Integradora 3. Modelos de Programación Lineal

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1 Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones Integradora 3. Modelos de Programación Lineal Objetivo Al finalizar la actividad integradora, serás capaz de: R l bl d PL di d l ét d Resolver problemas de PL por medio del método gráfico. Encontrar la solución óptima por medio del método simplex. Determinar el impacto del análisis de sensibilidad a la decisión de asignación de probabilidades. 1

2 Introducción En este módulo aplicaremos la programación lineal, llamada en ocasiones optimización, por medio de la cual podemos resolver problemas de maximización o minimización de una función lineal. En otras palabras, la programación lineal es la optimización de un resultado basada en un conjunto de restricciones utilizando un modelo matemático. La programación lineal constituye una de las ramas más estudiada y desarrollada de la optimización en los últimos años. Introducción En la actualidad es un instrumento habitual en las empresas privadas y administraciones públicas en todo el mundo, además de que hay numerosas aplicaciones prácticas en las demás ramas. La teoría de la programación lineal también está incluida dentro de la teoría de la optimización convexa y es también considerada una parte muy importante en la investigación de operaciones. La programación lineal es muy utilizada en los negocios y la economía, sin embargo también puede ser utilizada para resolver ciertos problemas ingenieriles. 2

3 Introducción Algunos ejemplos de aplicaciones de la programación lineal en la economía son el Método de Insumo-Producto de Leontief, la determinación de precios sombra, etc., un ejemplo de una aplicación en los negocios podría ser maximizar la utilidad de una fábrica que produce un número de productos diferentes de los mismos materiales utilizando los mismos recursos, y algunos ejemplos de aplicación en la ingeniería puede ser la aproximación de Chebyshev y el diseño de estructuras. Introducción Algunos de los métodos que abarca la programación lineal son: Método Gráfico Método Simplex Dualidad Análisis de Sensibilidad Iniciemos entonces en el práctico mundo de la p programación lineal! 3

4 Método Gráfico Qué es el método gráfico? El Método gráfico es una técnica que consiste en representar de manera gráfica la solución a un problema de Programación Lineal donde se ven involucradas dos variables de decisión. En caso de existir mas variables de decisión será necesario recurrir a otros métodos para obtener la mejor solución. Método Gráfico Pasos a seguir para obtener la mejor solución mediante el método gráfico A continuación te presentamos qué pasos debes seguir para resolver de manera correcta los problemas de Programación Lineal mediante el Método gráfico: Paso 1. Establecer cuál eje representa a cada variable de decisión. Antes de empezar a graficar, es necesario que asignes a ambas variables el eje que las representarán. 4

5 Método Gráfico Paso 2. Representar las restricciones de manera gráfica. Una vez asignados los ejes a ambas variables, será necesario graficar las restricciones establecidas en la etapa de formulación. El conjunto de restricciones graficadas en el plano cartesiano nos indicará la región en donde estarán el conjunto de soluciones y la solución óptima a nuestro problema de Programación Lineal. Cómo representar las restricciones de manera gráfica? Muy sencillo, todas las desigualdades d se convierten en igualdades. Una vez igualadas, obtenemos los puntos en donde cruza la línea con el eje X y Y y se unen los puntos. Método Gráfico Paso 3. Identificar la región factible. Como lo mencionamos en el punto anterior, el conjunto de restricciones graficadas en el plano cartesiano nos indica la región en donde se encuentran el conjunto de soluciones y la solución óptima a nuestro problema. Para ello es necesario resaltar o sombrear el área que respeta las especificaciones dadas por las restricciones hechas en la etapa de formulación. Paso 4. Obtener la mejor solución. Para obtener la mejor solución mediante el Método gráfico tenemos dos opciones, encontrarla por medio del Método de isoutilidad o por medio del Método de solución del punto esquina. 5

6 Método Gráfico Los pasos se muestran a continuación: a) Método de solución de línea de isoutilidad d 1. Igualar la función objetivo a una suma arbitraria. 2. Graficar la línea de la misma manera que se graficaron las restricciones. Método Gráfico 3. Trazar líneas paralelas a la línea de la función objetivo hacia la derecha si se desea maximizar o a la izquierda si se desea minimizar. 4. Identificar el punto más alto (maximizar) o más bajo (minimizar) en la gráfica. Dicho punto será la solución óptima a nuestro problema de programación lineal. 6

7 Método Gráfico b) Método de solución del punto esquina 1. Etbl Establecer en la gráfica los puntos más alejados ljd (punto esquina) dentro de la región factible. 2. Localizar las coordenadas de cada punto esquina. 3. Evaluar las coordenadas en la función objetivo. 4. Seleccionar la combinación que cumpla con el objetivo de nuestro problema, si se busca maximizar, la mejor solución será la de resultado mayor, si se busca minimizar será la de menor resultado. Método Simplex En el tema anterior, explicamos cómo el método gráfico puede ser usado para resolver problemas de Programación Lineal con dos variables de decisión. Sin embargo, la gran mayoría de los problemas de Programación Lineal contienen más de dos variables de decisión y no se pueden resolver con el método gráfico, por lo que se requiere un proceso de solución algebraico llamado Método Simplex. 7

8 Pasos del Método Simplex Los pasos para resolver los problemas de Programación Lineal por medio del Método Simplex son los siguientes: 1. Formular el problema. 2. Agregar variables holgura (una por cada restricción). No se toma en cuenta la restricción de no negatividad. 3. Preparar el tableau inicial. Pasos del Método Simplex 5. Identificar el valor más grande (variable que entra). 6. Identificar la razón de cambio más pequeña de la columna en la que se encuentra el valor más grande de (columna j) usando la fórmula (variable que sale). 7. Identificar el elemento pivote, el cual se encontrará en la posición ió de la columna del valor más alto de y en el renglón de la razón de cambio más pequeña. 8

9 Pasos del Método Simplex 8. Hacer que el valor del elemento pivote sea igual 1, mediante la siguiente formula: 9. Hacer que los valores arriba o abajo del elemento pivote sean igual a 0 mediante la siguiente fórmula: 10.Obtener los valores de Pasos del Método Simplex 11. Calcular los valores de 12. Calcular el valor de la función objetivo. 13. Si todos los valores de las columnas en el renglón, la solución es óptima, si no regresar al paso 5. 9

10 Dualidad El problema dual o dualidad, es estudiado por medio de la Programación Lineal y se obtiene matemáticamente de un modelo primal dado (método simplex) de Programación Lineal. Los problemas duales y primales están altamente relacionados, de tal forma que la solución simplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce automáticamente a la solución óptima del otro. Dualidad La relación del método simplex con la dualidad y el análisis de sensibilidad es que estos dos últimos son potencialidades del primero. Imagina ahora si el método simplex nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones, lo que es posible realizar por medio de la dualidad. Aunque el objetivo principal es el de resolver un Aunque el objetivo principal es el de resolver un problema de Programación Lineal llegando a una solución óptima. 10

11 Dualidad En la mayoría de los problemas de Programación Lineal, el dual es definido para varias formas del primal, dependiendo del signo de las variables, tipos de restricciones y del sentido de la optimización (es decir, si se quiere minimizar o maximizar). La experiencia nos indica que algunas veces, los analistas que no dominan esta metodología se confunden con los detalles de estas definiciones. Es aún más importante t que el uso de esas definiciones i i múltiples puede conducir a interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla simplex, sobre todo en lo que respecta a los signos de las variables. Dualidad El concepto de dualidad indica que para cada problema de Programación Lineal hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal, llamada precisamente dual. La relación entre el problema dual y el problema original o primal, presenta varias ventajas: Aporta elementos que aumentan sustancialmente la Aporta elementos que aumentan sustancialmente la comprensión de la Programación Lineal. 11

12 Dualidad El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas de Programación Lineal, por ejemplo cuando hay más restricciones que variables. El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los análisis marginales están siempre involucrados implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de Programación Lineal. Dualidad Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma: 1. Si el primal es un problema de maximización, su dual será un problema de minimización y viceversa. 2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual. 3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual. 12

13 Dualidad 4. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual. 5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. 6. Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual. Análisis de Sensibilidad Como ya lo hemos mencionado, tú como tomador de decisiones no sólo te debe de bastar con obtener la solución óptima, si no también es necesario que conozcas qué tan sensible es tu problema de Programación Lineal a los cambios en el entorno. Este análisis se debe hacer independientemente del método o manera en que hayas obtenido solución óptima, es decir ya sea por medio del Método Gráfico, Método Simplex o usando algún paquete computacional como MS Excel, WinQSB, QM, entre otros. 13

14 Análisis de Sensibilidad Dentro de la Programación Lineal existen dos tipos de análisis de sensibilidad que se deben hacer una vez obtenida nuestra solución óptima, los cuales son los siguientes: 1. Análisis de sensibilidad en los coeficientes de la función objetivo. 2. Análisis de sensibilidad en los recursos o valores del lado derecho. Análisis de Sensibilidad 1. Análisis de sensibilidad en los coeficientes de la función objetivo. Como lo hemos ido mencionando a lo largo de la explicación de la Programación Lineal, la formulación y solución de los problemas que usan esta técnica es una representación ideal de los mismos, lo cual en la realidad no es siempre así, por tal motivo los análisis de sensibilidad nos ayudarán a entender hasta qué tan sensibles son las variables y recursos usados. Tiene el propósito de ayudarte como tomador de decisiones a estar preparado en caso que suceda algún cambio en el entorno y altere la configuración a las tasas de contribución de tu objetivo, como por ejemplo la utilidad en la empresa. 14

15 Análisis de Sensibilidad 2. Análisis de sensibilidad en los recursos o valores del lado derecho. Habrá ocasiones en donde los cambios a los que nos enfrentemos en el día a día sólo se presenten en los recursos disponibles, para ello al igual que en los anteriores enfoques debemos estar preparados para tomar decisiones, esto es: qué sucedería si la cantidad de mano de obra disponible es sólo la mitad? o qué pasaría si por algún cambio o adquisición tecnológica se incrementan la cantidad de horas disponibles en un 25% en una máquina dada? Cierre Como estudiamos en este módulo, la programación lineal es una de las principales ramas de la investigación de operaciones. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión. Los modelos de programación lineal, por su sencillez, son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización. 15

16 Referencias Bibliográficas Render, B., Stair, R. M., Hanna, M. E. (2006). Métodos Cuantitativos para los Negocios. México: Pearson Prentice Hall. Créditos Diseño de contenido: Lic. Iván Alarcón Múgica, MET Coordinador académico del área: L.I. Oscar Andrés Rodríguez Múgica, MATI Edición de contenido: Lic. Miriam Gómez Moore, MED Edición de texto: Lic. Alejandra Zaragoza Scherman Diseño gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI 16

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