MATRICES. M(n) ó M nxn A =
|
|
- Vicenta Ojeda Duarte
- hace 2 años
- Vistas:
Transcripción
1 MTRICES Definición de matriz. Una matriz de orden m n es un conjunto de m n elementos pertenecientes a un conjunto, que para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos en m filas y n columnas a1.n a 2.1 a a 2.n ( a i.j ) i 1,2,3,,m M M M j 1,2,3,n a m.1 a m.2 a m.n K puede ser el cuerpo R ó C y en caso de no decir nada en contra será el cuerpo de los reales. Cada elemento de una matriz lleva dos subíndices, el primero corresponde a la fila del elemento y el segundo a la columna. Nomenclatura. Sí m1, se llama matriz fila. Sí n1, se llama matriz columna. Sí m n, se llama matriz rectangular. Sí mn, se llama matriz cuadrada. Notaciones l conjunto de matrices de orden m n, cuyos elementos toman valores en cuerpo K se denota por M(m,n,K). Sí KR, es usual la notación M(m,n) ó M m n en lugar de M(m,n,R). El conjunto de matrices cuadradas de orden n se denota por M(n,K). Sí KR, se suele denotar M(n) ó M nxn Matriz nula (0) es aquella matriz en que a ij 0 i1,2,,m, j1,2,,n. Hay una matriz nula para cada orden de matrices. Se define como diagonal principal de una matriz cuadrada de orden n a los elementos de la forma: a ii i1,2,,m Se define como traza de una matriz cuadrada, a la suma de los elementos de la diagonal principal Traza Tr() a 11 +a a nn Operaciones con matrices. Propiedades y estructura de las operaciones. a) Igualdad: Dos matrices y B del mismo orden m n son iguales sí a ij b ij, i 1,2,,m, y j 1,2,,n b) Suma: Dadas dos matrices y B del mismo orden m n se define la matriz suma C+B como la matriz de orden m n tal que c ij a ij +b ij i1,2,,m, j1,2,,n.1.2 L.n n a 2.1 a L a 2.n b 2.1 b L b 2.n a b 2.1 a + b L a 2.n + b 2.n + M M M M M M M M M m.1 a m.2 L a m.n b m.1 b m.2 L b m.n m.1 + a m.1 a m.2 + a m.2 L a m.n + a m.n Propiedades de la suma: Commutativa. + B B + sociativa. ( + B) + C + (B + C) Elemento neutro. + 0 Elemento opuesto. + ( ) 0 c) Producto por un número: Dada una matriz de orden m n y un elemento λ R la matriz B λ (producto de la matriz por el número λ) es una matriz de orden m n cuyo elemento genérico b ij λ a ij I 1,2,,m, j1,2,,n 1
2 λ λ L λ a1.n a 2.1 a L a 2.n λ a 2.1 λ a L λ a 2.n λ M M M M M M m.1 a m.2 L a m.n λ a m.1 λ a m.2 L λ a m.n Propiedades de producto por escalares k ( + B) k + k B (k 1 + k 2 ) k 1 + k 2 (k 1 k 2 ) k 1 (k 2 ) I 0 0 d) Producto de matrices: Dadas dos matrices, de orden m n y B de orden n p, su matriz producto C B es una matriz de orden m p. Para multiplicar matrices se toman los elemento de la 1ª matriz como vectores fila y los elementos de la 2ª matriz como vectores columnas, de está forma, la matriz producto estará formada por los productos escalares de los vectores fila de la 1ª matriz por los vectores columna de la 2ª matriz. a1.n.1.2.p a 2.1 a a 2.n b 2.1 b b 2.p m n Bn p M M M M M M m.1 a m.2 a m.n b n.1 b b n.p F.1 7 C b a1.nbn F.2 7C.1 a ab a2.nbn.1 M F.m7 C.1 4 am am.2b am.nbn.1 F.1 C F.2 C M F.m C m m.2 1.n 2.n m.n F.1 C.p p + b2.p + + a1.nbn.p F.2 C.p a2.1.p + ab2.p + + a2.nbn.p M F.m C.p a m.1.p am.2b2.p am.nbn.p La condición necesaria y suficiente para que dos matrices se puedan multiplicar es que el número de filas de la 1ª matriz sea igual al número de columnas de la segunda matriz, ya que de esta forma el número de componentes de los vectores fila de la 1ª matriz será igual al número de componentes de los vectores columna de la 2ª matriz, pudiéndose en este caso multiplicar escalarmente ambos vectores. El producto de matrices no es conmutativo, salvo en dos excepciones: i) El producto de una matriz por su inversa. I ii) El producto de una matriz por la matriz identidad. I I. Propiedades del producto de matrices sociativa. (B C) ( B) C Distributiva por la izquierda. (B+C) B+ C Distributiva por la derecha. (B+C) B +C k ( B) (k ) B (k B) e) Trasposición de matrices: Dada una matriz de orden m n se define su matriz traspuesta, que se denota t,, ó t como la matriz que se obtiene al intercambiar en la matriz las filas con las columnas de tal forma que los términos de la matriz traspuesta se relacionan con los de la matriz inicial mediante la siguiente relación: a ij a ji i1,2,,n, j1,2,,m. Si el el orden la matriz en m n, el su traspuesta será n m t Ejemplo: : Las principales propiedades de la trasposición de matrices son ( t ) t (+B) t t +B t ( B) t B t t 2
3 (k ) t k t f) Inversa de una matriz: Sea una matriz de orden n. Si existe una matriz B M n n tal que B B I n Se dice que es invertible o no singular (regular). En tal caso la matriz B se denomina inversa de y se denota por. No todas las matrices de orden n tienen inversa. La condición necesaria y suficiente para que una matriz de orden n tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. Propiedades: - La inversa de la matriz inversa es la propia matriz. ( ) - Si dos matrices admiten inversa, la inversa del producto es el producto de las inversas cambiado de orden. ( ) t 1 - La inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa. ( ) ( ) t El cálculo de la matriz inversa se puede hacer por tres métodos diferentes: - Método de Gauss. - Método de Gauss-Jordan. - Por determinantes GUSS: Sea a 2.1 a a a 3.2 a 3.3 M TRNSFORMCIONES M EQUIVLENTES a 2.1 a a 2.3 M M b 2.1 b b a 3.2 a 3.3 M M b 3.1 b 3.2 b3.3 se obtiene como inversa de : b2.1 b b2.3 b3.1 b3.2 b3.3 GUSS JORDN Se plantea como una ecuación donde la inversa de ( ) es una matriz genérica con n n incógnitas que se denomina X: X I la ecuación se resuelve multiplicando las dos matrices del primer término e igualando la matriz producto obtenida con la matriz identidad del segundo miembro término a término, obteniendo n sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. La resolución de los n sistema permite calcular los n n elementos de la matriz inversa. Ejemplo: Sea , su matriz inversa será de la forma x y X, y deberá cumplir la ecuación: z t 2 1 x y z t 1 operando el primer miembro: 2x + z 2y + t 1 3x + 2z 3y + 2t igualando las dos matrices término a término: 1.1: 2x + z : 2y + t 0 2.1: 3x + 2z 0 : 3y + 2t
4 a partir de estas igualdades se pueden plantear dos sistemas de 2 2: 2x + z 1 2y + t 0 y 3x + 2z 0 3y + 2t 1 las soluciones respectivas de cada sistema son (2, 3), (,2) por lo que la matriz inversa es: POR DETERMINNTES t adj ( ) Se realiza por pasos: 0 No 1. Se calcula el determinante de : 0 2. Se calcula la adj 3. Se traspone la adjunta de. ( adj ) t 4. Se divide cada elemento de la traspuesta de la adjunta por el determinante de Principales tipos de matrices cuadradas. Una matriz cuadrada de orden n es: a - Triangular superior sí a ij 0 i>j. 0 a a 0 0 a Triangular inferior sí a ij 0 i<j. a 2.1 a a 3.2 a Diagonal sí a ij 0 sí i j. 0 a a 3.3 a Escalar sí es diagonal y a ii a i1,2,,n. 0 a 0 0 a Unidad sí es escalar y a ii 1 i1,2,,n Regular sí tiene elemento inverso para la operación producto de matrices. la matriz inversa se la denota por. I. (NOT 0) - Singular sí no es regular. - Simétrica sí t - ntisimétrica sí t. (También se denomina hemisimétrica). - Periódica si p N / p+1. Sí p es el menor número que verifica la igualdad, p es el período. - Idempotente sí ². - Nilpotente sí n N / n 0. - Involutiva Si ² I - Ortogonal sí t
5 Rango de una matriz. El rango de una matriz de orden m n es el número de vectores fila o vectores columna linealmente independientes. Se denotará rang, Rg ó rg. El rango de una matriz como máximo será menor o igual a la menor de sus dimensiones. Para calcular el rango de una matriz hay dos métodos: i) Método de Gauss. Se triangulariza la matriz, una vez triangularizada, el rango es el número de términos distintos de cero de la diagonal principal ii) Por menores. El rango de una matriz es igual al orden del mayor menor distinto de cero que exista en la matriz. Sea una matriz de dimensión m n. Se llama menor de orden p de al determinante de cada submatriz cuadrada formada por los elementos situados en las intersecciones de p filas y p columnas de, es decir, obtenida suprimiendo las m p filas y las n p columnas restantes. Se dice que el rango de una matriz es r, y se escribe rg r, si: Hay algún menor de orden r no nulo. Cualquier menor de orden mayor r es nulo. En él calculo del rango de una matriz ahorra mucho trabajo la técnica de orlar menores. De está forma, si se quiere estudiar el rango n en una matriz, se busca un menor de orden n distinto de cero. Para saber si la matriz puede tener rango n, bastará estudiar los menores orlados del menor distinto de cero de un orden menor, es decir solo los menores de orden n que contengan al menor de orden n. Ejemplo La matriz más típica de este curso es la 3 4, que corresponde a la matriz ampliada de un sistema de 3 3, normalmente se verá de la siguiente forma: a 2.1 a a 2.3 b2 3.1 a 3.2 a 3.3 b3 en la matriz existen cuatro menores de orden 3 a 2.1 a a 2.3 ; a 2.1 a b2 ; a 2.1 b2 a 2.3 ; b 2 a a 2.3 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.1 a 3.2 b3 a 3.1 b3 a 3.3 b3 a 3.2 a 3.3 tomando como referencia el menor de orden dos: a 2.1 a 0 sus menores orlados son: a 2.1 a a 2.3 ; a 2.1 a b 2 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.1 a 3.2 b3 si alguno de ellos es distinto de cero, el rango de será 3. Sí los dos son nulos, el rango de será 2, no siendo necesario estudiar los otros dos menores de orden 3. El Rg( B) mín (Rg, RgB) 5
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n
MATRICES. M(n) ó M nxn A =
MTRICES Definición de mari. Una mari de orden m n es un conjuno de m n elemenos perenecienes a un conjuno, que para nosoros endrá esrucura de cuerpo conmuaivo y lo denoaremos por K, dispuesos en m filas
Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a
Matrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
TEMA : MATRICES Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas a a a... a n a a a... an A... am am am... amn A los números reales a ij se les llama elementos
Matriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Definición de matriz Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz
Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se
Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.
Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz
Tema 4: Matrices y Determinantes. Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes. Álgebra Lineal. Curso
Tema 4: Matrices y Determinantes Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes Álgebra Lineal Curso 2004-2005 Prof. Manu Vega Índice 1. Determinantes 3 2. Regla de Sarrus 3 3. Propiedades de los determinantes
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Tema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m
de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.
DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos
Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo
Matemá'cas generales
Matemá'cas generales Matrices y Sistemas Patricia Gómez García José Antonio Álvarez García DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Este tema se publica bajo Licencia: Crea've Commons
PRUEBA MÚLTIPLE ELECCIÓN MATRICES Y DETERMINANTES
PRUEBA MÚLTIPLE ELECCIÓN MATRICES Y DETERMINANTES 1. Sea una matriz A M n n (R) nilpotente de índice p. r(a) n 1 r(a) =p 1 8 4 2 2. Sea la matriz A = 2 1 1 0 5 2 1 1 r(a) =2 r(a) =3 r(a) =4 3. Sea una
DETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero
: CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
5 de Abril de 2 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase ) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Puntos a tratar. Definición
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
MATRICES DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES INTRODUCCIÓN, MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de
Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo
Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...
MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones
Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Determinantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A).
Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante
Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria
T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes
Matemáticas Aplicadas a los Negocios
LICENCIATURA EN NEGOCIOS INTERNACIONALES Matemáticas Aplicadas a los Negocios Unidad 4. Aplicación de Matrices OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Ejemplo 1. Ejemplo introductorio
. -Jordan. Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo
Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Matrices y Determinantes.
Matrices y Determinantes. Definición [Matriz] Sea E un conjunto cualquiera, m, n N. Matrices. Generalidades Matriz de orden m n sobre E: a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn a ij
Tema 3: Espacios vectoriales
Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación
Matrices y Determinantes
Capítulo 1 Matrices y Determinantes 11 Matrices Generalidades Definición 11 Sea E un conjunto cualquiera, m, n N Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12 a 1n a 21 a
Menor, cofactor y comatriz
Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,
Álgebra Lineal, Ejercicios
Álgebra Lineal, Ejercicios MATRICES 1 Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal Sea G el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n con traza nula
ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; (A ) = A. 2. La inversa de A 1 es A; (A 1 ) 1 = A. 3. (AB) = B A.
ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; A = A. 2. La inversa de A 1 es A; A 1 1 = A. 3. AB = B A. 4. Las matrices A A y AA son simétricas. 5. AB 1 = B 1 A 1, si A y B son no singulares. 6. Los escalares
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.
Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:
3 Determinantes. Determinantes de orden y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 4 4 = 0 Aplica la teoría. Calcula
Lo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Matrices y sistemas lineales
15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números
ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 47 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean linealmente
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES. Dadas las matrices A - 3, B 0 - y C 3 -, calcular si es posible: a) A + B b) AC c) CB y C t B d) (A+B)C a) A + B - 3 + 0 - b) AC - 3 3 - +0 -+ 3+ +(-) 0 7 0.+(-).3+(-)(-).+(-)
TEST DE MATRICES. Dadas A = (-3 4 1/2) y B = (1/3 0-2), cuál es el resultado de multiplicar la matriz A por la traspuesta de B?
file://:\mis documentos\u6mattest\u6mattesttodo.htm Página 1 de 7 TEST E MTRIES 1 eterminar la matriz opuesta de la siguiente matriz: 2 Si y son dos matrices de orden 3x2, de qué orden es la matriz resultante
Capitulo 6. Matrices y determinantes
Capitulo 6. Matrices y determinantes Objetivo. El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las matrices, determinantes y sus propiedades a problemas que requieran de ellos para su resolución. Contenido.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :
III 1 / 8 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 5 y 7 de mayo de 2009. Temas : Matriz transpuesta. Matriz simétrica. Determinantes; propiedades de los determinantes. Matriz adjunta de
Teoría de Matrices. Julio Yarasca. 30 de junio de 2015. Julio Yarasca
30 de junio de 2015 Matriz de m por n Definimeros a una matriz A de orden m por n como un arreglo de números de m filas y n columnas. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = a 31 a 32 a 33 a 3n....
Resumen de Teoría de Matrices
Resumen de Teoría de Matrices Rubén Alexis Sáez Morcillo Ana Isabel Martínez Domínguez 1 de Octubre de 2004 1. Matrices. Generalidades. Definición 1.1. Se llama matriz de orden m n sobre un cuerpo K a
Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los
Temario de Matemáticas
Temario de Matemáticas BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA 1 o Grado en Biología Alma Luisa Albujer Brotons Índice general 1. Matrices 1 1.1. Conceptos básicos y ejemplos...............................
1.1 De niciones basicas
1 ALGEBRAMATRICIAL 1.1 De niciones basicas 1.1.1 Matriz Una matriz de orden, o de dimensi on, M por N (escrita como M N) es un conjunto de M N elementos ordenados en M las y N columnas. Por tanto, una
Una matriz es una arreglo rectangular ordenado de elementos, comúnmente llamados escalares, dispuestos en m renglones y n columnas.
MATRICES Las matrices tienen una importancia fundamental en el análisis económico sobre todo en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, como en el modelo insumo-producto. Cuando trabajamos con modelos
2 - Matrices y Determinantes
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 2 - Matrices y Determinantes 1 Matrices 11 Definición Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de números o funciones a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1
Algebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una
Determinante de una matriz
25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto
Matrices 2º curso de Bachillerato Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales
MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------
Matrices y Determinantes
Matrices y Determinantes Definición de matriz Matriz Una matriz es un ente matemático equivalente a una tabla; es decir, es un arreglo de elementos de cualquier naturaleza (aunque, en general, suelen ser
!MATRICES INVERTIBLES
Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar
Lecciones de Álgebra y Geometría. Ruth Carballo Fidalgo Dpto. de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación Universidad de Cantabria
Lecciones de Álgebra y Geometría Ruth Carballo Fidalgo Dpto. de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación Universidad de Cantabria Última revisión: 24 de Enero de 29 Contenidos 1 Matrices y determinantes
Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el
Matemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC13 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25 Una matriz A m n es un arreglo
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Matemáticas. D e t e r m i n a n t e s
Matemáticas D e t e r m i n a n t e s El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución
2 Matrices. 1. Tipos de matrices. Piensa y calcula. Aplica la teoría
2 Matrices 1. Tipos de matrices Piensa y calcula Escribe en forma de tabla el siguiente enunciado: «Una familia gasta en enero 400 en comida y 150 en vestir; en febrero, 500 en comida y 100 en vestir;
1.1 Primeras definiciones. Una matriz A es una colección de m n escalares, organizados en m filas y n columnas de la forma que se indica
Matrices Las Matrices se consideran en este primer Capítulo independientemente de lo que pueden representar. Se dan aquí las primeras definiciones; se aprende a operar con matrices, tanto reales como complejas
Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.
TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1
Curso: Álgebra. 1.- Determine el valor de la determinante
1.- Determine el valor de la determinante 5.- Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) Sea P una matriz no singular entonces A) B) C) D) 2.-Determine el valor de verdad de las siguientes
Capítulo 1 DETERMINANTES
Capítulo 1 DETERMINANTES 1 Matemáticas II 2 1.1. DETERMINANTES DE 2 o ORDEN a11 a Sea A una matriz cuadrada de segundo orden A = 12. Se define el determi- a 21 a 22 nante det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a
Ing. Ramón Morales Higuera
MATRICES. Una matriz es un conjunto ordenado de números. Un determinante es un número. CONCEPTO DE MATRIZ. Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y Las líneas horizontales
on muchas las actividades en las que conviene disponer las informaciones numéricas
UNIDAD 1 Matrices on muchas las actividades en las que conviene disponer las informaciones numéricas S ordenadas en tablas de doble entrada. Por ejemplo, se conocen las distancias entre las siguientes
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a
Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II 2º Bachillerato. La igualdad de matrices 3x3 equivale a 9 ecuaciones escalares: { a 3=5.
Ejercicios resueltos 1. MATRICES 1.1. Introducción 1. Halla el valor de a, b y c para que las matrices A= 2 a 3 7 b 1 0 6 4 5 y B= 2 5 7 5 1 0 c 1 4 5 sean iguales. La igualdad de matrices 3x3 equivale
Matrices y Determinantes para Matemáticas II. 2n BAT. Prof. Ximo Beneyto IES Sant Blai Alacant
Matrices y Determinantes para Matemáticas II. 2n BAT * Definición de matriz * Tipos de matrices * Operaciones con matrices * Matriz inversa * Rango de una matriz * Determinante de una matriz * Propiedades
Problemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios
, Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas
Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
Lección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección
Matemáticas Tema 5: Conceptos básicos sobre matrices y vectores Objetivos Lección 5.: y determinantes Philippe Bechouche Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada 3 4 phbe@ugr.es 5 Qué
Apuntes de álgebra lineal. Eduardo Liz Marzán. Enero de 2015.
Apuntes de álgebra lineal Eduardo Liz Marzán Enero de 2015 Índice general 1 Introducción 7 11 Operaciones internas y estructura de cuerpo 7 12 Números complejos 8 13 Vectores 10 2 Matrices y determinantes
Matrices. p ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj.
Matrices Introducción Una matriz de m filas y n columnas con elementos en el cuerpo K es un rectángulo de elementos de K (es decir, números) del tipo a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = (a ij ) = a m a m2 a mn