Matemáticas II. 2º Bachillerato. Capítulo 1: Matrices LibrosMareaVerde.tk

Transcripción

1 Memáis II. º hillero. píulo : Mries LirosMreVere.k uores: Leii González Psul Álvro Vlés Menénez Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

2 Mries. ONEPTO DE MTRIZ.. DEINIIÓN.. DIMENSIÓN DE UN MTRIZ.. IGULDD DE MTRIES. TIPOS DE MTRIES. OPERIONES ON MTRIES.. SUM.. PRODUTO DE UN NÚMERO (ESLR) POR UN MTRIZ.. PRODUTO DE MTRIES.. MTRIZ INVERS... Definiión... Méoo e Guss Jorn.. MTRIZ TRSPUEST.. RNGO DE UN MTRIZ Resumen En l hisori el Álger poemos enonrr eps mu iferenes: el álger e l nigüe e ilónios, egipios, griegos, el álger áre o el álger e l e moern, en que oninú ránose l resoluión e euiones. En el siglo VIII I iene su uge el Álger sr que r e ls esruurs lgeris. Surgen ls mries los eerminnes, unque se puee pensr que su origen es muho más niguo si se piens en los uros mágios que se onoen ese el ño.. El álulo mriil iene impornes pliiones, omo pr l resoluión e sisems e euiones lineles que esuiremos ese urso. Ors pliiones se enuenrn l rjr en ísi uáni o en Teorí e Grfos, se uilizn en ompuión por l simplii e su mnipulión. Ls rnsformiones geoméris, giros, simerís, se represenn meine mries. Los veores son un so priulr e mriz. L informión se orgniz usno mries. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

3 Mries. ONEPTO DE MTRIZ ivi e inrouión En el IES Virgen e ovong e El Enrego se esá esrrollno un ivi soliri e reogi e juguees. Se hn reprio ls res por ursos, e moo que los lumnos lumns e º e ESO reogen juguees riionles, los e º e ESO juegos e mes los e º e ESO juegos elerónios. Durne l primer semn se reogieron juguees en º e ESO, en º en º; l segun semn los esuines rjeron 8 juguees en primero, 8 en seguno en erero. Los profesores enrgos, sisfehos por el resulo e l ivi, eiieron reompensr los niños niñs ofreiénoles rmelos por juguee riionl, morenios por juego e mes un pinho por juego elerónio. uno se enern el reso e grupos el insiuo (º e ESO, º º e hiller), eien priipr, l semn siguiene ren 8 juguees riionles, juegos e mes elerónios. El Equipo Direivo, mu orgulloso e l impliión e oos los esuines, eie uplir los premios. uános juguees e ipo se reogieron? uános pinhos, rmelos morenios een omprr omo premio? Si los rmelos uesn un énimo, los morenios énimos los pinhos énimos, uáno les osrá los profesores reompensr sus lumnos? Sugereni: Orgniz l informión en form e ls. ole ª semn ª semn ª semn Juguees riionles Juegos e mes Juegos elerónios Premios Juguees riionles Juegos e mes Juegos elerónios rmelos Morenios Pinhos nliz: rmelos Morenios Pinhos Preio por uni ose ol Hrís sio resolver el prolem sin usr ls ls? Te h preio más fáil on l informión oren? onoes lgun siuión e l vi oiin similr l prolem plneo? us oros ejemplos one l informión ul es funmenl pr enener mejor qué esá ourrieno. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

4 Mries.. Definiión Ls mries son un e ls herrmiens más uss enro el Álger Linel esán sois un onjuno e os numérios orenos. Enonrmos ls mries en muhs ienis: Soiologí, Eonomí, Demogrfí, ísi, iologí, e. L ie inuiiv e mriz es mu senill, puiénose efinir un mriz omo un l e números orenos, números que pueen provenir e experimenos, enuess, nálisis eonómios, e. Por no: Se llm mriz e oren m n un onjuno e números reles ispuesos en m fils en n olumns, e l form: m m n n mn Ls mries se represenn por lers músuls,,, Los elemenos e l mriz (los números) se represenn en generl por ij, one los suínies (i, j) nos n l posiión que oup el érmino: i,,..., m fil j,,..., n olumn sí, el érmino es el elemeno que esá en l primer fil en l erer olumn... Dimensión e un mriz El número e fils (m) el número e olumns (n) nos l imensión e l mriz m n. Ejemplo:.. Igul e mries es un mriz e imensión. Dos mries son igules si ienen l mism imensión si los érminos que oupn l mism posiión son igules: Ejemplo: Si ij ij ;, pr que ee umplirse que: x z =, =, x =, = z =. ; ; º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

5 Mries ivies resuels Ini l imensión e ls siguienes mries: ; ; ; D Soluión: L mriz es e imensión porque iene os fils res olumns. L mriz es e imensión porque iene un fil uro olumns. L mriz es e imensión porque iene res fils un olumn. L mriz D es e imensión porque iene res fils res olumns. Deermin los vlores e, pr que ls mries sen igules ; x Soluión: Pr que os mries sen igules een ener l mism imensión, requisio que umplen. emás, hn e ser igules los érminos que oupn l mism posiión. Por no ee ser x =, =, =, =. ivies propuess. Uiliz mries pr represenr l informión siguiene: Un griulor uliv lehugs, nrnjs melones. Durne el ño h reogio mil lehugs, kilos e nrnjs melones. En los ños neriores su prouión h sio e, respeivmene. Por lehug reie un énimo, por kilo e nrnjs énimos por melón énimos. Esrie l mriz e sus gnnis el ño.. nliz los siguienes elemenos e u enorno eermin si son mries o no:. Un lenrio.. L lsifiión e l Lig e fúol (o ulquier oro epore).. El iso uro e un orenor.. Un rmrio one se gur un oleión e ops. e. Los lineles e un supermero. f. Un pnll e elevisión. g. El oleo e l Loerí Primiiv, e l Quiniel el Euromillón. h. Los uzones e un vivien. i. Los pupires e un lse.. Propón oros elemenos e u enorno que se mries o puen represenrse meine mries. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

6 8 Mries. TIPOS DE MTRIES Si el número e fils es isino el número e olumns m n l mriz se llm rengulr. Denro e ls mries rengulres enemos los siguienes ipos: Mriz fil: Es quell que sólo iene un fil. Ejemplo: es un mriz fil. Mriz olumn: Es l que sólo iene un olumn. Ejemplo: es un mriz olumn. Si el número e fils es igul l número e olumns (m = n) se hl e un mriz ur. Denro e ls mries urs es imporne esr que los elemenos ij en que los os suínies son igules formn l igonl prinipl, los elemenos en que i j n (one n es el oren e l mriz) formn l igonl seunri. igonl seunri igonl prinipl En el onjuno M n e ls mries urs e oren n, e esr los siguienes ipos e mries: Mriz ringulr: Es quell mriz en l que los elemenos siuos por enim o por ejo e l igonl prinipl son nulos. Ejemplos: Mriz Tringulr. Inferior Mriz. Tringulr. Superior Mriz Digonl: Es quell mriz en l que los elemenos que no esán en l igonl prinipl son nulos: sii j ij Ejemplos: º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

7 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries Mriz Eslr: Es quell mriz igonl en l que los elemenos e l igonl prinipl son oos igules. Ejemplo: Mriz Uni (Ieni): Es l mriz eslr en l que los elemenos no nulos son igules. Se represen por I. Ejemplo: I En osiones se ñe un suínie que ini l imensión e l mriz. Mriz Nul: Es quell en l que oos sus elemenos son ero. Ejemplo: Mriz nul e mño. ivi resuel lsifi ls mries siguienes: ) = ; L mriz es rengulr e imensión. ) = ; L mriz es un mriz ur e imensión o simplemene. ) = ; L es ur e imensión. ) D = ; Es un mriz ur, es l mriz nul e ih imensión e) E = L mriz E es un mriz fil e imensión.

8 Mries. OPERIONES ON MTRIES ivi e inrouión L siguiene l muesr los resulos e l Lig e fúol espñol / uno equipo jueg omo lol omo visine: En s uer Tol Equipo PJ G E P PJ G E P PJ G E P.. relon Rel Mri léio. Mri Vleni.. 8 Sevill.. Villrrel.. hlei. ilo 8 8 R.. el e Vigo 8.D. Málg 8 R..D. Espnol 8 Ro Vlleno 8 R. Soie 8 Elhe.. Levne.. Gefe.. 8 R.. Deporivo 8 8 Grn.. S.D. Eir U.D. lmerí óro.. omple l l e l ereh, fijánoe priniplmene en: o Qué eerís her heho en so e que los equipos huiern eso orenos e iferene form en ms ls. o ómo eliges rjr on los números por qué. o Qué imensiones ienen ls ls on los os En s / uer l que oienes. o ómo hrís resuelo el prolem inverso: os los resulos oles los oenios En s, eerminr los resulos e los equipos uno jugron omo Visines. El sisem e punuión e l Lig punos por jugr un prio, punos por viori, puno por empe punos por erro. o Esrie un mriz que represene esos os sore l punuión o Uiliz ih informión pr eerminr los punos logros por equipo uno jueg omo lol, omo visine en ol. o Oserv ls imensiones e ls ls e pri e l mriz e punuión, e inen relionrls on ls ls e Punos que s e oener. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

9 Mries.. Sum Ds os mries e imensión n omo quell mriz uos elemenos son l sum e los elemenos que oupn l mism posiión: Ejemplo: m, se efine l sum e mries ij ij ij L sum e mries es un onseueni e l sum e números reles, por lo que ls propiees e l sum e mries serán ls misms que ls e l sum e números reles: - Propie soiiv. - Elemeno neuro (l mriz nul). - Elemeno opueso ( ): + ( ) = - Propie onmuiv: + = +.. Prouo e un número (eslr) por un mriz El prouo e un número rel k por un mriz ij es or mriz e l mism imensión uos elemenos son los prouos e los elemenos e l mriz por el número k: k k ij k ij k k k k k k k k k k Ejemplo: D l mriz, el prouo e l mriz por es: El prouo e un número por un mriz iene ls siguienes propiees: - Propie Disriuiv respeo e l sum e mries. k k k - Propie Disriuiv respeo e l sum e números: k l k l - Propie soiiv mix: k l k l - El onjuno e mries M mxn respeo e ls operiones sum e mries prouo por un número rel (M mxn, +, k) iene esruur e espio veoril. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

10 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries.. Prouo e mries El prouo e mries no es un operión n senill omo l sum e mries o el prouo e un mriz por un número rel, que no neesin e grnes oniiones. Pr poer muliplir os mries, sus imensiones een umplir uns oniiones. Sen ls mries e imensiones n m p n (es eir, el número e olumns e l mriz es igul l número e fils e l mriz ). Se efine el prouo, en ese oren, omo un mriz e imensiones p m uos elemenos son e l form: n k kj ik ij ij ij ij ij ij Es eir, el elemeno se oiene muliplino eslrmene los elemenos e l primer fil e l mriz por los elemenos e l primer olumn e l mriz, sí suesivmene. Ejemplo: Vemos un prouo e mries esrrollo pso pso: 8 Dimensión El número e olumns e es igul l número e fils e, por lo no se pueen muliplir en ese oren. L mriz prouo iene ns fils omo ns olumns omo. Que el prouo esé efinio no impli que lo esé el prouo. Ejemplo: Ds ls mries no efinio efinio Pr que esén efinios mos prouos iene que umplirse que si l imensión e l mriz es n m, l imensión e l mriz ee ser m n, sieno ls imensiones e ls mries prouo: n n m m De quí se onlue que el prouo e mries NO TIENE L PROPIEDD ONMUTTIV. Si ls mries son urs e oren n, el prouo e mries iene ls siguienes propiees: Propie soiiv: Elemeno neuro (I): I I Propie isriuiv respeo e l sum e mries:

11 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries.. Mriz invers Enre ls propiees e ls mries no se h nomro l exiseni el elemeno simério o elemeno inverso, que no exise ih propie. Sin emrgo, h mries urs pr ls ules exise or mriz que mulipli por ells nos l mriz uni (elemeno neuro). Definiión Si un mriz ur exise or mriz, mién ur, que mulipli por l mriz nos l mriz uni, se ie que l mriz es un mriz regulr o inversile l mriz se le llm mriz invers e se represen por : I Si un mriz ur no iene mriz invers, se ie que l mriz es singulr. L mriz invers verifi ls siguienes propiees: - L invers e l mriz invers es l mriz originl. - L invers el prouo e os mries es el prouo e ls inverss e ls mries mino su oren. - L invers e l rspues e un mriz es igul l rspues e l mriz invers. Pr hllr un mriz invers isponremos e vrios méoos isinos. En ese em veremos os: Resolver un sisem e euiones El méoo e Guss Jorn ivies resuels Se. Hll l mriz invers meine un sisem e euiones. Plnemos l mriz hllmos el prouo: Dee verifirse que = I, por no: I Resolvieno pr,, :

12 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries Se, hll l mriz invers meine un sisem e euiones. De nuevo, plnemos l mriz hllmos el prouo: Dee verifirse que = I, por no: I Resolvieno pr,, : omo hemos viso, ese méoo resul lorioso ( sólo lo hemos uilizo on mries e oren ). Es simple imginr que se ompli enormemene si h muhos érminos no nulos uno mor es l imensión e l mriz. emás, eemos ener en uen que no siempre exise mriz invers, por lo que porímos her eso rjno en le. Ejemplo: Se, hll l mriz invers meine un sisem e euiones. De nuevo, plnemos l mriz hllmos el prouo: Dee verifirse que = I, por no: I Vemos que ulquier e los os pres e euiones no iene soluión: Que lrmene no puee ener soluión. Por no, l mriz no iene mriz invers.

13 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries... Méoo e Guss Jorn El méoo e Guss Jorn pr hllr l mriz invers onsise en onverir l mriz iniil en l mriz ieni, uilizno rnsformiones elemenles. Llmmos rnsformiones elemenles por fils : - Permur os fils i j. Lo esriimos omo j i - Susiuir l fil i por el resulo e muliplir o iviir oos sus elemenos por un número. Lo esriimos omo i i - Susiuir l fil i por un múliplo (no nulo) e ell más or fil j mulipli por un número. Lo esriimos omo j i i, on. mplimos l mriz originl, esriieno juno ell l mriz ieni, plimos ls rnsformiones elemenles e moo que l mriz iniil se rnsforme en l mriz ieni. ivies resuels lul on el méoo e Guss Jorn l invers e l mriz Esriimos l mriz ieni juno l mriz : T Y vmos relizno rnsformiones elemenles l izquier, usno onverirl en l mriz ieni: T Por no: omprno ese méoo on el nerior, poemos ver que es muho más simple rápio. Hll l mriz invers e on el méoo e Guss Jorn. Por no, enemos que:

14 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries Hll l mriz invers e Esriimos l mriz ieni juno l mriz opermos omo se explió nes: Por no, l mriz invers que:.. Mriz rspues D un mriz e imensiones n m, se llm mriz rspues e se represen por, l mriz que se oiene l mir ls fils e por sus olumns, por lo que l mriz será e imensión m n. Ejemplo: Un mriz ur se ie que es siméri uno oinie on su rspues:. Pr que un mriz se siméri, los elemenos simérios respeo e l igonl prinipl een ser igules. Ejemplo:

15 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries Si un mriz ur es igul l opues e su rspues,, se ie que es nisiméri. Pr que un mriz se nisiméri ee umplirse que los elemenos simérios respeo e l igonl prinipl sen opuesos, los elemenos e l igonl prinipl nulos. Ejemplo: on ls mries rspuess se umplen ls siguienes propiees: - L rspues e un sum e mries es igul l sum e ls mries rspues: - L rspues e un prouo e mries es igul l prouo en oren inverso e ls mries rspuess: ivi resuel Pr ls mries D, reliz el prouo D. Soluión El primer pso onsise en rsponer ls mries: D Es eir: ) ( ) ( D Y poemos ompror l propie nerior: ) ( ) ( D Por no: D D

16 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries 8.. Rngo e un mriz Se llm rngo e un mriz l número e fils o olumns e l mriz que son linelmene inepenienes, es eir, que no pueen oenerse prir e ls emás fils o olumns e l mism mriz. ivi resuel Deermin el rngo e ls mries L erer fil e se ouvo sumno ls os primers fils. Ess os primers fils son inepenienes, por lo que el rngo e es. L erer fil e se ouvo resno l segun fil l ole e l primer. El rngo e es. Pr hllr el rngo e un mriz se pueen usr ls rnsformiones elemenles pr inenr her el máximo número posile e eros, inenno ringulr l mriz (méoo e Guss); sin emrgo, será más fáil hllr el rngo usno eerminnes, omo veremos en el píulo siguiene. ivi resuel lul el rngo e l siguiene mriz según los vlores el prámero : Soluión El rngo e es mriz será omo máximo pues es un mriz e imensión x. Vmos relizno rnsformiones elemenles hs onverirl en un mriz ringulr. Inermimos fils pr ener un en l posiión. hor rmos e onseguir eros, pr lo que l segun fil le resmos l primer fil mulipli por ( ): ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Vemos que si ( + = ) l segun fil es nul, por lo que su rngo serí. Por no: + = = De quí: ) rg( ) rg(

17 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries En un pís, exisen res eropueros inernionles (, ); en oro pís exisen uro (,, ); en un erer pís exisen os ( ). Dese el eropuero slen vuelos on esino,, os vuelos on esino. Dese el eropuero slen vuelos on esino, os vuelos on esino. Dese el eropuero sólo sle un vuelo on esino. Dese eropuero el pís, slen os vuelos uno e los eropueros el pís. Se pie, expresr meine mries: ) Los vuelos el pís l. ) Los vuelos el pís l. ) Los vuelos el pís l, neesien o no efeur rsoro en el pís. Soluión El esquem e los vuelos es: ) Represenmos los vuelos ese (fils) hs (olumns) ) Represenmos los vuelos ese (fils) hs (olumns) ) Represenmos los vuelos ireos ese (fils) hs (olumns): Los vuelos ese hs on o sin rsoro serán: 8 8 8

18 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries ivies propuess. Esrie res mries fil.. Esrie res mries olumn.. Esrie res mries urs e imensión, respeivmene.. Esrie l mriz uni e imensión,. 8. Esrie l mriz nul e imensión,.. Ds ls mries, lul: ) + ) +. Pr ls mries lul. Es el prouo onmuivo?. Ds ls mries lul.. lul ls mries inverss, si exisen, e ls siguienes mries:,,, D. Resuelve l euión mriil P N M sieno: M, N, P. lul el rngo e ls siguienes mries:,,, D

19 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries URIOSIDDES. REVIST Grfos mries on un grfo se represenn ls reliones enre ojeos. Un grfo esá formo por noos que se relionn on riss. Grfo : D Grfo : H grfos irigios, omo el grfo, grfos no irigios, omo el grfo. grfo se le soi un mriz úni! Los véries,, D son ls fils e l mriz. Si esá reliono on ponemos un en l fil, olumn. L mriz e un grfo no irigio es siméri. Se pueen uilizr grfos pr represenr los minos que unen uns ss, o unos puelos, o los vuelos (u oro ipo e onexión) que unen ls iues. En psiologí se uilizn por ejemplo pr visulizr ls relionese ominio enre iniviuos, Imgin que esos grfos esán inino persons que esán ones por Whspp. En el grfo, esá one on D. on D. En el grfo, esá on. on, on. Vmos muliplir ess mries por sí misms e inerprer el resulo porí oner on D (piieno que reenvir el Whspp). hor un Whspp e porí llegr es mism person por os minos isinos ( rvés e e ), pero sólo sus propios Whspp. l person, on Whspp, le llegrín los suos los e.

20 Mries RESUMEN Ejemplos Definiión e mriz Tl e números orenos Dimensión e un mriz El número e fils (m) el número e olumns (n) L imensión e l mriz nerior es. Igul e mries Dos mries son igules si ienen l mism imensión si los érminos que oupn l mism posiión son igules = ij = ij i,j Mriz fil: Mriz olumn: Tipos e mries Mriz ringulr e imensión : Mriz igonl: Mriz eslr: Mriz uni: Sum e mries Prouo e un rel por un mriz Prouo e mries Mriz invers Mriz rspues Rngo e un mriz Se sumn los elemenos que oupn l mism 8 8 posiión: ij ij ij Es or mriz e elemenos los e l mriz k k ij k ij muliplios por el número: ij ij n ij ij ij ij I k Se oiene mino fils por olumns. Número e fils o olumns e l mriz que son linelmene inepenienes, es eir, que no pueen oenerse prir e ls emás fils o olumns e l mism mriz. ik kj / / El rngo e l mriz / / es. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

21 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries EJERIIOS Y PROLEMS.. Ds ls mries, lul: ) + ) ) +. Pr ls mries lul. Es el prouo onmuivo?. lul los prouos posiles enre ls mries,.. Ds ls mries lul.. Pr ls mries,, reliz ls siguienes operiones si es posile: ) + ) ) ) D e) f) D g). Es posile que pr os mries no urs puen exisir?. ) lul pr l mriz ) Enuenr los vlores e pr que l mriz onmue on l mriz. 8. lul n, pr n N, sieno ls siguienes mries: ) ) ) D

22 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries. Se ie que os mries onmun si. D l mriz hll ls mries que onmuen on.. Enuenr os ls mries, el oren orresponiene, que onmuen on ls mries:. Sen ls mries m E m D x m x,,,, lul uno e los prouos, D E, E, E.. Sen z x z x os mries e oren, en ls que x,, z enon vlores numérios esonoios. ) Deermin, rzonmene, los vlores e x,, z R e mner que =. ) Es posile el álulo e? Rzon l respues.. Se l mriz lul, si exisen, ls siguienes mries: ) Un mriz, l que ) Un mriz Y l que Y. lul ls mries inverss, si exisen, e ls siguienes mries: ) ) ) ). Ds ls mries lul. 8

23 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries. D l mriz ) Hll l mriz invers e ) omprue que - = - = I ) Hll un mriz l que =, sieno. lul l mriz invers e 8. Ds ls mries oén, si proee, ( ) -.. Sen ls mries ) lul l mriz invers e ) Hll el prouo e l invers e por l invers e. Qué relión exise enre l mriz el pro nerior es mriz? Jusifi l respues.. Se omprue que = lul.. Sen ls mries:, ) Hll D ) lul l mriz invers e D ) omprue que ( D) = D. D

24 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries. Resuelve l euión mriil M + N = P sieno,. Sen ls mries, ) lul ( + I) ) Deermin l mriz pr que = + I. Sen ls mries, Resuelve l euión =. lul el rngo e ls siguienes mries: ) ) ). lul el rngo e ls siguienes mries según los vlores el prámero : ) ). Deermin ls mries que son soluiones el siguiene sisem: Oener ls mries e Y que verifiquen los siguienes sisems mriiles. ) ) ). Uilizno ls operiones elemenles por fils, oén mries ringulres equivlenes ls siguienes mries: ) ) ) ) M N P Y Y Y Y Y Y

25 Mries. En un emi e iioms se impren inglés lemán en uro niveles os molies: 8 grupos reuios grupos normles. L mriz expres el número e persons, según el ipo e grupo, one l primer olumn orrespone los ursos e inglés, l segun los e lemán ls fils, los niveles primero, seguno, erero uro respeivmene. Ls,,,, olumns e l mriz reflejn el no por uno e esuines (omún,8,,, pr mos iioms) que siguen urso reuio (primer fil) urso norml (segun fil) pr uno e los niveles. ) Oener l mriz que proporion el número e esuines por moli e iiom. ) Sieno que l emi or euros por person en grupos reuios euros por person en grupo norml, hllr l ni que oiene l emi en uno e los iioms.. Tres esriores presenn un eior, l r l enilopei, l minu que se reoge en l l jun: Hors e rjo onferenis s Vijes Esrior Esrior 8 8 Esrior El eior pg l hor e rjo euros, l onfereni euros el vije euros. Si sólo piens pgr, respeivmene, el %, el % el % e lo que orresponerí esrior, qué gso enrí el eior?. Un fári proue os moelos e lvors,, en res erminiones: N, L S. Proue el moelo : unies en l erminión N, unies en l erminión L unies en l erminión S. Proue el moelo : unies en l erminión N, en l L en l S. L erminión N llev hors e ller hor e minisrión. L erminión L llev hors e ller, hors e minisrión. L erminión S llev hors e ller, hors e minisrión. ) Represen l informión en os mries. ) Hll un mriz que exprese ls hors e ller e minisrión emples pr uno e los moelos.. Sen os mries e igul oren, un número. Se se que ( + ) = +. Jusifi el resulo.. Sen os mries urs e igul mño. Si son siméris, nliz si, enones, mién lo es su prouo. Si l respues es firmiv, jusifíquese; en so onrrio, ese un onrejemplo que lo onfirme. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

26 8 Mries r. Se l mriz M, sieno r s os números reles les que r s. s lul M, M, M M k pr k N.. Se el onjuno e mries efinio por: M ;, R ) omprue que, M, mién + M M ) Enuenr os ls mries M, les que =.. Se ie que un mriz ur es orogonl si se verifi que = I one es l mriz rspues e e I es l mriz ieni. Si son os mries orogonles e igul mño, nliz si es un mriz orogonl. 8. onsier ls mries, efinis omo: i j, i, j,, i j, i,; j,, i j, i,,;, j, ij ij ij ) onsrue ls res mries. ) Hll ls rspuess, eermin uál (o uáles) e ls mries es siméri. ) nliz uáles e los prouos,,,,,,, o pueen relizrse. ) Deermin el rngo e ls res mries,.. D l mriz: z M z x x En l que se verifi x + + z =. ) lul M. ) lul P = M + I. ) omprue que P = P. ) omprue que P M = M P = O. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

27 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries UTOEVLUIÓN Ds ls mries ;. L imensión e l mriz es: ) ) ) x ) x. L mriz es: ) un mriz fil ) ur ) rspues ) rengulr. L sum e ls mries es: ) ) ) ). El prouo es: ) ) ) ). Ini qué firmión es ier ) Ls mries se pueen muliplir ) Ls mries no se pueen muliplir ) ms ienen mriz invers ) Sus mries rspuess son igules Ds ls mries ; ; ; E D. L mriz ieni es l mriz: ) ; ) D; ) E; ).. El prouo e ls mries E es: 8 ) E 8 ) E 8 ) E 8 ) E 8. L mriz invers e l mriz es: ) ) ) ). L mriz rspues e l mriz es: ) ) ) ). El rngo e l mriz es: ) ) ) ) no iene

28 Mries pénie: Prolems e mries en ls P...U. () Se l mriz ) omprue que verifi I = O, on I l mriz ieni O l nul. ) lul ) sánoe en los pros neriores sin reurrir l álulo e inverss, hll l mriz que verifi l igul + I = () ) Define rngo e un mriz. ) Un mriz e fils olumns iene rngo. ómo vrí el rngo si quimos un olumn? Si suprimimos un fil un olumn, poemos segurr que el rngo e l mriz resulne vlrá os? () Se un mriz (m n) ) Exise un mriz l que se un mriz fil? Si exise, qué oren iene? ) Se puee enonrr un mriz l que se un mriz fil? Si exise, qué oren iene? ) us un mriz l que = ( ) sieno x () D l mriz el veor, se pie oener rzonmene: ) El veor l que =. ) Toos los veores les que =. ) Toos los veores les que =. () Sen I ls mries urs siguienes: I Se pie lulr, explino oos los psos neesrios: ) Ls mries. ) Los números reles pr los ules se verifi (I + ) = I +. () D l euión mriil: one es un mriz ur e mño, se pie: ) lul el vlor o vlores e pr los que es euión iene soluión. ) lul en el so =. º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo

29 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries () Un mriz se ie que es ringulr si el primer elemeno e su segun fil es. Enuenr os ls mries ringulres les que 8. (8) omprue rzonmene que: ) Si el prouo e os mries urs es onmuivo, enones se eue que el prouo e los uros e ihs mries es igul l uro el prouo e ihs mries. ) L mriz sisfe l relión + I = O, sieno I O, respeivmene, ls mries e oren uni nul. ) lul rzonmene, esriieno oos los psos el rzonmieno uilizo, los vlores que hen que = + I, sieno que l mriz verifi l igul = + I. () ) lul ls mries reles urs e oren, e Y, que sisfen ls euiones: Y Y one ) Si e Y son ls mries neriores, lul ( + Y) ( + Y) (Y). () lul oos los vlores reles x,, z, pr los ules se verifi =, one z x () Tenemos ls mries e I ) lul l mriz invers e. ) lul l mriz = ( + I). ) Deermin los números reles que umplen: = x + I, = z + I, () Sen ls mries: z x z x os mries e oren ( ) en ls que x, z R enon vlores numérios esonoios. ) Deermin, rzonmene, los vlores e x, z R e mner que =. ) Es posile el álulo e? Rzon l respues

30 º e hillero. Memáis II. píulo : Mries uores: Leii González Psul Álvro Vlés LirosMreVere.k Revisores: Euro uhillo Jvier Rorigo Mries () Se + I = un expresión mriil, one eno l mriz ur e oren ( ): e I es l mriz ieni e oren orresponiene: ) Qué imensión iene l mriz? ) Deermin los elemenos que inegrn l mriz, eso es, ij q. ) lul + I. () Sen os mries esonois. Resuelve el siguiene sisem e euiones: () Sen e Y os mries esonois. Resuelve el siguiene sisem e euiones: Y Y () Se llm rz e un mriz l sum e los elemenos e su igonl prinipl. Hll, mriz e mño ( ), sieno que l rz e es ero. () Se un mriz que iene res fils; se l mriz que resul e susiuir en l ª fil por l sum e ls ors os. Qué ee ourrir enre ls fils e pr que engn el mismo rngo? (8) Ds ls mries ) Enonrr ls oniiones que een umplir, pr que se verifique =. ) Pr = = =, lulr. () Denomos por M l mriz rspues e un mriz M. onsier:,, ) lul ( ) ( ). ) Deermin un mriz que verifique l relión. () lul os ls mries les que, one: () lul os números nurles menores que les que l siguiene mriz eng rngo :