Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I

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1 Tema # 10 El método de las M s como solución de problemas de programación lineal 1 Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Resolver modelos de programación lineal mediante el método las M s. Interpretar los resultados que arroja el método de las M s al modelo de programación lineal. 2 D.R. Universidad TecMilenio 1

2 Introducción del tema Hasta la sesión anterior se revisaron problemas de maximización en donde las restricciones eran mayor que, por lo que la solución a estos problemas se daba con los métodos que hemos visto, pero qué pasa cuando nuestro problema es de minimización o tiene alguna restricción menor que o igual que? En esta sesión revisaremos el modelo de las M s, el cual nos ayuda a resolver los problemas con alguna de las características mencionadas. 3 Método de las M's Es una variación del método Simplex que consiste en penalizar la presencia de variables artificiales, mediante la introducción de una constante M definida como un valor muy grande, aunque finito. 4 D.R. Universidad TecMilenio 2

3 Método de las M's En problemas de maximización se penaliza con el valor muy grande de M negativo ( - M ). M). En problemas de minimización se penaliza con el valor muy grande de M positivo ( +M ). [ ] 5 Método de las M's La primera solución del Método Simplex, en tal caso, debe de incluir a todas las variables artificiales que fueron necesarias en el arreglo del modelo de programación lineal por resolverlo. [ ] 6 D.R. Universidad TecMilenio 3

4 Método de las M's A medida que se cumplen las etapas de cálculo en el Método Simplex, las variables artificiales deberán de ir saliendo de la misma, como consecuencia del coeficiente M. 7 Variables artificiales y excedentes - Los ejemplos vistos en el Método Simplex incluyen restricciones del tipo menor o igual ( ). - También pueden existir restricciones de mayor o igual ( ) e incluso restricciones de tipo igualdad (=). - Para utilizar el Método Simplex, cada una de éstas se debe convertir a una forma especial también. 8 D.R. Universidad TecMilenio 4

5 Variables artificiales y excedentes Una variable artificial es una variable con costo muy alto $M, que no tiene significado físico en términos de un problema de programación lineal del mundo real. Permite crear una solución factible básica para principiar el algoritmo Simplex. Restricción original: 25X + 30Y = 900 Restricción con variable artificial: 25X + 30Y + a1 = Variables artificiales y excedentes Una variable excedente sí tiene un significado físico y es la cantidad arriba del nivel mínimo requerido, que se establece en el valor del lado derecho de la restricción mayor o igual que. El costo, al igual que las variables excedentes, es de $0. Restricción original: 5X1 + 13X2 +8X 8X Restricción con variable artificial y variable excedente: 5X1 + 13X2 + 8X3 e1 + a2 = D.R. Universidad TecMilenio 5

6 Consideremos el siguiente ejemplo: MAX Z = 4X + Y Sujeto a: 3X + Y = 3 4X + 3Y 6 X + 2Y 2 X 0, Y 0 [ ] 11 Fase 1.- Convertir las desigualdades en igualdades, introduciendo variables de holgura, artificiales y excedentes en las restricciones, según corresponda: 3X + Y + a1 = 3 4X + 3Y e1 + a2 = 6 X + 2Y + h1 = 2 X, Y, h1, a1, a2, e1 0 Las variables de la base las conforman h1, a1 y a2, mientras que e1 no formará parte de la base, al ser incluida con un signo negativo en las igualdades. 12 D.R. Universidad TecMilenio 6

7 Fase 2.- Convertir a problema de maximización e igualar la función objetivo a cero: - Agregamos las M s a la función objetivo y lo convertimos en problema de Maximización: Min Z = 4X + Y + MA1 + MA2 Max -Z = -4X - Y - MA1 -MA2 - Igualamos a cero la función objetivo: -Z + 4X + Y + MA1 + MA2 = 0 13 Fase 3.- Escribir la tabla inicial Simplex, considerando: - En las columnas están todas las variables del problema, incluidas las variables de holgura, artificiales y excedentes. - Las variables de holgura son las que de inicio están en la solución y las artificiales, es decir, son las variables base. - En las filas se escriben los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción. - La última fila contiene los coeficientes de la función objetivo. 14 D.R. Universidad TecMilenio 7

8 La tabla inicial Simplex para el ejemplo es: Variables en la solución Base Variables de Decisión Variables Agregadas Solución X Y a1 e1 a2 h1 a a h Z 4 1 M 0 M 0 0 Función objetivo Valor óptimo 15 Si observamos la tabla, podemos ver que la solución no es consistente con el resultado de las variables de la base, pues el valor óptimo de la solución debe tener un valor de 9M en lugar de 0: -Z + 4X + Y + MA1 + MA2 = 0 Sustituyendo: -Z + (4 * 0) + (1 * 0) + (M * 3) + (M* 6) = 0 Z = 9M 16 D.R. Universidad TecMilenio 8

9 Se requiere canonizar la tabla de la siguiente forma: Sustituir A1 ya2y en el renglón de Z usando las ecuaciones donde las columnas a1 y a2 tienen el valor de 1: Base Variables de Decisión Variables Agregadas Solución X Y a1 e1 a2 h1 a a h Z 4 1 M 0 M Se debe aplicar la siguiente fórmula: Nuevo Renglón Z = Renglón anterior - (M*Renglón a1 + M*Renglón a2) Columna Valor Renglón a1 Renglón a2 Nuevo Valor Anterior X (M*3 + M*4) = 4 7M Y (M*1 + M*3) = 1 4M a1 M 1 0 M (M*1 + M*0) = 0 e (M*0 + M* 1) = M a2 M 0 1 M (M*0 + M*1) = 0 h (M*0 + M*0) = 0 Solución (M*3 + M*6) = 9M 18 D.R. Universidad TecMilenio 9

10 La tabla inicial Simplex canonizada para el ejemplo, es: Variables en la solución Base Variables de Decisión Variables Agregadas Solución X Y a1 e1 a2 h1 a a h Z 4 7M 1 4M 0 M 0 0 9M Función objetivo Valor óptimo 19 Fase 4.- Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base. - La variable de decisión que entra en la base se determina observando la fila la de los coeficientes de la función objetivo (Z). - Escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor. - Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. 20 D.R. Universidad TecMilenio 10

11 Condición de Salida: Cuando en la fila de la función objetivo Z no existan valores negativos. Cuando ocurra significa que hemos encontrado la solución óptima Base Variables de Decisión Variables Agregadas Solución X Y a1 e1 a2 h1 a a h Z 4 7M 1 4M 0 M 0 0 9M Variable que entra a la base: X 21 Para determinar la variable a salir de la base, se divide cada valor de la solución por el término correspondiente de la variable de decisión, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Se escoge la fila con el menor cociente positivo Base Variables de Decisión Variables Agregadas Solución X Y a1 e1 a2 h1 a / 3 = 1 a / 4 h / 1 = 4 Z 4 7M 1 4M 0 M 0 0 9M Variable que sale de la base: a1 Pivote Operacional 22 D.R. Universidad TecMilenio 11

12 Fase 5.- Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. - Los coeficientes de la variable que entra (X), se obtienen dividiendo los coeficientes de la fila de la variable que sale (a1), por el pivote operacional (3). Base Variables de Decisión Variables Agregadas Solución X Y a1 e1 a2 h1 a1 (X) 3 / 3 1 / 3 1 / 3 0 / 3 0 / 3 0 / 3 3 / 3 a h Z 4 7M 1 4M 0 M 0 0 9M 23 Para las demás filas, los nuevos valores se calculan de la siguiente forma: - Nueva fila= (Coeficiente actual de la fila) [(Coeficiente anterior en la columna de la variable entrante) X (Coeficiente de la nueva fila del pivote)] 24 D.R. Universidad TecMilenio 12

13 Para la variable a2 X Y a1 e1 a2 h1 Solución Valores actuales de la fila a2 (A) Coeficiente anterior de X en a2 (B) Nueva Fila Pivote o nuevos valores 1 1/3 1/ para X (C) Nueva fila de a2: A (B* C) 0 1/3 4/ Para la variable h1 X Y a1 e1 a2 h1 Solución Valores actuales de la fila h1 (A) Coeficiente anterior dex enh1 (B) Nueva Fila Pivote o nuevos valores 1 1/3 1/ para X (C) Nueva fila de h1: A (B* C) 0 1/3 1/ D.R. Universidad TecMilenio 13

14 Para la función objetivo Z Valores actuales de la fila Z (A) 4 7M Coeficiente anterior de X en Z (B) 4 7M X Y a1 e1 a2 h1 Solución 1 4M Nueva Fila Pivote o nuevos valores para X (C) Nueva fila de Z: A (B* C) 0 ( 1 5M) /3 0 M 0 0 9M M 7M 7M 7M 7M 7M 4 7M 1 1/3 1/ ( 4+7 M/3 M M 27 La nueva tabla Simplex con los valores de los coeficientes, sería: Base Variables de Decisión Variables Agregadas Solución X Y a1 e1 a2 h1 X 1 1/3 1/ a2 0 1/3 4/ h1 0 1/3 1/ Z 0 ( 1 5M)/3 ( 4+7M)/3 M M Nuevo valor óptimo 28 D.R. Universidad TecMilenio 14

15 A partir de la nueva tabla Simplex, el método realizará una segunda iteración, dado que existe una variable con valor negativo, en este caso la variable Y. Siguiendo el Método Simplex, se realizarían dos iteraciones más, en donde la solución óptima para el problema de minimización es: X = 2 / 5 Y = 9 / 5 Z = 17 / 5 [ ] 29 Cierre Existen problemas de minimización y restricciones que pueden ser <, >, o=, las cuales hacen que nuestro modelo de solución Simplex tenga modificaciones, para poder resolver los problemas que tengan alguna o algunas de las características anteriores, se debe usar el método de las M s. 30 D.R. Universidad TecMilenio 15

16 Para aprender más En el siguiente sitio Web encontrarás una explicación más amplia del tema. Además, encontrarás diversos ejemplos, en los que puedes aplicar los modelos de aplicación lineal. 31 Referencias bibliográficas Libro Taha, Hamdy A. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México. Pearson Educación. Capítulo D.R. Universidad TecMilenio 16

17 Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico del área: Lic. José de Jesús Romero A. MC y MED Edición de contenido: Lic. Gabriela Montserrat Elizondo García Edición de texto: Lic. Francisco Javier Vernis Vega Diseño Gráfico: Ing. Nuria Aguirre Villalobos 33 D.R. Universidad TecMilenio 17

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