Análisis de procesos estocásticos en el dominio de

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1 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia F. Javier Cara ETSII-UPM Curso

2 Contenido Función de densidad espectral Definición Relación con la transformada de Fourier Propiedades Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Funcion de densidad espectral cruzada Estimacion de la funcion de densidad espectral Densidad espectral de algunos procesos estocásticos Generación de realizaciones artificiales 2

3 Función de densidad espectral Función de densidad espectral En el dominio del tiempo, un proceso estocástico queda caracterizado si conocemos la función de medias µ X (t) y la función de autocorrelación R X (τ) (o la función de autocovarianzas). Los procesos estocásticos estacionarios tienen propiedades muy importantes cuando se analizan en el dominio de la frecuencia. Un proceso estocástico queda caracterizado en el dominio de la frecuencia mediante la función de densidad espectral, que es la transformada de Fourier de R X (τ). La descripción en el dominio de la frecuencia de una señal determinista x(t) viene dado por la transformada de Fourier X(ω) (y por tanto, también por el espectro, X(ω) 2 ). Sin embargo, no siempre es posible calcular la transformada de Fourier de una señal aleatoria. La función de densidad espectral si se puede calcular. 3

4 Función de densidad espectral Para que una función f(t) tenga transformada de Fourier se tiene que cumplir. La función es absolutamente integrable + f(t) dt < 2. Cualquier discontinuidad de f(t) es finita. Sea {X(t)} un proceso estocástico. En principio, todos los procesos estocásticos que vamos a considerar no tienen discontinuidades infinitas. Para que se cumpla la primera propiedad se tiene que dar que X(t) 0 cuando t y t. Esto no pasa en los procesos estocáticos! Por tanto, no podemos calcular la transformada de Fourier de X(t). Vamos a calcular la transformada de Fourier de la función de autocorrelación, que es la que nos sirve para caracterizar el proceso estocástico en el dominio del tiempo. 4

5 Función de densidad espectral Para procesos estacionarios, la función de autocorrelación se puede poner como: R X (τ) = E(X(t)X(t +τ)) Los procesos estocásticos estacionarios dejan de estar correlacionados para valores muy grandes de τ, esto es lim τ R X(τ) = E(X(t))E(X(t +τ)) = µ 2 X Si la media del proceso es distinta de cero, se le resta la media y por tanto cumple que lim τ R X(τ) = 0 Por tanto R X (τ) dτ < Luego la función de autocorrelación de los procesos estocásticos estacionarios (con media cero) tiene transformada de Fourier. 5

6 Función de densidad espectral Definición Definición Sea {X(t)} un proceso estocástico estacionario. La función de densidad espectral de {X(t)}, que se escribe como S X (ω), se define como la transformada de Fourier de la función de autocorrelación: S X (ω) = 2π R X (τ) = R X (τ)e iωτ dτ S X (ω)e iωτ dω Las ecuaciones anteriores se conocen también como las ecuaciones de Wiener-Kinchin en honor a los matemáticos Norbert Wiener y Aleksandr Khinchin. Como la función de autocorrelación caracteriza al proceso estocástico en el dominio del tiempo, la función de densidad espectral caracteriza al proceso en el dominio de la frecuencia. 6

7 Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier Relación con la transformada de Fourier de X(t) Si estamos trabajando con el proceso estocático {X(t)} y con la Transformada de Fourier (T.F.), sería deseable que la función de densidad espectral estuviese definida a partir de la T.F. de {X(t)} X(t) T.F. X(ω) = 2π X(t)e iωt dt Sin embargo, si el proceso estocástico es estacionario, teóricamente X(t) se extiende desde hasta +, y por tanto X(t) dt no es finita, por lo que en principio no se puede hacer la T.F. de X(t). Para resolver este problema vamos a considerar X(t) en el intervalo (0, T), y hacemos cero en el resto. Ahora si está definida la T.F. X(f, T) = T X(t)e iωt dt = X(t)e i2πft dt 2π 0 Vamos a trabajar con f en lugar de con ω para evitar el factor 2π. 7

8 Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier La media de X(f, T) 2 para cada frecuencia f se calcula como E( X(f, T) 2 ) = E(X(f, T)X (f, T)) ( T = E X(t)e i2πft dt 0 ( T = E T 0 0 T 0 ) X(s)e +i2πfs ds ) X(t)X(s)e i2πf(t s) ds dt La región de integración se muestra en la figura siguiente (a). Si definimos τ = t s, la nueva área de integración es (b). ( T ) t E( X(f, T) 2 ) = E X(t)X(t τ)e i2πfτ dτ dt 0 t T 8

9 Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier Si intercambiamos el orden de integración y tomamos la esperanza dentro: E( X(f, T) 2 ) = = T t 0 t T T t 0 t T E (X(t)X(t τ)) e i2πfτ dτ dt R X (τ)e i2πfτ dτ dt Como el integrando no depende de t, integramos primero en t y luego en τ. Hay dos regiones de integración, como se observa en (c): para τ ( T, 0) t (0,τ + T); τ (0, T) t (τ, T). 9

10 Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier E( X(f, T) 2 ) = = = = 0 T 0 T T T R X (τ)e i2πfτ ( t+τ R X (τ)e i2πfτ (τ + T)dτ + R X (τ)e i2πfτ (T τ )dτ 0 ) ( T ) T dt dτ + R X (τ)e i2πfτ dt dτ 0 τ T 0 R X (τ)e i2πfτ (τ T)dτ La integral anterior va a infinito cuando T. Dividimos por T para que esto no ocurra: T ( T E( X(f, T) 2 ) = R X (τ)e i2πfτ τ ) dτ T Para T grande T lim T T E( X(f, T) 2 ) = R X (τ)e i2πfτ dτ = S X (f) 0

11 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier Teorema Sea {X(t)} un proceso estocástico estacionario. La función de densidad espectral de {X(t)} se puede expresar como: S X (f) = lim T T E( X(f, T) 2 ) S X (ω) = lim T 2πT E( X(ω, T) 2 ) A grandes rasgos, lo que quiere decir el teorema anterior es que, para un proceso estocástico estacionario, el espectro de amplitudes del proceso se calcula como la media de los espectros de amplitudes de las diferentes realizaciones y se denomina función de densidad espectral (como una señal aleatoria no tiene transformada de Fourier hay que dividir por T y calcular el límite). El espectro de amplitudes también se conoce como periodograma. Pero el periodograma se suele representar en función del periodo, no de la frecuencia (T = /f ).

12 2 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier Ya vimos un resultado similar en el tema de Fourier: la Transformada de Fourier de la correlación de dos funciones es igual al producto de la conjugada de la Transformada de Fourier de la primera función y la Transformada de Fourier de la segunda función. y(t) = x(τ)h(t +τ)dτ TF Y(f) = H(f)X (f) Cuando h(t) = x(t), la correlación se conoce como autocorrelación de x(t). Entonces se tiene y(t) = x(τ)x(t +τ)dτ TF Y(f) = X(f)X (f) = X(f) 2 La correlación anterior es entre dos funciones deterministas. En el caso de funciones aleatorias, tenemos que tomar esperanzas y dividir por T lim E(Y(f)) = lim T T T T E( X(f) 2 ) = S x (f)

13 3 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades Propiedades La función de densidad espectral refleja el contenido en frecuencias del proceso estocástico, como se desprende de la relación entre la función de densidad espectral y la transformada de Fourier. Por tanto, dibujando la función de densidad espectral podemos observar qué frecuencias son las más importantes. Simetría S X ( ω) = S X (ω) Se basa en el hecho de que X(ω, T) es simetrico. La función de densidad espectral es positiva para todo ω. El área definida por la función de densidad espectral es igual al valor cuadrático medio del proceso estocástico (que es constante por definición de estacionaridad): R X (0) = E(X 2 (t)) = S X (ω)e 0 dω = S X (ω)dω

14 Función de densidad espectral Propiedades Luego el valor cuadrático medio ψx 2 = S X (ω)dω Como la media del proceso estocástico es cero: σx 2 = S X (ω)dω y de igual manera σx 2 = S X (f)df es decir, el área bajo la función de densidad espectral (ya sea en rad/s o Hz) es igual a la varianza del proceso. Estas relaciones son importantísimas. Por ejemplo, permiten comprobar si está bien calculada la función de densidad espectral. Tambien se utilizan para conocer las unidades de S X (ω). * Si U son las unidades de X(t) * las unidades de S X (ω) son U 2 /(rad/s); * las unidades de S X (f) son U 2 /(Hz). Por ejemplo, si estamos trabajando con aceleraciones, la funcion de densidad espectral se mide en (m/s 2 ) 2 /(rad/s) o en (m/s 2 ) 2 /Hz. 4

15 5 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades Para cambiar de unidades de radianes por segundo a hertzios: En efecto, ω = 2πf dω = 2πdf σ 2 X = S X (f) = 2πS X (ω) S X (f)df σx 2 = S X (ω)dω σx 2 = S X (ω)2πdf Si las frecuencias negativas son suprimidas, la función de densidad espectral tiene que multiplicarse por dos para que se siga conservando el área. { 2SX (ω) ω 0 G X (ω) = 0 ω < 0

16 6 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades Se definen por tanto 4 posibles representaciones de la densidad espectral (a) es conocido como densidad espectral biliteral (two-sided). (b) es conocido como densidad espectral uniliteral (one-sided).

17 Función de densidad espectral Propiedades Función de densidad espectral de potencia (PSD) Antes de la llegada de los ordenadores, los espectros se calculaban simulando las funciones mediante señales eléctricas. La energía de una señal x(t) se define como: E = x(t) 2 dt La potencia media de una señal x(t) entre 0 y T se define como: P = lim T T T 0 x(t) 2 dt Las definiciones anteriores provienen de las señales eléctricas: si v(t), i(t) y R son potencial, intensidad y resistencia respectivamente: p(t) = v(t)i(t) = i 2 (t) potencia instantánea por ohmio R La energía total y la potencia media disipadas en la resistencia son: E = i 2 (t) dt (Julios), P = lim T T T 0 i 2 (t) dt (Watios) 7

18 8 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades Se definen los siguientes espectros:. Espectro de energía. Sea una señal x(t) con energia finita, esto es, E = x(t) 2 dt < Por tanto, se cumple la condición fundamental para que exista la transformada de Fourier. El espectro se calcula como: Θ X (ω) = 2π X(ω) 2 Se conoce también como densidad espectral de energía. 2. Espectro de potencia. Si la señal x(t) no tiene energía finita no se puede calcular su transformada de Fourier. Para calcular el espectro cogemos la señal entre 0 y T y: Φ X (ω) = lim T 2πT X(ω,T) 2 Debido a la semejanza de esta fórmula con la densidad espectral, a S X (ω) también se conoce como densidad espectral de potencia.

19 Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales En en dominio del tiempo hemos estudiado los siguientes modelos estocásticos lineales: Proceso de Ruido blanco. Proceso MA(q). Proceso AR(p). Para estos procesos, las ecuaciones de Wiener-Kinchin se suelen escribir como S(f) = γ(h) = N/2 h= N/2+ /2 /2 γ(h)e i2πfh, /2 f /2 S(f)e i2πfh df, h = 0,±,±2,... Es decir, transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT): los datos son discretos, γ(h) = {γ( N 2 + ),,γ( ),γ(0),γ(),γ(n 2 )}, pero la funcion de densidad espectral se define continua. 9

20 20 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Ya vimos que la DTFT se definía (para datos con tiempo normalizado, es decir, t = ) X(ω) = N k=0 x k = 2π x k e iωk 2π X(ω)e iωk dω En estas fórmulas, k = 0,,..., N, y ω está definida en cualquier intervalo de longitud 2π [0, 2π], [ π 2, π 2 ]. Si utilizamos frecuencias lineales, ω = 2πf, dω = 2πdf, [ π 2, π 2 ] [ 2, 2 ] (el intervalo de integración es cualquier intervalo de longitud uno), luego X(f) = x k = N k=0 2 2 x k e i2πfk X(f)e i2πfk df

21 Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Densidad espectral del ruido blanco El ruido blanco se define como w t N(0,σ 2 w ) Su función de autocovarianza es Luego S w (f) = N/2 h= N/2+ γ w (h) = { σ 2 w si h = 0 0 si h 0 Si trabajamos sólo con frecuencias positivas γ w (h)e i2πfh = σ 2 w, /2 f /2 G w (f) = 2σ 2 w, 0 f /2 Luego todas las frecuencias tienen la misma potencia o son igualmente importantes (igual que la luz blanca). El ruido blanco excita todas las frecuencias por igual. 2

22 22 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Pero hemos visto que la densidad espectral también se escribe como S W (f) = lim T T E( W(f, T) 2 ) = lim T T E(W(f, T)W(f, T) ) dónde W(f, T) quiere decir la transformada de Fourier de una señal de ruido blanco w k de longitud T (si la señal se extiende de hasta + no tiene transformada de Fourier!). Pero hemos visto que S w (f) = σ 2 w lim T T E(W(f, T)W(f, T) ) = σw 2 Esta propiedad la vamos a utilizar en los apartados siguientes.

23 23 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Densidad espectral de un proceso MA(q) La ecuación de un proceso estocástico MA(q) es: x t = w t +θ w t +θ 2 w t 2 + +θ q w t q, w t N(0,σw) 2 La función de densidad espectral de un proceso MA(q) es S x (f) = σw +θ 2 e i2πf +θ 2 e i4πf + +θ q e i2πqf 2, /2 f /2 G x (f) = 2σw +θ 2 e i2πf +θ 2 e i4πf + +θ q e i2πqf 2, 0 f /2

24 24 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Para poder probar la fórmula anterior, hay que utilizar las siguientes propiedades de la transformada de Fourier: Linealidad z k = ax k + by k T.F. Z(f) = ax(f)+by(f) Despalzamiento en el tiempo (time shifting) x k T.F. X(f) x k m T.F. e i2πfm X(f) es decir, si la T.F. de x k es X(f), entonces la transformada de Fourier de x k m es e i2πfm X(f).

25 25 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales MA(q) x k = w k +θ w k +θ 2 w k 2 + +θ q w k q La transformada de Fourier de x k es X(f, T) = W(f, T)+θ e i2πf W(f, T)+ +θ q e i2πqf W(f, T) X(f, T) = ( +θ e i2πf +θ 2 e i4πf + +θ q e i2πqf) W(f, T) y el complejo conjugado X (f, T) = ( +θ e i2πf +θ 2 e i4πf + +θ q e i2πqf) W (f, T) Por tanto X(f, T)X (f, T) = +θ e i2πf + +θ q e i2πqf 2 W(f, T)W (f, T) Tomando esperanzas y el limite S x (f) = lim T T E [X(f, T)X (f, T)] = = +θ e i2πf +θ 2 e i4πf + +θ q e i2πqf 2 lim T = +θ e i2πf +θ 2 e i4πf + +θ q e i2πqf 2 σ 2 W T E [W(f, T)W (f, T)]

26 26 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Densidad espectral de un proceso AR(p) La ecuación de un proceso estocástico AR(p) es: x t = φ x t +φ 2 x t 2 + +φ p x t p + w t, w t N(0,σ 2 w) La función de densidad espectral de un proceso AR(p) es S x (f) = σw 2 φ e i2πf φ 2 e i4πf φ q e i2πpf 2, /2 f /2 G x (f) = 2σw 2 φ e i2πf φ 2 e i4πf φ q e i2πpf 2, 0 f /2

27 Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales AR(p) x k = φ x k +φ 2 x k 2 + +φ p x k p + w k La tranformada de Fourier de x k es X(f, T) = φ e i2πf X(f, T)+ +φ p e i2πpf X(f, T)+W(f, T) W(f, T) X(f, T) = ( φ e i2πf φ 2 e i4πf φ q e i2πqf ) y el complejo conjugado X (f, T) = W (f, T) ( φ e i2πf φ 2 e i4πf φ q e i2πqf ) X(f, T)X W(f, T)W (f, T) (f, T) = φ e i2πf φ 2 e i4πf φ q e i2πqf 2 Tomando esperanzas y el limite S x (f) = lim T T E [X(f, T)X (f, T)] = lim T T E [W(f, T)W (f, T)] φ e i2πf φ q e i2πqf 2 = σ 2 W φ e i2πf φ 2 e i4πf φ q e i2πqf 2 27

28 28 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Ejemplo Dibujar la función de densidad espectral del proceso MA() definido por x t = w t + w t, w t N(0,σ 2 w = ) Para un proceso MA() x t = w t +θ w t = (+θ B)w t = θ(b)w t con función de densidad espectral G x (f) = 2σw 2 +θ e i2πf 2 = 2σw(+θ 2 e i2πf )(+θ e i2πf ) = 2σw(+θ 2 2 +θ (e i2πf + e i2πf )) = 2σw 2 (+θ2 + 2θ cos(2πf)), 0 f /2

29 29 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales 0 Funcion de densidad espectral de x t = w t + w t 8 S x (f) [U x 2 /Hz] f (Hz) 0 Funcion de densidad espectral unilateral 8 G x (f) [U x 2 /Hz] f (Hz)

30 Funcion de densidad espectral cruzada Funcion de densidad espectral cruzada Sea X(t) un proceso estocastico estacionario. La función de autocorrelación se definió como R XX (τ) = E[X(t)X(t +τ)] Sean X(t), Y(t) dos procesos estocasticos estacionarios. Se define la función de correlación cruzada como R XY (τ) = E[X(t)Y(t +τ)] R YX (τ) = E[X(t +τ)y(t)] La función de densidad espectral cruzada se define como la transformada de Fourier de la función de correlación cruzada. Por tanto hay dos de densidad espectral cruzada S XY (ω) = 2π S YX (ω) = 2π R XY (τ)e iωτ dτ R YX (τ)e iωτ dτ 30

31 Funcion de densidad espectral cruzada Propiedades Las funciones de correlación se obtienen haciendo la transformada de Fourier inversa R XY (τ) = R YX (τ) = S XY (ω)e iωτ dω S YX (ω)e iωτ dω Las funciones de densidad espectral cruzada toman valores complejos. Si X(t) e Y(t) son procesos estasticos con valores reales S XY (ω) = S YX(ω) Sea Z(T) suma de dos procesos estocasticos Entonces se cumple Z(t) = ax(t)+by(t) S ZZ (ω) = a 2 S XX (ω)+abs XY (ω)+abs YX (ω)+b 2 S YY (ω) 3

32 Estimacion de la funcion de densidad espectral Estimación no paramétrica. Método general. La estimacion puede ser: No paramétrica. Paramétrica. Se ajusta un modelo matemático a los datos. Para definir la estimación no paramétrica, vamos a utilizar la definición de la función de densidad espectral a partir de la T.F.: S X (ω) = lim T 2πT E( X(ω, T) 2 ) Si se tienen M realizaciones del proceso estocástico. Ŝ X (ω, T, M) = 2πT M M X m (ω, T) 2 m= Evidentemente, esta estimación será mejor si disponemos de muchas realizaciones (M >>). En general, la longitud de las realizaciones T debe ser suficiente para que la función de autocorrelación converga a cero. 32

33 Estimacion de la funcion de densidad espectral Pero tenemos que adaptar las fórmulas anteriores a señales discretas. Sean N valores discretos de X(t), x k = x(k t), k = 0,,..., N La T.F. de x k X n = j=0 N n=0 x k e i2πnk/n, n = 0,,..., N El cuadrado del módulo de X n es ( N N ) X n 2 = X n Xn = x j e i2πjn/n x m e i2πmn/n m=0 N N = x j x m e i2π(j m)n/n, n = 0,,..., N j=0 m=0 El valor esperado de esta cantidad es: E ( X n 2) = N N R X ((j m) t)e i2π(j m)n/n, n = 0,,..., N j=0 m=0 La doble suma se simplifica considerando el cambio de variables r = j m, j = s 33

34 Estimacion de la funcion de densidad espectral E ( X n 2) = 0 r= (N ) (N )+r s=0 n = 0,,..., N r= (N ) + N r= N R X (r t)e i2πrn/n, La suma correspondiente a s tiene que realizarse primero porque está expresada en términos de r. La suma es E ( X n 2) N ( = N r ) R X (r t)e i2πrn/n N Para N suficientemente grandes E ( X n 2) = N = N t N r= (N ) N r= (N ) s=r R X (r t)e i2πrn/n R X (r t)e i2πrn/n t, n = 0,,..., N 34

35 35 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral La suma en la segunda expresión es una aproximación a la función de densidad espectral: S X (f) = R X (τ)e i2πfτ dτ luego E ( X n 2) = N t S X(f n ), n = 0,,..., N Despejando S X (f n ) = t N E ( X n 2), n = 0,,...,N y en rad/s S X (ω n ) = t 2πN E ( X n 2), n = 0,,...,N

36 36 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Basándonos en estas fórmulas, la función de densidad espectral discreta se puede estimar como Ŝ X (f n ) = t N Ê ( X n 2), n = 0,,..., N Si tenemos M realizaciones del proceso estocástico, la estimación de la esperanza es Ê ( X n 2) = M X mn 2, n = 0,,...,N M por lo que finalmente Ŝ X (f n ) = t MN m= M X mn 2, n = 0,,...,N m= y la función de densidad espectral unilateral Ĝ X (f n ) = 2 t M X mn 2, n = 0,,..., N MN 2 m=

37 Estimacion de la funcion de densidad espectral Estimación por máxima verosimilitud Si estimamos por máxima verosimilitud, el estimador obtenido es: Ŝ X (f n ) = t NM M X mn 2, n = 0,,...,N m= es decir, se obtiene el mismo resultado. Pero lo importante de este método es que podemos calcular la media y la varianza del estimador La media del estimador de la función de densidad espectral es: ) E (ŜX (f n ) = S X (f n )+ k= (2k + )(2k)! ( f 2 ) 2k S (2k) X (f n) S X (f n )+ ( f)2 24 S X (f n), n = 0,,..., N La varianza del estimador de la función de densidad espectral es: ) Var (ŜX (f n ) = (S X(f n )) 2, n = 0,,...,N M es decir, cuanto mayor es S X (f n ), mayor es la varianza del estimador. 37

38 38 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Aspectos prácticos de la estimación de la densidad espect. Las fórmulas descritas en los apartados anteriores se utilizan para estimar la función de densidad espectral de un proceso estocástico estacionario. Sin embargo, a menudo sólo disponemos de una realización y tenemos que considerar el proceso estocástico como ergódico. La estimación en este caso sería: Ŝ X (f n ) = t N X n 2, n = 0,,...,N Esta estimación es muy mala. Por ejemplo, su varianza es el cuadrado de la función estimada: ) Var (ŜX (f n ) = (S X (f n )) 2 Para mejorar la estimación considerando sólo una realización aplicamos windowing.

39 39 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Windowing consiste en tomar segmentos de la señal, calcular el espectro de cada segmento y luego hacer la media. Al dividir la señal en segmentos, disminuye la resolución en frecuencias del espectro, es decir, la separación entre las frecuencias aumenta. Si la señal original está muestreada con t y tiene N 0 puntos, y cada segmento tiene N puntos: * Señal original: Frecuencia de Nyquist: f nq0 = /(2 t); frecuencias: f n0 = n/(n 0 t) f n0 = /(N 0 t). * Segmentos: Frecuencia de Nyquist: f nq = /(2 t); frecuencias: f n = n/(n t) f n = /(N t). * Por tanto, f nq0 = f nq, f n0 < f n. Los segmentos se obtienen multiplicando la señal original por una función de peso o ventana. Cada ventana introduce un error en la DFT denominado leakage. Ventanas habituales: rectangular, Hamming, Hanning, Barlett, Chebyshev,... Para aumentar el número de medias a la hora de estimar E ( X n 2) se utiliza el solapado de las ventanas Método de Welch.

40 Estimacion de la funcion de densidad espectral Estimación paramétrica Los métodos no paramétricos no imponen ninguna condición a las señales, salvo que sean estacionarias. Si asumimos que el proceso estocástico se ajusta a un modelo matemático entonces tenemos estimación paramétrica. Nosotros sólo vamos a estudiar el modelo AR(p). Si los datos se ajustan a un modelo AR(p) x t = φ x t +φ 2 x t 2 + +φ p x t p + w t, w t N(0,σ 2 w ) entonces el espectro será G x(f) = 2σw 2 φ e i2πf φ 2e i4πf φ qe i2πpf 2, 0 f /2 Por lo tanto, si estimamos el modelo AR(p) a partir de los datos x t = ˆφ x t + ˆφ 2 x t ˆφ p x t p + ŵ t, ŵ t N(0,ˆσ 2 w ) la estimación de la función de densidad espectral será 2ˆσ w 2 Ĝ x (f) = ˆφ e i2πf ˆφ 2 e i4πf ˆφ q e i2πpf 2, 0 f /2 40

41 Estimacion de la funcion de densidad espectral Ejemplo Sea el proceso MA() definido por { xt = w t + w t, w t N(0,σ 2 w = ) t =, 2, 3,..., N, N = 0000, t = 0, s Estimar su función de densidad espectral. Ya conocíamos su función de densidad espectral teórica G x (f) = 2σ 2 w (+θ2 + 2θ cos(2πf)), 0 f /2 Como conocemos t, lo ideal es que la funcion de densidad espectral esté definida en 0 f f nq = /(2 t) 0 f /2 0 f f nq = /(2 t) Luego hemos dividido las frecuencias por t. Como el área bajo la función de densidad espectral se tiene que conservar, multiplicamos G x por t. La estimación se lleva a cabo con la fórmula Ĝ X (f n ) = 2 t N Ê( X n 2 ), n = 0,,..., N/2 4

42 42 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral 2 Funcion de densidad espectral teorica 2 Estimacion con una realizacion G x (f) [U x 2 /Hz] G (f) [U x 2 /Hz] f (Hz) Estimacion con 00 realizaciones f (Hz) Estimacion con una realizacion dividida en 0 segmentos 2 G 00 (f) [U x 2 /Hz] G s (f) [U x 2 /Hz] f (Hz) Estimacion con Welch de matlab f (Hz) Estimacion parametrica con un AR(20) 2 G Welch (f) [U x 2 /Hz] f (Hz) G AR (f) [U x 2 /Hz] f (Hz)

43 43 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Densidad espectral de algunos procesos estocásticos Densidad espectral de algunos procesos estocásticos

44 Generación de realizaciones artificiales Generación de realizaciones artificiales Si se conoce la función de densidad espectral de un proceso estacionario, se pueden calcular realizaciones del proceso estocástico que verifiquen dicha función de densidad espectral. Estas realizaciones artificiales se pueden utilizar para carcular la respuesta del sistema en el tiempo. Sea un proceso estocástico {X(t)} del que conocemos su función de densidad espectral unilateral discreta, G X (ω n ). Sabemos que G x (ω n ) = t Nπ E( X n 2 ) X n = N N k=0 x k e i2πnk/n N x k = X n e i2πnk/n n=0 por tanto, si generamos los X n de manera que verifiquen la primera ecuación, podemos calcular una realización x k (utilizando la última ecuación) con la función de densidad espectral buscada. 44

45 Generación de realizaciones artificiales En general, de la teoría de la transformada de Fourier discreta sabemos que los X n son complejos X n = A n + ib n X n 2 = A 2 n + B 2 n E( X n 2 ) = E(A 2 n )+E(B2 n ) Como estamos trabajando con procesos estocásticos de media cero, se cumple que E(A n ) = 0, E(B n ) = 0 En efecto X n = N N k=0 x k e i2πnk/n = Tomando esperanzas E(X n ) = N k=0 N k=0 N x k N cos(2πnk/n) i E(x k ) N N cos(2πnk/n) i k=0 k=0 x k N sin(2πnk/n) E(x k ) N sin(2πnk/n) Como el proceso tiene media cero E(x k ) = 0 E(A n ) = 0, E(B n ) = 0. 45

46 46 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Generación de realizaciones artificiales Por tanto se cumple que Si tomamos entonces se cumple t Nπ E( X n 2 ) = t Nπ E(A 2 n ) = Var(A n), E(B 2 n ) = Var(B n) E( X n 2 ) = Var(A n )+Var(B n ) ( A n N 0,σ 2 = Nπ ) 2 t G X(ω n ) ( B n N 0,σ 2 = Nπ 2 t G X(ω n ) ( Nπ 2 t G X(ω n )+ Nπ ) 2 t G X(ω n ) = G x (ω n ) Y obtenemos la función de densidad espectral buscada. )

47 Generación de realizaciones artificiales Hay que tener en cuenta las propiedades de la transf. de Fourier discreta: Si N es par: * X 0 es real, en concreto es la media X 0 = N N k=0 x k. Como trabajamos con procesos estocásticos de mecia cero, X 0 = 0. * X N/2 también es real X N = N x k e iπk = N x k cos(πk) 2 N N k=0 k=0 Por tanto tomamos ( 2 X N N 0,σ 2 = Nπ ) 2 t G X(ω N) 2 * Los términos entre n = y n = N se calculan generando An y 2 B n como se ha indicado. Los términos entre n = N + y n = N 2 son complejos conjugados de éstos. Si N es impar: * X 0 sigue siendo la media X 0 = 0. * Los términos entre n = y n = N se calculan generando A 2 n y B n como se ha indicado. Los términos entre n = N+ y n = N son 2 complejos conjugados de éstos. Una vez que tengamos calculados los X n x k = ifft(x n ). 47

48 48 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Generación de realizaciones artificiales 20 Funcion de densidad espectral dada G w (rad/s) Realizacion generada 00 x t t (s) Metodo Welch por defecto de matlab 20 G x w (rad/s) Metodo Welch con ventanas Hamming de 500 datos, solapadas el 75% 20 G x w (rad/s)