CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LAS CÓNICAS

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1 CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LAS CÓNICAS Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez 1 Universidad Pedagógica Nacional yulyarr@gmail.co Benjamin R. Sarmiento Lugo 2 Universidad Pedagógica Nacional bsarmiento@pedagogica.edu.co RESUMEN En este artículo se presentan diversos métodos para construir geométrica las cónicas. Para lograr cada curva mediante los pasos que aquí se presentan se sugiere usar el software de geometría dinámica Cabri II Plus. Para la elipse se presentan dos métodos de construcción y para la hipérbola se presentan cuatro métodos Ecuación cartesiana: Ecuación polar: ρ = x a CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE y + = 1 b ab bcosθ + a Sen θ Ecuaciones paramétricas: x = a Cost, y = b Sent 1.1 PRIMER MÉTODO 1. Mostrar ejes coordenados. Sea O el origen de coordenadas. 2. Sean A y B puntos sobre el eje OX positivo, tales que O A B. 3. Trazar la circunferencia C O con centro O y radio OA. 4. Trazar la circunferencia C O 1 con centro O y radio OB. 5. Sea C un punto sobre la circunferencia C O. 6. Trazar la semirrecta OC. 7. Sea D la intersección entre la semirrecta OC y la circunferencia C O Trazar la recta h perpendicular al eje Y que pase por C. 9. Trazar la recta v perpendicular al eje X que pase por D. 10. Sea E la intersección entre las rectas h y v. 11. El lugar geométrico generado por E cuando se mueve C sobre la circunferencia C O es la Elipse. Nota: Al mover los puntos A y B se modifican los semiejes de la elipse. 1 Licenciada en Matemáticas Universidad Pedagógica Nacional 2 Magíster en Educación Matemática Universidad Pedagógica Nacional - 1 -

2 Figura SEGUNDO MÉTODO Del paso 1 al paso 4, se describen objetos iniciales que permitirán controlar vértices y focos de la elipse. 1. Trazar una semirrecta PQ. 2. Sea A un punto sobre la semirrecta PQ. 3. Trazar la semirrecta AQ. 4. Sea B un punto sobre la semirrecta AQ. 5. Trazar dos rectas h y v, perpendiculares entre si, que se crucen en O (h = horizontal, v = vertical). 6. Trazar la circunferencia C O con centro O y radio PA. 7. Sean F 1 y F 2 las intersecciones de la recta h con la circunferencia C O. 8. Trazar la circunferencia C O 1 con centro O y radio PB. 9. Sean V 1 y V 2 las intersecciones de la recta h con la circunferencia C O Trazar el segmento V 1 V Sea X un punto sobre el segmento V 1 V Trazar la circunferencia C F1 con centro F 1 y radio XF Trazar la circunferencia C V2 con centro V 2 y radio XF Sean S y R las intersecciones de la circunferencia C V2 con la recta h, tales que S V 2 R. 15. Trazar la circunferencia C F2 con centro F 2 y radio V 1 S. Nota: En los pasos del 11 al 16 se está haciendo uso de la condición d(f 1,X) + d(f 2,X) = d(v 1,V 2 ) = 2a de la definición de elipse. 16. Sean M y N los puntos de intersección entre las circunferencias C F1 y C F El lugar geométrico generado por los puntos M y N cuando se mueve X sobre el segmento V 1 V 2 es la Elipse

3 Nota: Las intersecciones de la recta v con el lugar geométrico se usan para determinar la longitud del semieje vertical de la elipse. Figura 2 2. CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA Ecuación cartesiana: Ecuación polar: ρ = x a y - = 1; b ab bcosθ - a Sen θ Ecuaciones paramétricas: {x = a Sect ; y = b Tant 2.1 PRIMER MÉTODO 1. Mostrar ejes coordenados. Sea O el origen de coordenadas. 2. Sean F 1 y F 2 puntos sobre el eje X, tales que F 1 sea el simétrico de F 2 con respecto al eje Y. (F 1 y F 2 son los focos de la hipérbola). 3. Sea A un punto sobre el eje X, entre F 1 y F Trazar una circunferencia C F1 con centro F 1 y radio AF Sea B un punto sobre la circunferencia C F1. 6. Trazar el segmento BF Trazar la recta BF Trazar la mediatriz m del segmento BF Sea P la intersección entre la recta BF 1 y la mediatriz m

4 10. El lugar geométrico generado por el punto P cuando se mueve B sobre la circunferencia C F1 es la Hipérbola. Nota: Al mover los puntos F 1 y A se modifica la hipérbola. Si A es un punto sobre el eje X tal que F 1 F 2 A, se obtiene una elipse. Figura SEGUNDO MÉTODO Del paso 1 al paso 4, se describen objetos iniciales que permitirán controlar vértices y focos de la hipérbola. 1. Trazar una semirrecta PQ. 2. Sea A un punto sobre la semirrecta PQ. 3. Trazar la semirrecta AQ. 4. Sea B un punto sobre la semirrecta AQ. 5. Trazar dos rectas h y v, perpendiculares entre si, que se crucen en O, (h = horizontal, v = vertical). 6. Trazar circunferencia C O con centro O y radio BA. 7. Sean V 1 y V 2 las intersecciones de la recta h con la circunferencia C O. 8. Trazar la circunferencia C O 1 con centro O y radio PB. 9. Sean F 1 y F 2 las intersecciones de la recta h con la circunferencia C O Sea X un punto sobre la recta h a la derecha de V 2 (que no quede entre V 1 y V 2 ). 11. Trazar la circunferencia C F1 con centro F 1 y radio XF Trazar la circunferencia C X con centro X y radio V 1 V Sea K el punto de intersección de la circunferencia C X con la recta h (a la derecha de X). 14. Trazar la circunferencia C F2 con centro F 2 y radio KF 1. Nota: En los pasos del 10 al 14 se está haciendo uso de la condición d(f 1,X) d(f 2,X) = d(v 1,V 2 ) = 2a de la definición de hipérbola

5 15. Sean M y N las intersecciones entre las circunferencias C F1 y F El lugar geométrico generado por los puntos M y N cuando se mueve X sobre la recta h es la Hipérbola. Nota: La recta vertical v se usa para construir las asíntotas de la hipérbola. Figura TERCER MÉTODO (HIPÉRBOLA EQUILÁTERA) 1. Mostrar los ejes coordenados. Sea O el origen de coordenadas. 2. Sea A un punto sobre el eje Y. 3. Sean V 1 y V 2 puntos sobre el eje X, simétricos entre si con respecto al eje Y (V 1 y V 2 son los vértices de la hipérbola). 4. Trazar la circunferencia C A con centro A y radio AV Trazar la recta p perpendicular al eje Y y que pase por A. 6. Sean P y Q las intersecciones entre la recta p y la circunferencia C A. 7. El lugar geométrico generado por los puntos P y Q cuando se mueve A sobre el eje Y es la Hipérbola Equilátera

6 Figura CUARTO MÉTODO (HIPÉRBOLA EQUILÁTERA) 1. Trazar dos rectas h y v, perpendiculares entre si, que se corten en O (h = horizontal, v = vertical). 2. Sean V 1 y V 2 puntos sobre la recta h, simétricos entre si con respecto a la recta v. 3. Sea X un punto sobre h, (que no este entre V 1 y V 2 ). 4. Trazar circunferencia C O con centro O y radio OX. 5. Trazar la recta l perpendicular a la recta h y que pase por V Trazar la recta m perpendicular a la recta h y que pase por X. 7. Sea C la intersección entre la recta l y la circunferencia C O. 8. Trazar recta n perpendicular a la recta v y que pase por C. 9. Sea P la intersección entre las rectas m y n. 10. El lugar geométrico generado por P cuando se mueve X sobre la recta h es la Hipérbola Equilátera. Nota: Para construir las asíntotas se trazan las rectas oblicuas que pasan por los vértices del cuadrado con centro en O con lados paralelos a las rectas h y v, y longitud de los lados iguales a la distancia entre V 1 y V 2. Figura 6-6 -

7 3. CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA Ecuación cartesiana: 2 y = ax + bx + c Cosθ Ecuación polar: ρ = 2p Sen 2 θ Ecuaciones paramétricas: x = p 2 2 t ; y = pt 3.1 PRIMER MÉTODO 1. Trazar una recta horizontal h. 2. Sea X un punto sobre la recta horizontal h. 3. Sea F un punto exterior a la recta h. 4. Trazar el segmento XF. 5. Sea m la mediatriz del segmento XF. 6. Trazar la recta l perpendicular a la recta h que pase por el punto X. 7. Sea P la intersección de las rectas l y m. 8. El lugar geométrico generado por P cuando se mueve X sobre la recta h es la parábola. Figura 3.30 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Álvarez, J. (2006), Curvas en la historia. España. Nivola Libros Ediciones. Boyer, Carl. Historia de las matemáticas, Madrid editorial,1996 Cordero, F. y Suárez. L. Modelación en matemática educativa. (Clame 2005)

8 Fuller, G. y Tarwater, D. Geometria Analítica. Eddison Wesley. Iberoamericana. Wilmington, Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid, Editorial Alianza. Tomos I, II y III. Lehmann, Charles. Geometría Analítica. Editorial Limusa. Máxico, Pérez, Antonio. Curvas con historia: De las cónicas a las ecuaciones de las flores. En