El método de las fases 59 El resultado de la 3ª iteración es la solución óptima:

60 Resolver por el método de las fases Modelo matemático Mín Z 6A 4B s. a: A B 6A B A 3B A, B 8 9 Las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidrato de carbono y grasa son 8, y 9 unidades respectivamente. Debemos obtener un preparado con esas composiciones mínimas mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kg son los que indican en la siguiente tabla. Proteínas Hidratos Grasas Costo (kg) Prod. A 6 6 Prod. B 3 4

61 Método de las fases ª FASE La contribución de las variables básicas (c j ) es = en la función objetivo. Añadir variables de holgura en las restricciones, con contribución a la función objetivo = Añadir variables artificiales pero la contribución a la función objetivo = Se minimiza la función objetivo anterior. Si la función objetivo (z) es entonces se ha llegado a una solución factible del problema inicial. SBF Inicial hallada. Las variables artificiales se pueden eliminar de la tabla y proceder con la fase ª. Ahora ya partimos de una SBF. Solución infactible del problema original. Si al final de la ª fase hay alguna variable artificial en la base.

62 ra. Fase Así quedaría el modelo matemático, con la introducción de las variables de holguras y las variables artificiales, puede verse que los coeficientes de F.O. los hemos cambiado a cero, las variables de holgura entran con cero y las artificiales con uno. Mín s. a:,,,,,,, A A A E D C B A A E B A A D B A A C B A 3 A A A OE D C B A Z

63 ra. Fase Esta primera SBF inicial se puede representar en la siguiente tabla C J VB C B b A B C D E A A A 3 Ratio A 8-4 A 6 - A Z j C j - Z j -9-5 Entra la Variable A y sale A Z CX

64 ra. Fase Esta Segunda SBF se puede representar en la siguiente tabla C J VB C B b A B C D E A A A 3 Ratio A A A Z j C j - Z j Z CX

65 ra. Fase Esta tercera SBF se puede representar en la siguiente tabla C J VB C B b A B C D E A A A 3 Ratio A A A Z j C j - Z j Z CX

66 ra. Fase Esta tercera SBF se puede representar en la siguiente tabla C J VB C B b A B C D E A A A 3 Ratio A A B Z j C j - Z j Z CX

67 ra. Fase Esta cuarta SBF se puede representar en la siguiente tabla C J VB C B b A B C D E A A A 3 D A B Z j C j - Z j Ratio Es el final de la ª Fase. Es una SBF que permite pasar a la ª Fase.

68 da. Fase Se sustituyen los c j por los originales y se recalcula la solución: C J 6 4 VB C B b A B C D E D A B Z j C j - Z j 8 4 Esta solución es óptima, por tanto, no hay que seguir iterando. Ratio

69 Esta es la solución gráfica del ppl La solución gráfica del modelo matemático se muestra en el lado derecho. Puede verse que la solución mínima recomendada es 3 del producto A y del producto B. Para un costo de $,6. Z=6 A= 3 B=

Tema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.

Tema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases. Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo

Más detalles

PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX

PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés Planteamiento del problema: PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos: A,

Más detalles

El método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex.

El método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. El método simplex Forma estándar y cambios en el modelo. Definiciones. Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. Definiciones y notación. Teoremas. Solución factible básica inicial.

Más detalles

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo:

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo: Método Simplex. Este método fue creado en el año 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el objetivo de crear un algoritmo capaz de crear soluciones

Más detalles

Programación Lineal. El método simplex

Programación Lineal. El método simplex Programación Lineal El método simplex El método simplex es una herramienta algebraica que permite localizar de manera eficiente el óptimo entre los puntos extremos de una solución a un problema de programación

Más detalles

Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex.

Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex. Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex. Introducción El método simplex resuelve cualquier problema de PL con un conjunto

Más detalles

Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I

Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I Tema # 10 El método de las M s como solución de problemas de programación lineal 1 Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Resolver modelos de programación lineal mediante

Más detalles

Tema 3. El metodo del Simplex.

Tema 3. El metodo del Simplex. Tema 3. El metodo del Simplex. M a Luisa Carpente Rodrguez Departamento de Matematicas.L. Carpente (Departamento de Matematicas) El metodo del Simplex 2008 1 / 28 Objetivos 1 Conocer el funcionamiento

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

Soluciones básicas factibles y vértices Introducción al método símplex. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

Soluciones básicas factibles y vértices Introducción al método símplex. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Soluciones básicas factibles y vértices Introducción al método símplex Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Esquema PLs en formato estándar Vértices y soluciones

Más detalles

EJEMPLO DE SIMPLEX PARA PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CASO DE MAXIMIZAR Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés

EJEMPLO DE SIMPLEX PARA PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CASO DE MAXIMIZAR Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés EJEMPLO DE SIMPLEX PARA PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CASO DE MAXIMIZAR Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés CONSTRUCCION DE LA TABLA INICIAL DEL MÉTODO SIMPLEX Una vez que el alumno ha adquirido la

Más detalles

Universidad Nacional de Ingeniería Sede: UNI-Norte Investigación de Operaciones I

Universidad Nacional de Ingeniería Sede: UNI-Norte Investigación de Operaciones I Universidad acional de Ingeniería Sede: UI-orte Investigación de Operaciones I Método Simple Revisado Ejemplo. Resolver el siguiente problema de P.L. s. a: Ma, z 6 Para resolver por el método simple revisado,

Más detalles

Pasos en el Método Simplex

Pasos en el Método Simplex Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 20 El Método Simplex ICS 1102 Optimización Profesor : Claudio Seebach 16 de octubre de 2006

Más detalles

MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD)

MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado

Más detalles

Método Simplex: Encontrado una SBF

Método Simplex: Encontrado una SBF Método Simplex: Encontrado una SBF CCIR / Matemáticas euresti@itesm.mx CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 1 / 31 Determinación de SBF Determinación de SBF El método

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA SIMPLEX Y LINEAL ENTERA a Resuelve el siguiente problema con variables continuas positivas utilizando el método simple a partir del vértice

Más detalles

PROBLEMA 1. Considere el siguiente problema de programación lineal:

PROBLEMA 1. Considere el siguiente problema de programación lineal: PROBLEMA 1 Considere el siguiente problema de programación lineal: Sean h1 y h2 las variables de holgura correspondientes a la primera y segunda restricción, respectivamente, de manera que al aplicar el

Más detalles

Investigación Operacional I EII 445

Investigación Operacional I EII 445 Investigación Operacional I EII 445 Programación Lineal Método Simple Gabriel Gutiérrez Jarpa. Propiedades Básicas de Programación Lineal Formato Estándar Un problema de programación lineal es un programa

Más detalles

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 EL METODO SIMPLEX Es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Fue desarrollado en el año de 1947 por George

Más detalles

Desarrollo de las condiciones de optimalidad y factibilidad. El problema lineal general se puede plantear como sigue:

Desarrollo de las condiciones de optimalidad y factibilidad. El problema lineal general se puede plantear como sigue: Método simplex modificado Los pasos iterativos del método simplex modificado o revisado son exactamente a los que seguimos con la tabla. La principal diferencia esá en que en este método se usa el algebra

Más detalles

PASO 1: Poner el problema en forma estandar.

PASO 1: Poner el problema en forma estandar. MÉTODO DEL SIMPLEX PASO Poner el problema en forma estandar: La función objetivo se minimiza y las restricciones son de igualdad PASO 2 Encontrar una solución básica factible SBF PASO 3 Testar la optimalidad

Más detalles

5.- Problemas de programación no lineal.

5.- Problemas de programación no lineal. Programación Matemática para Economistas 7 5.- Problemas de programación no lineal..- Resolver el problema Min ( ) + ( y ) s.a 9 5 y 5 Solución: En general en la resolución de un problema de programación

Más detalles

POST-OPTIMIZACIÓN Y SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS LINEALES.

POST-OPTIMIZACIÓN Y SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS LINEALES. POST-OPTIMIZACIÓN Y SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS LINEALES. Una de las hipótesis básicas de los problemas lineales es la constancia de los coeficientes que aparecen en el problema. Esta hipótesis solamente

Más detalles

IN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0

IN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 IN3701 - Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 Acá va una pequeña guía con problemas resueltos de Geometría en Programación Lineal con problemas básicamente extraídos del

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

Universidad Autónoma de Sinaloa

Universidad Autónoma de Sinaloa Universidad Autónoma de Sinaloa Facultad de Ciencias Sociales Licenciatura en Economía Programa de estudios Asignatura: Investigación de operaciones. Clave: Eje de formación: Básica EFBCII Área de Conocimiento:

Más detalles

Tema 5: Análisis de Sensibilidad y Paramétrico

Tema 5: Análisis de Sensibilidad y Paramétrico Tema 5: Análisis de Sensibilidad y Paramétrico 5.1 Introducción 5.2 Cambios en los coeficientes de la función objetivo 5.3 Cambios en el rhs 5.4 Análisis de Sensibilidad y Dualidad 5.4.1 Cambios en el

Más detalles

Universidad de Managua Curso de Programación Lineal

Universidad de Managua Curso de Programación Lineal Universidad de Managua Curso de Programación Lineal Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Objetivos y Temáticas del Curso Estudiantes: Facultad de CE y A Año académico: III Cuatrimestre 2014 ORIENTACIONES

Más detalles

UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL

UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que en forma reducida se puede expresar de la siguiente forma:

Más detalles

Introducción a la programación lineal

Introducción a la programación lineal Introducción a la programación lineal La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica en una

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible

Más detalles

(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX

(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX (2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA Ax = b Forma Standard y Base factible (repaso). Expresión de las v. básicas en función de las no básicas. Forma

Más detalles

RESOLUCIÓN INTERACTIVA DEL SIMPLEX

RESOLUCIÓN INTERACTIVA DEL SIMPLEX RESOLUCIÓN INTERACTIVA DEL SIMPLEX Estos materiales interactivos presentan la resolución interactiva de ejemplos concretos de un problema de P.L. mediante el método Simplex. Se presentan tres situaciones:

Más detalles

Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema # 9

Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema # 9 IO04001 Investigación de Operaciones I Tema # 9 Otras aplicaciones del método simplex Objetivos de aprendizaje Al finalizar el tema serás capaz de: Distinguir y aplicar la técnica de la variable artificial.

Más detalles

315 M/R Versión 1 Integral 1/13 2009/1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA

315 M/R Versión 1 Integral 1/13 2009/1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA 35 M/R Versión Integral /3 29/ UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA MODELO DE RESPUESTA (VERSION.2) ASIGNATURA: Investigación de Operaciones I CÓDIGO: 35 MOMENTO: Prueba

Más detalles

Lo que se hace entonces es introducir variables artificiales ADAPTACIÓN A OTRAS FORMAS DEL MODELO.

Lo que se hace entonces es introducir variables artificiales ADAPTACIÓN A OTRAS FORMAS DEL MODELO. Clase # 8 Hasta el momento sólo se han estudiado problemas en la forma estándar ADAPTACIÓN A OTRAS FORMAS DEL MODELO. Maximizar Z. Restricciones de la forma. Todas las variables no negativas. b i 0 para

Más detalles

Materia: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer. Marco Teórico

Materia: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer. Marco Teórico Materia: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer Marco Teórico El determinante se define de una manera aparentemente arbitraria, sin embargo, cuando se mira a la solución general de una matriz, el razonamiento

Más detalles

TEMA III MÉTODO SIMPLEX. CONCEPTOS BÁSICOS

TEMA III MÉTODO SIMPLEX. CONCEPTOS BÁSICOS TEMA III MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS MÉTODOS CUANTITATIVOS I TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS INDICE.- FACTORES PRODUCTIVOS (A i )....- VECTOR EISTENCIAS (P o )....- TÉCNICA... 4.- PROCESO

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo. Contenidos Cálculo Coordinación de Matemática I MAT021 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo Contenidos Clase 1: La Ecuación Cuadrática. Inecuaciones de grado 2, con y sin valor absoluto. Clase

Más detalles

Programación Lineal Continua

Programación Lineal Continua Elisenda Molina Universidad Carlos III de Madrid elisenda.molina@uc3m.es 8 de octubre de 2008 Esquema 1 Formulación y Ejemplos 2 3 Ejemplo: Producción de carbón Una empresa minera produce lignito y antracita.

Más detalles

El Método Simplex. H. R. Alvarez A., Ph. D. 1

El Método Simplex. H. R. Alvarez A., Ph. D. 1 El Método Simplex H. R. Alvarez A., Ph. D. 1 El Método Simplex Desarrollado en 1947 por George Dantzig como parte de un proyecto para el Departamento de Defensa Se basa en la propiedad de la solución esquina

Más detalles

Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014

Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj 1 / 18 Jesús Getán y Eva Boj 2 / 18 Un Programa lineal consta de: Función objetivo. Modeliza

Más detalles

Modelos de Programación Lineal: Resolución gráfica y Teorema fundamental. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

Modelos de Programación Lineal: Resolución gráfica y Teorema fundamental. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Modelos de Programación Lineal: Resolución gráfica y Teorema fundamental Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Esquema Resolución gráfica de problemas de

Más detalles

EJEMPLO 1. Solución: Definimos las variables originales como: = número de conejos. x = número de pollos.

EJEMPLO 1. Solución: Definimos las variables originales como: = número de conejos. x = número de pollos. EJEMPLO. En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su economía de forma que no se superen en conjunto las 8 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su almacén sólo

Más detalles

2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION

2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION 2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION 1. METODO GRAFICO 2. METODO SIMPLEX - ALGEBRAICO 3. METODO SIMPLEX - TABULAR 4. METODO SIMPLEX - MATRICIAL 1 2.2.1 METODO GRAFICO (modelos con 2 variables)

Más detalles

4 Ecuaciones e inecuaciones

4 Ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones e inecuaciones INTRODUCCIÓN Comenzamos esta unidad diferenciando entre identidades y ecuaciones, y definiendo los conceptos asociados a cualquier ecuación: miembros, términos, coeficientes,

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIONES, TIPOS DE SISTEMAS Y DISTINTAS FORMAS DE EXPRESARLOS

Sistemas de Ecuaciones Lineales SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIONES, TIPOS DE SISTEMAS Y DISTINTAS FORMAS DE EXPRESARLOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIONES, TIPOS DE SISTEMAS Y DISTINTAS FORMAS DE EXPRESARLOS 1.- DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición: se llama sistema de ecuaciones lineales al

Más detalles

METODO SIMPLEX NOTAS DE CLASE: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIVERSIDAD CENTRAL PROFESOR CARLOS DÍAZ. Max Z= 12X 1 + 15X 2

METODO SIMPLEX NOTAS DE CLASE: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIVERSIDAD CENTRAL PROFESOR CARLOS DÍAZ. Max Z= 12X 1 + 15X 2 METODO SIMPLEX NOTAS DE CLASE: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIVERSIDAD CENTRAL PROFESOR CARLOS DÍAZ Max Z= 12X 1 + 15X 2 Sujeto a: 2X 1 + X 2

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables

Más detalles

PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Esquema PLs no acotados Necesidad de obtener un vértice

Más detalles

Problemas de Programación Lineal: Método Simplex

Problemas de Programación Lineal: Método Simplex Problemas de Programación Lineal: Método Simplex Ej. (3.1) (C) Los siguientes Tableaux fueron obtenidos en el transcurso de la resolución de PL en los cuales había que maximizar una Función Objetivo con

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación lineal con n incógnitas Sistemas de ecuaciones lineales Es cualquier expresión del tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b, donde a i, b. Los valores a i se denominan coeficientes,

Más detalles

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a

Más detalles

1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz.

1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones reales: Solución x 1 + x = 0 ; 3 x = 3 ; ln(x 1) + 4 = ln 3 Ecuaciones con raíces: No todas las ecuaciones de este tipo son sencillas de resolver, pero podemos intentar

Más detalles

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

INVESTIGACIÓN OPERATIVA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA Mg Jessica Pérez Rivera PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN Las aplicaciones de la programación

Más detalles

Introducción a la Programación Lineal

Introducción a la Programación Lineal UNIDAD 0 Introducción a la Programación Lineal. Modelo de Programación Lineal con dos variables Ejemplo: (La compañía Reddy Mikks) Reddy Mikks produce pinturas para interiores y eteriores, M y M. La tabla

Más detalles

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5 DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno

Más detalles

Problemas de Transbordo

Problemas de Transbordo Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte Problemas de Transbordo III Unidad Temática MSc. Ing. Julio Rito Vargas II semestre 2008 El problema de transbordo Un problema de transporte permite sólo envíos

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x

Más detalles

Integradora 3. Modelos de Programación Lineal

Integradora 3. Modelos de Programación Lineal Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones Integradora 3. Modelos de Programación Lineal Objetivo Al finalizar la actividad integradora, serás capaz de: R l bl d PL di d l ét d Resolver problemas

Más detalles

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS. el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 1 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que

Más detalles

UNIDAD UNO PROGRAMACIÓN LÍNEAL Parte 4

UNIDAD UNO PROGRAMACIÓN LÍNEAL Parte 4 Ing. César Urquizú UNIDAD UNO PROGRAMACIÓN LÍNEAL Parte 4 Ing. César Urquizú Teoría de la dualidad El desarrollo de esta teoría de la dualidad es debido al interés que existe en la interpretación económica

Más detalles

Z Optima X 1 + X 2 5 Z 1 -X 1 + 2X Región factible. Figura 1

Z Optima X 1 + X 2 5 Z 1 -X 1 + 2X Región factible. Figura 1 Método Gráfico El procedimiento geométrico, es únicamente adecuado para resolver problemas muy pequeños (con no más de dos variables debido al problema de dimensionalidad). Este método provee una gran

Más detalles

Inecuaciones en. Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas. Propiedades de las desigualdades:

Inecuaciones en. Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas. Propiedades de las desigualdades: Inecuaciones en Introducción Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,, Por ejemplo: 6 ; ; 8, etc....

Más detalles

UNIDAD 8 INECUACIONES. Objetivo general.

UNIDAD 8 INECUACIONES. Objetivo general. 8. 1 UNIDAD 8 INECUACIONES Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás inecuaciones lineales y cuadráticas e inecuaciones que incluyan valores absolutos, identificarás sus conjuntos solución en

Más detalles

Investigación de Operaciones Método Simplex

Investigación de Operaciones Método Simplex FACULTA DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA Investigación de Operaciones Método Simplex Integrantes Mayta Chiclote, Ricardo Toledo Fabian, Jimmy Yarleque Esqueche, Jimmy Daniel Método Simplex Página

Más detalles

Tema No. 3 Métodos de Resolución de Modelos de Programación Lineal.

Tema No. 3 Métodos de Resolución de Modelos de Programación Lineal. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA UNIDAD CURRICULAR: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: JUAN LUGO MARÍN Tema No. 3 Métodos de Resolución

Más detalles

Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema # 6. revisado

Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema # 6. revisado IO04001 Investigación de Operaciones I Tema # 6 Introducción al método simplex matricial o revisado Objetivos de aprendizaje Al finalizar el tema serás capaz de: Emplear el Método simplex Matricial para

Más detalles

Sistem as de ecuaciones lineales

Sistem as de ecuaciones lineales Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a

Más detalles

Unidad I: Programación Lineal

Unidad I: Programación Lineal Unidad I: Programación Lineal 1.1 Definición, desarrollo y tipos de modelos de investigación de operaciones Actualmente la administración está funcionando en un ambiente de negocios que está sometido a

Más detalles

Titulo: SISTEMAS DE INECUACIONES (INECUACIONES SIMULTANEAS) Año escolar: 3er año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I

Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I Tema # 3 Modelo de programación lineal: conceptos básicos 1 Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Comprender el concepto de modelos de programación lineal. Identificar la

Más detalles

Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual

Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual 7. Programación lineal y SIMPLEX Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual Programación Lineal

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones Prueba etraordinaria de septiembre. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones.- Un sastre dispone de 8 m de tela de lana y m de tela de algodón. Un traje de caballero requiere m de algodón

Más detalles

CAPÍTULO 4. EL MÉTODO DEL SIMPLEX. 4.1. Introducción a los problemas de P.L...2. 4.2. Caracterización de los problemas de P.L...2

CAPÍTULO 4. EL MÉTODO DEL SIMPLEX. 4.1. Introducción a los problemas de P.L...2. 4.2. Caracterización de los problemas de P.L...2 CAPÍTULO 4. EL MÉTODO DEL SIMPLEX 4.1. Introducción a los problemas de P.L....2 4.2. Caracterización de los problemas de P.L....2 4.3. El algoritmo del Simple....7 4.3.1. Costes reducidos y test de optimalidad....

Más detalles

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma

Más detalles

TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TEM SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Sistemas de ecuaciones lineales. Epresión matricial. Ejemplo Epresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 9 5, Solution is: 9, 9 Se trata

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Índice: 1.Introducción--------------------------------------------------------------------------------------- 2 2. Ecuaciones lineales------------------------------------------------------------------------------

Más detalles

2-2 (x) (x) (x) 3. Para hallar la ecuación canónica de la parábola, gráfico de la función f(x) = ax 2 + bx + c, se procede de la siguiente manera:

2-2 (x) (x) (x) 3. Para hallar la ecuación canónica de la parábola, gráfico de la función f(x) = ax 2 + bx + c, se procede de la siguiente manera: Funciones cuadráticas Función cuadrática Deinición: Una unción cuadrática es una unción : R R deinida por la ormula = a + b + c Donde a, b y c son números reales y a 0. Esta epresión de la unción cuadrática

Más detalles

Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas. (Parte II)

Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas. (Parte II) Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas (Parte II) Métodos numéricos para sistemas lineales Solución numérica de EDPs requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales

Más detalles

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 20 de agosto de 2008 Índice 121 Introducción 1 122 Transpuesta 1 123 Propiedades de la transpuesta 2 124 Matrices

Más detalles

Lección 10: División de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 10: División de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 10: División de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 009 Objetivos de la lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Dividirán polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos

Más detalles

Denotamos a los elementos de la matriz A, de orden m x n, por su localización en la matriz de la

Denotamos a los elementos de la matriz A, de orden m x n, por su localización en la matriz de la MATRICES Una matri es un arreglo rectangular de números. Los números están ordenados en filas y columnas. Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos un

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL

DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL Relaciones primal-dual Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones

Más detalles

Fabio Prieto Ingreso 2003

Fabio Prieto Ingreso 2003 Fabio Prieto Ingreso 00. INECUACIONES CON UNA VARIABLE.. Inecuación lineal Llamaremos desigualdad lineal de una variable a cualquier epresión de la forma: a + b > 0 o bien a + b < 0 o bien a + b 0 o bien

Más detalles

Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se

Más detalles

DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.

DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos

Más detalles

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder

Más detalles

UNIDAD 4.- INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro)

UNIDAD 4.- INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro) UNIDAD 4. INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro) 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por

Más detalles

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.

Más detalles

2.- DEFINICIONES Y TEOREMAS BÁSICOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

2.- DEFINICIONES Y TEOREMAS BÁSICOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL EMA 9: PROGRAMACIÓ LIEAL.- IRODUCCIÓ 2.- DEFIICIOES Y EOREMAS ÁSICOS DE LA PROGRAMACIÓ LIEAL 3.- RESOLUCIÓ DEL PROLEMA 3..- Método Gráfico 3.2.- El Algoritmo del Simple. 3.2..- Justificación del Criterio

Más detalles

MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO Estandarización Tradicional

MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO Estandarización Tradicional MÉTODO SIMPLE POFESOA: LILIANA DELGADO HIDALGO Lilianadelgado@correounivalleeduco Minimizar 4x + x Sueto a: x + x 4x + x 6 x + x 4 x, x Estandarización Tradicional Minimizar 4x + x Sueto a: x + x 4x +

Más detalles