2. Integrales iteradas dobles.

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1 2 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio Integrles iterds dobles. 2.. Integrles iterds en dominios simples respeto de x. Se omo en l subseión.2, el retángulo R = [, b] [, d] y dos funiones reles ontinus φ, ψ : [, b] [, d] tles que ψ(x) pr todo x [, b]); y el dominio ontenido en el retángulo [, b] [, d] definido omo: = { x b, y ψ(x)} () (Reordr l figur heh en l subseión.2, brriendo on bstones vertiles 5 J(x) de extremo inferior (x, ) y extremo superior (x, ψ(x)).) efiniión 2... El dominio definido en () se llm dominio simple respeto de x. Consideremos l integrl prmétri de f(x, y) de prámetro x y límites de integrión y ψ(x), definid en.2.: F(x) = f(x, y) (2) Por lo visto en el teorem.2.3 l funión F(x) es ontinu pr todo x [, b], luego es integrble respeto de x en el intervlo [, b]; y podemos onsiderr el número I = F(x) = b ( f(x, y)), dndo lugr l siguiente definiión: efiniión Integrl doble iterd en dominio simple respeto de x. Se [, b] [, d] un dominio simple respeto de x (omo en l definiión 2..), y se f(x, y) ontinu en. Se llm Integrl doble iterd de f en el dominio l número: que se denot ( ) ψ(x) f(x, y) f(x, y) = f(x, y) Observión: El símbolo NO indi produto de difereniles. Solo indi que hy que integrr primero respeto de y, y luego (l resultdo ntes obtenido) integrr respeto de x. Ls integrles iterds se luln de dereh izquierd, onsiderndo onstnte l vrible x l lulr l integrl de l dereh. Ejemplo Clulr xy en el triángulo del plno x, y que tiene vérties A = (, ), B = (, ), C = (, ) ibujemos primero el triángulo. Es un triángulo retángulo. 5 e hor en más será neesrio onsiderr siempre ψ(x).

2 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio Vemos que es un dominio simple respeto de x; es deir, hllremos el intervlo [, b] en el eje de ls bsiss y ls funiones y =, e y = ψ(x), bordes inferior y superior de respetivmente, tles que: = {(x, y) R 2 : x b, y ψ(x)} Se reorre on bstones vertiles, que son los segmentos que se obtienen de intersetr on l ret x onstnte. Est onstnte, omo se ve hiendo l figur, tom omo mínimo el vlor y omo máximo el vlor. Entones el intervlo [, b] es el intervlo [, ]. El borde de bjo del triángulo es el eje de ls x, que es l gráfi de l funión y =. Es deir, l funión y = es = pr todo x [, ]. El borde de rrib del triángulo es l ret de euión y = x (que es l ret AC, que ontiene l hipotenus del triángulo). Es deir, l funión y = ψ(x) es ψ(x) = x pr todo x [, ]. Por lo tnto, se puede esribir omo el dominio simple respeto de x, que tiene l siguiente rterizión: = {(x, y) R 2 : x, y x} Por lo tnto l integrl pedid es: I = xy = x xy = Clulemos l integrl doble omenzndo por l integrl de l extrem dereh, respeto de y, on x onstnte: x ( ) I = xy = x y2 y=x ( ) x 3 2 = = y= 2 2 x4 x= 4 = x= 8 Ejemplo Clulr Q 4x3 + 8xy + 6y 2 en el udrilátero Q del plno x, y que tiene vérties A = (, ), B = (, ), C = (2, ), = (, 3). Primero dibujemos el udrilátero en el plno x, y, tomndo x en el eje de bsiss horizontl, e y en el eje de ordends vertil. Observmos que x vrí entre un mínimo x = y un máximo x = 2 en el eje de bsiss. El intervlo [, b], proyeión vertil sobre el eje horizontl del udrilátero Q = ABC es: [, b] = [, 2]. Pr d vlor de x fijo en [, 2] onsideremos los bstones vertiles de extremos ψ(x). Estos bstones son l interseión del udrilátero Q (inluido su interior), on l ret vertil x onstnte. Entones, ls gráfis de ls funiones y = e y = ψ(x), son, pr d x onstnte, los dos puntos de interseión del borde inferior de Q, y superior de Q respetivmente, on l ret vertil x onstnte. Enontremos ests funiones y ψ(x): Cundo x, l funión y = es l euión del segmento de ret AB; y undo x 2 l funión y = es l euión del segmento de ret BC. Ambos segmentos de rets formn el borde del udrilátero Q por bjo. Esto es: : y = x si x () : y = 2x 3 si x 2 (2)

3 4 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. Pr enontrr l euión del segmento de ret no vertil PQ donde P = (x P, y P ) y S = (x S, y S ), se usó l fórmul de l euión de un ret, restringid l intervlo de bsiss donde se proyet el segmento; es deir: y = y S + y P y S x P x S (x x S ). Ls fórmuls () y (2) son ls que orresponden un úni funión, definid en el intervlo [, 2] de l vrible independiente x. Esto es porque () vle en el intervlo [, ], y (2) en [,2]. Ambs son tles que en l interseión de los dos intervlos, (que es x = ), dn el mismo punto x =, y = (que es el vértie B = (, ) del udrilátero Q). Por lo tnto l funión, dd por ls euiones () y (2), está bien definid, y demás es ontinu en su dominio [, 2]. Ahor, pr x, busquemos l(s) fórmul(s) de l funión y = ψ(x). Su gráfi son los segmentos de ret A y C, que formn el borde del udrilátero Q por rrib. Esto es: ψ(x) : y = 3x si x (3) ψ(x) : y = 2x + 5 si x 2 (4) Ls fórmuls (3) y (4) son ls que orresponden un úni funión ψ(x), definid en el intervlo [, 2] de l vrible independiente x. L fórmul () vle en el intervlo [, ], y l fórmul (2) en [,2]. Son tles que en l interseión de mbos intervlos, (que es x = ), mbs dn el mismo punto x =, y = 3 (que es el vértie = (, 3) del udrilátero). Por lo tnto l funión ψ(x), dd por ls euiones () y (2), está bien definid, y demás es ontinu en su dominio [, 2]. Clulemos hor l integrl pedid: I = Q (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) (5) Pr poder sustituir ls fórmuls (), (2), (3) y (4), de y ψ(x), en l iguldd (5), hy que seprr el intervlo de integrión [, 2] de ls x, en dos prtes, esribiendo l integrl en [, 2] respeto de x (que es l últim lulrse), omo l sum de l integrl en [, ] más l integrl en [, 2]: I = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) + (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) (6) Ahor lulemos d un de ls integrles dobles en el segundo miembro de (6): I = I = 3x I = x I = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = ( 4x 3 y + 4xy 2 + 2y 3 ) y=3x y= x (2x x x 3 ) ( 4x 4 + 4x 3 2x 3 ) = (6x x 3 ) = 6x x4 4 x= x= = = 26 5 =

4 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio En definitiv: I 2 = I = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = 26 5 Ahor lulemos l últim integrl doble en el segundo miembro de (6): I 2 = 2x+5 2x 3 I 2 = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = ( (7) 4x 3 y + 4xy 2 + 2y 3 ) y= 2x+5 y=2x 3 = (4x 3 ( 2x+5)+4x( 2x+5) 2 +2( 2x+5) 3 ) (4x 3 (2x 3)+4x(2x 3) 2 +2(2x 3) 3 ) = I 2 = 6 25 I 2 = 5 En definitiv: ( 6x 4 + 2x 2 324x + 34) = 6x5 5 I 2 = Sustituyendo (7) y (8) en (6) se dedue: + 2x (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = I = = = x x x=2 x= = Propieddes de l integrl iterd. Es inmedito verifir que se umplen ls siguientes propieddes, prtir de que vlen ls misms pr ls integrles de funiones de un sol vrible en un intervlo, y usndo ls definiiones 2..2 y..2:. Linelidd: Si f y g son ontinus en el dominio, y λ y µ son onstntes reles, entones: (λf(x, y) + µg(x, y)) = λ f(x, y) + µ g(x, y) 2. Monotoní: Si f y g son ontinus en el dominio, entones: f g f(x, y) g(x, y) Usndo l propiedd (2) se dedue inmeditmente l siguiente: 3. Aotión: Si f es ontinu en el dominio y si M es su máximo y m su mínimo, entones: m f(x, y) M En prtiulr l propiedd (2) plid l desiguldd f f f impli: f(x, y) f(x, y) f(x, y) (8) =

5 6 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. Por lo tnto se dedue l propiedd siguiente: 4. Aotión en vlor bsoluto: Si f es ontinu en el dominio y si K es un ot superior de f en, entones: f(x, y) f(x, y) K Integrl doble iterd omo límite iterdo de sums de Riemnn. Consideremos un prtiión del intervlo [, b] en el eje de ls x en n subintervlos: = x < x < x 2 <... < x i < x i <... < x n < x n = b, on longitudes x i = x i x i. Llmemos x = máx x i : i n (Por ejemplo puede onsiderrse l prtiión de [, b] en n subintervlos igules todos de longitud x = (b )/n.) Hágse un dibujo. Tomemos x i un punto ulquier en el subintervlo [x i, x i ] de l prtiión, pr d i =, 2,...,n. Siendo F(x) l funión definid en (2), pliquemos l definiión de integrl de Riemnn de F(x) respeto x [, b], omo límite de ls sums de Riemnn en prtiiones del intervlo [, b] undo x (del urso de Cálulo ). Se obtiene: = lím x f(x, y) = n i= F(x i ) x i = lím x f(x, y) = F(x) = ( n ) ψ(xi ) f(x i, y) x i (3) i= Ahor, pr d x i fijo onstnte, pliquemos l definiión de integrl de Riemnn de f(x i, y) integrndo respeto de y [φ(x i ), ψ(x i )]. Consideremos, por onvenión: f(x, y) = si (x, y) ; es deir, onsidermos fuer del dominio un extensión (no ontinu) de l funión f tomándol igul ero en los puntos que no están en. Integremos est funión extendid f(x, y) respeto de y [, d] on x fijo onstnte. Se observ que l funión f(x, y) pr x fijo, result ser ontinu trozos en el intervlo [, d]]; siendo nul pr y fuer del intervlo [, ψ(x)] y ontinu dentro de ese intervlo. Entones es integrble Riemnn en el intervlo [, d]. Se obtiene: f(x, y) = + f(x, y) + = f(x, y) (4) ψ(x) Pr d x i fijo onstnte, pliquemos l definiión de integrl de Riemnn de f(x i, y) integrndo respeto de y [φ(x i ), ψ(x i )] y usndo (4), result: ψ(xi ) φ(x i ) f(x i, y) = lím y j= φ(x i ) m f(x i, y j ) y j (5) donde onsidermos prtiiones del intervlo [, d] en el eje de ls y en m subintervlos: = y < y < y 2 <... < y j < y j <... < y m < y m = d, on longitudes y j = y j y j.

6 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio Llmmos y = máx y j : j m. (Por ejemplo puede onsiderrse l prtiión de [, d] en m subintervlos igules todos de longitud y = (d )/m.) Tommos y j un punto ulquier en el subintervlo [y j, y j ] de l prtiión, pr d j =, 2,...,m. Sustituyendo (5) en (3) se dedue l siguiente proposiión: Proposiión Integrl doble iterd omo límite iterdo de sums de Riemnn. Se f(x, y) es ontinu en el dominio = { x b, y ψ(x)} [, b] [, d] (siendo simple respeto de x según l definiión 2..). L integrl iterd doble (definid en 2..2) umple: n m f(x, y) = f(x, y) = lím lím f(x i, y j ) x i y j x y i= j= donde se onviene en definir f(x, y) = si (x, y) ; donde x i, y j R i,j siendo R i,j = [x i, x i ] [y j, y j ], que result de tomr prtiiones: = x < x <... < x i < x i <...x n = b, = y < y <... < y j < y i <...y m = d de los intervlos [, b] y [, d] respetivmente; y donde x i = x i x i, y j = y j y j, x = máx{ x i, i n}, y = máx{ y j, j m} emostrión: Está expuest en el párrfo Pr deduir l tesis de l proposiión se debe sustituir l iguldd (5) en l iguldd (3), y luego usr que el límite de un sumtori finit es igul l sum de los límites Intermbio del orden de integrión en dominios simples Integrles iterds en dominios simples respeto de y. En l subseión 2., definimos l integrl doble iterd en un dominio simple respeto de x, integrndo f(x, y) primero respeto de y on x onstnte, e y vrindo en el intervlo [, ψ(x)]; y luego l resultdo obtenido, que dependí del vlor onstnte x elegido, integrándolo respeto de x en el intervlo [, b]. (Ver definiión 2..2.) Se puede intermbir los roles de ls vribles x e y, en tod l exposiión de l subseión 2.. En efeto: Se = {(x, y) : y d, x ξ(y)} [, b] [, d] () donde η y ξ son dos funiones ontinus del intervlo [, d] l intervlo [, b] tles que ξ(y) pr todo y [, d]. Her un figur del siguiente modo: en el plno x, y on x en bsiss (eje horizontl) e y en ordends (eje vertil), dibujr el retángulo [, b] [, d] = { x b, y d}. ibujr, dentro de ese retángulo, ls urvs gráfis de ls funiones x =, x = ξ(y) tomndo omo vrible independiente y [, d] en el eje vertil y omo vrible dependiente x en el eje horizontl. ibujrls onsiderndo que η(x) ξ(y) b. El dominio es l región que qued entre mbs gráfis, y que se proyet sobre el eje vertil en el intervlo [, d]. Se obtiene brriendo on bstones horizontles (segmentos de rets horizntles) I(y) ontenidos en l ret y onstnte, de extremo izquierdo (, y) y extremo dereho (ξ(y), y).

7 8 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. efiniión El dominio definido en () se llm dominio simple respeto de y. Consideremos l integrl prmétri de f(x, y) de prámetro y, integrndo f respeto de x, on y onstnte en el intervlo [, d] mientrs se integr respeto de x, y límites de integrión y ξ(y): G(y) = ξ(y) f(x, y) (2) Por lo visto en el teorem.2.3 (intermbindo en el enunido de ese teorem los roles de ls vribles x e y entre sí) l funión G(y) es ontinu pr todo y [, d], luego es integrble respeto de y en el intervlo [, d]; y podemos onsiderr el número J = G(y) = ( ξ(y) f(x, y)), dndo lugr l siguiente definiión: efiniión Integrl doble iterd en dominio simple respeto de y. Se [, b] [, d] un dominio simple respeto de y (omo en l definiión 2.2.2), y se f(x, y) ontinu en. Se llm Integrl doble iterd de f en el dominio l número: ( d ) ξ(y) f(x, y) que se denot f(x, y) = ξ(y) f(x, y) Observión: El símbolo NO indi produto de difereniles. Solo indi en este so 6, que hy que integrr primero respeto de x, y luego (l resultdo ntes obtenido) integrrlo respeto de y. Ls integrles iterds se luln de dereh izquierd, y pr lulr l primer integrl (l de l dereh), se integr en l vrible x tomndo y ulquier, pero onstnte Propieddes de l integrl iterd. Usndo extmente los mismos rgumentos, pero on los roles de ls vribles x e y intermbidos entre sí, se dedue que vlen ls misms propieddes de linelidd, monotoní y otión expuests en el párrfo Análogmente l proposiión 2..7, se obtiene, intermbindo los roles de x e y entre sí, l siguiente: Proposiión Integrl doble iterd omo límite iterdo de sums de Riemnn. Se f(x, y) es ontinu en el dominio = { y d, x ξ(y)} [, b] [, d] (siendo simple respeto de y según l definiión 2.2.2). 6 Se us el mismo símbolo f(x, y) pr indir l integrl iterd de l definiión que pr indir l integrl iterd de l definiión 2..2 on l siguiente onvenión: si el dominio es simple respeto de x indi integrr primero respeto de y on x onstnte, y luego respeto de x; si el dominio es simple respeto de y indi que hy que integrr primero respeto de x on y onstnte, y luego respeto de y. Y si el dominio fuer simple respeto de x y tmbién respeto de y l vez, entones indi ulquier de ls dos integrles dobles iterds, que omo veremos en el teorem 2.2.2, resultn ser igules.

8 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio L integrl iterd doble (definid en 2.2.3) umple: f(x, y) = ξ(y) f(x, y) = lím lím y x n i= j= m f(x i, y j ) x i y j donde se onviene en definir f(x, y) = si (x, y) ; donde x i, y j R i,j siendo R i,j = [x i, x i ] [y j, y j ], que result de tomr prtiiones: = x < x <... < x i < x i <...x n = b, = y < y <... < y j < y i <...y m = d de los intervlos [, b] y [, d] respetivmente; y donde x i = x i x i, y j = y j y j, x = máx{ x i, i n}, y = máx{ y j, j m} emostrión: Es l mism que l de l proposiión 2..7, intermbindo los roles de x e y entre sí, y observndo que x i y j = y j x i, debido l propiedd onmuttiv del produto de números reles, y que n m i= j= A i,j = m n j= i= A i,j, debido l propiedd onmuttiv de l sum de números reles. Not Llmndo σ l sum de Riemnn: σ = n m f(x i, y j ) x i y j i= j= pliquemos ls proposiiones 2..7 y 2.2.5, undo el mismo dominio es un dominio simple respeto de x y respeto de y l vez. Por ls proposiiones 2..7 y sbemos que ls integrles dobles iterds f(x, y) y f(x, y) son igules los límites lím x lím y σ y lím y lím x σ respetivmente. A priori no se puede deduir que esos límites iterdos sen igules, y que el primero de ellos tom ntes y, on x onstnte 7 y luego x ; y el segundo de ellos los tom lrevés. Flt ver que se puede intermbir el orden en que se tomn esos límites, pr demostrr que ls dos integrles dobles iterds tomn el mismo vlor. Ejemplo Clulr, xy en el triángulo del plno x, y que tiene vérties A = (, ), B = (, ), C = (, ) tomndo omo dominio simple respeto de y. Comprr on l integrl que se luló, tomndo omo dominio simple respeto de x, en el ejemplo ibujemos de nuevo el triángulo. Es un triángulo retángulo. 7 No solo x es onstnte (mientrs se lul el lím y σ), sino tmbién es onstnte l prtiión {x i} i=,,...,n del intervlo [, b], y l eleión de los puntos intermedios x i [x i, x i].

9 2 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. Vemos que es un dominio simple respeto de y; es deir, hllremos el intervlo [, d] en el eje de ls ordends y ls funiones x =, y x = ξ(y), bordes izquierdo y dereho de respetivmente, tles que: = {(x, y) R 2 : y d, x ξ(y)} Se reorre on bstones horizontles, que son los segmentos que se obtienen de intersetr on ls rets y onstnte. Est onstnte, omo se ve hiendo l figur, tom omo mínimo el vlor y omo máximo el vlor. Entones el intervlo [, d] es el intervlo [, ]. El borde izquierdo del triángulo es l ret x = y (que es l ret AC, que ontiene l hipotenus del triángulo). Es deir, l funión x = es = y pr todo y [, ]. El borde dereho del triángulo es l ret de euión x =, que es l gráfi de l funión x =. Es deir, l funión x = ξ(y) es ξ(y) = pr todo y [, ]. Por lo tnto, se puede esribir omo el dominio simple respeto de y, que tiene l siguiente rterizión: = {(x, y) R 2 : y, y x } Por lo tnto l integrl pedid es: I = xy = y xy = Clulemos l integrl doble omenzndo por l integrl de l extrem dereh, respeto de y, on x onstnte: ( ) I = xy = y x2 x= ( ) y y 2 = x=y 2 y3 = 2 2 y2 2 y4 y= 4 = y= 8 Not Se obtuvo en el ejeriio 2.2.7, el mismo resultdo que en el ejemplo Esto se debe l teorem de Fubini que veremos próximmente (teorem 2.2.2): Ls integrles iterds dobles dn el mismo resultdo si se intermbi el orden de integrión de ls vribles x e y entre sí, undo el dominio es simple respeto de x y simple respeto de y l vez. Hy que tener uiddo en lo siguiente: Cundo se intermbi el orden de integrión de ls vribles, suelen mbir totlmente ls funiones (, ψ(x),, ξ(y)) y ls onstntes (, b,, d), que deben preer omo límites de integrión en d vrible. Comprr, por ejemplo, los límites de integrión en x e y obtenidos pr lulr l integrl doble I en los ejemplos 2..3 y Pr enontrr los límites de integrión, suele ser neesrio her l figur del dominio, estudir el intervlo [, b] en el eje de ls bsiss (proyeión del dominio sobre el eje de ls bsiss), y el intervlo [, d] en el eje de ls ordends (proyeión del dominio sobre el eje de ls ordends). Finlmente, hbrá que enontrr ls funiones uys gráfis son los bordes de l figur. Ls urvs gráfis de ls funiones y = ψ(x) e y = son los bordes superior e inferior del dominio. Ls urvs gráfis de ls funiones x =, x = ξ(y), en mbio, son los bordes izquierdo y dereho del mismo dominio.

10 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio Ejemplo Primero integrndo respeto x on y onstnte, y luego respeto y, hllr los límites de integrión y desrrollr l integrl doble iterd Q 4x3 + 8xy + 6y 2 en el udrilátero Q del plno x, y que tiene vérties A = (, ), B = (, ), C = (2, ), = (, 3). (El resultdo finl de est integrl es el mismo resultdo que el del ejemplo 2..4). Se pretende enontrr los límites de integrión siguientes: ξ(y) I = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) Q ibujemos el udrilátero Q que es el mismo del ejemplo El mismo se proyet sobre el eje de ls y en el segmento y 3. Al fijr y onstnte en el intervlo [, 3] l x vrí en un intervlo x ξ(y) que hbrá que determinr. El segmento o bstón horizontl que tiene por extremos (y, ) y (y, ξ(y)), brre el udrilátero Q de bjo hi rrib l umentr el vlor de l onstnte y. Obtenemos: I = 3 ξ(y) (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) () Enontremos l funión x =, uy gráfi es el borde izquierdo del udrilátero Q formdo por los ldos BA y A. En el ejeriio 2..4 hllmos ls euiones de los segmentos BA y A (Corresponden respetivmente ls igulddes () y (3) del ejemplo 2..4.) espejndo hor x en funión de y de ess euiones, se obtiene: : x = y si y [, ] () : x = y 3 si y [, 3] (3) Análogmente, l funión x = ξ(y) tiene omo gráfi el borde dereho del udrilátero Q, formdo por los ldos BC y C. espejndo x en funión de y de ls euiones de los segmentos BC y C, obtenids respetivmente en ls igulddes (2) y (4) del ejemplo 2..4, se dedue: ξ(y) : x = y si y [, ] (2) ξ(y) : x = y si y [, 2] (4) Por lo tnto pr poder sustituir ests fórmuls () (2) (3) y (4) en (), hbrá que prtir el intervlo [, 3] de vriión de l y, omo unión de tres intervlos suesivos: y [, ], y [, ], y [, 3]. Esto es porque en el intervlo y [, ] vlen ls fórmuls () y (2); en el intervlo y [, ] vlen ls fórmuls (3) y (2); y en el intervlo y [, 3] vlen ls fórmuls (3) y (4). e () result: I = + 3 ξ(y) ξ(y) (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) + 3 ξ(y) ξ(y) (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) + (4x 3 + 8xy + 6y 2 )

11 22 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. Por lo tnto, sustituyendo y ξ(y) por ls respetivs fórmuls (), (2), (3) y (4), se obtiene: + (y/2)+(3/2) y/3 I = (y/2)+(3/2) y (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) + (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) + 3 ( y/2)+(5/2) Ahor plnteremos d un de ls integrles l dereh de l iguldd (5): = I = I 2 = = I 3 = 3 = 3 (y/2)+(3/2) y ( (y (y/2)+(3/2) ( (y ( ( y y/ ) 4 + 4y ( y/2)+(5/2) y/ ) 4 + 4y El resultdo finl es l sum (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = y/3 ( (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) (5) x 4 + 4x 2 y + 6y 2 x ) x=(y/2)+(3/2) x= y ) 4 ( y + 4y ) 2 ( y + 6y ) ) ( y 4 + 4y 3 6y 3) 2 (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = ( x 4 + 4x 2 y + 6y 2 x ) x=(y/2)+(3/2) x=y/3 ( y ) 2 ( y + 6y ) ) ( (y 4 ( y ) + 4y 2 3) ( 2 + 6y 2 y ) ) 3 3 (4x 3 + 8xy + 6y 2 ) = 3 ( y ) 2 ( y + 6y ) ) 2 I = I + I 2 + I 3 ( x 4 + 4x 2 y + 6y 2 x ) x=( y/2)+(5/2) x=y/3 ( (y 3) 4 + 4y ( y Integrles iterds en dominios simples respeto de x y de y. ) ( 2 + 6y 2 y ) ) 3 do un onjunto [, b] [, d], supongmos que result ser l vez un dominio simple respeto de x y un dominio simple respeto de y (her un figur de un tl dominio, por ejemplo el udrilátero de vérties (, ), (, ), (2, 2), (3, )). Tenemos (debido ls definiiones 2..2 y 2.2.3), dos integrles dobles iterds: un integrndo respeto de y primero y después respeto de x; y otr integrndo respeto de x primero y después respeto de y. En el teorem que enunimos más delnte, se prueb que mbs integrles iterds tomn el mismo vlor, y por lo tnto undo deimos Integrl doble iterd, no tenemos por qué espeifir el orden de integrión. L esribimos siempre omo f(x, y), no import el orden de x e y en que se integre. efiniión ominio simple y dominio simple en ulquier orden. Un onjunto del plno x, y se llm dominio simple, si es simple respeto de x o es simple respeto de y. Un onjunto del plno x, y se llm dominio simple en ulquier orden, si es l vez simple respeto de x y simple respeto de y.

12 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio Aplindo ls definiiones 2.. y 2.2.2, un dominio simple en ulquier orden result: = {(x, y) : x b, y ψ(x)} = {(x, y) : y d, x ξ(y)} [, b] [, d] donde y ψ(x) son ontinus pr todo x [, b] y umplen ψ(x) d, y y ξ(y) son ontinus pr todo y [, d] y umplen ξ(y) b. Teorem Teorem de Fubini pr integrles dobles iterds (intermbio del orden de integrión). Se = {(x, y) : x b, y ψ(x)} = {(x, y) : y d, x ξ(y)} [, b] [, d] un dominio simple en ulquier orden (según l definiión 2.2.). Se f(x, y) un funión ontinu pr todo (x, y). Entones ls integrles dobles iterds de f en son igules: f(x, y) = ξ(y) f(x, y) Observión: En l seión 5, se expone el teorem de Fubini pr integrles de Riemnn (ver 5.5.). Es onseueni de plir el teorem de Riemnn-Lebesgue (ver 5.4.2), y ls proposiiones 2..7 y y vists. En efeto, el teorem de Riemnn segur que existe A = lím σ ( x, y) (,) donde σ es l sum de Riemnn definid en Ese límite A es lo que se llm integrl de Riemnn de f en el dominio. Entones, los límites iterdos de ls sums de Riemnn, expuestos en ls proposiiones 2..7 y 2.2.5, son igules A. Por lo tnto mbs integrles dobles iterds son igules A, y resultn ser igules entre sí omo queremos demostrr en el teorem de Fubini. Esto prueb un versión más fuerte del teorem de Fubini: Ls integrles iterds dobles de f ontinu en el dominio simple, no solo son igules entre sí, sino que demás son igules l integrl de Riemnn de f en. En form independiente l teorem de Riemnn, tmbién se puede demostrr el teorem de Fubini, usndo los resultdos de l seión omo sigue: emostrión del teorem Est demostrión puede omitirse si se l sustituye por l demostrión de los teorems 5.4., y er. so: es un retángulo. Se = [, b] [, d] y se f(x, y) ontinu en. efinmos, pr (X, Y ) y (x, y) fijos en, ls siguientes funiones: I(X, Y ) = X F(x, Y ) = Y Y X f(x, y), J(X, Y ) = f(x, y) Y f(x, y), G(X, y) = X f(x, y)

13 24 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. Aplindo el teorem..8, result: I(X, Y ) Y = Y X F(x, Y ) = X Luego, podemos sustituir f(x, y) = x G(X, y) = X F(x, Y ) Y = X f(x, Y ), I Y (, Y ) = ( ) I(X, Y ) = X f(x, Y ) = f(x, Y ) Y X ) en l definiión de l funión G. Result: X x ( I(x, y) y ( ) I(x, y) = y I(x, y) y x=x x= = I(X, y) y Sustituyendo este último resultdo en l definiión de l funión J(X, Y ) se obtiene: J(X, Y ) = Y X Y f(x, y) = G(X, y) = = Y I(X, y) y = I(X, y) y=y y= = I(X, Y ) I(X, ) = I(X, Y ) eduimos que J(X, Y ) = I(X, Y ) pr todo (X, Y ) [, b] [, d]. En prtiulr se verifi pr X = b, Y = d, onluyendo que: f(x, y) = f(x, y) 2do. so: es un dominio ulquier simple en ulquier orden. efinmos un extensión de l funión f(x, y) todo el plno x, y onviniendo en definir f(x, y) = si (x, y). Nuestr nuev funión f está definid en el retángulo R = [, b] [, d] y es ontinu exepto en los puntos del borde del dominio. Se observ que f(x, y) = pues f(x, y) = si y [, d] \ [, ψ(x)]. Análogmente f(x, y) = Luego, pr demostrr el teorem, bst demostrr que f(x, y) = ξ(y) f(x, y) f(x, y) f(x, y) ( probr) () No podemos plir diretmente el resultdo de l primer prte de est demostrión, porque en el primer so f er ontinu en el retángulo R y en este so f es ontinu exepto en el borde de.

14 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio Sin embrgo, si f(x, y) fuer nul en, entones f serí ontinu en R y por el resultdo obtenido en el primer so se dedue l iguldd (). Si f(x, y) no es nul en definiremos un funión uxilir g(x, y) ontinu pr todo (x, y), que se nul en y que difier de f en un onjunto muy pequeño. Es plible el resultdo del primer so g. Probremos que, omo el lugr donde g difiere de f es muy pequeño, ls integrles iterds de f difieren de ls de g menos que ɛ > y por lo tnto están muy próxims entre sí. Como l difereni entre ells (2ɛ > ) es rbitrrimente pequeñ, esto impli que son igules. Vemos hor los detlles: Se ddo ɛ > sufiientemente pequeño. En lo que sigue es impresindible her un figur en el retángulo [, b] [, d] e ir gregándole los dibujos que orresponden d párrfo. Por hipótesis = {(x, y) : x b, y ψ(x)} = = {(x, y) : y d, x ξ(y)} [, b] [, d] Se en el retángulo [+ɛ, b ɛ] [+ɛ, d ɛ] un dominio simple (respeto de x y respeto de y), ontenido en el interior de y tl que todo punto de su borde dist del borde de menos que ɛ. Más preismente: = {(x, y) : + ɛ x b ɛ, φ (x) y ψ (x)} = = {(x, y) : + ɛ y d ɛ, η (y) x ξ (y)} [ + ɛ, b ɛ] [ + ɛ, d ɛ] tl que: < φ (x) < + ɛ < ψ (x) < ψ(x) ɛ < ψ(x) d x [ + ɛ, b ɛ] < η (y) < + ɛ < ξ (y) < ξ(y) ɛ < ξ(y) b y [ + ɛ, d ɛ] Se g(x, y) un funión ontinu tl que: g(x, y) = = f(x, y) si (x, y) R \ g(x, y) = f(x, y) si (x, y) g(x, y) f(x, y) pr todo (x, y) Existe lgun funión g(x, y) on ess propieddes: En efeto, tl omo se probrá en el lem 2.2.3, (independientemente del resultdo del teorem que estmos demostrndo), existe un funión hihón ϕ(x, y) que umple l tesis del lem (usndo en ls hipótesis de diho lem: el bierto V igul l interior del dominio, y el ompto K = ). efiniendo g(x, y) = ϕ(x, y)f(x, y), se obtiene l funión uxilir busd. Como g es ontinu, puede plirse el resultdo obtenido en el primer so: g(x, y) = g(x, y) (2) Ahor otemos superiormente l difereni en vlor bsoluto de ls integrles iterds de f omprándols on ls de g: f(x, y) f(x, y) (I) (II)

15 26 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio f(x, y) g(x, y) g(x, y) + f(x, y) (3) Pr obtener l desiguldd (3) hemos plido l propiedd tringulr del vlor bsoluto y l iguldd (2). Ahor otemos superiormente d un de ls dos diferenis en el segundo miembro de (3): f(x, y) g(x, y) d (f g) f g (4) Clulemos l últim integrl de (4): Si x [, + ɛ] [b ɛ, b] entones: f g = f g + f g + f g ψ(x) L funión f(x, y) g(x, y) es nul fuer de y dentro de ; entones es nul undo x es ontnte, x [, + ɛ] [b ɛ, b] e y [, ψ(x)]. Además, ún donde no es nul, se umple f g f + g 2 f 2K donde K es un ot superior de f. (En efeto, f es ontinu en el ompto, luego en tiene un máximo K ; y fuer de es nul, luego el mismo máximo K ot superiormente f en todo el plno.) Por lo tnto result: f g = f g K(ψ(x) ) KM si x [, + ɛ] [b ɛ, b] (5A) Al finl de l desiguldd (5A) hemos llmdo M l máximo en [, b] de l funión ontinu no negtiv ψ(x). Si x [ + ɛ, b ɛ] entones: f g = f g + φ (x) f g + ψ (x) φ (x) f g + ψ (x) f g + f g ψ(x) L funión f(x, y) g(x, y) es nul fuer de y dentro de ; entones es nul undo x es onstnte, x [ + ɛ, b ɛ] e y [, φ (x)] [ψ (x), ψ(x)]. Por lo tnto result: f g = φ (x) f g + ψ (x) f g K(φ (x) + ψ(x) ψ (x)) 2Kɛ si x [ + ɛ, b ɛ] (5B) En l últim desiguldd de (5B) hemos usdo ls ondiiones (I) que segurn: < φ φ < ɛ, < ψ ψ < ɛ. Sustituyendo ls ots de (5A) y (5B) l finl de l desiguldd (4) result: f(x, y) +ɛ g(x, y) KM + ɛ +ɛ 2Kɛ + KM b ɛ

16 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio M Kɛ + 2K(b )ɛ = K ɛ (6) donde K = 2(M + b )K es un onstnte independiente de ɛ. Hemos termindo de otr en (6) l primer de ls diferenis del segundo miembro de (3). Pr otr l últim de ls diferenis en (3), proedemos de igul modo, pero integrndo primero respeto de x en el intervlo [, b], usndo ls funiones η, η, ξ y ξ en lugr de φ, φ, ψ y ψ, y reordndo ls ondiiones (II). Se obtiene: f(x, y) g(x, y) K 2ɛ (7) donde K 2 = 2(M 2 + d )K es un onstnte independiente de ɛ, on M 2 igul l máximo en [, d] de l funión no negtiv ξ(y). Sustituyendo (6) y (7) en (3) se dedue: f(x, y) f(x, y) (K + K 2 )ɛ (8) El primer miembro de l desiguldd (8) es independiente de ɛ, y vle pr todo ɛ > sufiientemente pequeño. Tomndo límite en (8) undo ɛ se dedue: f(x, y) f(x, y) = Est iguldd es equivlente l iguldd () que querímos probr. Lem Funión hihón. do un ompto K y un bierto otdo V de R q tl que K V, existe un funión ϕ(x, x 2,...,x q ) (llmd funión hihón ) definid y ontinu pr todo (x, x 2,...,x q ) R q, que es nul fuer del bierto V, que es onstnte igul dentro del ompto K, y que tom vlores estritmente positivos y menores que en 8 V \ K. Not: Se llm funión hihón porque, en el so bidimensionl (R q = R 2 ) l superfiie gráfi en el espio de oordends rtesins (x, y, z) de l funión z = ϕ(x, y) (her un dibujo) tiene form de hihón, en el so que se elij por ejemplo V omo el diso bierto de entro (, ) y rdio, K el ompto formdo por solo el origen, y ϕ(x, y) dereiente l umentr undo ument l distni de (x, y) l origen, psndo de un máximo igul en el origen (entro del hihón), un mínimo igul ero fuer de V (fuer del hihón). emostrión del lem 2.2.3: enotemos p un punto de R q, es deir p = (x, x 2,...,x q ) R q. Se d 2 (p ) l distni del punto p l borde V de V ; es deir, pr ulquier p R q fijo: d 2 (p ) = mín p V p p El mínimo nterior existe porque V es ompto, y l funión p p es ontinu omo funión de p on p fijo. Observmos que d 2 (p ) es ontinu respeto de p pr todo p R q ; es no negtiv, y se nul si y solo si p V. 8 Se denot on V \ K l onjunto de puntos que están en V pero no están en K.

17 28 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. Análogmente, se d (p ) l distni del punto p l ompto K; es deir, pr ulquier p R q fijo: d (p ) = mín p K p p Observmos que d (p ) es ontinu respeto de p pr todo p R q ; es no negtiv, y se nul si y solo si p K. Como K V, V es bierto y K ompto, entones K no interset l borde de V. Entones ls funiones d y d 2 no se nuln nun l vez. Por lo tnto d (p ) + d 2 (p ) > pr todo p R q. efinimos l funión: d 2 (p ) ϕ(p ) = d (p ) + d 2 (p ) si p V ϕ(p ) = si p V L funión ϕ es ontinu porque: Por un ldo ls dos fórmuls de l definiión nterior son ontinus (l segund porque es idéntimente nul, y l primer porque d y d 2 son ontinus, y d + d 2 no se nul nun). Por otro ldo, donde ls fórmuls de l definiión nterior mbin, es deir en V, se nul d 2 ; luego se nul l primer de ls fórmuls y por lo tnto oinide on l segund. Por onstruión se tiene ϕ = fuer de V. Además omo d = en K V, se umple ϕ(p ) = d 2 (p )/(d (p ) + d 2 (p )) = pr todo p K. Finlmente, omo d > y d 2 > en V \K entones ϕ = d 2 /(d +d 2 ) es estritmente positiv y menor que en V \ K Integrl doble en dominios desomponibles en simples. efiniión Un onjunto del plno x, y se llm dominio desomponible en simples, si es unión finit de dominios simples (respeto de x o respeto de y d uno de ellos, no neesrimente todos respeto de x ni todos respeto de y), on interiores disjuntos dos dos. Es deir: = 2... k tles que: i simple i =, 2,...,k; int i int j = si i j Se observ que es ompto porque es unión finit de omptos i. En prtiulr un dominio desomponible en simples, puede ser él mismo simple. Puede verifirse que en ese so vle l siguiente propiedd, llmd de AITIVIA EN EL OMINIO: f(x, y) = k i= i f(x, y) () pr tod funión f ontinu en. Y si el dominio desomponible en simples, no es simple él mismo, definimos l integrl iterd doble en de l funión f(x, y) ontinu en, medinte l fórmul ().

18 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio efiniión Si es desomponible en simples: = 2... k tles que: i simple i =, 2,...,k; int i int j = si i j y si f es un funión ontinu en, se llm integrl doble iterd de f en f(x, y) = k i= i f(x, y) donde i f(x, y) pr d dominio simple i es l integrl definid en 2..2 o en Hbrí que verifir, pr que l definiión nterior esté bien plnted, que si un dominio es desomponible en simples de dos forms diferentes (es deir omo dos uniones diferentes, mbs finits de dominios simples on interiores disjuntos dos dos), entones l integrl iterd doble definid ntes es l mism. Est verifiión es engorros, y l omitiremos. Ejemplo Clulr l integrl doble de f(x, y) = 6y en el dominio que qued enerrdo por ls urvs gráfis de ls funiones y = x 2, x [, ]; x =, y [, 2]; x = 5 y 2, y [ 2, 2]; y = 2x, x [, ]. ibujndo d un de ls 4 urvs dds que formn el borde del dominio, se observ que es l unión de dos dominios simples y 2 on interiores disjuntos: Por lo tnto: I = I = = { x, 2x y x 2 } 2 = { 2 y 2, x 5 2y 2 } 6y = 6y + 6y = 2 x 2 5 2y 2 6y + 6y 2x 2 Clulemos d un de ls dos integrles del segundo miembro: = = I = I 2 = 2 Por lo tnto el resultdo es x 2 6y = 2x (3x 4 2x 2 ) = 3x5 5 4x3 5 2y 2 6y = 2 2 ( 6y(5 2y 2 ) 6y ) = (3y 2 ) y=x2 y= 2x x= = = = 7 5 x= (6yx x=5 2y2 x= 2 I = I + I 2 = 7 5 ) = ( 2y y) =

19 3 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio Cálulo de áres y volúmenes on integrles dobles. Primero justifiquemos por qué l integrl doble de l funión en un dominio desomponible en simples, es por definiión el áre de, o medid bidimensionl del onjunto. Observr que según l definiión 2..2 de integrl iterd doble en un dominio simple respeto de x: I = = = (ψ(x) ) = ψ(x) L integrl doble I de l funión en es entones l difereni de ls integrles respeto de x de ls funiones ψ(x) y. Si ess funiones fuern mbs no negtivs, reordemos que l integrl respeto de x de d un de ells es el áre de l región bjo de su gráfi. Por lo tnto l difereni de ls integrles es el áre bjo de l gráfi de y = ψ(x) menos el áre bjo de l gráfi de y =. Luego I es el áre entre mbs gráfis, o se el áre de. Análogmente, intermbindo los roles de x e y entre sí, observmos que si es simple respeto de y, l integrl iterd definid en es el áre omprendid entre ls gráfis de ls funiones x = y x = ξ(y). Por otro ldo, si un dominio es desomponible en unión finit de dominios i simples, uyos interiores son disjuntos dos dos, es rzonble definir el áre de omo l sum de ls áres de los i respetivos. Como justifimos nteriormente y plindo l definiión 2.3.2, el áre de es l sum de ls integrles dobles de l funión en d uno de los dominios simples i que formn, lo ul es l integrl de l funión en. Esto justifi l siguiente definiión: efiniión Áre de un dominio desomponible en simples. Se R 2 un dominio desomponible en simples. Se llm áre del dominio, o tmbién medid bidimensionl del dominio, áre = (es deir l integrl doble iterd de l funión idéntimente igul en el dominio ). Se observ que, omo, por l propiedd de monotoní de l integrl (propiedd 3 del párrfo 2..5), el áre de ulquier dominio desomponible en simples es siempre no negtiv. (No se definen áres negtivs.) Ejemplo Clulr el áre de l región omprendid entre ls gráfis de ls funiones y = x 3 e y = x 3 pr x [ 2, ]. Primero hbrá que dibujr. L gráfi de y = x 3 es un urv monóton reiente, on punto de inflexión y derivd en el origen, positiv si x > y negtiv si x <. L gráfi de y = x 3 es un urv monóton dereiente, simétri de l nterior respeto l eje de ls x, positiv si x < y negtiv si x >. Pr ver el dominio disutmos dos sos: Si x el borde de bjo de es l gráfi de l funión y = = x 3, 2 x, que es negtiv. El borde de rrib es l gráfi de l funión y = ψ(x) = x 3, x, que es positiv.

20 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio Por otro ldo, si x, el borde de bjo de es l gráfi de l funión y = = x 3, x, que es negtiv. El borde de rrib es l gráfi de l funión y = ψ(x) = x 3, x, que es positiv. En resumen: = { 2 x : y ψ(x)} donde Luego: Áre () = = x 3 si 2 x, = x 3 si x ψ(x) = x 3 si 2 x, ψ(x) = x 3 si x = 2 = 2 x 3 + x 3 x 3 x 3 () Hy que observr que pr lulr ls integrles en, el límite inferior de integrión debe ser menor o igul que el límite superior de integrión ψ(x). Clulemos Por () y (2) result: Áre () = 2 F(x) = x 3 ( F(x)) + = x4 2 x= x 3 = y y=x3 y= x 3 = 2x 3 (2) x= 2 F(x) = 2 x x4 x= 2 = 8 + x= 2 = 7 2 x 3 = efiniión Sólido bjo de l superfiie gráfi de z = f(x, y). Se z = f(x, y) un funión rel no negtiv definid en el dominio desomponible en simples. Se llm sólido bjo de l gráfi de f l sólido V f del espio tridimensionl x, y, z omprendido bjo de l superfiie gráfi de z = f(x, y), rrib del plno z =, y que se proyet (ortogonlmente) sobre su bse que es el onjunto del plno z =. Es deir: V f = {(x, y, z) R 3 : z f(x, y), (x, y) } Ahor justifiquemos por qué l integrl doble de l funión ontinu f(x, y) en un dominio desomponible en simples, es igul por definiión de volumen, l volumen del sólido V f bjo de su superfiie gráfi. Consideremos el so en que es simple y f(x, y) es ontinu y positiv en. Por lo visto en ls proposiiones 2..7 y 2.2.5: En d dominio simple l integrl iterd de f es el límite iterdo undo x y y tienden ero de ls sums de Riemnn: n m σ = f(x i, y j ) x i y j i= j=

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