CALCULO I: Práctica 4 con la calculadora ClassPad 330

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1 CALCULO I: Práctica 4 con la calculadora ClassPad 330 Objetivos: Requisitos: En esta práctica aprenderemos a utilizar la Aplicación Principal y la Aplicación Gráficos & Tablas del Menú de Aplicaciones Incorporadas de la calculadora ClassPad 330, para visualizar algunos aspectos relativos al concepto de función, el concepto de igualdad de funciones, el significado y las consecuencias que se obtienen al generar una nueva función, a partir de dos o más, mediante algunas operaciones entre ellas, tales como: adición, sustracción, multiplicación, división y composición Antes de realizar esta práctica es imprescindible haber estudiado el Capítulo 1 del texto recomendado y haber realizado en su totalidad la Práctica 3 Observaciones: Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la transmisión de información, estás se destacarán con los iconos,, o una barra gris en el margen izquierdo El primer icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, indicará al estudiante que se abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora y ejecutar las instrucciones propuestas, el segundo le indicara que se está planteando una situación problemática dirigida o no y el último, que debe reportar por escrito la respuesta a la situación problemática formulada 41 Presentación de la Aplicación Gráficos & Tablas Gráficas de algunas funciones reales de variable real de uso frecuente La Aplicación Gráficos & Tablas de la ClassPad 330, permite trazar una porción de la gráfica de una función real de variable real definida por su regla de correspondencia y = f(x) Cuando se activa la Aplicación Gráficos & Tablas, aparece una ventana dividida en pantalla: la ventana del editor de gráficos y la ventana de gráficos Figura 1 En esta ventana dividida encontrará, en la parte inferior, el cuadro de mensajes que puede mostrar la regla de correspondencia de una función, expresiones algebraicas y valores numéricos En ocasiones puede ser utilizado para la edición y entrada de datos y parámetros Prof Robinson Arcos 1

2 La ventana del editor de gráficos está dividida en hojas Las hojas se encuentran numeradas del 1 al 5 y cada una puede almacenar hasta 0 ecuaciones de curvas De manera que se pueden almacenar hasta un máximo de 100 ecuaciones de curvas También es posible trazar la gráfica de curvas en el plano descritas por sus ecuaciones paramétricas o en coordenadas polares Para representar la gráfica de una función definida por su regla de correspondencia y = f(x), se escribe primeramente, en la primera línea de edición de la ventana del editor de gráficos, la expresión f(x) (el valor de f en x) y se confirma con [EXE], luego se realizan ajustes en la ventana de visualización y finalmente se toca un botón para trazar su gráfica En base al siguiente ejemplo, veamos algunas particularidades sobre el trazado de la gráfica de una función real de variable real: 1 Trace la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es f(x) = x x 3 Operación con la ClassPad (1) Extraiga el lápiz táctil de la ranura de resguardo () En el teclado plástico presione la tecla para encender la calculadora o simplemente toque con el lápiz táctil la pantalla (3) En el panel de iconos toque el icono permanente para activar el menú de Aplicaciones Incorporadas (4) En el menú de Aplicaciones Incorporadas toque el icono para activar directamente la Aplicación Graficos & Tablas (5) En barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] para limpiar la Ventana del Editor de Gráficos Antes de trazar la gráfica de nuestra función será necesario realizar las siguientes tareas de configuración en el formato de gráfico y en la ventana de visualización: (6) En barra de menús toque el icono para acceder al menú del Formato de Aplicación Al desplegarse el menú aparecen los menús de opciones de configuración Toque [Formato de gráfico] Configuraremos por defecto las opciones de la ventana de gráficos: (7) En la parte inferior del cuadro de diálogo Básico, toque [Defecto] [Def] Configuraremos también por defecto la ventana de visualización: Figura (8) En la barra de herramientas toque el botón para acceder a la Ventana de Visualización Toque [Defecto] [Acep] (Figura ) (9) Presione la tecla para activar el teclado virtual (10) En la línea de edición y1: escriba el valor de la función en x, esto es, escriba x x 3 y toque Observe que el recuadro de verificación, en la línea de edición, pasa al estado activado indicando que la función ha sido almacenada y preparada para el trazado de su gráfica (11) Toque para trazar la gráfica y toque para maximizar la ventana de gráficos (Figura 3) Prof Robinson Arcos Figura 3

3 Observación: Debe tenerse presente que la gráfica trazada en pantalla, es en realidad una porción de la gráfica total de la función (la que corresponde a los distintos valores que la misma toma en su dominio de definición) La porción trazada en nuestro caso, es la que corresponde únicamente a los puntos de la gráfica que se encuentran en el rectángulo [ 77, 77] [ 88, 88] Este rectángulo de visualización (ventana de visualización) es el que definimos anteriormente por defecto La ventana de visualización puede ampliarse o reducirse a conveniencia del usuario Es necesario tener de antemano una idea del dominio de la función y de su recorrido para configurar una ventana que permita visualizar la porción de la gráfica que interesa También podemos trazar la gráfica de una función definida en un intervalo El siguiente ejemplo veremos cómo se realiza esto: 3 Trace la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es f(x) = x x 3 para 1 x 3 (1) En la barra de herramientas toque el botón para activar el editor de gráficos (13) Active el teclado virtual (14) Ubique ahora el cursor en la línea de edición y1: al final de la expresión editada x x 3 (15) En el teclado [mth] toque el botón y seguidamente toque el botón (comando whit ) (16) Oprima y seguidamente toque la secuencia de botones y confirme tocando En este momento tenemos almacenada la función en el intervalo dado (17) Toque el botón para trazar la gráfica Aparece la gráfica de la función en el intervalo dado (18) Toque para maximizar la ventana de gráficos Figura 4 Podemos trazar más de una gráfica en un mismo sistema de coordenadas como en el siguiente ejemplo: 4 Trace en un mismo sistema coordenado las gráficas de las siguientes curvas: a) y = x x + 1 (Función cuadrática) b) y = x (Función raíz cuadrada) c) y = x 3 + 5x + 1 (Función polinómica de grado 3) (19) En la barra de herramientas toque el botón para activar el editor de gráficos (0) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] para limpiar el editor de gráficos (1) Oprima para activar el teclado virtual Prof Robinson Arcos 3

4 () Toque la solapa para activar el teclado de plantillas (3) En la línea de edición y1: edite la expresión x x + 1 y toque Para distinguir la gráfica de una curva dada de la gráfica de otra, será necesario realizar el trazado de cada una con distintos tipos de línea, como veremos enseguida: (4) En la línea de edición y: edite la expresión x Observe que al editar la función en la línea y: aparece al lado la señal que indica el tipo de línea con que aparecerá la gráfica de la segunda función Esta línea podemos cambiarla de la siguiente manera: (5) Toque la señal al lado de la expresión (6) En el cuadro de diálogo toque [Grues] [Acep] para elegir el estilo de línea grueso Toque ahora (7) En la línea de entrada y3: edite la expresión x 3 + 5x + 1 (8) Toque la señal al lado de la expresión (9) En el cuadro de diálogo toque [Cuadrados] [Acep] Toque finalmente Para poder apreciar buena parte de las gráficas, configuremos los siguientes parámetros de la ventana de visualización: Figura 5 Figura 6 (30) En la barra de herramientas toque el botón (31) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros: Mín x : 8 ; máx x : 8 ; escala x : 1 Mín y : 3 ; máx y : 1; escala y : 1 Con estos parámetros visualizaremos las gráficas en el rectángulo [ 8, 8] [ 3, 1] Los demás parámetros se configuran automáticamente (3) Toque [Acep] (33) Toque y luego toque para maximizar la pantalla Aparecen una porción de las gráficas de las tres funciones Figura 7 La Classpad dispone de una librería de funciones Se puede acceder a las más usuales como: valor absoluto, trigonométricas, potenciales, exponenciales, etc, tocando botones que las rotulan en el teclado virtual; pero en general se puede acceder a todas las funciones de librería desde un catálogo disponible en el teclado virtual [cat] 5 Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones definidas por las ecuaciones: a) y = x (Función valor absoluto) b) y = [ x ] (Función mayor entero menor o igual a x) c) y = signum(x) (Función signo de x, para x no nulo) y = x x (Función mantisa) d) [ ] Trazado de la gráfica de la función valor absoluto: Prof Robinson Arcos 4

5 (34) En la barra de herramientas toque el botón para activar el editor de gráficos (35) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] para limpiar el editor de gráficos (36) Oprima para activar el teclado virtual Trazaremos la gráfica de la función valor absoluto: (37) En la línea de edición y1:, con el teclado de plantillas D activado, toque y luego toque Hemos almacenado la función valor absoluto (38) Toque para activar la ventana de visualización (39) En el cuadro de diálogo toque en secuencia [Memoria] [Inicial] [Acep] En la ventana inicial visualizaremos la porción de la gráfica en el rectángulo [ 77, 77] [ 3 8, 38] en la ventana dividida Figura 8 (40) Toque y luego toque para maximizar la pantalla Se observa la gráfica típica de la función valor absoluto en la ventana de visualización por defecto 6 Cuál es la regla de correspondencia de la función valor absoluto?, cuáles son su dominio natural y su recorrido? Trazado de la gráfica de la función mayor entero menor o igual a x: (41) Toque el botón para activar el editor de gráficos (4) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] para limpiar el editor de gráficos (43) Oprima para activar el teclado virtual Trazaremos ahora la gráfica de la función mayor entero menor o igual a x: (44) Toque la solapa para acceder al catálogo de funciones y comandos de la ClassPad Observe que en este teclado, a la derecha, aparece el listado deslizable con todas las funciones y comandos de la ClassPad En el lado izquierdo aparece el menú desplegable [Forma] (45) Toque el botón para desplegar el menú [Forma] (46) En el menú desplegado toque [Func] para mostrar en el listado las funciones de librería de la ClassPad (Figura 9) (47) En la parte inferior toque el botón para listar las funciones cuya inicial es la letra rotulada por el botón (48) Con el cursor en la línea de edición y1: toque [Intg(] y luego toque La función queda incorporada en el editor de gráficos (Figura 10) (49) Toque seguidamente la secuencia y luego toque Con esto la función ha quedado almacenada Figura 9 Figura 10 Prof Robinson Arcos 5

6 (50) Toque y luego toque para maximizar la pantalla Tenemos trazada la gráfica de la función en la ventana por defecto Observación: En pantalla se aprecia el aspecto escalonado de la gráfica de esta función En cada entero, la gráfica presenta saltos produciendo un escalón Al realizar el trazado de una función escalonada, por lo general, el software graficador de la ClassPad realiza un trazado continuo deficiente Este trazado lo realiza calculando numéricamente un número determinado de puntos del gráfico de la función, que luego une por medio de una poligonal, dejando segmentos verticales en los puntos de salto Como sabemos este trazado es deficiente, dado que los segmentos verticales no representan la gráfica de una función Sin embargo, los puntos que conforman los segmentos verticales no son considerados por la calculadora como veremos a continuación: (51) En la barra de menús toque [Análisis] [Trazo] Aparece un cursor titilante en forma de cruz sobre la gráfica de la función En la parte inferior de la ventana aparecen las coordenadas del punto donde se posiciona el cursor en la gráfica (5) Oprima varias veces la tecla direccional elíptica del teclado de la calculadora en las direcciones y para deslizar el cursor sobre el gráfico (53) Deslice el cursor pasando por los puntos de abscisa entera Observara que al pasar por estos puntos, se obtiene inmediatamente un salto y el cursor no registra los puntos del segmento vertical (54) Toque y oprima dos veces la tecla para realizar un acercamiento (55) Toque [Análisis] [Trazo] Figura 11 (56) Deslice nuevamente el cursor sobre cada punto de abscisa entera y observe los saltos (57) Al terminar toque 7 Si x es un número real, entonces existe un entero n tal que n x < n + 1 Muestre que: a) [ x ] = n b) Si k es un entero, entonces [ x + k ] = [ x ] + k Prof Robinson Arcos 6

7 Trazado de la gráfica de la función signo de x con x no nulo: (58) Toque el botón (59) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] (60) Oprima (61) Toque la solapa para acceder al catálogo de funciones y comandos de la ClassPad (6) En el listado alfabético que se encuentra en la parte inferior, toque el botón (63) Toque el botón y en el listado seleccione la función [signum(] (64) Con el cursor en la línea de edición y1:, toque (65) Oprima (66) Toque para activar la ventana de visualización (67) En el cuadro de diálogo toque [Memoria] [Inicial] [Acep] (68) Toque y luego toque para maximizar la pantalla Figura 1 (69) Active la función de trazo tocando [Análisis] [Trazo] (70) Deslice el cursor sobre la gráfica de la función (71) Ubique el cursor sobre el origen y observe el valor asignado a la función en este punto (7) Toque 8 De acuerdo a lo observado anteriormente, cuál es la regla de correspondencia de esta función?, cuáles son su dominio y recorrido? 9 Trace la gráfica de la función mantisa en la ventana [Inicial] Active la función [Trazo] y deslice el cursor sobre los puntos de abscisa entera Indique cuáles son su dominio y recorrido En la ClassPad, el usuario puede definir sus propias funciones e incorporarlas a la librería de funciones A modo de ejemplo, supongamos que queremos definir una función que llamaremos función escalón unitario y cuya regla de correspondencia viene dada por: u(x) = 1 (1 0 + signum(x)) = 1 si si x < 0 x > 0 Esta función podemos almacenarla eventualmente como función de usuario y disponer de ella en cualquier momento Para almacenar esta función y tenerla disponible para su uso, se procede de la siguiente manera: Prof Robinson Arcos 7

8 (73) Toque en el panel de íconos para acceder directamente a la Aplicación Principal (74) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] (75) Toque [Acción] [Comando ] [Define] (76) Oprima y toque la lengüeta para activar el teclado alfabético Registremos ahora la regla de correspondencia de la función escalón unitario: (77) Toque la secuencia de botones y teclas: Figura 13 (Figura 13) De esta manera queda guardad la función escalón unitario Como habrá observado, para registrar funciones de usuario necesariamente debe hacerse uso del teclado virtual alfabético y el teclado plástico de la ClassPad (78) Toque (79) Limpie el editor de gráficos y active el teclado virtual alfabético (80) Escriba en la primera línea de edición u (x) y toque [Ejec] (81) Trace la gráfica de la función tocando Figura 14 4 Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales cuando al superponer sus gráficas, éstas resultan congruentes, es decir, sus gráficas coinciden en todos sus puntos Esta definición se traduce en términos operativos en la siguiente: Dos funciones f y g son iguales si y sólo si, Dom f = Dom g = D y f (x) = g(x) para cada x D De manera que si dos funciones f y g tienen el mismo dominio D y la igualdad f(x) = g(x) es una identidad para todos los valores de x en el dominio común D, entonces sus gráficas deben coincidir en todos sus puntos y recíprocamente x + x si x < 10 Establezca analíticamente la igualdad de las siguientes funciones: f(x) = x 1 si x > y g(x) = x + x (x + x + 1) u(x ), donde u es la función escalón unitario definida anteriormente Prof Robinson Arcos 8

9 Trazado de la gráficas de las dos funciones: Para trazar la gráfica de una función a trozos se edita primeramente, línea a línea, la regla de correspondencia de cada trozo de la función restringida a su intervalo correspondiente de definición (8) Active la ventana del editor de gráficos y borre la función almacenada Active el teclado virtual [mth] (83) En la línea de edición y1:, escriba la expresión x + x Toque (84) En la línea de edición y:, escriba la expresión x 1 y toque (85) Elija la ventana de visualización [Inicial] (86) Trace la gráfica de f y maximice la ventana de gráficos (87) Active la función [Trazo] de la ventana de gráficos Observara que el cuadro de mensajes, ubicado en la parte inferior de la ventana, presenta la regla de correspondencia del primer trozo de la función en el intervalo indicado (88) Deslice el cursor hasta el final del primer trozo y oprima la tecla direccional elíptica hacia abajo Figura 15 Observará que el cursor salta al siguiente trozo Esto se evidencia en el cuadro de mensajes (89) Al terminar desactive la función [Trazo] 11 Está definida la función f en x =? (90) Toque el botón (91) Active el teclado virtual [abc] (9) En la línea de edición y3:, toque la secuencia de botones y teclas Para trazar la gráfica de g usemos otro estilo de línea (93) Toque en la línea de edición y3: la señal (94) En el cuadro de diálogo toque [Grues] [Acep] (95) Toque [Ejec] (96) Toque para trazar las gráficas de f y g (97) Maximice la ventana de gráficos Observe que las gráficas coinciden (98) Active la función [trazo] y observe lo que pasa en el punto de salto en cada una de las gráficas de f y g Toque repetidamente (99) Al terminar toque Figura 16 1 indique qué observa al usar la función [trazo] en el punto x =, en cada una de las gráficas de f y g? Prof Robinson Arcos 9

10 13 A continuación se proponen 4 posibles identidades en la variable x En cada caso: Defina el primer miembro como la función f y el segundo como la función g Realice posteriormente el trazado de las gráficas de f y g con tipos de línea distintos Utilice la ventana [Inicial] para realizar el trazado de las gráficas Establezca como conclusión si la identidad propuesta es verdadera o falsa a) x = x b) [ x + 3 ] = [ x ] + 3 x 3) = x 3 c) ( x + 5 d) = 5 x 14 Conclusión: a) b) c) d) 43 Operaciones aritméticas con funciones Con dos funciones f y g podemos construir una nueva función mediante las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división En cada caso, la nueva función es respectivamente, f f + g (suma), f g (diferencia), f g (producto) y (cociente) g La regla de correspondencia de la nueva función y su dominio vienen dadas por: f g ( f + g)(x) = f(x) + g(x) ; Dom(f + g) = Dom f I Dom g ( f g)(x) = f(x) g(x) ; Dom(f g) = Dom f I Dom g ( f g)(x) = f(x) g(x) ; Dom(f g) = Dom f I Dom g (x) = f(x) g(x) f g ; Dom = (Dom f I Dom g) { x : g(x) = 0 } Con el fin de construir y examinar nuevas funciones, a partir de dos funciones f y g dadas, conviene definirlas como funciones de usuario y trazar sus gráficas junto con la gráfica de la nueva función Por ejemplo, tomemos las funciones irracionales f (x) = 4 x y g( x) = x 15 Establezca analíticamente: Dom f = Dom g = ( f + g )(x) = Dom (f + g) = ( f g )(x) = Dom (f g) = ( f g)(x) = Dom (f g) = f (x) = g f Dom = g Prof Robinson Arcos 10

11 Para corroborar los cálculos obtenidos analíticamente de los dominios de las funciones f, g, f + g, f g, f g y f / g, trazaremos en cada caso, las gráficas de las funciones f, g y de la nueva función 16 Operación con la ClassPad (100) Toque para acceder a la Aplicación Principal Definiremos primeramente las funciones f y g: (101) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] (10) Toque [Acción] [Comando ] [Define] (103) Active el teclado virtual [abc] (104) Toque ahora la siguiente secuencia de teclas y botones: (105) Toque [Acción] [Comando ] [Define] (106) Toque seguidamente la siguiente secuencia de teclas y botones: Figura 17 (107) Toque (108) Limpie la ventana del editor de gráficos (109) Active el teclado [abc] (110) En la primera línea de edición escriba f (x) y toque [Ejec] (111) En la segunda línea de edición escriba g (x) Toque y elija [Grues] Toque [Acep] [Ejec] (11) En la tercera línea de edición escriba f (x) + g(x) Toque y elija [Cuadrados] Toque [Acep] [Ejec] (113) Configure la ventana de visualización con los siguientes parámetros: Mín x : 3 ; máx x : 3 ; escala x : 1 Mín y : 1; máx y : 6 ; escala y : 1 (114) Trace las gráficas de las tres funciones y maximice la ventana de gráficos (115) Active la función [trazo] y corrobore el cálculo de los dominios de f, g y f + g Figura 18 Figura 19 De manera análoga, trace los casos para f g, f g y f / g Cambie en la tercera línea de edición, en el editor de gráficos, únicamente los signos de operación, almacene la función y realice el trazado Prof Robinson Arcos 11

12 Observación: Consideremos a F(D) como el conjunto de todas las funciones reales de variable real definidas en un dominio común D Al igual que en el caso de adición y multiplicación de números reales, se pueden establecer las siguientes propiedades análogas: A1 Si f, g F, entonces f + g F (F es cerrado con respecto a la adición) A Si f, g,h F, entonces ( f + g) + h = f + (g + h) (la adición es asociativa) A3 Si f,g F, entonces f + g = g + f (la adición es conmutativa) A4 Si f F, entonces f + O = O (la función constante cero es el neutro aditivo en F) M1 Si f,g F, entonces f g F (F es cerrado con respecto a la multiplicación) M Si f, g,h F, entonces ( f g) h = f (g h) (la multiplicación es asociativa) M3 Si f,g F, entonces f g = g f (la multiplicación es conmutativa) M4 Si f F, entonces f 1 = 1 (la función constante uno es la unidad multiplicativa F) M5 Dada f F no necesariamente tiene inversa multiplicativa en F M6 Si f,g,h F, entonces f (g + h) = f g + f h) (la multiplicación es distributiva respecto a la adición en F) 17 Responda a cada una de las siguientes interrogantes: a) Por qué el dominio de la adición de dos funciones es la intersección de los dominios de las funciones sumandos? b) Por qué el dominio de la división de dos funciones es la intersección de los dominios del numerador y el denominador, con la excepción de las abscisas en las cuales el denominador se anula? c) Por qué se acostumbra a decir que la gráfica de la adición (sustracción, multiplicación y división) de dos funciones se obtiene sumando (restando, multiplicando, dividiendo) ordenada a ordenada? Prof Robinson Arcos 1

13 1 18 En el siguiente problema se da las gráficas de las funciones f(x) = x + 6 y g (x) = x( x 4) definidas ambas en el intervalo En cada figura, divida el intervalo en 1 partes iguales y [ 0,6] realice: a) La suma de f y g, sumando ordenada a ordenada y trace un boque de su gráfica b) La diferencia de f y g, restando ordenada a ordenada y trace un bosquejo de su gráfica Figura 0 Figura 1 ( f + g)(x) = ( f g)(x) = c) En la ClassPad los trazados de las gráficas de las funciones respectivas para corroborar los bosquejos obtenidos en a) y b) 19 En cada uno de los siguientes casos, encuentre para la función que modela la situación planteada, el dominio real y su respectivo recorrido Verifique posteriormente sus resultados trazando la gráfica de la función: a) En un experimento psicológico sobre información visual, un sujeto observó brevemente un arreglo de letras, después se le pidió recordar tantas letras del arreglo como le fuese posible El procedimiento se repitió varias veces Suponga que y denota el número promedio de letras recordadas de arreglos con x letras Se sabe que los datos recolectados se ajustan a la gráfica de la función: x si 0 x 4 1 y = x + si 4 < x 5 45 si 5 < x 1 b) Un lago puede dar cabida a un máximo de peces El índice de crecimiento y de la población de peces es igual al producto del número de peces presentes x y la diferencia entre y el número peces presentes Encuentre a y en función de x Prof Robinson Arcos 13

14 44 Composición de funciones Otra manera de construir una función a partir de dos funciones f y g, es realizando la operación de composición entre ellas La nueva función se denota por f o g La composición de funciones es la construcción de un proceso que se obtiene como resultado de encadenar dos o más procesos, como por ejemplo, si tenemos una naranja, por medio del proceso de exprimido se obtiene jugo de naranja; una vez obtenido el jugo, se aplica un segundo proceso que consiste en envasarlo El efecto total de la composición de estos dos procesos, puede mirarse como un solo proceso que consiste en tener una naranja y por medio de él obtener jugo de naranja envasado La regla de correspondencia f (x) de una función definida por la ecuación y = f(x), puede mirarse como los pasos a seguir para obtener un número y a partir del número x, es decir, la regla de correspondencia representa el desarrollo de un proceso algebraico En el caso de la composición de dos funciones f y g, la cadena de procesos algebraicos consiste en lo siguiente: se tiene un número x (naranja) y sobre éste se aplica el primer proceso algebraico (función g) para obtener el resultado g(x) (jugo de naranja)) Una vez obtenido el resultado g (x), sobre él se aplica el segundo proceso (función f) para obtener el resultado final f(g(x)) (jugo de naranja envasado) Si miramos la situación en términos del resultado final y no de los procesos involucrados, pensaremos que tenemos el número x y por medio de un solo proceso algebraico (función f o g ) se obtiene el resultado f (g(x)) En el diagrama de la Figura se presenta la construcción de la regla de correspondencia de la función composición f o g a partir de las reglas de correspondencia de las funciones f y g, esto es, ( f o g)(x) = f(g(x)) Figura Sin embargo, la función f o g no siempre es factible de ser construida a partir de funciones arbitrarias f y g Existe una condición para su existencia, el siguiente diagrama pone de manifiesto esa condición: Figura 3 Observemos ahora los procesos involucrados y no el resultado final: para hallar la imagen de un número x mediante f o g, primeramente x debe ser un elemento del dominio de la primera función que se aplica, esto es, x Dom g Por otra parte, al obtener g(x), este elemento debe estar en el dominio de la segunda función que se aplica ( g(x) Dom f ), pues en caso contrario, no podemos obtener f(g(x)) Luego, una condición suficiente para la existencia de la función f o g, es que Dom f I Ran g φ como se observa en el diagrama de la Figura 3 Por otra parte, observe que el dominio de f o g coincidirá con el dominio de g si y sólo si Ran g Dom f Pero si Ran g Dom f con Dom f I Ran g φ, entonces de manera estricta Dom f g) Dom g En cualquier caso, Dom (f o g) = x Dom g : g(x) Dom f ( o { } Las condiciones x Dom g y g(x) Dom f plantean por lo general dos inecuaciones La intersección de los conjuntos de soluciones de estas inecuaciones es justamente el dominio de f o g Prof Robinson Arcos 14

15 0 Considere las funciones cuyas reglas de correspondencia son: f (x) = x + 1 y g(x) = x a) Encuentre analíticamente los conjuntos: Dom f, Dom g, Ran f y Ran g Verifique sus resultados trazando en la ClassPad las gráficas de f y g b) Muestre que f o g existe y determine su regla de correspondencia c) Encuentre analíticamente Dom (f o g) y Ran (f o g) Verifique sus resultados trazando en la ClassPad la gráfica de f o g Solución a la situación problemática planteada en a): Dado que [ 0, + [ [ 1,+ [ [ 0 [ x es un número real únicamente para x 0, se deduce que Dom f =, + Dom g = Por otro lado, para cualquier valor b 0, tenemos que Ranf = [ + [ y Ran g =, b = b = b y, lo que indica que 1 Operación con la ClassPad (116) Toque para acceder a la Aplicación Principal Definiremos primeramente las funciones f y g: (117) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] (118) Toque [Acción] [Comando ] [Define] (119) Active el teclado virtual [abc] (10) Toque ahora la siguiente secuencia de teclas y botones: (11) Toque [Acción] [Comando ] [Define] (1) De manera análoga defina la función g(x) = x (13) Toque (14) Limpie la ventana del editor de gráficos (15) Active el teclado [abc] (16) En la primera línea de edición escriba f (x) y toque [Ejec] (17) En la segunda línea de edición escriba g (x) Toque y elija [Grues] Toque [Acep] [Ejec] (18) Configure la ventana de visualización con los siguientes parámetros: Mín x : 1; máx x : 6 ; escala x : 1 Mín y : 3 ; máx y : 4 ; escala y : 1 (19) Trace las gráficas de las tres funciones y maximice la ventana de gráficos (130) Active la función [trazo] y corrobore el cálculo de los dominios y rangos de f y g (131) Al terminar toque Figura 4 Figura 5 Prof Robinson Arcos 15

16 Solución a la situación problemática planteada en b): Dado que Dom f Ran g = [ 0, + [ I [, + [ = [ 0, + [ φ I, la función f o g existe y su regla de correspondencia viene dada por ( f o g)(x) = f(g(x)) = f( x ) = x + 1 Esto lo podemos corroborar en la Aplicación Principal: (13) Toque para acceder a la Aplicación Principal (133) Con el teclado [abc] activado, escriba f (g(x)) y toque Se obtiene la regla de correspondencia de la composición de f con g: Para hallar el dominio de ( f o g)(x) = x + 1 Figura 6 f o g tengamos presente que Dom (f o g) = { x Dom g : g(x) Dom f } La condición x Dom g es equivalente a la inecuación x 0 y la condición g(x) Dom f es equivalente a la inecuación 0 x, el conjunto solución del sistema de inecuaciones es el intervalo [ 4,+ [, de manera que Dom (f o g) = [ 4,+ [ Dado que en este intervalo la Ran (f o g) = 1,+ x Luego Dom f o g = { : x 0 y x 0 } variable x puede tomar valores desde 4 hasta + se deduce que [ [ (134) Active el teclado virtual [mth] y toque (135) En la línea de entrada escriba la inecuación x 0 (136) Toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ] [and] (137) Seguidamente escriba la inecuación x 0 y toque Se obtiene que ( f o g) = [ 4,+ [ Tracemos la gráfica de Dom f o g (138) Toque (139) Active el teclado [abc] (140) En la tercera línea de edición escriba f (g(x)) Toque y elija [Cuadrados] Toque [Acep] [Ejec] (141) Toque y luego toque para maximizar la pantalla Figura 7 (14) Active la función [trazo] y corrobore que Dom (f o g) = [ 4,+ [ y Ran (f o g) = [,+ [ 1 Observación: La operación de composición de funciones tiene las siguientes propiedades: C1 ( f o g) o h = f o ( g o h) (la composición de funciones es asociativa) C La composición de funciones no necesariamente es conmutativa C3 Si I denota la función identidad I o f = f o I = f C4 ( f + g) o h = (f o h) + (g o h) (la composición de funciones es distributiva por la derecha respecto a la adición de funciones) Prof Robinson Arcos 16

17 C5 ( f g) o h = (f o h) ( g o h) (la composición de funciones es distributiva por la derecha respecto a la multiplicación de funciones) Considere las funciones cuyas reglas de correspondencia son: f (x) = x + 3 y g(x) = x 1 a) Encuentre analíticamente los conjuntos: Dom f, Dom g, Ran f y Ran g Verifique sus resultados trazando las gráficas de f y g b) Muestre que g o f existe y determine su regla de correspondencia c) Encuentre analíticamente Dom (g o f) y Ran (g o f) Verifique sus resultados trazando la gráfica de g o f 3 Considere las siguientes funciones: x x f(x) = con x 6 y g (x) = + x + 5 con x a) Configure en la ventana de visualización los siguientes parámetros: Mín x : 3 ; máx x : 7 ; escala x : 1 Mín y : 4 ; máx y : 10 ; escala y : 1 b) Trace la gráfica de las funciones f y g en el intervalo [,6] y determine gráficamente Ran f y Ran g c) Muestre que f o g existe y determine su regla de correspondencia d) Encuentre analíticamente Dom (f o g) e) Trace la gráfica de f o g y determine gráficamente Ran (f o g) f) En las siguientes figuras se presentan las gráficas de f, g, f o g y de la recta de ecuación y = x en el intervalo [,6] Para obtener un bosquejo de la gráfica de f o g, a partir de las gráficas de f y g, se sigue el diagrama de flechas presentado en la figura 8 en cada punto x,6 El diagrama permite encontrar geométricamente el punto ( x, (f o g)(x)) de la [ ] gráfica de f o g Interprete este diagrama y en la Figura 9, encuentre en cada entero del intervalo los puntos correspondientes de la gráfica de dicha gráfica f o g y trace con ellos un bosquejo de Figura 8 Figura 9 Prof Robinson Arcos 17

18 4 Sea f y g dos funciones tales que f(x) = x + 5 x + 6 y (f o g)(x) = x + 9 x + 0 encuentre g (x) 5 Sea f y g dos funciones tales que g (x) = 1+ cos x y ( f o g)(x) = 1 sen x encuentre f (x) 6 Sea f, g y h tres funciones cuyas reglas de correspondencia vienen dadas por f(x) = x, g (x) = lnx y h (x) = x + 1 Encuentre para f o g o h su: a) Regla de correspondencia b) Dominio c) Recorrido 7 Construya dos funciones f y g para corroborar que no siem pre f o g es igual 45 La función inversa g o f Como se comentó anteriormente, la regla de correspondencia de una función puede mirarse como el desarrollo de un proceso algebraico Por ejemplo, si tenemos la función definida por y = f(x) = x 3 1, su regla de correspondencia nos indica cuál es el proceso de desarrollo algebraico que debe ejecutarse sobre un número x para obtener el número y Justamente, la expresión f(x) = x 3 1 nos indica los pasos que deben seguirse para obtener y a partir de x Estos pasos podemos esquematizarlos de la siguiente manera: } 1 } } 3 x x 3 x 3 1 x 3 1 = y El algoritmo llevado a cabo es el siguiente: Paso 1: tome el número x y elévelo al cubo (Se obtiene x 3 ) Paso : al núm ero obtenido en el paso anterior, réstele una unidad (Se obtiene x 3 1) Paso 3: al número obtenido en el paso anterior, extráigale la raíz cuadrada (Se obtiene finalmente, x 3 1 = y ) Figura 30 Tanto en la vida real, como en la matemática, son importantes los procesos inversos En determinados softwares encontramos los botones [Deshacer] y [Rehacer], que al ser activados alternativamente, uno deshace el proceso (comando o acción) realizado por el otro Cabe formularnos la siguiente pregunta: cuál es el proceso algebraico que debe llevarse a cabo para deshacer el proceso algebraico realizado por la función f? Esta pregunta conduce inevitablemente a otras preguntas como: Existe tal proceso inverso?; y de existir, cuál es el procedimiento algebraico que debe seguirse para obtenerlo? Prof Robinson Arcos 18

19 En realidad no siempre existe un proceso que deshaga de manera única a otro proceso y desde el punto de vista algebraico, los algoritmos para encontrar el proceso inverso son aquellos que se derivan de los escasos procedimientos que existen para despejar x en términos de y en la ecuación y = f(x) Además existen maneras inimaginables de construir una regla de correspondencia, pues la mayoría de las funciones importantes en matemática presentan reglas de correspondencia que no se construyen por medio de una expresión algebraica como las trigonométricas y logarítmicas Por otra parte, en muy contadas ocasiones resulta evidente, como en el caso de nuestra función f, ver el proceso inverso que deshace el proceso que una función realiza Si queremos deshacer el proceso realizado por f, basta deshacer uno a uno los pasos ejecutados por f, pero en orden inverso: Paso 1: deshacer el paso 3 realizado por f, esto es, tomar el número y y elevarlo al cuadrado (Se obtiene y = x 3 1) Paso : deshacer el paso re alizado por f, es decir, sumar al resultado obtenido en el paso anterior una unidad (Se obtiene y + 1 = x 3 ) Paso 3: deshacer el paso 1 realizado po r f, es decir, extraer la raíz cúbica al número obtenido en el paso anterior (Se obtiene por último, 3 y + 1 = x ) Los pasos esquematizados de la regla de correspondencia de la función que hemos construido son: y { y { y + 1 { 3 y + 1 = x 1 3 Figura 31 De lo anterior podemos afirmar que existe un proceso inverso que deshace el proceso realizado por f Esta nueva función se denota por de f 1 f, de manera que 1 3 x = f (y) = y + 1 y se llama la función inversa En esta discusión nos hemos preocupado por la obtención algebraica de f 1 a partir de f, pero no 1 hemos tomado en cuenta en dónde está definida la función inversa f Al aplicar f a x tenemos que 1 x Dom f y y Ran f Si f lleva el número x hacia el número y, entonces por construcción, f lleva el número y hacia el número x Se deduce entonces que Dom f 1 = Ran f y Ran f 1 = Dom f Por otra parte, Si A = Dom f y B = Ran f entonces tenemos las siguien tes propiedades: f 1 (f(x)) = f 1 (y) = x = IA (x) Donde I A es la función identida d restringida al conjunto A f(f 1 ( y)) = f(x) = y = IB (y) Donde I B es la función identida d restringida al conjunto B Figura 3 Figura 33 Prof Robinson Arcos 19

20 Observación: De lo anterior se deduce la siguiente equivalencia de las ecuaciones: y = f(x) x = f 1 (y) para x Dom f y y Ran f La notación f 1 no debe confundirse con la función f 1 La primera, es la función inversa de f en el f 1 sentido de que f 1 o f = IA y f o f 1 = IB La segunda es el inverso multiplicativo de f cuya regla de correspondencia es (x) = y satisface f = f = 1 para x tal que f(x) 0 f f(x) f f El problema de encontrar analíticamente la regla de correspondencia de f 1, consiste en resolver la ecuación y = f(x) para x Dom f en términos de y Esta ecuación debe tener solución única, de lo contrario f no tendrá inversa para x Dom f Por otra parte, al despejar x en la ecuación y = f(x) se obtiene x = f 1 (y) ; como es costumbre, se reserva la variable x como la variable independiente, en consecuencia al obtener esta última ecuación, debemos intercambiar los papeles de x y y obteniéndose y = f 1 (x) Veamos cómo se realizan estos pasos con la ClassPad para la función y = x 3 1 : Tengamos presenta que Dom f = [ 1,+ [ y Ran f = [ 0, + [ debemos resolver la ecuación y = x 3 1 en la variable x, para y 0 Para hallar la regla de correspondencia de 8 Operación con la ClassPad (143) Toque para acceder a la Aplicación Principal (144) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep] (145) Active el teclado virtual D (146) En la línea de entrada escriba la ecuación y = x 3 1 (147) Toque [Ejec] Resolveremos la ecuación y = x 3 1 para x en términos de y con x Dom f (148) Toque [Acción] [Ecuación / Desigualdad ] [Solve] (149) Toque seguidamente Se obtiene 3 x = y + 1 como solución única para y 0 Figura 34 Para obtener la regla de correspondencia de f 1, se procede del siguiente modo: (150) Toque [Acción] [Asistente ] [invert] [ans] [ejec] 3 Se obtiene 3 y = x + 1, esto es, f 1 ( x) = x + 1 Además, Dom f 1 = 0,+ y Ran f 1 = [ 1,+ [ [ [ Prof Robinson Arcos 0