UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN CON CABRI: LA REGRESIÓN LINEAL.

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1 UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN CON CABRI: LA REGRESIÓN LINEAL. Benjamín R. Sarmiento Lugo. Universidad Pedagógica Nacional Esta conferencia está basada en uno de los temas desarrollados en el curso de Estadística de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional: La regresión lineal simple. En esta ocasión se presentará como un problema optimización simulado con el software Cabri Plus II. Se inicia con una reseña histórica de la regresión lineal y con el objetivo central de la regresión lineal. Luego se presentan las condiciones para que una recta sea la recta de regresión y se destaca la importancia de la función de bondad de ajuste. Después de presenta la construcción de la función de bondad de ajuste, su optimización y como consecuencia la recta de regresión lineal. Finalmente se presentan las curvas de regresión no lineal con el programa Geogebra. 1. QUÉ ES LA REGRESIÓN LINEAL? La regresión lineal es un método de análisis de datos muy usado en contextos económicos y científicos, que sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas variables. En esta técnica, para cada valor x de una variable no aleatoria X (Predictora, regresora o independiente), interviene una variable aleatoria Yx, (variable respuesta o dependiente). X e Yx están relacionadas a través del valor medio o esperado de la variable respuesta, por la expresión: E(Yx) = a + bx, donde a y b son los coeficientes de regresión. 2. OBJETIVOS Y USOS DE LA REGRESIÓN LINEAL Estudiar cómo los cambios en una variable (no aleatoria), afectan a una variable aleatoria. En el caso de existir una relación funcional entre ambas variables, esta puede ser una expresión lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica, potencial o hiperbólica. La Regresión lineal se usa cuando sobre una población se estudian simultáneamente los valores de dos variables estadísticas.

2 El conjunto de los pares de valores correspondientes a cada individuo se denomina distribución bidimensional. Una distribución bidimensional se representa mediante una tabla de doble entrada o con un diagrama de dispersión, como se muestra a continuación X x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 Y y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 Tabla de doble entrada Diagrama de dispersión Diagrama de dispersión y Recta de regresión

3 La recta de regresión lineal se utiliza para realizar predicciones para la variable Y a partir de valores conocidos de la variable X. 3. CÓMO SURGE LA REGRESIÓN LINEAL? El 1º de enero 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enano Ceres. Siguió su órbita durante 40 días. Durante el año 1801, muchos científicos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi. Algunos resolvían las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento, lo cual era muy difícil. La mayoría falló en su intento. El cálculo más preciso para permitir al astrónomo alemán Zach reencontrar a Ceres al final del año fue el de Carlos Federico Gauss. Para ésta epoca Gauss tenía 24 años. Los fundamentos de su técnica los había planteado en 1795, cuando tenía 18 años. Su método es el que se conoce hoy como el método de los mínimos cuadrados. El método se publicó hasta Apareció en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sctionibus conicis solem ambientium. El francés Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en En 1829, Gauss justificó las bondades en cuanto a optimización del famoso procedimiento. Una presentación y justificación concreta del método se conoce hoy como teorema de Gauss-Márkov. 4. CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR LA RECTA DE REGRESIÓN LINEAL? Debe pasar por el punto ( x,y ) o centro de gravedad de la nube de puntos. La suma de los cuadrados de las diferencias entre el valor de Yi de cada punto ( x i, y i ) de la nube de puntos y la Y del punto de la recta correspondiente a esa x i debe ser mínima

4 Nube de puntos y posibles rectas de regresión Nube de punto y posible Recta de regresión. 5. CUÁL ES SENTIDO DE LA FUNCIÓN DE BONDAD DE AJUSTE? Dado que la función de bondad está constituida por la suma de los cuadrados de residuos o diferencias, entonces, de todas las posibles rectas candidatas a ser la recta de regresión, la que sirve será aquella en donde la suma de cuadrados de dichos residuos es la menor posible. Si (x k,y k ) es un punto de la nube de puntos y si se traza un segmento vertical que pase por (x k,y k ) y que corte a la recta L definida como y = a + bx, el punto de corte será (x k,a+bx k )

5 La distancia vertical del punto (x k,y k ) a la recta y=a+bx será d k = y yk = a+ bxk yk. Entonces, la función de bondad de ajuste o función de suma de cuadrados de residuos será kn = kn = 2 2 f(a,b)= ( dk ) = ( a+ bxk yk). k1 = k1 = Como se puede ver, f es una función dependiente de los parámetros a y b. Para minimizar esta función se requiere resolver el sistema de ecuaciones k= n δ f = 2a ( + bxk Yk ) = 0 (I) δa k1 = k= n δ f = 2a ( + bxk Yk ) Xk = 0 (II) δb k1 = δf = 0 δa. δ f = 0 δb Las ecuaciones (I) y (II) se conocen como Ecuaciones normales de Gauss. De la solución de este sistema resultan los parámetros a y b. El parámetro es la pendiente de la recta de regresión, y el parámetro a es el corte con el eje Y. 6. CÓMO SE CONSTRUYE Y SE MINIMIZA LA FUNCIÓN DE BONDAD DE AJUSTE CON CABRI PLUS II? - 5 -

6 7. QUÉ ELEMENTOS SE REQUIEREN PARA LA CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA RECTA DE REGRESIÓN LINEAL? Debe pasar por el punto ( x,y ) o centro de gravedad de la nube de puntos. La suma de los cuadrados de las diferencias entre el valor de Yi de cada punto ( xi, yi ) de la nube y la Y del punto de la recta correspondiente a esa xi debe ser mínima. 8. CÓMO SE OBTIENEN LAS LÍNEAS DE AJUSTE CON GEOGEBRA? Se ubican los puntos P 1, P 2,, P n en la ventana de Vista Gráfica, y luego se escriben los siguientes comandos en la barra de entrada, dependiendo de la curva de regresión que se quiera obtener: 1. AjusteLineal[P 1, P 2, P 3,, P n ] 2. AjustePolinómico[P 1, P 2, P 3,, P n, Grado] 3. AjusteExp[P1, P2, P3,, Pn] 4. AjusteLog[P 1, P 2, P 3,, P n ] 5. AjustePotencia[P 1, P 2, P 3,, P n ] 6. AjusteSen[P 1, P 2, P 3,, P n ] 7. AjusteLogístico[P 1, P 2, P 3,, P n ] 9. PREGUNTAS FINALES: 1. Es posible construir las curvas de regresión no lineal geométricamente? 2. Cuáles son los elementos mínimos o condiciones para la construcción de cada una de las curvas de regresión no lineal? 3. Es confiable la función de bondad de ajuste obtenida con Cabrí? - 6 -