Campo eléctrico. Líneas de campo. Teorema de Gauss. El campo de las cargas en reposo. Campo electrostático

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1 qco sθ qz Ez= 4 zπε0 2+ R2 = 4πε0 [z2 +R2 ]3/ 2 El campo de las cargas en reposo. Campo electrostátco ntroduccón. Propedades dferencales del campo electrostátco. Propedades ntegrales del campo electromagnétco. Teorema de Gauss. El potencal electrostátco. Ecuacones del potencal. La condcón de equlbro para conductores homogéneos y sus consecuencas. Campo eléctrco Ley de Coulomb, accón a dstanca, nfluenca local, concepto de campo Problema del autocampo Defncón de campo eléctrco debdo a una dstrbucón de carga ~E(~r) = V ρ(~r 0 )(~r ~r 0 ) ~r ~r 0 3 d 3 ~r 0 Ejemplo: hallar el campo eléctrco producdo por un anllo de rado R cargado con carga Q sobre el eje z Camno ntutvo de = λds 4πε0 = λds 4πε0 z 2 + R 2 Líneas de campo Ez = q cos θ 4πε0 z 2 + R 2 = qz 4πε0 [z 2 + R 2 ] 3/2 Camno formal ρ(~r 0 )=λδ(r 0 R)δ(z 0 ) ~r ~r 0 = z~u z R cos θ~u x R sn θ~u y ~r ~r 0 = p z 2 + R 2 E z = λδ(r 0 R)δ(z 0 )zr 0 dr 0 dφdz 0 [z 2 + R 2 ] 3/2 Teorema de Gauss La evaluacón del campo eléctrco parece complcada ncluso en problema sencllos S hay smetría puede aprovecharse ésta para la determnacón del campo eléctrco medante el teorema de Gauss, que en su forma ntegral nos dce que: ~E(~r) d S(~r) ~ = q S es una superfce cerrada (real o magnara) y q la carga total encerrada Johann Carl Fredrch Gauss ( ) Uno de los matemátcos más grandes de la hstora Publcó sus trabajos más mportantes en las áreas: Geometría no eucldana y dferencal Estadístca (ncluyendo mínmos cuadrados) Teoría del potencal Magnetsmo terrestre

2 Flujo del campo eléctrco El flujo es proporconal al número de líneas de campo que atravesa una superfce determnada Φ E = X AE cos θ En forma vectoral, crcunferenca de rado r= Ángulo plano y ángulo sóldo α superfce esférca de rado r= Ω Φ E = X ~A ~E La ntegral sobre una superfce cerrada es: Φ E = ~E d A ~ α = l r α Ω = S T =2π Ω T =4π Ángulo sóldo Demostracón del T. Gauss Φ E = ~E(~r) d S ~ = ρ(~r 0 )(~r ~r 0 ) ~r ~r 0 3 d 3 ~r 0 d S ~ ntercambando la ntegral de superfce por la de volumen, Φ E = " (~r ~r 0 ) d S(~r) ~ # ρ(~r 0 ~r ~r 0 3 )d 3 ~r 0 Ω = A cos θ = Aˆn ˆr Φ E = dω(~r 0 )ρ(~r 0 )d 3 ~r 0 S no hay cargas Φ E =0 Carga puntual Cuál es el flujo a través de cada superfce cerrada? S? S 2? S 3? S 4? Superfce esférca de rado r que encerra una carga q en el orgen Calculemos el flujo a través de la esfera Φ E = H E ~ d S ~ Φ E = H EdS = E H ds q = E4π E = q Generalcemos a cualquer superfce 2

3 Hlo ndefndo Plano ndefndo Flujo a través de la superfce del clndro Φ E = σa =2EA Φ E = q = λl = E2πrl E = λ 2π r Campo en la superfce del plano aslante E = σ 2 Forma dferencal del teorema de Gauss ~E d ~ S = ~ ~Ed 3 ~r = ~ ~E(~r) = ρ(~r) ρd 3 ~r ρd 3 ~r Fuerza entre dos masas F G = G mm Campo gravtatoro W f = W f = Campo gravtatoro y electrostátco ~F ~ds = q F C = K qq Campo eléctrco ~F g = m~g ~ Fe = q ~ E Trabajo como dferenca de energía potencal (gravtatora o electrostátca) ~F ~ds = m Fuerza entre dos cargas ~g ~ds = U = U U f ~E ~ds = U = U U f Potencal eléctrco Superfces equpotencales Se defne el potencal eléctrco como la energía potencal por undad de carga,.e. V = U q W = R f ~F d~s = q 0 R f V = V f V = R f De la defncón de potencal, ~E ~ds En forma dferencal, dv = E ~ ds ~ = Edscos θ = E s ds Por lo tanto E s = dv ds ~E = ~ V ~E d~s = U Dado que cuando E y ds son perpendculares no hay varacón de potencal, las superfces equpotencales son perpendculares a las líneas de campo. 3

4 El campo y el potencal De la expresón del campo eléctrco en térmnos del potencal, ~E = ~ V ~ ~ E =0 se deduce que el campo electrostátco (el de las cargas en reposo) es rrotaconal. Esto, en térmnos ntegrales ndca que la crculacón del campo eléctrco es nula, sea cual sea la trayectora: ~E d ~ l =0 El prncpo de superposcón de aplca de forma más convenente al potencal ~E = ~E + ~E 2 + = ~ V ~ V 2... ~E = ~ (V + V ) Pero Expresón ntegral para V ~E(~r) = ~r ~r 0 ~r ~r 0 = ~ 0 3 ρ(~r 0 )(~r ~r 0 ) ~r ~r 0 3 d 3 ~r 0 ~r ~r 0 = ~ Luego E(~r) ~ = Por tanto V (~r) = ~r ~r 0 ρ(~r 0 ) ~r ~r 0 d3 ~r 0 ρ(~r 0 ) ~r ~r 0 d3 ~r 0 Ecuacones de Posson y Laplace De la ley de Gauss, y la defncón en térmnos del potencal Ecuacón de Posson V = ρ ~ ~ E = ρ ~E = ~ V Ecuacón de Laplace V =0 Conductores (perfectos) El campo es cero en el nteror del conductor Las cargas en un conductor están en la superfce La superfce de un conductor es una superfce equpotencal: el campo eléctrco es perpendcular a la superfce de un conductor En regones con más curvatura hay más acumulacón de carga Campo eléctrco en la superfce de un conductor El flujo a través del clndro de la fgura es Φ E = σa = EA por el teorema de Gauss, luego el campo en la superfce del conductor es: E = σ Fuerza sobre la superfce de un conductor cargado El campo sobre la superfce del conductor (fuera del conductor) sabemos que vale E a = σ por el teorema de Gauss, mentras que el campo en el nteror es nulo, E b =0 La fuerza sobre un elemento de carga es fds = σdse El campo en a y b lo podemos escrbr como E a = E resto + σ E b = E resto σ 2 2 La densdad de fuerza sobre la superfce de un conductor cargado es: f = σ2 2 4

5 Cargas nducdas Al ntroducrse una carga q dentro de una superfce conductora hueca, debe nducrse una carga en la superfce nterna del conductor de manera que se anule el campo en el volumen del msmo. 5

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