MATRICES: CÁLCULO DE LA INVERSA MEDIANTE EL DETERMINANTE Y LA ADJUNTA:

Transcripción

1 MTRICES: TEORÍ COMPLEMEMENTRI Existe otro método para calcular la inversa y que sólo usaremos para matrices cuadradas de orden o de orden 3. Para ello es necesario conocer estos dos conceptos: CÁLCULO DE L INVERS MEDINTE EL DETERMINNTE Y L DJUNT:

2 Conocido el concepto de determinante, necesitamos conocer el concepto de Matriz djunta para poder calcular la inversa: No debemos olvidar la paridad, a la hora de calcular el adjunto de cada elemento, teniendo en cuenta la siguiente tabla: Conocida la djunta sólo falta aplicar la siguiente fórmula:

3 Una de las aplicaciones más interesantes de las matrices es la resolución de sistemas RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES MEDINTE MTRICES 3

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5 MTRICES: CTIVIDDES Sean las matrices = y B = a) Calcula el resultado de las siguientes operaciones. B B + B B + b) Qué conclusión obtienes? c) Qué condición tiene que cumplir una matriz C para poder efectuar el producto C? Pon un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada. d) Qué condición tiene que cumplir una matriz D para poder efectuar el producto D? Pon un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada.. Sean las matrices : =, B =, C = y D = a) verigua que dos matrices se pueden sumar y calcula el resultado. b) verigua que dos matrices se pueden multiplicar y calcula el resultado. c) Realiza las siguientes operaciones: 3 C B t C t 3C + I 3 B t B t d) Realiza las siguientes operaciones si es posible y en caso contrario indica por qué: - B - C - D - 3. Halla la inversa de las matrices: - = y B = Sean, B y C matrices con, 3 y filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices B C es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices. a b 3 5. Sean las matrices =, B = y C = 3 5 a) Halle los valores de a y b para que se verifique - B + B t = C. b) Existe algún valor de b para que el producto B B t se igual a la matriz nula? 6. Cuánto deben valer a, b, c y d para que P Q = R Sean las matrices: 5 c d 6 P =, Q = y R = a 8 4 b 5 a) Calcule, si es posible, P Q y Q P, razonando la respuesta. b) Cuánto deben valer a, b, c y d para que P Q = R? 5

6 7. Halla todas las matrices cuadradas de orden que verifiquen: = 8. Sean las matrices =, B = y a) Calcule ( I ) B b) Obtenga la matriz B t y calcule, si es posible, B t c) Calcule la matriz X que verifica X + B = C d) Calcule la matriz X que verifica X + B = C C = 9. Sean las matrices =, B = y C = a) Calcule la matriz P que verifica B P = C t b) Determine las dimensiones de la matriz M para que pueda efectuarsee el producto M C c) Determine las dimensiones de la matriz N para que C t N sea una matriz cuadrada.. De una matriz se sabe que su segunda fila es (- ) y su segunda columna es. Halle los restantes elementos de sabiendo que = 3. (Junio 5) Sean las matrices = y B = a) Calcule la matriz C = B t B t 4 b) Halle la matriz X que verifique B X =. Resuelva la ecuación matricial X C D = (I + D) C matrices: C = y D = 3. Sean las matrices =, B = 5 a) Calcule B B t t b) Halle la matriz X que verifica ( t ) X = B siendo C y D las siguientes 4. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales: 3 5 a) Dadas las matrices = y B, 4 = 3 resuelva la ecuación matricial X + B t = B, donde X es una matriz cuadrada de orden. b) Sea la matriz B =. b Calcule el valor de b para que B = I 6

7 x 5. (Junio7) Sean las matrices =, B = x a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B = b) Igualmente para que B + C = - c) Determine x para que + B + C = 3 I y C = x 6. (Junio6) Sean las matrices = y B = x + a) Encuentre el valor o valores de x de forma que I = B - b) Igualmente para que B = I 7. Despeja la X en las siguientes ecuaciones matriciales: a) X - B X + C = I b) X B - D C = C c) X + X = D d) X = D 8. Sean los grafos siguientes: a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos y B de la figura anterior. b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas,, 3, represente los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia. C = y D = c) Realice la siguiente operación matricial: D C C D 9. En un instituto I hay alumnos de tres pueblos,, B y C. La distancia entre y B es 6 km la de B a C es 7 km, la de a C es km y la de a I es 8km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta parte de B y recorre sucesivamente C, e I; la ruta parte de C y recorre sucesivamente B, e I. a) Determine la matriz M, x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada a ruta. 7

8 b) El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es: o o o Pueblo : alumnos la ruta y 9 alumnos la ruta. Pueblo B: 5 alumnos la ruta y 8 alumnos la ruta. Pueblo C: 5 alumnos la ruta y 9 alumnos la ruta. Determine la matriz pueblo. N 3x, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada c) Si la empresa cobra céntimos por Km a cada persona, determina la matriz F =. M N, e interpreta cada uno de sus elementos. Ruta M = Ruta. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados:, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 5 del tipo P y los de la categoría C fabrican 6 móviles del tipo M y 4 del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P se necesitan 4 chips y 6 conexiones. a) Escriba una matriz X, 3x, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y. de orden, que expresee el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil. b) Realice el producto de matrices X Ye indique qué expresa dicho producto.. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte. T 3 5 Carretera = 4 5 Tren Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son por carretera y 8 por tren, como indica la matriz C = (, 8). Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica.. Una persona tiene que comprar kg de manzanas, kg de ciruelas y,5 kg de plátanos y otra necesita,5 kg de manzanas,,5 kg de ciruelas y 3 kg de plátanos. En la frutería, los precios de las manzanas son.8 /kg, los de las ciruelas, /kg y los de los plátanos,9 /kg y en la frutería B son,7 /kg,,3 /kg y,75 /kg respectivamente. Se escriben las matrices F B C G y H lumnos N = lumnos B lumnos C Ruta Ruta,8, 7,5 M = y N =,,3,5,5 3, 9, 75 a) Determine M N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra? 8

9 3. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y, en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cadaa kg de esos productos. leche queso nata leche queso nata S, 4 S = B = 46 3 H,5 3, 6, H Efectúe el producto y explique el significado económico elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. B t de cada uno de los 4. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo : 4 unidades en la terminación N, unidades en la terminación L y 5 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 3 unidades en la terminación N, unidades en la terminación L y 3 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 5 horas de taller y hora de administración. La terminación L lleva 3 horas de taller y. horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y.3 horas de administración. a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos. 5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, por el método de Gauss y Cramer, clasificándolo previamente antes mediante el teorema de Rouchè. 9

10 MTRICES: CTIVIDDES RESUELTS 3-3 x 6. Sean las matrices =, B = y C = 9 3 x Encuentre el valor o valores de x de forma que C + B = x x = x x x = 3 x = ± 3 + x x 3 3 x + = x = 3 + = x x 3 9 x + 3 = x = x x + 3 x = 9 x = ± 3 = x + 3 x 9 Solución : x = Dadas las matrices = y B = 4-3 Resuelve la ecuación matricial siguiente X + B t = B X + B t = B - X = - (B - B t ) Solución: X = - (B - B t ) X = B - B t I X = - (B - B t ) Cálculos: 3 = 4 F 3 F 8 3 4F F F / F / = t 3 B = 5 X = = = a b 8. (Junio8) Sean las matrices = y B = 3 6 a) Calcule los valores dee a y b para que B = B =3b a b a b 3b a =a = = a 3b 3 3a=3 3b= b=4 a= a= a= b=4 b=4 b) Para los valores a = y b =, resuelva la ecuación matricial X B = I X B = I X B = I + X B B - = ( I + ) B - X I = (I + ) B - X = ( B + I ) B -

11 B = 6 F 6 F 6 B = 6 X = = 3 6 = 3 9. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías:, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente estanterías grandes y 8 pequeñas de tipo, 8 grandes y 6 pequeñas de tipo B, y 4 grandes y 6 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 6 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a) Representar esta información en dos matrices. G P T S 8 G 6 6 B 8 6 P C b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería. Interpreta cada uno de los resultados. G P T S T S 8 38 G 6 6 B 8 6 = B 7 C 4 6 P 4 C36 48 Interpretación: son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B 36 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C 38 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo 7 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B 48 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C 3. (Junio9) Sea la igualdadd X + B =, donde, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión. a) ( punto) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que tiene inversa. b) ( puntos) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo 5 3 = y B =. 3 a) X + B = X = B X = B X = I B a b a b 5 b) Si = = c d c d 3 Igualando elementos correspondientes: a + b 5a + 3b = c + d 5c + 3d.

12 a + b = a = 3 ; 5a + 3b = b = Por tanto, =. c + d = 5c + 3d = c =. b = Luego, 3 X = I B X = X = = 7 3. (Junio) Sean las matric ces = 5 ( 3), B 3 ( ) =, C = ( ). a) ( punto) Calcule B C. t b) (,5 puntos) Resuelva la ecuación matricial X + B = C. a) B C = ( 5 ) ( ) t ( ) = ( 5 ) ( ) = ( ). b) En caso de existir será X + B = C X C B La matriz inversa existe, pues = =. = X = ( C B ). De este modo t dj( ) = ( ) ( ) t 3 = 5 = ( 3 5 ) y por tanto X = ( C B) = ( 3 5 ) 3 3 ( ) 5 3 ( ) = ( ) ( (Septiembre8) Contesta de forma razonada: a) (.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: + 3x 3 5 =. x y 4 b) (.5 puntos) Calcule la matriz inversa de. 4 5 ) = ( ). + 3x x + y 5 a) = = x y 4 3x y 4 9x + y = Resolvemos el sistema de ecuaciones 3x y = 4 x =, 3 y =

13 b) Sea. = Halla Como = y = ) ( ij EJERCICIOS SELECT amos t ij ) ( =, siendo ( ij ) la matriz = TIVIDD ÚLTIMS CONVOCTORIS JUNIO 3 3 de los adjuntos. S RESUELTOS

14 JUNIO 4

15 CTIVIDDES RESUELTS DE SELECTIVIDD OTRS CONVOCTORIS 5

16 6

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18 8