UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL ROSARIO INTEGRACIÓN IV

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1 UNIESIDD ENOLÓGI NIONL ULD EGIONL OSIO INEGIÓN I Ejemplo e Moelo e Equpos e un lnt en Esto Dnámco Se el gm e lujo e l gu. Luego e nomb ls vbles estntes se ese plnte un moelo en esto námco que lo epesente y popone un estteg e esolucón.

2 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 pótess: ) ecto eccón evesble eotémc. L cnétc con como bse: K K D I ecto Mezcl complet. L cms e egecón tmbén se conse mezcl complet. Los coecentes cnétcos son conocos y que son uncón e l tempetu (unconl tpo enus). ol up e vpo especble. Evpocón el líquo especble. esón en el cuepo e vpo el ecto es conoc ( ) U es to nque clínco e áe. [moles/lt]; : ens mol L ens el líquo en el ecto se compot e cueo un esto pseuoestcono. Esto pemte consel nepenente el tempo sgueno l námc e ls vbles eencles í e pesón tvés e l cms nul ) álvuls e contol súmse el lujo tvés e ls válvuls como: v ( ) Seno e l pesón e ent y s l e sl l ens el luo. L conuctv v (con e ) epene e l ley e contol: e s v α Seno l ccón totl e contol e l válvul : I D Seno l ccón popoconl el contolo I l ccón ntegl y D l ccón evtv. es constnte. oos los pámetos e los contoloes son conocos. Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

3 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 es cul volumétco. ) ls No se poucen eccones químcs bátco Ope en equlbo L- L pesón e escg e l coente e vpo es conoc y constnte L ens el líquo se compot e cueo un esto pseuoestcono. Esto pemte consel nepenente el tempo sgueno l námc e ls vbles eencles D) Intecmbo e clo (U) conoco y constnte No se conse cmbo e se n eccón químc en nngun e sus coentes sum esto pseuoestcono í e pesón nul Moelo el sstem: Se obtenán ls ecucones eencles y ls ecucones lgebcs complements. eco que luego el sstem ebe esolvese en om smultáne. ecto lnce e Mte: ( ) k D ki M ( ) ( ) ( ) ( ) (I) Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

4 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. lnce e Mte po omponentes: omponente : los tes componentes po semejnz: (Ecs. II III y I) Nótese que se utlzo en el membo eeco ccones moles y en el membo zqueo concentcón mol. Esto es sí y que ls coentes que slen e equpos moelos en equlbo (sepcón ísc po ejemplo un ls) genelmente son epess en ests unes. Los ectoes po el conto l utlz epesones

5 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 5 cnétcs genelmente se moeln utlzno concentcones moles. Debe entonces tnsomse ls unes cuno se lo eque po ejemplo mente: j j y (-) lnce e enegí: M (Ec. ) ms: onseno el ol up (M ) y l cpc cloíc y ens el gu e enmento constntes: E E p E M E E E p E p M E E E p E p M

6 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 E E p M ( ) E p E (II) Epess ls ecucones eencles se gegn ls epesones lgebcs que pemten clcul el membo eeco e ls ecucones eencles en c pso e ntegcón. ( ) puo j ( ) j j () k k D I (5) lujo mol tvés e l válvul e contol : v ( ) () g (7) : pesón en el cuepo e vpo en el ecto (se conse quí en equlbo con el líquo) ( ) L (p.ej. po ntone) (8) (9) L : pesón en el cuepo e vpo en el ls ( eq ) v α () I D : ccón el contolo () cuno son ceo ls ccones I D. Kp ( S ) () () Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

7 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 I I t K K D ( S ) ( S ) K evno que : (I) () ( ) () ( ) (5) ( ) () Nótese que se geg un nuev ecucón eencl (I) ebo l ccón ntegl el contolo. De cueo l pótess e mezcl peect en l cms e enmento y en el ecto el clo ntecmbno está o po: ( U) ( ) E (7) E E v ( ) E E E (8) on E y E conocs. v α I D Kp ( S ) (9) () () I K ( ) S (III) D K () Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 7

8 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 Nuevmente se geg un ecucón eencl (III) ebo l ccón ntegl el contolo. Not: onvencón e sgnos lo e eccón eccones eotémcs: < (- )> eccones enotémcs: > (- )< ls lnce e Mte: M L ( ) L ( ) L L L L L (IX) L on M L : ol up e líquo en el ls L : olúmen e líquo en el ls L : ltu e líquo en el ls lnce e Mte po omponentes: omponente ( M ) y L y K ( ) L K L L K Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 8

9 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 9 L L L K K L L L L L L K L L L K toos los componentes que: L L L L L L L L L k K K Ecs. (X XI y XII) lnce e enegí: L M L L L L L L L L L

10 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 L L L L L L (XIII) v ( ) L () ( ) () g L L L (5) L : esón en el ono el ls L N v v ( ) () p. ej. po ntone (7) sumeno que no y cí e pesón tvés e l cñeí y el ntecmbo e clo: 5 (8) v α (9) I D Kp ( L S ) L () () I K ( ) L S L (XI) Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

11 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 D K v L S ( ) L () () S : esón e contono o escg conoc (to) L v α () I D Kp ( L S ) L (5) () I K ( ) L S L (X) D K L (7) y ( ) ( ) (8) (9) Intecmbo e clo Se sume e vcón nstntáne especto ls vcones e ls vbles eencles con lo cul se puee conse que está en un esto pseuoestcono es ec su námc es goben po ls vbles eencles. emás no se conse cmbo e ses n eccón químc en nngun e sus coentes. lnce e Mte: 5 () Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

12 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 E E () o omponentes: 5 5 con 5 () lnce e enegí: ( ) I E p 5 ( ) 5 ( ) I E E E () () (5) E I E p E p E E E () I ( U) I ( 5 E) ( E ) ( 5 E) Ln ( ) E (7) omb entíug Solo ncement l pesón p pemt l ecculcón. omo l contpesón es to y constnte ( ) y sumeno como to y constnte el ncemento e pesón e l bomb ( ): Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

13 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 5 (8) 5 (9) (5) 5 (5) 5 p (5-5) En entv nos que un sstem e 5 ecucones eencles ons copls un sstem e 5 ecucones lgebcs no lneles. esolve el poblem se necestn los vloes e ls concones ncles e ls vbles eencles (o se l tempo ncl). emás necestmos un métoo e esolucón e sstems e ecucones eencles. En este cso ebo que ls evs e ls vbles eencles se encuentn tmbén en el membo eeco e ls ecucones que conomn el sstem se utlz un métoo mplícto es ec tetvo. Estteg e esolucón el moelo námco completo ecoemos que el sstem e ecucones eencles mplícto (coplo l sstem e ecucones 5 lgebcs) esolve es: L L (I) L L (II)

14 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. L L (III) L L (I) L L 5 () I K S (I) 7 E E E E p M p E (II) 8 S K I (III) L L L L L 9 (IX) K L L L L L L (X)

15 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 5 K L L L L L L (XI) k L L L L L L (XII) L L L L L L (XIII) L L L S K I (XI) 5 L L S K I (X) Ents (Dtos o pámetos el poblem): S E E E I L U U 5 oncones ncles ( tempo tt ): I I I I E L y (p y )

16 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 Obsevcón: o que y sumeno conocs cs unconles un tempetu es posble estblece l entlpí y vceves. De este moo s ben ls ecucones () y (XII) están epess en l vble entlpí estblecemos como vloes p sus concones ncles ls tempetus coesponentes ls coentes nvolucs. loes semll p l pme tecón en tto (Son nclzcones p el pocemento tetvo l utlz un métoo mplícto e esolucón). L L Obsevcón: o que c uncón. ( ) el vlo e l ev se puee obtene evno L Secuenc e cálculos: En pme lug ebe emostse que pueen esolvese toos los témnos el membo eeco e tos ls ecucones eencles p segu que el métoo e esolucón seleccono pue clcul los vloes e ls vbles eencles en el tempo posteo. omo vmos en los moelos námcos p c equpo se pesentn tos ls ecucones lgebcs ( 5) elcons ls ecucones eencles. En uncón e ls vloes e ls vbles eencles (conocs p too t) y los tos el poblem se comenz el cálculo poponeno un oen p su esolucón. En pme lug se clcul: k D E D E e k e D I I I esult neceso clcul ls ccones moles (ecucones -) que se obtenen pt e ls concentcones moles en l coente : j ( ) Luego se esuelven ls ecucones y 5 puo j j j k k D I () (5) Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

17 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 esolve l ec. () v ( ) se necestn conoce ls pesones y y l ccón e contol e l válvul e contol (-). g (7) En este cso es to peo s no lo ue sumeno equlbo L- se clcul según: ( ) (p.ej. po ntone) (8) Do que peect). L (ec. (9)) se esuelve l ecucón () (nótese l pótess e mezcl L N v ( ) () ll l ccón e contol e l válvul e contol (-) se esuelven ls ecucones. Kp S D K () () ecuee que el símbolo nc vloes e tecón p ls evs. L ccón ntegl tempo ceo se conoce o que es un concón ncl el poblem esolve po lo que es este vlo el que se utlz tempo t t. too nstnte posteo se obtene l esolve l ecucón eencl coesponente. o se está en concones e esolve ls ecucones y luego l. I D () Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 7

18 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 v α () osteomente se esuelve l ecucón (): v ( ) () Luego se esuelven l () (5) y (7): ( ) () ( ) (5) ( U) ( ) E (7) Do que 5 y este lujo mol vene o po l ecucón () se equee pevmente clcul l ccón e contol e l válvul. ello se esuelven ls ecucones () () () y (9). Kp S L L () D L K () I D () v α (9) pt e l ecucón () se obtene l ens el líquo en : puo j ( ) j j () Y esolveno (7) () (5) y (5) y se está en concones e obtene pt e l (). Nótese que se conse nul l cí e pesón tvés e ls cñeís. v (7) Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 8

19 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 L N v ( ) () g L L L (5) (5) 5 v ( L ) () esolve el membo eeco e l ecucón (II) es neceso conoce E el cul es uncón e l ccón e contol e válvul. Entonces el oen e esolucón est o po: Kp S () D K I D () () v α (9) E E v ( ) E E E (8) on E y E conocs. esolve se necest clcul emás e l ccón e contol e l válvul l ens e : L ( L L ) Kp S () Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn. 9

20 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 D L K (7) eco que l epesón e l ev se puee obtene pt e ev l ecucón e ntone convtenose en un ev e l tempetu. I D (5) v α () v S ( ) L () on ls constntes e equlbo (según mezcl el) v k j ( ) j L se clculn ls composcones en l coente k j j j j y luego ls entlps e ls coentes e vpo y líquo (8) y (9) ( ) ( ) (8) (9) De ls ecucones () () y () se estblece que: E 5 E () () Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

21 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 5 () El ntecmbo e clo nvoluc un sstem e ecucones lgebcs no lneles (en ls vbles 5 y E) o po ls ecucones () () (5) () y (7): ( ) I () 5 5 E p 5 ( ) 5 ( ) I E E E () (5) E ( U) I E p E p E E E ( 5 E) ( E ) ( 5 E) Ln ( ) I I E () (7) o lo tnto se ebe emple lgún métoo tetvo popo y se po susttucón ect o Newton-pson. El sguente gm e lujo muest el pocemento utlzno el métoo e susttucón ect. Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

22 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 nlmente se esuelven ls ecucones lgebcs elcons con l bomb centíug (Ecs. 8 5): 5 5 Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

23 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón esuelts tos ecucones lgebcs elcons l sstem e ecucones eencles y o que ls vbles eencles mplícts p tempo ceo ueon nclzos con vloes semlls (p nstntes posteoes se utlzn como nclzcones los vloes clculos en el tempo nteo) los membos eecos quen totlmente enos y pueen clculse. Do que ls evs L L ueon vloes supuestos se te po susttucón ect st que se veque lgún cteo e eo. Esto es se ebe clcul l nom el vecto u L L L L y en un vlo e tolenc o eo (po ejemplo - ). S no se cumple segumos con ls tecones tomno o como nuevo vlo e ls evs los clculos l esolve los membos eecos. S se cumple tommos los vloes clculos e los membos eecos p clcul el pómo punto. De éste moo plcno po ejemplo el métoo e Eule ls ecucones eencles se pueen esolve ls msms p un nstnte posteo según: ( ) L t L ( ) L t L ( ) L t L ( ) L t L (I ) (II ) (III ) (I ) Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

24 UN cult egonl oso áte: Integcón I esón 9 () ( ) L t 5 L I I t K S ( ) t E E 7 E () I I t K S ( ) t L L L 9 L L () ( ) (I ) (II ) (III ) (IX ) ( ) ( ) ( ) t t L L L L L L () () (X ) (XI ) ( ) ( ) t L L L () (XII ) ( ) L L t L () I I t K S L L ) (XIII ) (XI ) () L L I I t K S (X ) Esto se elz st complet el ntevlo e ntegcón ese t t. Ot om es te ectmente sobe los vloes e ls vbles en el punto lo cul esult equvlente y que eben convegese cos vloes l gul que con ls evs. Sn Gooy Nésto oíguez Ncolás Scenn.

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