Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Transcripción

1 MATRICES

2 Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn

3 Elementos a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Son cada uno de los números contenidos en la matriz. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa (la fila y columna a la que pertenece).

4 Dimensión de una Matriz Es el número de filas y columnas de una matriz. Así, una matriz con 2 filas y 4 columnas será de dimensión 2x4. Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3,

5 El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A mxn o (a ij ), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a ij. A = (3x3) Dimensión Por ejemplo, el elemento a 23 (es decir, el elemento que está ubicado en la fila 2, columna 3) de la matriz A es: 9.

6 Matrices Iguales Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. A = (3x3) B = (3x3) A = B

7 Tipos de Matrices MATRIZ FILA: Constituida por una sola fila MATRIZ COLUMNA: Constituida por una sola columna

8 Tipos de Matrices MATRIZ RECTANGULAR: Tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn MATRIZ CUADRADA: Tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a ii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n

9 Tipos de Matrices MATRIZ NULA: Todos los elementos son ceros MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros

10 Tipos de Matrices MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros MATRIZ DIAGONAL: Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos

11 Tipos de Matrices MATRIZ ESCALAR: Matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a

12 Tipos de Matrices MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. A = A t = Matriz traspuesta de A:

13 Tipos de Matrices MATRIZ REGULAR: Es una matriz cuadrada que tiene inversa. MATRIZ SINGULAR: No tiene matriz inversa. MATRIZ IDEMPOTENTE: Una matriz, A, es idempotente si: A 2 = A. MATRIZ INVOLUTIVA: Una matriz, A, es involutiva si: A 2 = I

14 Tipos de Matrices MATRIZ SIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada que verifica: A = A t MATRIZ ANTISIMÉTRICA O HEMISIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada que verifica: A = -A t MATRIZ ORTOGONAL: Es una matriz cuadrada que verifica que: A. A t = I

15 Operaciones con Matrices

16 Trasposición Dada una matriz de orden mxn, A=[a ij ], se llama matriz traspuesta de A y se representa por A t, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: A = a11 a1n am1 amn A t = a11 am1 a1n amn

17 Trasposición PROPIEDADES: Dada una matriz A, siempre existe una traspuesta y además es única. (A t ) t = A. (A+B) t = A t + B t (α. A) t = α. A t (A.B) t = B t. A t

18 Ejemplo: Trasposición A = /2 7 8 B = / ½ A t = 5 7 B t = /8 3

19 Suma y Resta de Matrices La suma de dos matrices A=[a ij ], B=[b ij ] de la misma dimensión, es otra matriz S=[s ij ] de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=a ij +b ij. Por lo tanto, para poder sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

20 Suma y Resta de Matrices PROPIEDADES: A+(B+C) = (A+B)+C. Propiedad Asociativa. A+B = B+A. Propiedad Conmutativa. A+0 = A. 0 es la Matriz Nula. La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de «Matriz opuesta de A», ya que A+(-A)=0. La diferencia de matrices A y B se representa y se define como: A-B.

21 Ejemplo: Suma de Matrices A = -2 f 3 4 B = 4 d -3 1 Entonces A+B = (-2+4) (f+d) (3-3) (4+1) = 2 f+d 0 5

22 Ejemplo: Resta de Matrices A = B = A-B = (-2-4) (5-6) (3-3) (4-1) =

23 Ejemplo: Suma y Resta de Matrices C = D = C+D = (2+1) (0+0) (1+1) (3+1) (0+2) (0+1) (5+1) (1+1) (1+0) = C-D = (2-1) (0-0) (1-1) (3-1) (0-2) (0-1) (5-1) (1-1) (1-0) =

24 Producto de una Matriz por un Escalar (número) El producto de una matriz A=[a ij ] por un número real k es otra matriz B=[b ij ] de la misma dimensión que A y tal que cada elemento b ij de B se obtiene multiplicando a ij por k, es decir, b ij =ka ij. El producto de la matriz A por el número real k se designa k.a. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

25 PROPIEDADES: k(a+b)=ka+kb. Propiedad Distributiva 1ª. (k+h)a=ka+ha. Propiedad Distributiva 2ª. k(ha)=(kh)a. Propiedad Asociativa Mixta. 1.A=A. Elemento Unidad.

26 PROPIEDADES SIMPLIFICATIVAS: A+B = B+C A=B. ka = kb A=B si k es distinto de 0. ka = ha k=h si A es distinto de 0.

27 k=2 A = -2 g g -3 ka = 2 = (-2) 2(g) 2(-3) 2(4) 2(5) 2(1) = -4 2g

28 B = k=3 kb = = 3(2) 3(0) 3(1) 3(3) 3(0) 3(0) 3(5) 3(1) 3(1) =

29 Producto de Matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

30 Producto de Matrices Se requiere que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B para que esta multiplicación sea posible. Así, si A tiene dimensión mxn y B dimensión nxp, la matriz P será de orden: mxp. Es decir:

31 Producto de Matrices Con otras palabras, el elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=AB se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados.

32 Producto de Matrices PROPIEDADES: A.(B.C)=(A.B).C A.I = A donde I es la matriz Identidad del mismo orden que la matriz A. A.B B.A No es Conmutativa. A.(B+C)=A.B+A.C Distributiva del Producto respecto a la suma. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A.B=B.A=I. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A -1.

33 Producto de Matrices CONSECUENCIAS DE LAS PROPIEDADES: Si A.B=0 no implica que A=0 ó B=0. Si A.B=A.C no implica que B=C. En general, (A+B) 2 = A 2 +B 2 +2AB, ya que A.B B.A. En general, (A+B).(A-B)=A 2 -B 2, ya que A.B B.A.

34 Ejemplo: Producto de Matrices A = (2x4) B = (4x3) Obtener: C=AB Nótese que el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

35 Solución: Primero, se comprueba que se pueda realizar el producto AB. Puesto que el número de columnas de A es igual al número de filas de B, entonces la operación es factible. La matriz resultante tendrá la dimensión 2x3, es decir, 2 filas y 3 columnas. C = = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 33

36 Luego, el elemento de la fila 1 y la columna 1 de AB (es decir, C 11 ) proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la columna 1 de B, de la multiplicación: c 11 = a 11.b 11 +a 12.b 21 +a 13.b 31 +a 14.b 41 c 11 = (-3) = = 16 El elemento de la fila 1 y la columna 2 de AB (es decir, C 12 ) será igual a la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la columna 2 de B, de la multiplicación: c 12 = a 11.b 12 +a 12.b 22 +a 13.b 32 +a 14.b 42 c 12 = (-3).(-4)+2.(-2) = = 16

37 El elemento de la fila 1 y la columna 3 de C proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la columna 3 de B: c 13 = a 11.b 13 +a 12.b 23 +a 13.b 33 +a 14.b 43 c 13 = (-3) = = 5 Así sucesivamente se obtiene: C =

38 Matriz Inversa Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A -1, a la única matriz que cumple que: A.A -1 = A -1.A = I Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente. La matriz inversa no siempre existe, para que exista, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz sea distinto a cero.

39 Matriz Inversa PROPIEDADES: La matriz inversa, si existe, es única. (A -1 ) -1 = A. Es decir, la inversa de la inversa es la matriz inicial. (A.B) -1 = B -1.A -1. (k.a) -1 = k -1.A -1. (A t ) -1 = (A -1 ) t.

40 Matriz Inversa Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: Cálculo de la matriz inversa por determinantes. Cálculo de la matriz inversa por el Método de Gauss.

41 Cálculo de la matriz inversa por el Método de Gauss Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A -1, seguiremos los siguientes pasos:

42 1º Construir una matriz del tipo M = (A I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria: A = La ampliamos con la matriz identidad de orden 3:

43 2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A F2=-F1+F F2F3

44 F1=-F2+F1 F3=F2+F3 Ya conseguimos una matriz identidad del lado izquierdo. Así que, La matriz inversa es: A -1 =

45 Ejercicios

46 Ejercicio 1: Dimensión de una Matriz A continuación se presentan cinco matrices de diferentes tamaños: 1 3 a) Es una matriz de 2x2 (cuadrada) b) 4 0 Es una matriz de 3x c) Es una matriz de 2x d) Es una matriz de 3x3 (cuadrada)

47 Ejercicio 2: Localización de componentes de una Encuentre matrizlos componentes (1, 2), (3, 1) y (2,2) de la matriz A. A = Solución

48 Ejercicio 2: Localización de componentes de una El matriz componente (1,2) es el número que se encuentra en la fila 1, columna 2. Fila Columna 2

49 Ejercicio 2: Localización de componentes de una Los matriz componentes (3,1) y (2,2) son los que se muestran a continuación: Fila Fila Columna 1 Columna 2

50 Ejercicio 3: Igualdad de matrices. Son iguales las siguientes matrices? a) y b) y c) y Solución

51 c) No. La primera matriz es de 2x2 y la segunda es de 2x3, de manera que no tienen el mismo tamaño. Ejercicio 3: Igualdad de matrices. a) Si. Ambas matrices son de 2x3 y 1+3=4, 2+3=5, 1+1=2, 1-4=-3 y 6-6=0. b) No. -2 0, por lo que las matrices son distintas ya que por ejemplo, las componentes (1,1) son diferentes. Esto es cierto aun cuando las matrices contienen los mismos números. Las componentes correspondientes deben ser iguales. Esto significa que la componente (1,1) en A debe ser igual a la componente (1,1) en B, etc.

52 Ejercicio 4: Suma de matrices Sean las matrices: A = B = C = D = Resolver: a) A + B b) C + D Solución

53 Ejercicio 4: Suma de matrices a) A + B Respuesta: La suma de dos matrices está definida sólo cuando las matrices son del mismo tamaño. Por lo tanto, no es posible sumar las matrices A y B pues, no son compatibles bajo la suma.

54 Ejercicio 4: Suma de matrices b) C + D = = = (-2) (-2)

55 Ejercicio 5: Multiplicación de una matriz por un escalar Sea la matriz A = Hallar: a) 2A b) -1/3 A c) 0A Solución

56 Ejercicio 5: Multiplicación de una matriz por un a) escalar 2A = = 1(2) -3(2) 4(2) 2(2) 3(2) 1(2) 4(2) 6(2) -2(2) 3(2) 5(2) 7(2) =

57 Ejercicio 5: Multiplicación de una matriz por un b) escalar -1/3 A = -1/ = 1(-1/3) -3(-1/3) 4(-1/3) 2(-1/3) 3(-1/3) 1(-1/3) 4(-1/3) 6(-1/3) -2(-1/3) 3(-1/3) 5(-1/3) 7(-1/3) = -1/3 1-4/3-2/3-1 -1/3-4/3-2 2/3-1 -5/3-7/3

58 Ejercicio 5: Multiplicación de una matriz por un escalar c) 0A = = 1(0) -3(0) 4(0) 2(0) 3(0) 1(0) 4(0) 6(0) -2(0) 3(0) 5(0) 7(0) =

59 Ejercicio 6: Producto de Matrices Sean las matrices: A = B = Hallar: AxB

60 Ejercicio 6: Producto de Matrices AB = = (3)(2)+(2)(-4)+(6)(1) (-2)(2)+(4)(-4)+(6)(1) = = 4-14

61 Ejercicio 7: Inversa de una matriz Hallar la matriz inversa de 3 1 A = F1=(1/3)F1 1 1/3 1/3 0 2/3 1/3 0 1/3 F2=(-2/3)F1+F2 1 1/3 1/ /9-2/9 1/3 F2=(-2/3)F1+F2

62 Ejercicio 7: Inversa de una matriz 1 1/3 1/ /9-2/9 1/3 F2=9F2 1 1/3 1/ F1=(-1/3)F2+F Respuesta: A -1 =

63 MATRICES Ing. Vanessa Borjas