MEDIOS Y MATERIALES. Material Impreso. Pizarra Plumones acrílicos Mota Palabra hablada. Exposición oral. Papelógrafo.

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2 SESIÓN DE PRENDIZJE Nº FCULTD DE : Ciencis Empresriles ESCUEL PROFESIONL DE : dministrción DOCENTE : Wlter Orlndo Gonzles Cicedo CICLO: I SIGNTUR : Lógico Mtemátic FECH: TEMS: Mtrices: definición, orden, notción; iguldd de mtrices; mtrices especiles: mtriz cudrd, mtriz nul, mtriz identidd o unidd TIEMPO: 8 hors cdémics. COMPETENCI: Entender y plicr el concepto de mtrices pr el estudio de csos o proyectos de su especilidd. CPCIDDES: Determin el orden de un mtriz. Identific los tipos de mtrices. Ubic los elementos de un mtriz CTITUDES: RESPONSBILIDD: Mnifiest compromiso e identificción en su trbjo cdémico. PUNTULIDD: Revel respeto los demás y si mismo sistiendo puntulmente ls clses. PRTICIPCIÓN: Muestr disposición enfrentrse situciones problemátics novedoss. Prticip E V L U C I Ó N ctivmente en el desrrollo de ls clses. DESCRIPCIÓN MOMENTOS DETLLD DE O FSES ESTRTEGIS Y METODOLOGÍ Motivción y explorción Problemtizción Construcción del conocimiento MOTIVCION: (NEXO Nº ) EXPLORCION: El docente present en l pizrr un list de ejercicios relciondo mtrices. (Lluvi de ides, Técnic interrogtiv) Se plnte ls siguientes interrogntes: Podrín representr un problem rel utilizndo mtrices? Se form 7 grupos. Modulo de lógic mtemátic (NEXO Nº ) Los estudintes plnten ejemplos mtrices. sus con Se relizn indicciones en l pizrr sobre MEDIOS Y MTERILES Mteril Impreso. Pizrr Plumones crílicos Mot Plbr hbld. Exposición orl Ppelógrfo. Módulo lógico mtemático (NEXO Nº) Textos uxilires. cint dhesiv TIEMPO INDICDORES min. Interés por el tem, prticipción individul y en grupo. 4 min. 8 min. Dds ls diferentes clses de mtrices y operciones que se relizn con ells se desrrolln los ejercicios plntedos. Prticipción ctiv plicción de l teorí en l solución de problems específicos. prtir de los ejemplos estblecidos en clse relizn problems relcions su crrer. Trbj en form EVLUCIÓN INSTRUMENTO Observción espontáne. Intervención orl Fich de evlución (NEXO Nº ) Fich de utoevlución (NEXO Nº 6) Fich de evlución (NEXO Nº ) Fich de utoevlución (NEXO Nº 6)

3 conceptos básicos, dds en l hoj técnic. (NEXO Nº ) Se reliz l sistemtizción de lo prendido. Los estudintes plnten y desrrolln un lbortorio con ejercicios. (NEXO Nº 4) Los estudintes resuelven los Hoj impres min. Fich de evlución (NEXO Nº ) ejercicios plntedos en su módulo de trbjo. Los estudintes prticipn notndo sus respuests en l pizrr Folder trbjo. de plic estrtegis metcognitivs pr representr l solución de los ejercicios plntedos. Folder de trbjo. (Hoj de informción,grupo de estudio, trbjo en equipo; Presentción de trbjo individul o grupl exposición del Trnsferenci del conocimiento problem plntedo.(nexo Nº4) El docente destc los resultdos trvés de l evlución del trbjo relizdo. Los lumnos desrrolln ejercicios propuestos del modulo correspondiente s mtrices.

4 BIBLIOGRFÍ yres, Frnk. (99). Mtrices y Determinntes. Editoril McGrw Hill. México. Espinoz Rmos, E. (). Mtemátic Básic. Editoril Servicios Gráficos JJ. Perú. Frncis G. Florey. (979). Fundmentos de lgebr Linel y plicciones. Editoril Prentice Hll. México. Gonzles Cicedo, Wlter Orlndo et l. (9). Modulo de Lógico Mtemátic. Lmbyeque Perú. Honh F. (99). Álgebr de Mtrices. Editoril Trills. México. Howrd. (998). Introducción l Álgebr Linel. Editoril Limus. México. Morris, Kline. Mtemátics pr los estudintes de Humniddes. Sl R. Césr. Mtrices. Editoril Gómez. Perú. Sullivn, M. (999). Pre Cálculo. Editoril Prentice Hll. México. NEXO Nº Un cudrdo mágico de orden es un mtriz de números enteros positivos tl que l sum de los elementos de ls fils, columns y digonles coinciden. ) Existe lgún cudrdo mágico de sum 99? b) Cuántos cudrdos mágicos existen de sum 99? c) Si un cudrdo es mágico, lo es tmbién el que se obtiene l trnsponer l mtriz? d) Cuándo l sum, diferenci y producto de cudrdos mágicos es otro cudrdo mágico? Solución: Obsérvese que si: es un cudrdo mágico, entonces: b c d Luego: ) No, pues es entero positivo b) Uno, es decir: c) Sí d) Siempre NEXO Nº Recuerd: El verddero mor no se le conoce por lo que exige, sino por lo que ofrece. Benvente Objetivo : Logrr motivr los estudintes y reflexionr. NEXO Nº USS. MODULO DE LÓGICO MTEMÁTIC 4

5 MTRICES. Definición: Un mtriz es un conjunto de números dispuestos en fils y columns. Si hy m fils y n columns, l mtriz precerá sí: Donde: El elemento está situdo en l fil i y en l column j. El número de fils y columns mxn recibe el nombre de dimensión de l mtriz. Si mn se dice que l mtriz es cudrd de orden n. El número totl de elementos de l mtriz es mxn. Dos mtrices son igules cundo tienen l mism dimensión y los elementos que ocupn el mismo lugr coinciden en su vlor. Es un mtriz de tmño 4 x Se emplen los préntesis cudrdos con el fin de considerr l ordención rectngulr de números como un entidd.. Clses: Según l form de l mtriz, est puede ser: Mtriz fil: tiene un sol fil. L i ésim fil de es l mtriz de tmño x n. Es decir: Mtriz column: tiene un sol column. L j ésim column de es l mtriz de tmño n x.

6 Mtriz cudrd: tiene el mismo número de fils que de columns. En un mtriz cudrd de orden n los elementos se denominn elementos digonles, y se dice que formn l digonl principl de. L siguiente es un mtriz cudrd de orden Sus elementos digonles son: Mtriz rectngulr: L mtriz rectngulr tiene distinto número de fils que de columns, siendo su dimensión mxn Mtriz trnspuest: dd un mtriz, se llm trnspuest de, y se design por T, l mtriz que se obtiene cmbindo ls fils por ls columns. Es decir: si entonces l trnspuest de es l mtriz. Esto es, l trnspuest de se obtiene intercmbindo ls fils y columns de, se denot por. Por lo tnto: Se: Entonces: El siguiente teorem resume ls propieddes básics de l trnspuest. Teorem Si c es un número rel y y B son mtrices, entonces: 6

7 Mtriz simétric: un mtriz cudrd es simétric si sus elementos cumplen que (los elementos de l digonl principl pueden tomr culquier vlor). Es decir:.por tnto es simétric: Obsérvese que un mtriz es simétric si y solmente si es cudrd y es simétric con respecto su digonl principl Sen: Entonces es simétric y B no es simétric. Mtriz ntisimétric: se llm sí tod mtriz cudrd que cumple que: (los elementos de l digonl principl son todos nulos). tendiendo los elementos, un mtriz puede ser: Mtriz nul: todos sus elementos son cero y se denot por. Es decir: Mtriz digonl: Un mtriz cudrd se dice digonl si son nulos todos los elementos que no estén en l digonl principl; es decir:.. n, n ij si i j Mtriz esclr: es un mtriz digonl en l que los elementos de l digonl principl son igules. 7

8 Mtriz Identidd o unidd: Mtriz cudrd tl que ij i j, ij i j, es decir son nulos todos los elementos que no están en l digonl principl y los elementos de l digonl principl son todos. I.. Mtriz tringulr superior: En un mtriz tringulr superior los elementos situdos por debjo de l digonl principl son ceros. Son de l form: j i si > ij mn n n 6 4 Mtriz tringulr inferior: En un mtriz tringulr inferior los elementos situdos por encim de l digonl principl son ceros. Son de l form: j i si < ij mn m m 4 9. Iguldd entre mtrices: Dos mtrices y (del mismo tmño) son igules si todos los elementos correspondientes son igules, es decir: pr i,,,m Hllr x,y,z,w si: w z y x w z y x Solución: 8

9 Por l definición de iguldd entre mtrices, tenemos: x-4x+ y+9-y Z+z w-w-4 Luego: Despejndo x,y,z,w en ls ecuciones nteriores, tenemos: x6, y -, z, w- NEXO Nº4 CTIVIDD DE PRENDIZJE Nº4 I. RESOLVER LS SIGUIENTES EJERCICIOS. Escrib explícitmente l mtriz: ( ij ) 4x, si ij i + j, i,,,4. j,,,4,.. Escrib explícitmente l mtriz: ( ij ) 4x4, si ij (-) i + j, (i, j,,,4).. Si ( ij ), en donde ij (-) i + j, entonces escribir explícitmente l mtriz. 4. Dds ls mtrices ( ij ) 4x4 y B (b ij ) 4x ; es decir: Describ explícitmente l mtriz C (cij)4x4, si cij i jbj j + bi j Donde: i, j,,,4.. Si:, entonces indicr:,, 4, 4, 44, 6. Si ls mtrices son igules determine x e y. x ) y 7. Hlle vlores de,b y c, tles que: y x 4 x b) y Hlle si es posible, todos los vlores de cd incognit pr que cd un de ls siguientes igulddes se cumpl: ) b) 9. Clculr l trnspuest de ls siguientes mtrices: ) b) 9

10 c) d). L mtriz: es un mtriz simétric de orden 4?. Demuestre que l mtriz: ( i j ) nxn, definid por i j i + j, donde i, j,,,,n), es un mtriz simétric.. Verifique que si n >, l mtriz: ( i j ) nxn, definid por: i j i + j ; donde i,j,,,,n; no es un mtriz simétric.. Dds ls mtrices: C B ) Hllr l mtriz trspuest de, B y C. b) Tiene l mtriz C un nombre especil? 4. Se: l mtriz nul hllr x,y,z:. Si: es ntisimétric, entonces clculr,b y c

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