Tema 1: Electrostática * Ley de Coulomb y campo eléctrico. - Ley de Coulomb - Concepto y definición de campo eléctrico * Distribuciones de carga.

Transcripción

1 Tema : lectostática * Ley de oulomb y campo eléctico. - Ley de oulomb - oncepto y definición de campo eléctico * Distibuciones de caga. Aplicaciones -Dipolo - Hilo - Anillo -Disco * Flujo eléctico. Ley de Gauss. Aplicaciones -Lámina - ilindo -sfea * Potencial eléctico. Aplicaciones -Dipolo -sfea *apacidad. ondensadoes. Aplicaciones - ondensado plano-paalelo - ondensado cilíndico - ondensado esféico. - Asociación de condensadoes * Dielécticos. * negía electostática.

2 La atacción electostática de cuepos cagados elécticamente se conoce desde la antigua Gecia. Ley de oulomb y campo eléctico. Se obsevó ue tas fota el ámba (elekton en giego), este mateial ataía peueños objetos. Sabemos ue hay dos clases de caga, positiva y negativa (en el SI se miden en coulomb, ). ualuie fagmento de mateia tiene apoximadamente cantidades iguales de cada clase. Al cagalo (po fotamiento u oto pocedimiento) esa situación de euilibio se modifica.

3 Ley de oulomb hales oulomb (76-86) estudió cuantitativamente la fueza ejecida po una cuepo cagado sobe oto. Los esultados de sus obsevaciones conducen al enunciado de la ley ue lleva su nombe. s análoga a la ley de la gavedad po la dependencia con la distancia, peo difiee en tanto en cuanto esta inteacción puede se atactiva o epulsiva según sea el tipo de caga de los cuepos.

4 ampo eléctico omo en el caso gavitatoio, paa maneja esta inteacción a distancia se intoduce el concepto de campo, en este caso eléctico. La caga i poduce un campo en todo punto del espacio, capaz de ejece una fueza sobe cualuie ota caga, y se define como: F ( peueña) olviendo a la ley de oulomb, se tiene ki ip ˆ ip ip ( /m ) Su unidad en el SI es el olt po meto punto de campo P posición de la fuente i

5 Distibuciones de caga. Distibuciones discetas. Dipolo eléctico. l campo eléctico asociado a una distibución de cagas puntuales es: P i ip i k i ip ˆ ip aso elevante de este tipo de distibución es el dipolo electico. Se descibe po su magnitud momento dipola eléctico p p L P k ˆ P P ˆ P P Paa puntos muy distantes ( p+ p- p >> L), la expesión apoximada del campo es dip P p k 5 P P p P

6 Distibuciones de caga. Distibuciones continuas. Si los cuepos cagados son extensos y no pueden manejase como puntos, habemos de dividilos en elementos de caga d suficientemente peueños. l difeencial de campo a ue cada d da luga es k d d ˆ donde es la distancia desde el elemento de caga al punto de campo. l campo neto se obtiene mediante integación: d k ˆ d Según cuales sean las dimensiones elativas de los cuepos cagados, hablaemos de distibuciones de caga en línea, en supeficie o en volumen.

7 Se descompone el campo según x e y k dxs k dxs cos dx ˆ î k dxs sen dy stas expesiones se integaán a la longitud L, esto es de x=x a x. onviene cambia de vaiable yp sen lo ue conduce a: Ε x k y p Distibuciones de caga. Distibuciones continuas. Línea cagada unifomemente. ; dx s y csc d Paa una línea muy laga se tendá p sen - sen ; Ε cos - cos k y yp θ,θ x = ; y = k y p

8 Distibuciones de caga. Distibuciones continuas. ampo eléctico en el eje de un anillo cagado unifomemente. n este caso, la simetía de la distibución pemite conclui ue el campo esultante ha de esta diigido según el eje. Su magnitud se obtendá opeando del modo siguiente d z kd kd z kzd cos z kzd kz kz d z kz a / kˆ

9 Distibuciones de caga. Distibuciones continuas. je de un disco cagado unifomemente. Pasamos así a una distibución de caga en supeficie. amos a apovecha el esultado pevio, y descomponemos el disco en anillos de adio a y anchua da. stos poducen un campo k d z d kˆ z / a La caga en dicho anillo es d da ada e integando a toda la supeficie se llega a z z k kˆ z z b sta expesión se puede adapta paa escibi el campo geneado po un plano infinito. Bastaía con toma b muy gande, lo ue conduciía a: k z z kˆ

10 Flujo eléctico. Ley de Gauss. l flujo de un campo vectoial a tavés de una supeficie ceada S se define como nˆ da da S S donde n es el vecto unitaio nomal a la supeficie. Desde un punto de vista físico, el flujo de un campo es popocional a la magnitud de las fuentes del campo enceadas po la supeficie. Paa el caso específico del campo eléctico dicha elación viene establecida po la ley de Gauss. S da enc n da 4kenc S

11 Flujo eléctico. Ley de Gauss. La ley de Gauss euivale a la de oulomb. Paa pobalo, es necesaio ecui al concepto de ángulo sólido, análogo tidimensional del ángulo común. A nˆ ˆ A cos Se mide en esteoadianes, y es el mismo paa toda supeficie ue cote el cono de la figua. Su magnitud es la supeficie de la esfea de adio unidad secada po el cono. Paa el cono de apetua máxima, esfea: 4 4 mientas ue al degenea en una ecta, se obtendía el valo mínimo,. ayamos a la expesión del flujo eléctico, y consideemos una sola caga puntual como fuente.

12 Flujo eléctico. Ley de Gauss. S k ˆ da S k A cos k s k 4 Si la caga se encuenta dento del volumen enceado po la supeficie, la apetua angula paa abacala es la misma ue paa la esfea unidad, lo ue llevaía a: 4k Si la caga fuese extena, tomando peueños conos se obsevaía ue estos ataviesan la supeficie en dos ocasiones. Se tendían dos contibuciones idénticas a la integal del ángulo sólido, salvo poue la componente nomal del campo a la entada y la salida de la supeficie han de tene signos opuestos. Po ello, dichas contibuciones se anulan. esumiendo, se tiene: i i enc, i, enc j, ext o i enc o enc o Ley de Gauss

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14 Flujo eléctico. Ley de Gauss. Lámina unifomemente cagada. sta distibución es simética especto al plano Z. Una taslación abitaia según X o Y, no modifica la distibución de cagas y, además cualuie eje otogonal al plano Z es también un elemento de simetía, po lo cual: ( ) (z)kˆ Po ello, si se toma una supeficie como la de la figua, la ley de Gauss simplifica notablemente la esolución de este poblema: enc ( z) A enc Paa puntos extenos a la distibución de caga, el campo seá: ( z a) Mientas ue en su inteio ( z ; (z) dv Az, z dv Aa, z a kˆ a) a z kˆ z z kˆ ( z) a a ;

15 ( ) Flujo eléctico. Ley de Gauss. ilindo unifomemente cagado. Paa esta distibución una taslación abitaia o un gio según el eje Z no altea la distibución de cagas.además cualuie eje otogonal al Z es de simetía, po lo cual: ()ˆ Nuevamente, al toma una supeficie como la de la figua, la ley de Gauss simplifica notablemente la esolución de este poblema: enc () L dv L, a ; donde a es ahoa el adio del cilindo cagado. ( a) ( a) ˆ a ˆ enc a L, a a

16 enc Flujo eléctico. Ley de Gauss. sfea unifomemente cagada. Paa este tipo de distibución, una otación en tono a cualuie eje ue pase po el cento del sistema deja todo inalteado: ( ) Las supeficies de integación elegidas ahoa seán esfeas concénticas a la distibución: ( ) 4 con adio de la distibución de caga. Paa el inteio de esfea se tiene: Y en el exteio ()ˆ 4 4 dv, ; enc, ( ) ( ) ˆ ˆ

17 Potencial eléctico. La fueza eléctica es consevativa y, al igual ue en el caso de la fueza gavitatoia, nos pemite defini una función enegía potencial U asociada a ella. Paa un desplazamiento difeencial dl en el luga de aplicación de la fueza sobe una caga puntual, la vaiación de la enegía`potencial du es: du F d l d l P ste incemento de enegía es popocional a la magnitud de la caga desplazada, de tal manea ue podemos, defini la enegía potencial po unidad e caga desplazada, ue es lo ue llamamos potencial elléctico: d du d l La unidad de potencial en el SI seá J/, ue tiene po nombe volt (). onsideemos el caso de una caga puntual. l oigen de potencial se toma en el infinito. ntonces: P P 4 ˆ d l 4 b a d b a 4 P d l

18 Potencial eléctico. Sistemas de caaggas puntuales. Dipolo. l potencial debido a un sistema de cagas puntuales, de acuedo con el pincipio de supeposición, es: i 4 i donde i es la distancia desde la caga i-ésima hasta el punto de campo P. olvamos al caso de un dipolo eléctico. La expesión exacta del potencial seá: La expesión asintótica paa puntos de campo muy distantes (especto a la distancia ente las cagas del dipolo) es: dip p 4

19 Potencial eléctico. Distibuciones de caga. sfea cagada unifomemente. l potencial debido a una distibución continua de caga es: donde es la distancia desde el elemento de caga hasta el punto de campo P. Paa distibuciones de alta simetía, la integación diecta del campo eléctico seá más sencilla. eámoslo paa este caso ya estudiado. ecodemos: on el oigen de potenciales en infinito, evaluamos pimeo fuea de la distibución: Paa el inteio, se tendá: d 4 ˆ ) ( ; ˆ ) ( P P ˆ ) ( P dl dl dl p P P P P ˆ ˆ ˆ ) (

20 Supeficies euipotenciales

21 apacidad. ondensadoes. onductoes Se entiende po conducto un sistema ue tiene cagas libes, susceptibles de movese bajo la acción de un campo eléctico. Po consiguiente cuando el conducto está en situación euilibio el campo eléctico en su inteio debe anulase. Po tanto, el potencial es constante en un conducto. Sea el conducto de la Fig. situamos una supeficie gaussiana justo po dento de la supeficie del conducto. Si aplicamos la ley de Gauss a esa supeficie, S da enc omo el conducto está en euilibio, el campo tiene ue se nulo, y po consiguiente la caga en el inteio de un conducto en euilibio es ceo. Po consiguiente, un conducto es un volumen euipotencial. La caga se localizaá sobe la supeficie. Tendemos una densidad supeficial de caga:

22 n n a Sobe la supeficie n t Si la componente tangencial no fuea nula, las cagas se moveían y no había euilibio, po consiguiente t =, el campo es nomal a la supeficie S da a a ; ampo en la supeficie de un conducto en euilibio electostático

23 amos a considea un sistema fomado po un solo conducto (esféico po simplifica). La caga se distibuiá unifomemente sobe su supeficie, lo ue implicaá: ( ) 4 ( ) conducto 4 La azón ente la caga y el potencial ue un conducto aislado es su capacidad ˆ 4 aduiee 4

24 apacidad. ondensadoes. s más común habla de capacidad cuando nos efeimos a condensadoes. Un condensado es un dispositivo fomado po dos conductoes (placas) ue aduieen cagas de igual magnitud y signo opuesto. l cociente ente la magnitud de la caga de las placas y la difeencia de potencial ente ellas es, al igual ue en el caso del conducto aislado, constante paa una geometía fija La unidad de capacidad en el SI es el faadio (F). sta unidad, desde un punto de vista páctico, es demasiado gande (una esfea conductoa debeía tene un adio 9 9 m paa ue su capacidad fuese unitaia), po lo ue habitualmente se emplean sus submúltiplos, como el micofaadio ( F= -6 F), el nanofaadio ( nf= -9 F) y el picofaadio ( pf= - F). n la expesión de la capacidad de la esfea conductoa, se ve ue dimensionalmente la pemitividad del vacío es un cociente ente capacidad y longitud. 8,854 F / m

25 apacidad. ondensadoes. ondensado plano-paalelo. n este tipo común de condensado, las placas son dos láminas metálicas planas (delgadas) paalelas, sepaadas una distancia (d) mucho meno ue las dimensiones ue definen el áea (A) de dichas placas. ntonces, las placas son, a efectos pácticos, asimilables a dos planos cagados muy extensos (indefinidos). l campo poducido po tal distibución, vimos ue es: k u z u z A Supeponiendo los efectos de las dos placas, se tiene ue en la egión ente placas: z d z d dz d uz z dl A u A A A z Así pues, la capacidad del condensado de placas paalelas es: d A A d z u z

26 n este caso las placas son dos cilindos conductoes coaxiales, uno de adio y oto de adio inteno, ambos de longitud L (L>>, ). on esta condición, las distibuciones de caga son pácticamente cilindos indefinidos cagados unifomemente en supeficie. enc () l l L () De auí deivamos la difeencia de potencial ente las placas y la capacidad: o la capacidad po unidad de longitud del cilindo apacidad. ondensadoes. ondensado cilíndico. ˆ L ˆ d dl ln( / ) L L L L ln( / ) L = /L = ln( / )

27 apacidad. ondensadoes. ondensado esféico. Las placas son ahoa dos esfeas conductoas concénticas, la intena de adio y la extena de adio inteno. Las distibuciones de caga son esfeas cagadas unifomemente en supeficie. enc () 4 () 4 ˆ De auí pasamos a la difeencia de potencial y la capacidad 4 4 ( ˆ d l 4 ) d 4 ( 4 )

28 apacidad. ondensadoes. Asociaciones de condensadoes. Asociación en paalelo De la definición de capacidad: Asociación en seie Y de la elación ente las tes magnitudes: ) ( i i e e e i i e

29 Dielécticos. n un mateial dieléctico o aislante, a difeencia de un conducto, no se dispone de cagas libes capaces de desplazase libemente bajo la acción de un campo eléctico. emos abajo el efecto de un campo eléctico paa medios no conductoes, bien apolaes (izuieda) o polaes. n cualuiea de los dos casos, el esultado es el mismo: las cagas positivas tienden a desplazase siguiendo el campo, mientas las negativas lo tienden a hace en el sentido inveso: las moléculas se polaizan en la diección del campo.

30 Dielécticos. amos a analiza la influencia de su pesencia en los fenómenos elécticos. onsideamos paa ello una situación sencilla, un condensado plano-paalelo y estudiaemos de foma semicuantitativa las vaiaciones ue se poducen en este sistema. n las poximidades de las placas, apaece una concentación elativa de cagas en exceso del tipo opuesto al de la placa. sto se taduce, paa una caga fija en las placas, en una disminución de la intensidad del campo dento del condensado: donde es la constante dieléctica del mateial

31 Dielécticos. Si seguimos apoyándonos en el condensado planopaalelo, constatamos ue la disminución de la intensidad del campo implica una meno difeencia de potencial ente las placas: de iz d dl sto, en la páctica, epesenta un incemento en la capacidad del condensado: Siendo más específicos, paa el caso conceto del condensado plano: A d A d donde, poducto de la pemitividad del vacío po la constante dieléctica del medio, es la pemitividad del dieléctico. uando opeemos con mateiales aislantes, las expesiones ue veníamos manejando hasta ahoa se habán de modifica, de manea ue la pemitividad del medio apaeceá en luga de la del vacío. Así, po ejemplo, la ley de Gauss se expesaá como: enc S da

32 Una memoia (DAM-(Dynamic andom Access Memoy) es la auitectua más simple de un chip de memoia micoelectónica. Un célula sencilla ue almacena un bit de infomación consta de un tansisto y un condensado de almacenamiento. uando se aplica un voltage a la wod line se activa el tansisto lo ue pemite tansfei la caga del condensado de almacenamiento a la bit line con una lectua de, ó, según ue esté descagado, ó cagado.

33 negía potencial electostática. La enegía potencial electostática de una distibución de cagas es el tabajo ue se inviete en tanspota dichas cagas desde posiciones muy distantes ente sí hasta sus posiciones finales en el sistema de cagas. Paa dos cagas, supuesta fija la caga, el tabajo paa lleva la hasta su posición es: Si se añade ota caga al sistema, el tabajo adicional seá: l tabajo neto paa junta las tes cagas es: 4 ) ( W 4 4 ) ( W W

34 negía potencial electostática. La enegía potencial electostática U de un sistema de n cagas puntuales, genealizando, es: n Paa una distibución continua de caga, opeaíamos del modo ue ya hemos puesto en páctica peviamente: Paa una distibución de caga en volumen se tendía Si fuese en supeficie U U i i i U ste tipo de distibución apaece, en paticula, paa medios conductoes. ntonces U da j j j j j j S j distibución S j donde la suma se extiende ahoa a los cuepos conductoes con cagas j potenciales j. da S distibuci ón d da U dv distibuci ón y

35 negía potencial electostática. Un condensado es un dispositivo ue enta dento de estas situaciones. Teniendo en cuenta las caacteísticas específicas de estos sistemas podemos escibi: U condensado j j j ( ) Tomemos la última expesión en el caso del condensado plano-paalelo U A d d (Ad) La enegía apaece como poducto del volumen del condensado (Ad) po cieta expesión ue tiene magnitud de enegía po unidad de volumen. No lo pobaemos, peo, de hecho, la enegía electostática de un sistema de cagas se puede evalua altenativamente como integal de dicha densidad de enegía: U todo dv el espacio