Matemáticas Discretas TC1003
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- Pedro Salas Suárez
- hace 7 años
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1 Matemáticas Discretas TC13 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25
2 Una matriz A m n es un arreglo rectangular de m n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25
3 Una matriz A m n es un arreglo rectangular de m n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25
4 Una matriz A m n es un arreglo rectangular de m n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn entre Nos referiremos al elemento que se encuentra en el renglón i y en la columna j como el elemento a ij de A o como el (i,j)-ésimo elemento de A. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25
5 Una matriz A m n es un arreglo rectangular de m n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn entre Nos referiremos al elemento que se encuentra en el renglón i y en la columna j como el elemento a ij de A o como el (i,j)-ésimo elemento de A. La dimensión de A es el producto indicado del número de renglones por el número de columnas, así en este caso la dimensión de A es m n. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25
6 El i-ésimo renglón de A es: a i1 a i2 a in ] entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/25
7 El i-ésimo renglón de A es: a i1 a i2 a in ] La j-ésima columna de A es: a 1j a 2j. entre a mj Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/25
8 También podemos considerar que la matriz A es una secuencia de sus columnas a 1, a 2,..., a n : A = a 1 a 2 a n ]. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 4/25
9 Ejemplo Indique cuáles de las siguientes representaciones son : , , entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 5/25
10 Ejemplo Indique cuáles de las siguientes representaciones son : , , entre Recuerde: es un arreglo rectangular; Por consiguiente, la única representación que corresponde a una matriz es la última. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 5/25
11 Ejemplo Para cada matriz indique el número de renglones, el número de columnas y su dimensión: ] ] entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/25
12 Ejemplo Para cada matriz indique el número de renglones, el número de columnas y su dimensión: ] ] entre Matrices: Solución Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/25
13 Ejemplo Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) de la matriz: entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 7/25
14 Ejemplo Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) de la matriz: Solución El elemento (3, 1) está en el renglón 3 y en la columna 1: es -3. El elemento (3, 2) está en el renglón 3 y en la columna 2: es 3. El elemento (2, 2) está en el renglón 2 y en la columna 2: es 1. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 7/25
15 entre Definición Dos se dicen iguales si tienen la misma dimensión y además elemento por elemento son iguales. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/25
16 entre Definición Dos se dicen iguales si tienen la misma dimensión y además elemento por elemento son iguales. Ejemplo Cuál debe ser el valor de x y de y para que las sean iguales: 1 x y x + y ] = 1 y x 2x 3 ] entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/25
17 entre Definición Dos se dicen iguales si tienen la misma dimensión y además elemento por elemento son iguales. Ejemplo Cuál debe ser el valor de x y de y para que las sean iguales: 1 x y x + y ] = 1 y x 2x 3 ] entre Solución Se requiere que: x = y x, que y = 2x y que x + y = 3. Resolviendo el sistema se obtiene que x = 1 y que y = 2. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/25
18 Ejemplo Cuál debe ser el valor de x y de y para que las sean iguales: 1 x y x + y ] = 1 y x 2x 3 entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/25
19 Ejemplo Cuál debe ser el valor de x y de y para que las sean iguales: 1 x y x + y ] = 1 y x 2x 3 entre Solución Como la matriz a la izquierda es 2 2 y la de la derecha es 3 2. Las no pueden ser iguales para ningún valor de x y de y. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/25
20 1. Una matriz 1 n se llama matriz renglón. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25
21 1. Una matriz 1 n se llama matriz renglón. 2. Una matriz m 1 se denomina una matriz columna o vector. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25
22 1. Una matriz 1 n se llama matriz renglón. 2. Una matriz m 1 se denomina una matriz columna o vector. 3. Una matriz n n se llama matriz cuadrada. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25
23 1. Una matriz 1 n se llama matriz renglón. 2. Una matriz m 1 se denomina una matriz columna o vector. 3. Una matriz n n se llama matriz cuadrada. 4. Una matriz cuya totalidad de elementos es cero se llama matriz cero y se representa por. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25
24 Sea A una matriz cuadrada: 1. A la colección de elementos a ii se le llama su diagonal principal. 2. Se dice matriz triangular superior si todos los elementos que están abajo de la diagonal principal son cero. 3. Se dice matriz triangular inferior si todos los elementos que están arriba de la diagonal principal son cero. 4. Se dice matriz diagonal si todos los elementos que están por arriba y por abajo de la diagonal principal son cero. 5. Se dice matriz si es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son iguales. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 11/25
25 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
26 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Solución La matriz 1. por el elemento (2, 1) no es ni triangular superior, ni diagonal, ni. Por el elemento (1, 2) tampoco es triangular inferior Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
27 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Solución La matriz 2. por el elemento (2, 1), no es triangular superior, ni diagonal ni. Por el lemento (1, 2) tampoco es triangular inferior. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
28 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Solución La matriz 3. es triangular superior, pero no diagonal ni ; no es triangular inferior. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
29 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Solución La matriz 4. es triangular superior y triangular inferior, diagonal pero no matriz. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
30 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Solución La matriz 5. es triangular inferior, pero no diagonal ni ; no es triangular superior. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
31 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Solución La matriz 6. es triangular inferior, pero no diagonal ni ; no es triangular superior. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
32 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Solución La matriz 7. es triangular inferior, triangular superior, matriz diagonal y matriz. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
33 Ejemplo Clasifique las siguientes : entre Solución La matriz 8. no es triangular inferior, ni triangular superior, ni matriz diagonal, ni matriz. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25
34 de Matrices Dos de las mismas dimensiones se pueden sumar; la suma de dos de diferente dimensión no. La suma de dos de las mismas dimensiones es una matriz de las misma dimensiones y se obtiene sumando sus elementos correspondientes: a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn + b 11 b 1n b 21 b 2n b m1 b mn = entre a 11 + b 11 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a mn + b mn Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 13/25
35 Ejemplo Realize la suma de las : 1 2 A = 1 1 y B = entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/25
36 Ejemplo Realize la suma de las : 1 2 A = 1 1 y B = Observamos que la suma sí se puede realizar porque las dimensiones de las coinciden, así: = ( 1) + ( 1) (2) + () (1) + (1) (1) + (2) (1) + (4) (1) + (1) = entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/25
37 de un por una matriz Sea A cualquier matriz y c un cualquiera. El Escalar ca es una matriz que tiene las mismas dimensiones que la matriz A, y que en cada elemento contiene el elemento correspondiente de A multiplicado por c: a 11 a 12 a 1n c a 11 c a 12 c a 1n a c 21 a 22 a 2n = c a 21 c a 22 c a 2n entre. a m1 a m2 a mn c a m1 c a m2 c a mn Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 15/25
38 Ejemplo Realize el producto entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 16/25
39 Ejemplo Realize el producto Este producto siempre se puede realizar, y en este caso: 1 2 ( 3) ( 1) ( 3) (2) 3 1 = ( 3) (1) ( 3) () = 1 4 ( 3) (1) ( 3) ( 4) entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 16/25
40 entre Sea A una matriz m n y B una matriz columna n 1, el Matricial AB es la una matriz C columna m 1 definida como: a 11 a 12 a 1n b n 1 j=1 a 1j b j a 21 a 22 a 2n b 2 n j=1 a 2j b j..... a m1 a m2 a mn.. b n = =. n j=1 a mj b j entre a 11 b 1 + a 1,2 b a 1n b n a 21 b 1 + a 2,2 b a 2n b n. a m1 b 1 + a m,2 b a mn b n Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 17/25
41 Ejemplo Realize el producto: ] entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 18/25
42 Ejemplo Realize el producto: ] entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 18/25. Observamos que el producto sí se puede realizar por que el número de columnas de la matriz A coincide con el número de renglones de B, así: ] = = (2) ( 4) + () (5) + ( 1) ( 7) (3) ( 4) + (4) (5) + ( 2) ( 7) ] ] = ]
43 entre Matrices Sea A una matriz m n y B una matriz n k. El producto AB es la matriz m k cuyas columnas son A b 1,A b 2,..., A b k, donde b 1,b 2,..., b k son las columnas de la matriz B. AB = Ab 1,...,b k ] = Ab 1,...Ab k ] entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 19/25
44 Ejemplo Realice el producto A por B si ] 2 1 A = y B = entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25
45 Ejemplo Realice el producto A por B si ] 2 1 A = y B = Observamos que el número de columnas de A (3) coincide con el número de renglones de B (3) por lo cual el producto se puede efectuar. Para la realización trabajemos sobre las columnas de B: entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25
46 Ejemplo Realice el producto A por B si ] 2 1 A = y B = Observamos que el número de columnas de A (3) coincide con el número de renglones de B (3) por lo cual el producto se puede efectuar. Para la realización trabajemos sobre las columnas de B: b 1 columna 1 de B: A b 1 = ] 3 2 = entre (2) (3) + () ( 2) + (1) () (2) (3) + (1) ( 2) + (2) () ] = 6 4 ] Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25
47 b 2 columna 2 de B: A b 2 = ] = (2) (2) + () (4) + (1) (3) (2) (2) + (1) (4) + (2) (3) ] = entre 7 14 ] Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 21/25
48 b 2 columna 2 de B: A b 2 = b 3 columna 3 de B: A b 3 = ] ] = = (2) (2) + () (4) + (1) (3) (2) (2) + (1) (4) + (2) (3) ] = entre (2) (4) + () (5) + (1) ( 2) (2) (4) + (1) (5) + (2) ( 2) ] = 7 14 ] 6 9 ] Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 21/25
49 b 2 columna 2 de B: A b 2 = b 3 columna 3 de B: A b 3 = ] ] = = (2) (2) + () (4) + (1) (3) (2) (2) + (1) (4) + (2) (3) ] = entre (2) (4) + () (5) + (1) ( 2) (2) (4) + (1) (5) + (2) ( 2) ] = 7 14 ] 6 9 ] Por consiguiente el producto es: AB = A b 1 A b 2 A b 3 ] = ] Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 21/25
50 de las operaciones Sean A, B y C m n cualquiera, y sean a, b, y c es cualquiera. Entonces son válidas las siguientes afirmaciones: 1. La suma de es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C). 2. La suma de es conmutativa: A + B = B + A. 3. La matriz es el neutro bajo la suma: A + = + A = A. 4. Cada matriz tiene un inverso aditivo y este es precisamente el 1 por la matriz: A + ( 1A) = ( 1A) + A =. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 22/25
51 5. El producto por es se distribuye sobre la suma de : c (A + B) = ca + cb. 6. La suma de es se distribuye sobre la multiplicación por : (a + b) A = aa + bb. 7. La multiplicación por es es asociativa: (a b) A = a (ba). 8. El 1 multiplicado por una matriz da como resultado la matriz inicial: 1A = A. 9. El cero por una matriz da la matriz de ceros: A =. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 23/25
52 1. La multiplicación de es asociativa: A (BC) = (AB) C. 11. La multiplicación de se distribuye sobre la suma de : a) A (B + C) = AB + AC, y b) (A + B) C = AC + BC. 12. Movilidad de los es en una multiplicación: a (AB) = (aa) B = A (ab). 13. La con sólo unos en la diagonal I n es la identidad multiplicativa: I m A = AI n = A. 14. El resultado de multiplicar la matriz cero, de la dimensión adecuada, por cualquier matriz da como resultado la matriz cero: A = A =. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 24/25
53 Importantes El producto de sólo está definido en el caso cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz. En cualquier otro caso se dice que está indefinido o que es irrealizable. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 25/25
54 Importantes El producto de sólo está definido en el caso cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz. En cualquier otro caso se dice que está indefinido o que es irrealizable. El producto matricial no es conmutativo: en general AB BA. entre Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 25/25
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