SISTEMAS Y MATRICES LECCIÓN 12

Transcripción

1 SISTEMAS Y MATRICES LECCIÓN 2 Índice: El método de Gauss-Jordan. Resolución de la ecuación matricial A X=C. Problemas..- El método de Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, pero con dos añadidos. El primero es que deben hacerse no sólo los coeficientes que se encuentran por debajo de cada pivote sino también los que se encuentran por encima. Y el segundo, que los pivotes deben valer. Por ejemplo: x+y+z= 2x-y= 2x+2z= ~2 - - ~ - - ~ 2 - ~ ~ 2 ~ /2 x= y= z=/2 El sistema es compatible determinado. Otro ejemplo: 2x+yz= 2 xy+z= x+y+z= - ~ - - ~ ~ ~ - - ~9 x=+z y=-z El sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro. Otro ejemplo: x+z= x+y-z= -x-y+z= ~ ~2 - Dicho de otro modo, se trata de obtener la matriz escalonada reducida equivalente. Esta matriz, a diferencia de lo que sucede con la matriz escalonada equivalente, es única, esto es, no depende del camino seguido para obtenerla. No lo demostraremos. 2 2ªf ªf; ªf ªf. 2ªf ªf. ªfªf; ªf+2 2ªf. ªf /2. ªf+2ªf. 2ªf ªf; ªf+ ªf. ªf+ 2ªf; ªf+2ªf. 9 ªf (-); eliminamos la tercera fila. Observa que el método de Gauss-Jordan permite despejar fácilmente las incógnitas x e y en función de z (que hace de parámetro). 2ªf ªf; ªf+ªf. 2 ªf+2ªf. - -

2 El sistema es incompatible. 2.- Resolución de la ecuación matricial A X=C Queremos resolver ecuaciones matriciales de la forma A X=C, donde A es una matriz m n, X una matriz n p y C una matriz m p. Veamos primero un ejemplo de ecuación matricial compatible determinada: - x y z v = x+yz y+z xy x-yz u+v v+ uv u-v - = - - Esto nos conduce a un sistema de ocho ecuaciones con seis incógnitas o, mejor todavía, a dos sistemas de cuatro ecuaciones con tres incógnitas cada uno: x+yz= y+z= xy=- x-yz= - x y z = - u+v=- v+= uv= u-v=- - 2 u v = Como los dos sistemas tienen la misma matriz de coeficientes, pueden resolverse simultáneamente por el método de Gauss-Jordan: ~ - -9 ~ - - ~ - - ~ - - ~ Si sólo nos fijamos en la penúltima columna, hemos resuelto el primer sistema: x=, y=2, z=-; si sólo nos fijamos en la última, hemos resuelto el segundo: u=, v=-, =. Por tanto: Comprobemos el resultado: x y z v = Observa que la expresión matricial de este sistema puede obtenerse directamente de la ecuación matricial de partida: la matriz A por la primera columna de la matriz X es igual a la primera columna de la matriz C 2 Lo mismo que en la nota anterior, pero con las segundas columnas de X y C. ªf-ªf; ªf-ªf. ªfªf; ªf+ 2ªf; ªf+2 2ªf. ªf /; eliminamos la última fila. ªf+ ªf; 2ªfªf SM

3 = = Veamos ahora un ejemplo de ecuación matricial compatible indeterminada: - x y z v = ~ ~ - ~ - Si sólo nos fijamos en la penúltima columna, hemos resuelto el primer sistema: x=+z, y=-z; si sólo nos fijamos en la última, hemos resuelto el segundo: u=-+, v=-. Por tanto: x y z Comprobemos el resultado: - +z -z z z v = -z z z+-zz -z+z +zz +z-+zz = = Veamos por último un ejemplo de ecuación matricial incompatible: - x y z v = ~ ~ - ~ - Como la justificación del procedimiento ya la hemos visto en el primer ejemplo, resolvemos éste directamente. 2 ªf-ªf; ªf-ªf. ªfªf; ªf+2ªf; ªf+2 2ªf. Eliminamos las dos últimas filas. Observa que cada uno de los dos sistemas depende de un parámetro y, por tanto, la matriz solución depende de dos. Suprimimos la cuarta fila. - - SM

4 La ecuación matricial es incompatible, ya que, de los dos sistemas que estamos resolviendo simultáneamente, el segundo es incompatible. Podemos, pues, concluir lo siguiente: Sea A X=C una ecuación matricial, donde A es una matriz m n, X una matriz n p y C una matriz m p. Si X, X 2,, X p son las columnas de la matriz X y C, C 2,, C p son las columnas de la matriz C, resolver la ecuación matricial A X=C equivale a resolver los p sistemas A X =C, A X 2 =C 2,, A X p =C p. Por tanto: º) Si rg(a)=rg(a C)=n rg(a)=rg(a C i )=n i los p sistemas son compatibles determinados la ecuación matricial es compatible determinada (que es lo que sucede en el primer ejemplo). Observa también que si (A C)~(I B), entonces B es la única solución de la ecuación matricial A X=C y, en consecuencia, A B=C. 2º) Si rg(a)=rg(a C)=r<n rg(a)=rg(a C i )=r<n i los p sistemas son compatibles indeterminados y la solución de cada uno depende de n-r parámetros la ecuación matricial es compatible indeterminada y la matriz solución depende de p (n-r) parámetros (que es lo que sucede en el segundo ejemplo). º) Si rg(a) rg(a C) rg(a) rg(a C i ) para uno (al menos) de los p sistemas un sistema (al menos) es incompatible la ecuación matricial es incompatible (que es lo que sucede en el tercer ejemplo)..- Problemas ) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan: y+z= a) x+yz= xy=- y+z= d) x+2z= x-y= g) x+2yz= x-y+z= x+y+z= -xy=- j) x+2yz+2t=2 2x+y-z+t= x+yz+2t= b) e) x-y+z= x+y-z=2 x+y+z=2 y+z=2 z+t= xt= h) x+y+z+t= x-y+z+t= x+y-z+t= x+y+z-t= k) x+y+z+t= x-y-z+t= -x-y+z+t= xy+z+9t= c) f) i) l) 2xy+z= -x+2yz= xy-z= x+2yz= 2x-y+z=2 x+yz= x+y+z+t= x-y+z-t=2 x+y-z+t=- 2x+y+z= x+y+z=- x+y+z=2 x+y+2z=2 2x+y-z=- Repasa el primer ejemplo y lo dicho en la nota de la segunda página para verlo. - - SM

5 m) x+y+z+t= x-y+z-t=2 x+y-z+t=- x-y-z-t= o) xy+zt= 2yz+t=2 2xy-z-t= n) 2x-y+zt= 2x+2yz+t=- -x+y-z=- xy+2zt=- p) x+2y+z= 2x+y+z= x+2y+z= ñ) x+2y+2z=2 xy-z= 2xy+z= x+y+z= q) x+2y-z+t= 2x+y+z+t=9 x+y-z+t= 2) Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales: a) 2 X= - 2 b) 2 X= c) 2 X= 2 d) - X= e) X= f) X= g) 2 2 X= - - h) 2 X= i) 2 2 X= j) 2 2 X= k) - X= l) X= 9 2 ) Si A= -, resuelve la ecuación: AX=X+I. 2 ) Si ( 2) A=( 2 ) y ( -) A=( - ), calcula A. - - SM