II. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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1 II. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Objetivo de la unidad: El estudiante, conocerá los fundamentos en que se basan las herramientas de la investigación de operaciones para la toma de decisiones. Investigación de operaciones. Son un conjunto de técnicas matemáticas para resolver una clase amplia de problemas de optimización. En esos problemas se requiere maximizar o minimizar una función lineal de n variables reales, sujeta a m restricciones. Se pueden formular y resolver una gran cantidad de problemas reales con la programación lineal (parte importante de la investigación de operaciones). Entre ellos se incluyen: 1. Programación de personal. 2. Algunas variedades de problemas de formulación de mezclas, por ejemplo, de alimento para ganado, condimentos alimenticios, helados y fabricación de acero. 3. Control de inventarios y planeación de producción. 4. Problemas de distribución y logística. 5. Problemas de asignación. Hoy en las computadoras se resuelven fácilmente problemas con miles de variables y restricciones. La programación lineal fue desarrollada para resolver problemas logísticos durante la Segunda Guerra Mundial. George Dantzig, matemático de la RAND Corporation en esa época, desarrolló un procedimiento de solución al que llamó método simplex. El mismo Dantzig se sorprendió porque el método resultó ser muy eficiente para resolver con rapidez problemas grandes. Este hecho, junto con el desarrollo simultáneo del cómputo electrónico, ubicó la programación lineal como una herramienta importante en la administración de logística. El éxito de la programación lineal en la industria impulsó el desarrollo de las disciplinas de investigación de operaciones y la ciencia administrativa. El método simplex ha pasado la prueba del tiempo. Sólo hasta fechas recientes se desarrolla otro método que podría tener potencialmente más eficacia que el simplex para resolver problemas lineales muy grandes y con estructuras especiales. Dicho método, llamado algoritmo de Karmarkar, lleva el apellido del matemático que lo concibió en los Laboratorios Bell. Objetivos de la investigación de operaciones. El objetivo de la investigación de operaciones es encontrar la solución óptima para un determinado problema (militar, económico, de infraestructura, logístico, etc.) Se usa un acercamiento científico a la solución de problemas complejos, utiliza un conjunto diversificado de instrumentos matemáticos. Para problemas de carácter económico, el objetivo puede ser obtener el máximo rendimiento o el menor costo. La investigación operacional tiene un rol importante en los problemas de toma de decisiones porque permite tomar las mejores decisiones para alcanzar un determinado objetivo respetando los vínculos externos, no controlables por quien debe tomar la decisión. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

2 Fases para resolver el problema de programación lineal. La elaboración del problema esta subdividida en fases las más comunes son: 1. Examen de la situación real. En esta fase se realiza un levantamiento de datos para reconocer y definir el problema 2. Formulación del problema. Identificación de las variables controlables y las externas (no controlables) y la elección de la función objetivo. 3. Definición del modelo. Se busca dar una buena representación del problema; debe ser fácil de usar; representar el problema, dando toda la información para poder tomar una decisión lo más idónea posible. 4. Resolución del modelo (mediante diferentes modalidades). 5. Análisis y verificación de las soluciones obtenidas: se controla si la función objetivo ofrece las ventajas esperadas; se verifica la representatividad del modelo; y, se efectúan análisis de sensibilidad de la solución obtenida. Métodos cuantitativos para la resolución de problemas. Los métodos en la investigación de operaciones para la solución de problemas son: Programación lineal. Consiste en un algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema que pueda ser formulado a través de ecuaciones lineales, hay dos tipos de ecuaciones en este modelo: la que representa la función objetivo y las que representan las restricciones del problema. Dicha programación se verá en el siguiente tema. Este método consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc. Modelo de transporte. El modelo de transporte es una clase especial de problema de programación lineal. Su objetivo es determinar las cantidades enviadas de suministro o productos desde cada punto de origen hasta cada punto de destino, que minimice el costo total del envío, al mismo tiempo deben satisfacer los límites de oferta como los requerimientos de la demanda. Método de asignación. Consiste en un caso especial para el modelo de transporte; donde solo se busca asignar un origen a un destino. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 2

3 A continuación ampliaremos la explicación de cada uno de estos modelos. PROGRAMACIÓN LINEAL (MÉTODO SIMPLEX) Es una técnica matemática que se ha usado con éxito en la solución de problemas referentes a la asignación personal, la mezcla de materiales, la distribución y el transporte y las carteras de inversión. Formular el problema La primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye: Determinar los objetivos apropiados Las restricciones Las interrelaciones Los diferentes cursos de acción Límites de tiempo para tomar una decisión. Construcción de un modelo matemático Los modelos matemáticos también son representaciones idealizadas, pero están expresadas en términos de símbolos y expresiones matemáticas. El modelo matemático de un problema industrial es el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema planeación y toma de decisiones relativas a la negociación necesaria para asignar recursos. Requisitos para formular un problema de programación lineal Todos los modelos de programación lineal deben tener: Variables Función objetivo Restricciones No negatividad A continuación veremos un problema, el cual se coloca en un taller de EXCEL con su respectivo video explicativo. Adicionalmente veremos videos del método gráfico y del simplex. Ejemplo 1: Un negocio se dedica a la fabricación de sillas y mesas ; fabricar cada uno consume una determinada cantidad de tiempo (en horas) de los departamentos corte y ensamble. Los departamentos tienen disponibles una limitada cantidad de horas de trabajo: 120 horas para corte y 90 horas para ensamble. Cada uno de los productos ofrecen a la empresa la siguiente contribución: $50 USD para las mesas y $80 USD para las sillas. Programación lineal La programación lineal es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores, en la Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3

4 La información anterior, más los consumos de tiempo de cada producto se resumen en la siguiente tabla: Proceso Consumo de tiempo por cada unidad de producto, horas Mesas Sillas Tiempo disponible en cada departamento, horas Corte Ensamble Contribución del producto $50 $80 Este tipo de problemas se resuelve con el método simplex de programación lineal. MÉTODO DE TRANSPORTE El modelo de transporte es un problema de optimización de redes donde debe determinarse como hacer llegar los productos desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda, minimizando los costos de envío. El modelo busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Entre los datos del modelo se cuenta: Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino. El modelo de transporte es un modelo matemático que se utiliza para la representación de la realidad, y como todos los modelos tienen sus fortalezas y limitaciones. Se pueden obtener resultados exactos si los supuestos que incorporan los modelos concuerdan con la realidad, dichos supuestos son. Se trasladará una sola especie de bien (es decir, no hay combinaciones de productos) Los costos son directamente proporcionales a la cantidad de bienes enviados (es decir, entre más bienes se transporten el costo se elevará comportándose como una línea recta). El transporte es el traslado de personas o bienes de un lugar a otro, todos los problemas de transporte que se encuentran en las operaciones industriales o comerciales involucran el elemento de costo (transportar un bien de un lugar a otro tiene un costo determinado). Por lo cual, en dichas operaciones se busca elaborar una estrategia en la programación de envío, de tal forma en que se lleguen a satisfacer los requerimientos y al mismo tiempo lograr reducir o minimizar el costo de dicha operación. Para lograr lo anterior se planteará como definir un problema de transporte como un modelo matemático, posteriormente como se debe colocar dicho modelo en una computadora (usando EXCEL) de tal forma que el programa logre entenderlo, finalmente se indicará como se deben interpretar los resultados. Adicionalmente se mostraran algunos complementos a los problemas de transporte, como la aplicación de trasbordo y rutas prohibidas. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4

5 Definición del modelo Un modelo es una representación de la realidad, al definir un modelo de transporte como un modelo matemático, pueden realizarse optimizaciones, las cuales en nuestro caso, es reducir los costos. El modelo de transporte más básico, y con el cual iniciaremos es el siguiente: Se tendrán puntos de suministro o fuentes (fabricas, bodegas, proveedores, etcétera) los cuales enviarán un producto determinado hasta ciertos destinos (clientes, tiendas detallistas, etcétera). Nomenclatura. Como primer requisito para el planteamiento del problema, se debe conocer la cantidad de los puntos de suministro (oferta) y la cantidad de puntos de destino (demanda). Así como los costos de envío de cada combinación. Para poder manejar todos estos datos, se requiere estandarizar una nomenclatura, es decir, definir cómo se les llamará a cada variable del modelo. Por ejemplo, para un problema de transporte con tres puntos de origen y tres de destino, se puede plantear como el esquema mostrado. Ejemplo. Considere una mercancía elaborada por una empresa que tiene dos fábricas (F1 y F2) situada en dos ciudades distintas, la producción mensual de dichas fábricas es de 18 y 15 unidades respectivamente y que el número de unidades requeridas al mes por los tres mercados o almacenes (M1, M2 y M3) es de 16, 10 y 7 respectivamente, la siguiente tabla indica el costo de transportación desde cualquiera de las fábricas hasta cualquiera de los mercados. Oferta (Orígenes) Mercado Total oferta por Fábrica (Recursos) M1 M2 M3 Fábrica 1 $ 6 $ 5 $ 1 18 Fábrica 2 $ 4 $ 2 $ 4 15 Total demanda por destino Este tipo de problemas se resuelven usando un modelo de transporte. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5

6 MODELO DE ASIGNACIÓN Este modelo es equivalente al modelo anterior de transporte, solo que tiene las siguientes características: De las fuentes (ofertas) se enviará una UNIDAD a los destinos (demandas). Este proceso de envío de una unidad equivale a asignar una fuente a un destino. Ejemplo: Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de cuatro máquinas. Las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan en la tabla adjunta. Se pretende que el tiempo a laborar por cada operario en cada una de las máquinas sea mínimo. Encuentra la asignación óptima para este problema. Máquina Operario A B C D Descarga los siguientes talleres de EXCEL para realizar los ejercicios de esta unidad Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 6

7 Actividad 2 Identificación del mejor método de solución. Identifiquen el método de solución más adecuado para cada planteamiento. 1.- Se requiere determinar la mejor combinación de productos (A y B) los cuales ofrecen cada uno una ganancia de $3 y $5 pesos por unidad vendida. Suponiendo que todo lo producido se vende, además de disponerse los siguientes datos del proceso: Proceso Consumo de tiempo por cada unidad de producto, horas Tiempo disponible en cada A B departamento, horas Maquinado Corte Contribución del producto $3 $5 Determine que método de solución requiere, márquelo con una X ( ) Método de transporte ( ) Método de asignación ( ) Método simplex de programación lineal. 2.- Se requiere enviar de dos almacenes a tres tiendas minoristas los costos de envío de cada ruta se muestra en la siguiente tabla: Oferta (Orígenes) Tiendas minoristas Total oferta por Fábrica (Recursos) Almacén 1 $ 1 $ 3 $ 7 9 Almacén 2 $ 2 $ 4 $ 2 12 Total demanda por destino Determine que método de solución requiere, márquelo con una X ( ) Método de transporte ( ) Método de asignación ( ) Método simplex de programación lineal. 3.- Se requiere asignar el surtido de un almacén a una tienda minorista, los costos por asignar un almacén a cada tienda se muestran a continuación: Oferta (Orígenes) Tiendas minoristas Almacén 1 $ 1 $ 3 $ 7 Almacén 2 $ 2 $ 4 $ 2 Almacén 3 $ 3 $ 6 $ 1 Determine que método de solución requiere, márquelo con una X ( ) Método de transporte ( ) Método de asignación ( ) Método simplex de programación lineal. Hacerlo en forma de RESUMEN, las rubricas de dicho producto se pueden consultar en la siguiente liga: Enviar el trabajo a los siguientes correos: También enviar copia del correo a sus compañeros de equipo y a usted mismo. Colocar en ASUNTO: 2.1 Introducción a la investigación de operaciones Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 7

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