INTEGRALES DE SUPERFICIE.

Transcripción

1 INTEGALE DE UPEFICIE. 31. Encontrar el área de la sperficie definida como intersección del plano x + y + z 1 con el sólido x + y 1. olción La sperficie dada se pede parametrizar por x cos v : y (/ ) sen v z 1 cos v (/ ) sen v Por definición A En este caso, D T T v dv. ( 1, v π), T (cos v, (1/ ) sen v, cos v (1/ ) sen v) T v ( sen v, (/ ) cos v, sen v + (/ ) cos v) i j k T T v cos v sen v/ cos v sen v/ ( sen v (/ ) cos v sen v (/ ) cos v, Por tanto, T T v 3/ y A 3/dv π 6., ). 3. ea la sperficie obtenida al hacer girar la crva y f(x) (a x b) alrededor del eje X. Comprobar, a partir de la definición, qe el área de dicha sperficie es A π a f(x) 1 + [f (x)] dx. olción Por definición, el área de la sperficie corresponde a la integral A T T v dv, donde se parametriza como (ver figra): x y f() cos v, a b, v π. z f() sen 1

2 Los vectores tangentes son: T (1, f () cos v, f () sen v), T v (, f() sen v, f() cos v). Por tanto, T T v (f()f (), f() cos v, f() sen v), T T v f() 1 + (f ()). Al sstitir reslta entonces A qe es el resltado deseado. f() 1 + (f ()) dv π a a f() 1 + (f ()), 33. Calclar z x + y d donde representa la esfera de centro el origen y radio. olción Parametrizamos la esfera de ecación x + y + z como x cos sen v y sen sen v, π, v π. z cos v De este modo, Entonces, T ( sen sen v, cos sen v, ), T v ( cos cos v, sen cos v, sen v) T T v ( cos sen v, sen sen v, sen v cos v) T T v sen v. z x + y d 5 π π5 cos v sen v sen v dv sen v cos v dv π 5 (sen v/) dv 1 cos v ( dv π5 v sen v π π 5.

3 3. Calclar (xy+yz+zx) d, donde es la parte de la sperficie cónica z x + y recortada por la sperficie x + y ax (a > ). olción Como la sperficie está definida por la ecación explícita z x + y, tilizamos la fórmla F (x, y, z) d F (x, y, z(x, y)) 1 + (z x) + (z y) dxdy, donde es la región del plano XY qe delimita la sperficie. En nestro caso, z x x x + y, y z y, y es la región limitada por la circnferencia x + y ax. En consecencia, x + y (xy + yz + zx) d [xy + y x + y + x x + y ] 1 + x x + y + y x + y dxdy [xy + (x + y) x + y ] dxdy. esolveremos la integral doble mediante n cambio de variables a coordenadas polares. i llamamos x cos v, y sen v, entonces la circnferencia x + y ax se escribe como a cos v. La integral qeda de la forma: I [xy + (x + y) x + y ] dxdy dv π/ π/ a cos v [ sen v cos v + (sen v + cos v)] a (sen v cos 5 v + sen v cos v + cos 5 v) dv 6 a Calclar xz dydz +x y dzdx+y z dxdy, siendo la sperficie sitada en el primer octante y limitada por las sperficies z x +y, x +y 1 y los planos coordenados. 3

4 olción Debemos descomponer la sperficie es cinco secciones: 1 : x, y, z, x + y 1, : x, y 1, z, z y, 3 : x 1, y, z, z x, : x, y, z 1, x + y 1, 5 : x, y, x + y 1, z x + y, qe corresponden a las distintas caras del sólido indicado. Debemos, por tanto, descomponer la integral en cinco smandos, a través de cada na de las sperficies indicadas. i parametrizamos 1 por las ecaciones x cos v y sen v z, 1, v π/, entonces T (cos v, sen v, ), T v ( sen v, cos v, ) y T T v (,, ) (elegimos como vector normal n 1 (,, ) para qe se trate de la normal exterior a la sperficie). Así pes, 1 xz dydz + x y dzdx + y z dxdy (, 3 sen v cos v, ) (,, ) dv. De forma análoga, parametrizamos por x y z v, 1, v 1, de modo qe T (, 1, v), T v (,, ) y T T v (,, ) (anqe consideraremos el vector n (,, ) qe es normal exterior a la sperficie). Entonces xz dydz + x y dzdx + y z dxdy (,, v) (,, ) dv. La sperficie 3 se parametriza de forma completamente análoga a y el resltado de la integral también es cero. Con respecto a, tilizaremos la parametrización x cos v y sen v z, 1, v π/,

5 con lo qe T (,, 1), T v ( sen v, cos v, ) y T T v ( cos v, sen v, ). En este caso, el vector normal exterior a la sperficie es n (cos v, sen v, ) y la integral vale xz dydz + x y dzdx + y z dxdy [ ( v ( cos v, sen v cos v, sen v) (cos v, sen v, ) dv ( cos v + sen v cos v) dv sen v π/ ( v sen v 3 Por último, la sperficie 5 podemos parametrizar como x cos v y sen v, 1, v π/; z por tanto, Tenemos así qe, T (cos v, sen v, ), T v ( sen v, cos v, ), T T v ( cos v, sen v, ), 5 xz dydz + x y dzdx + y z dxdy 5 1 [ 6 v π/ 3 π/ ] 3π 16. ( 3 cos v, 3 sen v cos v, sen v) ( cos v, sen v, ) dv ( 5 cos v 5 sen v cos v + 5 sen v) dv (1 3 cos v sen v/) dv ( v + sen v π/ 1 ( v sen v π/] mando todos los resltados parciales, obtenemos en definitiva qe xz dydz + x y dzdx + y z dxdy π 8. π 16. Observación: Un método más sencillo de resolver la integral sin descomponer la sperficie en secciones se basa en el teorema de la divergencia de Gass, qe trataremos en el capítlo sigiente. 5