+ + + = 6 no parece ayudarnos a comprender cómo llegar a conjeturar esta relación. Intentamos acá una aproximación geométrica.

Transcripción

1 La fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros úmeros aturales obteida visualmete Mario Augusto Buge Uiversidad de Bueos AIres Ciclo Básico Comú Departameto de Matemática Probar por iducció completa la validez de ( + )(+ ) o parece ayudaros a compreder cómo llegar a cojeturar esta relació. Itetamos acá ua aproximació geométrica. Obteiedo el cubo de lado x + h a partir del cubo de lado x De u cubo de lado x pasaremos a u cubo de lado x + h, coforme al procedimieto que sugiere las figuras, y que detallamos más abajo. Tomamos tres rebaadas de secció cuadrada x x y espesor pegádolas sobre el cubo tal como se ve e la figura. Hecho esto, queda a la vista tres dietes. Relleamos los dietes co tres ligotes de largo x y secció h h. E el ecuetro de los tres ligotes queda todavía u vacío, que debemos rellear co u pequeño cubo de lado h. De esta maera arribamos al uevo cubo, ahora de lado x + h. Así, el cubo de lado x + h se obtiee del cubo de lado x adosádole la cubierta cosistete e esas tres rebaadas, más los tres ligotes, más el cubito. h El volume del uevo cubo Cada ua de las tres rebaadas tiee volume tres ligotes es de volume x h, mietras cada uo de los x h y fialmete teemos el cubito, co volume h.

2 Vemos así que el volume del uevo cubo se puede expresar haciedo iterveir la suma de los volúmees de los costituyetes de la cubierta: ( ) x h x x h x h + h Hemos obteido de esta forma ua represetació geométrica del desarrollo del cubo del biomio, para el caso e que ambos parámetros so positivos. E el particular caso e que el lado es u valor etero, digamos avace es h, se tiee ( ) , y el módulo de Desde acá e adelate, os cocetraremos e los cubos de lados eteros. Avazado por capas Ates de cotiuar, miremos bie las muñecas rusas: Como se sabe, la más pequeña se puede guardar e la que le sigue e tamaño, y así sucesivamete, siedo así posible que la mayor guarde e su seo a todas las demás. Ua vez miradas las muñecas, estamos e codicioes de cotiuar. Llamaremos Q al cubo de lado (más brevemete, el -cubo), y C a la cubierta de espesor uitario formada por las ya mecioadas rebaadas, ligotes y el cubito uitario. Co esta otació Q Q + C + Auque estos diagramas so ta viejos como el álgebra, es sorpredete lo muy escasos que so los profesores que se molesta e mostrárselos a sus alumos. Marti Garder e Rosquillas audadas y otras ameidades matemáticas. Editorial Labor 987. Busque matriosha co el Google, y detro del Google vaya a la opció imágees.

3 Además, el volume de la capa -ésima es C + +. Como hemos visto, cada cubo co cubierta asociada y así teemos: > se descompoe e el cubo aterior más su Q Q + C Q Q + C Pero, como Q Q+ C, podemos poer Q Q + C + C co lo que el -cubo queda realizado como el -cubo más las dos primeras capas. Razoado de igual forma, Q Q + C 4 Q + C + C + C y así sucesivamete. De esta forma llegamos a: El cubo iicial, juto co sus capas, produce el cubo + - ésimo de dode, fialmete: Q + Q + C + C + C C El volume del último cubo se obtiee sumado, al volume del cubo iicial, el volume de sus capas Q+ Q + C + C + C C (*) Ahora observemos que siedo C + +, al dar a sucesivamete los valores,,..,, podemos obteer el volume total de las capas: Esto le recuerda a las muñecas rusas?

4 4 C + C + C C [. +.+ ] + [ ] + [ ] + [ ] [ ] Llegado este mometo, y pesado e los lectores co poca experiecia co sumas como estas, reacomodaremos la misma suma, mostrádola e columas 4. C + C + C C Sumado la columa izquierda teemos el triple de, el triple de, el triple de, hasta el triple de, lo que podemos poer tambié como T, dode abreviamos. T La columa cetral os da el triple de, el triple de, etc., hasta el triple de sumado os da S, dode hemos puesto, lo que S Por último, la columa derecha está formada por uos, y como hay sumados, la suma os da exactamete. Ya falta poco Volviedo a (*), y habida cueta que e Q + ( + ) y Q, (*) se trasforma O bie: ( + ) + T + S+ T ( + ) ( + ) S (**) Recuérdese tambié la coocida fórmula para la suma de los primeros aturales: S ( + ) 4 Resulta iecesario esperar que el alumo coozca el sigificado de la sumatoria.

5 5 Ahora e (**) todo es coocido, salvo T, que es precisamete lo que os propoemos coocer. ( + ) T ( + ) ( + ) Resistimos a la tetació de desarrollar el cubo de +, pero aprovechamos que + está presete e todos los sumados, T ( + ) ( + ) Este es el mometo oportuo para desarrollar parétesis y reagrupar: T ( + ) + ( + ) + de dode ( ) ( + ) + T ( + )(+ ). y recordado quié es T, se tiee Que es lo que queríamos obteer. ( + )(+ )