Ecuación de Bellman y Aplicaciones a la Optimización de Trayectorias

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1 Resumen Implementación de Esquemas Numéricos para la Ecuación de Bellman y Aplicaciones a la Optimización de Trayectorias Departemento de Ingeniería Matemática Universidad de Chile 7 de enero de 2005

2 Resumen Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5

3 Resumen Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5

4 Resumen Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5

5 Resumen Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5

6 Resumen Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5

7 Resumen Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman Parte II: Modelos Aeroespaciales 6 Modelo general 7 Modelo reducido 8 Hamiltoniano decentrado

8 Resumen Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman Parte II: Modelos Aeroespaciales 6 Modelo general 7 Modelo reducido 8 Hamiltoniano decentrado

9 Resumen Parte I: Ecuación de Hamilton Jacobi Bellman Parte II: Modelos Aeroespaciales 6 Modelo general 7 Modelo reducido 8 Hamiltoniano decentrado

10 Parte I

11 Resumen Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5

12 Sistemas controlados Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Consideremos el siguiente sistema dinámico controlado: { ẏ(t) = f (y(t), α(t)), t 0 y(0) = x donde x R N es la posición inicial, y x,α ( ) R N es la trayectoria, f es la dinámica y α el control, elegido en el espacio de controles: A = {α : [0, ) R m α es medible y α(t) A c.t.p. t > 0} con A R m compacto. Supondremos que f es continua y que f (, a) es uniformemente Lipschitz con respecto a a A.

13 Ejemplo: El carro-cohete Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Consideramos un carro el cual: Está restringido a moverse en una sola dirección. El carro tiene control exacto de su aceleración. El módulo de la aceleración es menor que 1[m/s 2 ]. El sistema controlado para el carro es: ( ) ( ) ẏ(t) = y(t) + α(t), y(0) = x, A = [ 1, 1]

14 Ejemplo: El carro-cohete Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Consideramos un carro el cual: Está restringido a moverse en una sola dirección. El carro tiene control exacto de su aceleración. El módulo de la aceleración es menor que 1[m/s 2 ]. El sistema controlado para el carro es: ( ) ( ) ẏ(t) = y(t) + α(t), y(0) = x, A = [ 1, 1]

15 Ejemplo: El carro-cohete Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Consideramos un carro el cual: Está restringido a moverse en una sola dirección. El carro tiene control exacto de su aceleración. El módulo de la aceleración es menor que 1[m/s 2 ]. El sistema controlado para el carro es: ( ) ( ) ẏ(t) = y(t) + α(t), y(0) = x, A = [ 1, 1]

16 Ejemplo: El carro-cohete Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Consideramos un carro el cual: Está restringido a moverse en una sola dirección. El carro tiene control exacto de su aceleración. El módulo de la aceleración es menor que 1[m/s 2 ]. El sistema controlado para el carro es: ( ) ( ) ẏ(t) = y(t) + α(t), y(0) = x, A = [ 1, 1]

17 Problema de Controlabilidad Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Destino o Interfaz: T R N conjunto cerrado con frontera compacta. Tiempo de llegada a Destino:t x (α) = inf{t > 0 : y x,α (t) T } Tiempo Mínimo: T (x) = inf{t x (α) : α A} Conjunto Alcanzable: R = {x R N : T (x) < + } Preguntas: Cómo es el Conjunto R? Es posible caracterizar R de acuerdo a las propiedades de f y de A?

18 Problema de Controlabilidad Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Destino o Interfaz: T R N conjunto cerrado con frontera compacta. Tiempo de llegada a Destino:t x (α) = inf{t > 0 : y x,α (t) T } Tiempo Mínimo: T (x) = inf{t x (α) : α A} Conjunto Alcanzable: R = {x R N : T (x) < + } Preguntas: Cómo es el Conjunto R? Es posible caracterizar R de acuerdo a las propiedades de f y de A?

19 Problema de Controlabilidad Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Destino o Interfaz: T R N conjunto cerrado con frontera compacta. Tiempo de llegada a Destino:t x (α) = inf{t > 0 : y x,α (t) T } Tiempo Mínimo: T (x) = inf{t x (α) : α A} Conjunto Alcanzable: R = {x R N : T (x) < + } Preguntas: Cómo es el Conjunto R? Es posible caracterizar R de acuerdo a las propiedades de f y de A?

20 Control Óptimo Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Selección de controles: Si x R, Cuál es el mejor control ara alcanzar T? Criterio de minimización: J(x, α) = tx (α) 0 l(y x,α (s), α(s))e λs ds+e λtx (α) g(y x,α (t x (α))) (1) donde l es el costo instantáneo, g es el costo final y λ 0 es la tasa de descuento. Definition (Control Óptimo) Dado un estado inicial x, un control α A se dice CONTROL OPTIMO si J(x, α ) = inf{j(x, α) : α A}

21 Control Óptimo(cont.) Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos El objetivo general de este trabajo es: El estudio de métodos numéricos para encontrar controles óptimos para un sistema (f, A, l, g, T ) y estado inicial x dados.

22 Algunos métodos en control óptimo Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Métodos Directos: Discretizan directamente el problema, obteniendo un programa no lineal (NLP), el cual resuelven utilizando métodos conocido de optimización numérica: Programación Cuadrática Secuencial (SQP) (ver [Bet01]) Métodos de Punto interior (ver [BBH + 03]) Métodos indirectos: Escriben condiciones de optimalidad para el problema de control, las cuales son luego discretizadas y resueltas mediante algoritmos adhoc Principio de Pontryagin y Métodos de tiro.(ver [Gui02]). Programación Dinámica.

23 Algunos métodos en control óptimo Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Métodos Directos: Discretizan directamente el problema, obteniendo un programa no lineal (NLP), el cual resuelven utilizando métodos conocido de optimización numérica: Programación Cuadrática Secuencial (SQP) (ver [Bet01]) Métodos de Punto interior (ver [BBH + 03]) Métodos indirectos: Escriben condiciones de optimalidad para el problema de control, las cuales son luego discretizadas y resueltas mediante algoritmos adhoc Principio de Pontryagin y Métodos de tiro.(ver [Gui02]). Programación Dinámica.

24 Algunos métodos en control óptimo Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Métodos Directos: Discretizan directamente el problema, obteniendo un programa no lineal (NLP), el cual resuelven utilizando métodos conocido de optimización numérica: Programación Cuadrática Secuencial (SQP) (ver [Bet01]) Métodos de Punto interior (ver [BBH + 03]) Métodos indirectos: Escriben condiciones de optimalidad para el problema de control, las cuales son luego discretizadas y resueltas mediante algoritmos adhoc Principio de Pontryagin y Métodos de tiro.(ver [Gui02]). Programación Dinámica.

25 Algunos métodos en control óptimo Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos Métodos Directos: Discretizan directamente el problema, obteniendo un programa no lineal (NLP), el cual resuelven utilizando métodos conocido de optimización numérica: Programación Cuadrática Secuencial (SQP) (ver [Bet01]) Métodos de Punto interior (ver [BBH + 03]) Métodos indirectos: Escriben condiciones de optimalidad para el problema de control, las cuales son luego discretizadas y resueltas mediante algoritmos adhoc Principio de Pontryagin y Métodos de tiro.(ver [Gui02]). Programación Dinámica.

26 Resumen Introducción 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor

27 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Principio de la Programación Dinámica Consideremos la función valor: v(x) = inf{j(x, α) : α A} Proposición (Principio de la Programación Dinámica) Si t (0, T (x)) entonces { t v(x) = inf l(y x,α (s), α(s))e λs ds + v(y x,α (t))e }. λt α A 0 (PPD)

28 Caso suave Introducción Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Si suponemos que v es diferenciable en un punto x Ω = T c entonces v satisface λv(x) + sup{ l(x, a) f (x, a) v(x)} = 0, a A (HJB) que es una versión infinitesimal de (PPD). Luego, si v es diferenciable en todo Ω, será solución de la ecuación anterior, la cual es conocida como.

29 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Caso suave: Síntesis del Control Óptimo Sea S la multifunción S(z) = argmax{ f (z, a) v(z) l(z, a)}. a A Se puede probar que si α es un control óptimo partiendo de x entonces α (t) S(y x,α (t)). (CO) Más aún, bajo hipotésis adicionales se puede probar que esta condición es también suficiente. Decimos que un control elegido de esta forma es retroalimentado y que S es una función de retroalimentación.

30 Ventajas del enfoque de Bellman Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Estabilidad de las trayectorias frente a perturbaciones. Si uno conociera S explicitamente, podría calcular controles óptima para cualquier condicion inicial x dada. Si uno conociera v entonces para calcular S debemos resolver un programa no lineal standard (En general, basta encontrar un solo mínimo).

31 Ventajas del enfoque de Bellman Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Estabilidad de las trayectorias frente a perturbaciones. Si uno conociera S explicitamente, podría calcular controles óptima para cualquier condicion inicial x dada. Si uno conociera v entonces para calcular S debemos resolver un programa no lineal standard (En general, basta encontrar un solo mínimo).

32 Ventajas del enfoque de Bellman Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Estabilidad de las trayectorias frente a perturbaciones. Si uno conociera S explicitamente, podría calcular controles óptima para cualquier condicion inicial x dada. Si uno conociera v entonces para calcular S debemos resolver un programa no lineal standard (En general, basta encontrar un solo mínimo).

33 Desventajas del enfoque de Bellman Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor v es imposible de calcular directamente. v no es necesariamente diferenciable. Cómo interpretar entonces (HJB)? Aún siendo v diferenciable, no hay unicidad de soluciones para (HJB), incluso con las correctas condiciones de borde. Incluso para los problemas más simples, (HJB) es una ecuación completamente no lineal(fully No linear), y por lo tanto dificil de resolver. En la mayoría de las aplicaciones, N 4.

34 Desventajas del enfoque de Bellman Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor v es imposible de calcular directamente. v no es necesariamente diferenciable. Cómo interpretar entonces (HJB)? Aún siendo v diferenciable, no hay unicidad de soluciones para (HJB), incluso con las correctas condiciones de borde. Incluso para los problemas más simples, (HJB) es una ecuación completamente no lineal(fully No linear), y por lo tanto dificil de resolver. En la mayoría de las aplicaciones, N 4.

35 Desventajas del enfoque de Bellman Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor v es imposible de calcular directamente. v no es necesariamente diferenciable. Cómo interpretar entonces (HJB)? Aún siendo v diferenciable, no hay unicidad de soluciones para (HJB), incluso con las correctas condiciones de borde. Incluso para los problemas más simples, (HJB) es una ecuación completamente no lineal(fully No linear), y por lo tanto dificil de resolver. En la mayoría de las aplicaciones, N 4.

36 Desventajas del enfoque de Bellman Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor v es imposible de calcular directamente. v no es necesariamente diferenciable. Cómo interpretar entonces (HJB)? Aún siendo v diferenciable, no hay unicidad de soluciones para (HJB), incluso con las correctas condiciones de borde. Incluso para los problemas más simples, (HJB) es una ecuación completamente no lineal(fully No linear), y por lo tanto dificil de resolver. En la mayoría de las aplicaciones, N 4.

37 Desventajas del enfoque de Bellman Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor v es imposible de calcular directamente. v no es necesariamente diferenciable. Cómo interpretar entonces (HJB)? Aún siendo v diferenciable, no hay unicidad de soluciones para (HJB), incluso con las correctas condiciones de borde. Incluso para los problemas más simples, (HJB) es una ecuación completamente no lineal(fully No linear), y por lo tanto dificil de resolver. En la mayoría de las aplicaciones, N 4.

38 Conclusiones Introducción Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Para calcular v tenemos dos herramientas: El principio de la Programación Dinámica y la Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman. Necesitamos una noción de solución bien adaptada a este tipo de problemas, en la cual podamos caracterizar v como solución en este nuevo sentido de (HJB). La respuesta al segundo puento fue dada por Crandall y Lions en [CL83], quienes proponen una nueva noción de solución(la solución de viscosidad) que posee las propiedades deseadas.

39 Soluciones de Viscosidad para HJ Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Sea Ω R N un abierto, λ 0 y la ecuación de Hamilton-Jacobi: λu(x) + H(x, u(x)) = 0 (HJ) Definition Una función u C(Ω) se dice subsolución(respectivamente supersolución) de viscosidad de (HJ) si para cualquier ϕ C 1 (Ω) y cualquier x 0 Ω máximo local(respectivamente mínimo local) de u ϕ se tiene λu(x 0 ) + H(x 0, ϕ(x 0 )) 0.(resp. 0) Finalmente, decimos que u es una solución de viscosidad de (HJ) si es simultáneamente una subsolución de viscosidad y una supersolución de viscosidad de (HJ).

40 Principio de Comparación Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Theorem ([BCD97, Teo. II.3.1]) Sea Ω un abierto acotado de R N. Suponga que u 1, u 2 C(Ω) son, respectivamente,una sub- y supersolución de viscosidad de u(x) + H(x, u(x)) = 0, x Ω y que u 1 u 2 sobre Ω. Suponga además que H satisface H(x, p) H(y, p) ω 1 ( x y (1 + p )) (H 1 ) donde ω 1 es un módulo de continuidad, es decir, ω 1 : [0, + [ [0, + [ es continua no decreciente y ω 1 (0) = 0. Entonces u 1 u 2 en Ω.

41 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Unicidad del Problema de Dirichlet para HJ Consideremos el siguiente Problema de contorno tipo Dirichlet: { λu + H(x, u) = 0, x Ω, (HJ C ) u = g, x Ω, donde λ > 0. Decimos que una solución de viscosidad que satisface la condición de borde es una solución de (HJ C ). Supongamos que (HJ C ) tiene solución y que H satisface las hipotésis del Teorema anterior. Entonces, en C( Ω) hay una única solución de (HJ C ).

42 La función valor y la ecuación HJB Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Denotemos por Q el dominio de v, es decir, Q = {x R N : v(x) < + } Proposición Suponga que v es continua y Q es abierto. Entonces v es solución de viscosidad de λv(x) + sup{ l(x, a) v(x) f (x, a)} = 0, x Q \ T. a A

43 Continuidad de la función valor Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor El resultado anterior nos estimula a estudiar las condiciones bajo las cuales v es una función continua.

44 Horizonte infinito Clásico Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor

45 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Destino no vacío: hipotésis de controlabilidad local

46 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Tasa de descuento nula: Transformada de Kruzkov

47 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Costo final no nulo: hipotésis de compatibilidad

48 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor Algunos comentarios sobre soluciones no-continuas de HJ

49 Resumen Introducción 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación

50 Motivación Introducción Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Consideremos la ecuación: { u(x) 1 + u (x) = 0, x 0, u(0) = 0, y la aproximación centrada: { u j 1 + u j+1 u j 1 2δ = 0, j 0, u 0 = 0, (2) (3) Podemos observar que: Si u 0 es la solución de (2), entonces u 0 es creciente. Es razonable imponer que la aproximación sea también creciente, es decir, u i u j si i j. Así, (3) queda u j + 1 = u j 1 2δu j + 2δ (4)

51 Motivación Introducción Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Consideremos la ecuación: { u(x) 1 + u (x) = 0, x 0, u(0) = 0, y la aproximación centrada: { u j 1 + u j+1 u j 1 2δ = 0, j 0, u 0 = 0, (2) (3) Podemos observar que: Si u 0 es la solución de (2), entonces u 0 es creciente. Es razonable imponer que la aproximación sea también creciente, es decir, u i u j si i j. Así, (3) queda u j + 1 = u j 1 2δu j + 2δ (4)

52 Motivación(cont.) Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación (4) puede ser resuelta anaĺıticamente, u j = A( δ + δ 2 + 1) j + B( δ δ 2 + 1) j + 1, j > 1, con A y B constantes a determinar. Para calcular A y B necesitamos valores a priori de u 0 y u 1. Como u(0) = 0, resta ver que valor a priori dar a u 1. De la forma (4), esperamos que aparezcan oscilaciones en la aproximación si el valor a prior de u 1 es MAL ELEGIDO.

53 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Motivación: Efecto de u Figura: Aproximación (4) usando δ = 0,01 y u 1 = 0,2(izquierda) y u 1 = 1 e 0,01 + 0,01(derecha)

54 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Motivación: Cómo elegir u 1 Consideremos la siguiente aproximación decentrada: u j 1 + u j 1 u j δ = 0, j 0 (5) Para resolver (5) necesitamos un valor a priori solo para u 0. Tenemos dos métodos para resolver (2): 1 Resolver (4) utilizando (5) para calcular el valor a priori de u 1 (método hibrido). 2 Resolver (5)(método decentrado).

55 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Comparación de métodos: híbrido v/s decentrado

56 Comparación de métodos:(cont.) Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 20 x Figura: Error absoluto de los métodos con δ = 0,1. Método decentrado(azul) y método híbrido(verde)

57 Observaciones Introducción Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación

58 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Diferencias finitas en dimensión superior: Notaciones Si j Z N, j := N i=1 j i. Sea δ R N ++ el paso de discretización en espacio. Sea i δ : Z N R N definida por: i δ (j) = (δ 1 j 1, δ 2 j 2,, δ n j n ). R N δ := i δ(z N ) y denotamos x j = i δ (j). Si A R N, A δ = A R N δ. Si B R N δ, B = i 1 δ (B). Sea u : R N R, denotamos por u j una aproximación de u en x j y φ u j una aproximación de u(x j ) dada por donde E 1 = (u l : l j 1). Φ u j := Φ(j, δ, E 1, a).

59 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Diferencias finitas en dimensión superior: Notaciones Si j Z N, j := N i=1 j i. Sea δ R N ++ el paso de discretización en espacio. Sea i δ : Z N R N definida por: i δ (j) = (δ 1 j 1, δ 2 j 2,, δ n j n ). R N δ := i δ(z N ) y denotamos x j = i δ (j). Si A R N, A δ = A R N δ. Si B R N δ, B = i 1 δ (B). Sea u : R N R, denotamos por u j una aproximación de u en x j y φ u j una aproximación de u(x j ) dada por donde E 1 = (u l : l j 1). Φ u j := Φ(j, δ, E 1, a).

60 Sistema de diferencias finitas Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Con las notaciones anteriores podemos escribir la siguiente aproximación: { λv j = inf a A {l(x j, a) + f (x j, a) Φ v j }, j Ω δ v j = g(x j ), j T δ (PCD)

61 Existencia de aproximaciones Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación

62 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Convergencia de aproximaciones

63 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Implementación

64 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación Truncamiento

65 Resumen 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5

66 Método decentrado téorico

67 Método decentrado truncado

68 Condición de estabilidad

69 Convergencia

70 Resumen Introducción Pruebas en 1D 1 Introducción Sistemas controlados Problema de Controlabilidad Control Óptimo Métodos Numéricos 2 Introducción y Motivación Soluciones de Viscosidad Principios de Comparación y Unicidad Continuidad de la función valor 3 Motivación Diferencias finitas en dimensión superior Implementación 4 5

71 Pruebas en 1D Introducción Pruebas en 1D Consideramos { N = 1, λ = 1, T = {0} l(x, a) = x, f (x, a) = xa, A = [0, 1]. La ecuación (HJB) se reescribe como: { x v (x)x si v (x)x > 0 v(x) = x si v (x)x < 0 (6) (7)

72 Modelo general Modelo reducido Hamiltoniano decentrado Resumen 6 Modelo general 7 Modelo reducido 8 Hamiltoniano decentrado

73 Modelo general Modelo reducido Hamiltoniano decentrado Resumen 6 Modelo general 7 Modelo reducido 8 Hamiltoniano decentrado

74 Modelo general Modelo reducido Hamiltoniano decentrado Resumen 6 Modelo general 7 Modelo reducido 8 Hamiltoniano decentrado

75 Conclusiones

76 Referencias beamericonarticle N. Berend, J.F. Bonnans, M. Haddou, J. Laurent-Varin, and C. Talbot. A preliminary interior point algorithm for solving optimal control problems. In Fifth Int. Conf. on Launcher Technology, Madrid, November 25-27, beamericonarticle Martino Bardi and Italo Capuzzo-Dolcetta. Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Systems & Control: Foundations & Applications. Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, With appendices by Maurizio Falcone and Pierpaolo Soravia. beamericonarticle J.T. Betts. Practical Methods for Optimal Control Using Nonlinear

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